01-高一数学培优专题(一) 二次函数在闭区间的最值(含答案)
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高一数学培优专题（一）
6.
设 f x x 2 x 5 ， x [t , t 3] 的最大值为 g t ，求 g t 的解析式
2
培优：
7. 已知函数 y x , 2 x a ，其中 a 2 ，求该函数的最大值与最小值，并求出函数
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二次函数在闭区间上的最值
【要点回顾】 求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与区间的相对位置， 【例题选讲】 （一）定轴定区间 例 1．已知函数 y 2 x 4 x 1 ，
2
（1）若 x R ，求该函数的最值； （2）若 x 1, 2 ，求该函数的最大值和最小值；
（1）当 例 4．求关于 x 的二次函数 y x 2 2tx 1 在 1 x 1 上的最大值( t 为常数)． 解：当 t 0 时， ymax 2 2t ，此时 x 1 ； 当 t 0 时， ymax 2 2t ，此时 x 1 ． （三）定轴动区间 【例题选讲】 例 5.求函数 y
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二次函数在闭区间上的最值
【要点回顾】 如： y ax 2 bx c 在 m x n （其中 m n ）的最值． 第一步：求出函数图象的对称轴： x x0 ； 第二步：讨论： [1]若 a 0 时求最小值或 a 0 时求最大值，需分三种情况讨论： ①对称轴小于 m 即 x0 m ，即对称轴在 m x n 的左侧； ②对称轴 m x0 n ，即对称轴在 m x n 的内部； ③对称轴大于 n 即 x0 n ，即对称轴在 m x n 的右侧。 [2] 若 a 0 时求最大值或 a 0 时求最小值，需分两种情况讨论：
（三）定轴动区间 例 5.函数 f ( x)
1 2 5 x x ,求 f ( x) 在区间 t, t 1 上的最小值(其中 t 为常数)． 2 2
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高一数学培[0, ] 的最大（小）值情况为（ ）. 2 3 3 A. 有最大值 ，但无最小值 B. 有最小值 ，有最大值 1 4 4 19 C. 有最小值 1，有最大值 D. 无最大值，也无最小值 4 【巩固练习 2】 2 2 2. 已知 f(x)=-4x +4ax-4a-a 在区间［0，1］内有最大值-5，求 a 的值.
mn ，即对称轴在 m x n 的中点的左侧； 2 mn ②对称轴 x0 ，即对称轴在 m x n 的中点的右侧； 2
①对称轴 x0 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与区间的相对位置， 【例题选讲】 （一）定轴定区间 例 1．已知函数 y 2 x 4 x 1 ，
1.
已知函数f ( x) x 2 x 1,
3.
已知函数 f x x ax 3 在区间 [ 1,1] 上的最小值为-3，求 a 的值。
2
4. 已知函数 y x 2ax 1, x 1, 2 的最大值为 4，求 a 的值．
2
【巩固练习 3】 5. 已知函数 f ( x) x2 8x ，求 f ( x ) 在区间 t, t 1 上的最大值 h(t ) .
2
（二）动轴定区间 a 1 例 3．已知函数 y x2 ax 在区间[0，1]上的最大值为 2，求实数 a 的值. 4 2
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例 4．求关于 x 的二次函数 y x 2 2tx 1 在区间[-1，1]上的最大值( t 为常数)．
2
（1）若 x R ，求该函数的最值 （2）若 x 1, 2 ，求该函数的最大值、最小值
（3）若 x 1, 0 ，求该函数的最大值、最小值。 解;（1）最大值 1, 最小值无 （2）最大值 1, 最小值-7 （3）最大值-1, 最小值-7
例 2． (2002 上海文 19)已知函数 f (x)=x +2ax+2，x∈[—5，5]. （1）当 a= —1 时，求函数 y=f (x)的最大值与最小值； （2）求实数 a 的取值范围，使 y=f (x)在区间[—5，5]上是单调函数. 解;（1）当 x=1 时， y=f (x)的最小值为 1； 当 x= —5 时，y=f (x)的最大值为 37. （2） a 5 或 a 5 （二）动轴定区间 例 3．已知函数 y x2 ax
2
a 1 在区间[0，1]上的最大值为 2，求实数 a 的值. 4 2 a 1 a a2 a 1 解：令 f ( x) x 2 ax ( x )2 . 4 2 2 4 4 2
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高一数学培优专题（一）
a 1 a 0 ，即 a≤0 时， ymax f (0) 2 ，得 a 6 . 4 2 2 a a2 a 1 a （2）当 0< <1，即 0<a<2 时， ymax f ( ) 2 ，得 a 2,3 ，都不在（0,2） 2 4 4 2 2 内，不合. a 1 a 10 （3）当 1 ，即 a≥2 时， ymax f (1) 1 a 2 ，解得 a . 4 2 2 3 10 综上所述，实数 a 6 或 . 3
2
取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值．
8. 设 a 0 ，函数 y x ax b 1, x 1,1 的最小值是 4 ，最大值是 0，求 a, b 的
2
值．
9.
