坐标系与参数方程全国卷真题
《坐标系与参数方程》2017高考试题选编1.（全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y ta x 14（t 为参数）.（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .2.（全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16||||=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求△OAB 面积的最大值.3.（全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t k y tx 2（t 为参数），直线2l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k my mx 2（m 为参数）.设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：02)sin (cos =-+θθρ，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.4.（天津卷理）在极坐标系中，直线01)6cos(4=+-πθρ与圆θρsin 2=的公共点个数为____.劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时；花开堪折直须折5.（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=28ty t x （t 为参数），曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==sy sx 2222（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.6.（北京卷）在极坐标系中，点A 在圆04sin 4cos 22=+--θρθρρ上，点P 的坐标为)0,1(，则||AP 的最小值为_________. 三、2016高考试题选编1.（全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==t a y ta x sin 1cos （t 为参数，0>a ）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C . （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 和2C 的公共点都在3C 上，求a .2.（全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()25622=++y x .（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x ，（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10||=AB ，求l 的斜率.3.（全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos 3y x （α为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.4.（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23211（t 为参数），椭圆C的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos y x （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.5.（北京卷）在极坐标系中，直线01sin 3cos =--θρθρ与圆θρcos 2=交于A ，B 两点，则=||AB ____________. 四、2015高考试题选编6.（2015广东文）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为()2sin cos -=+θθρ，曲线2C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 222（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ______________ .7.（2015广东理）已知直线l 的极坐标方程为24sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ，点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛47,22πA ，则点A 到直线l 的距离为 ______________ .8.（2015安徽理）在极坐标系中，圆θρsin 8=上的点到直线()R ∈=ρπθ3距离的最大值为__________ .9.（2015北京理）在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离为 ______ .10.（2015湖南文）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，则曲线C 的直角坐标方程为 ___________ .11.（2015重庆理）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=t y tx 11（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42cos 2=θρ（4543,0πθπρ<<>），则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 _________________ .12.（2015湖北理）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()0cos 3sin =-θθρ，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t t y tt x 11（t 为参数），l 与C 相交于B A ,两点，则=||AB ___________ .13.（2015新课标全国Ⅰ，10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线2:1-=x C ，圆()()121:222=-+-y x C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为4πθ=（R ∈ρ），设2C 与3C 的交点为N M ,，求MN C 2∆的面积.14.（较难）（2015新课标全国Ⅱ，10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线⎩⎨⎧==ααsin cos :1t y t x C （t 为参数，0≠t ），其中πα<≤0，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρθρcos 32:,sin 2:32==C C .（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值.15.（2015江苏理）已知圆C 的极坐标方程为044sin 222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πθρρ，求圆C 的半径.16.（2015福建理）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=t y t x sin 32,cos 31（t 为参数）.在极坐标系（与在平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为()R m m ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4sin 2πθρ.（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.17.（2015湖南理）已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x l 213235:（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=. （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点M 的直角坐标为()3,5，直线l 与曲线C 的交点为B A ,，求||||MB MA ⋅的值.18.（2015陕西）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23213（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin 32=. （Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 五、2014高考试题选编19.（2014安徽理）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31t y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A.14B.142C.2D.2220.（2014北京理）曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）的对称中心 （ ）A. 在直线x y 2=上B. 在直线x y 2-=上C. 在直线1-=x y 上D. 在直线1+=x y 上21.（2011安徽理）在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π到圆θρcos 2=的圆心的距离为（ ）A.2B.942π+C.912π+ D.322.（2011北京理）在极坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛2,1πB.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,1π C.()0,1 D.()π,1六、其他高考试题选编23.（2013新课标全国Ⅰ，10分）已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（πθρ20,0≤≤≥）.24.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=21t y t x （t 为参数）.在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θρ2cos 213+=.（Ⅰ）直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围.25.（2012新课标全国，10分）已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且D C B A ,,,依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛3,2π.（Ⅰ）求点D C B A ,,,的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.26.（2012福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为()0,2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,232π，圆C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 22y x （θ为参数）. （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系.27.（2014皖南八校联考）若直线⎩⎨⎧-==t y t x l 412:（t 为参数）与曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==θθsin 5cos 5:m y x C （θ为参数）相切，则实数m 为__________.28.（2015江西联考）在极坐标系中，曲线θθρsin 4cos 2=的焦点的极坐标为__________.（规定：πθρ20,0≤≤≥）29.（2013广州调研）已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin cos θθy x （θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1cos sin =+θρθρ，则直线l 截圆C 所得的弦长为__________.30.（2015长春质量监测）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=ty tx 2122（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρ2sin 312+=.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）试判断曲线1C 与2C 是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，请说明理由.31.（2014大连双基测试）在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin 4cos 44y x （α为参数），圆2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x （β为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C 和2C 的极坐标方程；（Ⅱ）1C 和2C 交于P O ,两点，求P 点的一个极坐标.32.（2014广州综合测试）在极坐标系中，直线()a =-θθρcos sin 与曲线θθρsin 4cos 2-=相交于B A ,两点，若32||=AB ，则实数a 的值为___________.33.（2013惠州调研）在极坐标系中，已知两点B A ,的极坐标分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛3,3π、⎪⎭⎫⎝⎛6,4π，则AOB ∆（其中O 为极点）的面积为______________. （附：海伦公式 ()()()c p b p a p p S ---=∆，其中()c b a p ++=21） 34.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=ty tx 312（t 为参数），圆C 的极坐标方程为0sin 2=+θρ，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为__________.35.已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 31cos 33y x （θ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为06cos =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ. （Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； （Ⅱ）求圆C 截直线l 所得的弦长.36.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x （θ为参数），直线l 经过点()2,1P ，倾斜角6πα=.（Ⅰ）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求||||PB PA ⋅的值.37.在极坐标系中，曲线C 的方程为θρ22sin 213+=，点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,22πR .（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标.38.以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx sin 2cos 2（t 为参数）. （Ⅰ）若曲线C 在点()1,1处的切线为l ，求l 的极坐标方程；（Ⅱ）若点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,22π，且当参数],