求函数 f x x 2ax 1 在 [ 2,4] 上的最大值和最小值。
2
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（3）若 x 1, 0 ，求该函数的最大值和最小值.
例 2． (2002 上海文 19)已知函数 f(x)=x +2ax+2，x∈[-5，5], （1）当 a= -1 时，求函数 y=f(x)的最大值与最小值； （2）求实数 a 的取值范围，使 y=f(x)在区间[-5，5]上是单调函数.
二次函数在闭区间上的最值
O x=1
t t+1
x
3--1
（3）若对称轴x=1在区间[t,t+1]右侧时，有 t+1<1，即t<0,如图4--1所示： 当x=t+1时，函数取得最小值, 即 f(x)min=f(t+1)=t2+1。
y
1 t t+1 O x=1 x
4--1
2）最大值 ）
（1）若
时，如图5--1所示:
1 t + ( t + 1) t ≥ ≥ 1，即 2 2
3 −2 ∉ − , 2 2
，所以
a = −
1 不合题意； 2
y -2 -1.5 o
X=-2 2
x
9--1
线开口向上，对称轴为x=0，如图 10--1所示: 闭区间的右端点离对称轴较远，
1 所以 a = 2 符合题意；
1 （2）若f(2)=3，则 a = 2 此时抛物
（3）若
x=− 7 4
3 f − = 3，则 2
a=−
此时抛物线开口向下，对称轴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为 ，如图10--2所示:
2 3
闭区间的右端点离对称轴远， 所以 a = − 2 符合题意。
3
y y
2
-1.5 o -1.5 o
2
x
x
X=-1.75
10--1 1 a = 综上所述： 2
或
2 a=− 3
10--2
二次函数在闭区间上的最值
(高中数学） 高中数学） 高中数学
y
m 0 n x
X=a
马街中学---张天琼 马街中学 张天琼
前面我们学习了二次函数是确定的，并且定义域也是 确定的最值（即定函数在定区间上的最值）的情况， 如：已知f(x)=2x2-3x+1，x ∈[-2,1],求它的最值？
(整理)二次函数在闭区间上的最值68684.
二次函数在闭区间上的最值题型总结二次函数自身性质灵活多变，同时经常作为其他函数的载体。
二次函数在某一区间上的最值问题，是对初中二次函数内容的拓展，是高考数学中的热点。
一、 知识回顾：二次函数解析式的几种形式： ①一般式：y ax bx c =++2（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：y a x h k =-+()2（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
③交点式：y a x x x x =--()()12，其中x x 12，是抛物线与x 轴交点的横坐标，即一元二次方程ax bx c 20++=的两个根，且a ≠0，（也叫两根式）。
二、 思维提升：二次函数在区间上的最值，有两大类情况：1.二次函数在闭区间[]m,n 上的最值：一般思维的突破口：对称轴在区间的左边还是中间还是右边. 设，求在上的最大值与最小值。
以为例分析：将配方，得顶点为、对称轴为当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上的最值：1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。
2）当时若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 。
2.二次函数在开区间上的最值，利用数形结合求解。
三、题型总结：（一）、正向思维型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
一. 定二次函数在定区间上的最值—即“轴定，区间定”。
例1.函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_____，最小值是___。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图示。
培优补差资料四(二次函数的最值问题)(1)
培养补差资料四内容：闭区间上二次函数的最值问题（一） 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543m i n 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f当a <0时⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910一、开口方向、对称轴、给定区间都确定例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
解：函数y x x x =-+-=--+224222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。
函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。
图1点评：先配方，结合函数图象和单调性，二次函数最值容易求出；由于二次函数最值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，也可以将区间端点和顶点处的函数值计算出来，通过比较大小，计算出最值。
练习：已知函数2()2tan 1,[1,3],f x x x x θ=+-∈-，当6πθ=-时，求函数f(x)的最大值与最小值。
解析：6πθ=-时， 234()()33f x x =--，所以33x =时，min 4();13f x x =-=-时，max 23()3f x =二、对称轴位置、给定区间确定，开口方向不确定例2求2()21(0),[4,3]f x kx kx k x =++≠∈-的最值解析：,1)1(12)(22k x k kx kx x f -++=++=二次函数开口方向不确定，对称轴和给定的区间确定，对称轴方程为x=1-,当0>k 时, ,151)3()(,1)1()(max min k f x f k f x f +==-=-= 当0<k 时, ,151)3()(,1)1()(min max k f x f k f x f +==-=-=点评：当二次函数对称轴位置、给定区间固定，开口方向不确定时，只要讨论开口方向向上和向下两种情况。
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。
通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。
本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。
引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。
一、函数的性质分析1. 我们可以观察函数的开口方向。
如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。
这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。
2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。
驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。
对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =2ax + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。
这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。
3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。
根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。
二、实际例子假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。
1. 观察函数的开口方向。
由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。
2. 求导。
对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2。
这个x值就是函数的驻点。
3. 比较端点值和驻点值。
在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。
闭区间上二次函数的最值问题
闭区间上二次函数的最值问题二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又丰富．作为最基本的初等函数，例题：已知函数f(x)＝x 2－ax ＋1，求函数f(x)在区间[－1，1]上的最值．变式1已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，1]时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．变式2求二次函数f(x)＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)在区间⎣⎡⎦⎤－32，2上的最大值．串讲1已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________________．串讲2若f(x)＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g(a)． (1)求g(a)的解析式；(2)求能使g(a)＝12的a 值，并求出当a 取此值时，f(x)的最大值．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，证明M －m的值与b 无关．已知a 为实数，函数f(x)＝x 2＋|x －a|＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小值；(2)若a ＞0，g (x )＝f (x )＋a |x |，求g (x )的最小值．答案：(1)f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧34＋a ，a ≥12，a 2＋1，－12＜a ＜12，34－a ，a ≤－12.(2)g (x )min＝⎩⎨⎧a ＋1，a ≥1，－a 2＋6a ＋34，13≤a ＜1，2a 2＋1，0＜a ＜13.解析：(1)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －a ＋1，x ≥a ，x 2－x ＋a ＋1，x ＜a ，①当a ≤－12时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递减， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝34－a ；2分 ②当－12＜a ＜12时，f (x )在(－∞，a )上单调递减，(a ，＋∞)上单调递减，f (x )min ＝f (a )＝a 2＋1；4分③当a ≥12时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12上单调递减，⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋a ；6分综上：f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧34＋a ，a ≥12，a 2＋1，－12＜a ＜12，34－a ，a ≤－12.7分(2)g (x )＝x 2＋|x －a |＋1＋a |x |＝⎩⎨⎧x 2＋（a ＋1）x －a ＋1，x ≥a ，x 2＋（a －1）x ＋a ＋1，0＜x ＜a ，x 2－（a ＋1）x ＋a ＋1，x ≤0.①当a ＋12≤a 时，即a ≥1时，－a ＋12＜0且1－a 2≤0，g (x )在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递减，g (x )min ＝g (0)＝a ＋1；9分 ②当a ＋12＞a 时，即0＜a ＜1时，－a ＋12＜0且1－a 2＞0，(ⅰ)当1－a 2≤a ，即13≤a ＜1时，g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1－a 2上单调递减，⎝⎛⎭⎫1－a 2，＋∞上单调 递减，所以g (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1－a 2＝－a 2＋6a ＋34；11分(ⅱ)当1－a 2＞a ，即0＜a ＜13时，g (x )在(－∞，a )上单调递减，(a ，＋∞)上单调递减，所以g (x )min ＝f (a )＝2a 2＋1；13分综上：g (x )min＝⎩⎨⎧a ＋1，a ≥1，－a 2＋6a ＋34，13≤a ＜1，2a 2＋1，0＜a ＜13.14分例题1答案：f(x)min ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ＜－2，1－a24，－2≤a≤2，2－a ，a ＞2.f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0.解法1函数f(x)＝x 2－ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24＋1，对称轴为x ＝a 2，①当a2＜－1时，即a ＜－2时，f(x)在[－1，1]上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2＋a ，f(x)max ＝f(1)＝2－a ；②当－1≤a 2＜0时，即－2≤a＜0时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1上单调递增，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24，f(x)max ＝f(1)＝2－a ；③当0≤a 2＜1时，即0≤a＜2时，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1上单调递增，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24，f(x)max ＝f(－1)＝2＋a ；④当a2≥1时，即a≥2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，f(x)min ＝f(1)＝2－a ，f(x)max＝f(－1)＝2＋a.综上，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ＜－2，1－a24，－2≤a≤2，2－a ，a ＞2.f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0.解法2函数f(x)＝x 2－ax ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24＋1，对称轴为x ＝a 2，先求最小值．①当a2＜－1时，即a ＜－2时，f(x)在[－1，1]上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2＋a ；②当－1≤a 2≤1时，即－2≤a≤2时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝1－a 24；③当a2≥1时，即a≥2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，f(x)min ＝f(1)＝2－a.再求最大值，因为抛物线开口向上，则最高点必为曲线一端点，所以f(x)max ＝max {f(－1)，f(1)}＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0.综上，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ＜－2，1－a24，－2≤a≤2，2－a ，a ＞2.f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0. 变式联想变式1答案：[－3，1]．解法1研究函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在x∈[－1，1]时的最小值，f(x)＝x 2－2ax ＋2＝(x －a)2＋2－a 2，对称轴为x ＝a.①当a≤－1时，f(x)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)min ＝f(－1)＝2a ＋3，要使得f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a ，即2a ＋3≥a，所以－3≤a≤－1.②当－1＜a ＜1时，f(x)在[－1，1]上的最小值为f(x)min ＝f(a)＝2－a 2，要使得f(x)≥a恒成立，只需f(x)min ≥a ，即2－a 2≥a ，所以－1＜a ＜1.③当a≥1时，f(x)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝3－2a ，要使得f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a ，即3－2a≥a，所以a ＝1.综上，实数a 的取值范围是[－3，1]．解法2不等式f(x)≥a 可化为a(1＋2x)≤x 2＋2①当－1≤x＜－12时，不等式化为a≥x 2＋22x ＋1，令g(x)＝x 2＋22x ＋1，则g′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋1′＝2（x 2＋x －2）（2x ＋1）2＜0，g(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12上单调递减，所以g(x)max ＝g(－1)＝－3，则a≥－3.②当x ＝－12时，0≤14＋2恒成立，则a∈R.③当－12<x ≤1时，不等式化为a ≤x 2＋22x ＋1，令g (x )＝x 2＋22x ＋1，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋1′＝2（x 2＋x －2）（2x ＋1）2＜0，g (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1，则a ≤1.综上，实数a 的取值范围是[－3，1]． 变式2答案：f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（2a －1）24a－3，a ＜－1，－34a －32，－1≤a＜25且a≠0，8a －5，a ≥25. 解析：f(x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a －12a 2－（2a －1）24a －3，对称轴为x ＝ －2a －12a， (1)当a ＞0时， ①当－2a －12a ≤14，即a≥25时，f(x)max ＝f(2)＝8a －5； ②当－2a －12a ＞14，即0＜a ＜25时，f(x)max ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34a －32. (2)当a ＜0时，－2a －12a＜0， ①当－2a －12a ≤－32时，即－1≤a＜0时，f(x)max ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34a －32； ②当－32＜－2a －12a＜0时，即a ＜－1时，f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2a －12a ＝－（2a －1）24a －3.综上，f(x)max＝⎩⎪⎨⎪⎧－（2a －1）24a－3，a ＜－1，－34a －32，－1≤a＜25且a≠0，8a －5，a ≥25. 说明：二次函数在闭区间的最值问题一般分为含参和不含参两种类型，对于不含参的定轴、定区间问题，根据轴与区间的位置关系，结合图象，确定函数的单调性即可求得最值；对于定轴、动区间，动轴、定区间，动轴、动区间的含参最值问题，常常抓住对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分类讨论时要做到不重、不漏；不过有时直接研究函数在区间端点处的取值以回避繁琐的分类讨论显得更快捷．总之，数形结合，灵活处理是解决此类问题的关键所在．串讲激活串讲1 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0. 解法1讨论对称轴与区间的位置关系，求出f(x)的最大值f(x)max ，解不等式f(x)max <0；解法2因为抛物线开口向上，所以最大值在区间端点处取得．则要使得任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，解得－22＜m ＜0.串讲2答案：(1)g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－4a （a ＞2），－a22－2a －1（－2≤a≤2），1（a ＜－2）；(2)5.解析：(1)f(x)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －a 22－a 22－2a －1，令t ＝cos x ∈[－1，1]．当a 2＜－1，即a ＜－2时，f(x)在cos x ＝－1时取得最小值，即g(a)＝1；当－1≤a2≤1，即－2≤a≤2时，f(x)在cos x ＝a 2时取得最小值，即g(a)＝－a 22－2a －1；当a2＞1，即a ＞2时，f(x)在cos x ＝1时取得最小值，即g(a)＝1－4a.综上，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－4a （a ＞2），－a22－2a －1（－2≤a≤2），1（a ＜－2）.(2)由g(a)＝12，得1－4a ＝12或－a 22－2a －1＝12，当1－4a ＝12，a ＝18，与a ＞2矛盾，舍去；当－a 22－2a －1＝12，得a ＝－3(舍去)或a ＝－1∈[－2，2]所以f(x)＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122＋12，当cos x ＝1时，f(x)max ＝5. 新题在线答案：M －m ＝⎩⎪⎨⎪⎧|1＋a|，a ＜－2，或a ＞0，a 24，－2≤a≤－1，1＋a ＋a 24，－1＜a≤0.M －m 的值与b 无关．解析：函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象是开口朝上且以直线x ＝－a 2为对称轴的抛物线．①当－a 2＞1或－a2＜0，即a ＜－2，或a ＞0时，函数f(x)在区间[0，1]上单调，此时M －m ＝|f(1)－f(0)|＝|1＋a|，故M －m 的值与b 无关；②当12≤－a 2≤1，即－2≤a≤－1时，函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，且f(0)＞f(1)，此时M －m ＝f(0)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a24，故M －m 的值与b 无关；③当0≤－a 2＜12，即－1＜a≤0时，函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，且f(0)＜f(1)，此时M －m ＝f(1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1＋a ＋a 24，故M －m 的值与b 无关．综上，M －m 的值与b 无关．。
二次函数最值知识点总结典型例题及习题
二次函数最值知识点总结典型例题及习题必修一二次函数在闭区间上的最值一、知识要点：对于一元二次函数在闭区间上的最值问题，关键在于讨论函数的对称轴与区间的相对位置关系。
一般分为对称轴在区间左侧、中间和右侧三种情况。
例如，对于函数f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，求其在闭区间[x1.x2]上的最大值和最小值。
分析：将函数f(x)配方，得到其顶点为(-b/2a。
c - b^2/4a)。
因此，对称轴为x = -b/2a。
当a。
0时，函数f(x)的图像为开口向上的抛物线。
结合数形结合可得在闭区间[x1.x2]上f(x)的最值：1）当对称轴在[x1.x2]之外时，f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者。
2）当对称轴在[x1.x2]之间时，若x1 ≤ -b/2a ≤ x2，则f(x)的最小值为f(-b/2a)，最大值为f(x1)和f(x2)中的较大者；若x1.-b/2a或x2 < -b/2a，则f(x)在闭区间[x1.x2]上单调递增或单调递减，最小值为f(x1)，最大值为f(x2)。
当a < 0时，情况类似。
二、例题分析归类：一）正向型此类问题是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数和定义域区间都是给定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例如，对于函数y = -x^2 + 4x - 2在区间[0.3]上的最大值为2，最小值为-2.2.轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例如，对于函数f(x) = (x-1)^2 + 1，在区间[t。
t+1]上的最值为f(t)和f(t+1)中的较大者。
培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)高一数学同步教学题型(人教A版2019必修第一册)
培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x=-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）由题意可得0c =，再代入(1)()21f x f x x +-=-到2()(0)f x ax bx a =+≠，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式.（2）求出抛物线的对称轴，然后分1,21t t ≥+≤和11t t <<+三种情况求解函数的最小值.【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数()f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．(3)若()f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；(2)当函数()f x 的定义域是[,1]t t +时，求函数()f x 的最大值()g t .【例4】已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x >的解集是()1,5，且()f x 在区间[1,4]-上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】(1)()265f x x x =-+-(2)()224,24,2365,3t t tg t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【分析】（1）根据题意，设()()1(5)f x a x x =--，可得函数的对称轴3x =，再根据函数在[]1,4-上的最小值，求出a ，可得函数()f x 数的表达式；（2）分13t + 时、3t 时和23t <<时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最大值，最后综合可得()g t 的表达式．。
高一数学二次函数在闭区间上的最值
高一数学：二次函数在闭区间上的最值
一、知识要点
二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论.一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
二、例题分析归类:
（一）正向型
正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值.
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成
为解决这类问题的关键.此类问题包括以下四种情形:
（1）轴定,区间定;
（2）轴定,区间变;
（3）轴变,区间定;
（4）轴变,区间变.
1：轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”.
2：轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”.
3：轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图像是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.
4：轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”.
（二）逆向型
逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值.。
高一数学二次函数求最值
8
6
6
6
4
4
x=1
4
x=1 k+2
5
10
2
x=1
2
2
k
5
15
k+2
5
k
10
10
k+2
15
5
x=1 k
10 15
k
15
5
10 5
k+2
2
2
2
2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8
8
10
10
4
当k+2≤1即k ≤-1时
2
x=1 k+2
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5 10 15
k
2
f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
k+2
5
2
8
k
10
2
即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
f(x)max=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
10 15
4
6
4
2
x=1 k k+2
5
当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10 15
2
f(x) min=f(k)=k2-2k-3
y
-1
O
1
x
例2：若x∈ x 1 x 1，求函数
二次函数在闭区间上的最值问题
解和重视，更是对体育事业的关怀。因此。在设计和建造上要
力求与校园环境及学校的办学特色和谐。 （３）发展好校园媒体，引导学生现场观赏。高校应该加强高 校体育竞赛的宣传力度，拓展宣传方式，扩大社会和校园影响
２００９．Ｎ０２２＠
万方数据
二次函数在闭区间上的最值问题
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 杨家丽 重庆市第十一中学 科学咨询 SCIENTIFIC CONSULT 2009(22)
轴ｘ＝３－２ａ 讨论：（１）当３－２ａ＜ａ，即ａ＞ｌ时，ｆ（ｘ）…＝ｆ（ａ）＝（ａ一３）２ （２）当３＿２ａ＞ａ，即Ｏ＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。；。＝ｆ（３－２ａ）＝１２ａ－８ａ２ 所以
ｒ１
２
关系讨论，由数形结合可知函数在区间上的最大值与最小值。
例２：不等式９ｘ２－６ａｘ＋ａ２－２ａ＿６＞０在－１／３＜ｘ＜１／Ｓ内恒成 立，求实数ａ的取值范围。
二次函数在某闭区间上的最值问题是高考考查的重点内容 之一，备受命题者的青睐。但学生在初学时，往往会感到错综复
杂，难以把握。其实，这类问题的关键在于函数对称轴与给定区 间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边、中
间、右边三种情况。本文将从下面四种类型加以归纳：轴定区间 定；轴动区间定；轴定区间动；轴动区间动。 一、轴定区间定
（２）当一１／３＜ａ／３＜１／３，即一１＜ａ＜１时，ｆ（ｘ）。＝ｆ（ａ／３）一
２ａ＿６，由－２ａ＿６＞０得ａ＜－３，与ａ∈［＿１，１】矛盾，合去。
的情操、价值观等。这些物质会折射人人们的心灵，对人起到 一种潜移默化的陶冶作用。 （２）注重体育场馆的设计理念。体育场馆不仅是学校开展 体育教学和进行体育比赛的重要场所，也是一所高校的标志 性建筑，是校园功能结构和基础设施的重要组成部分，是学校 建筑环境的亮点，体育馆的修建给学校的环境增加不少光环。 体育馆建设体现出来的是一所学校对学校体育教学设施的理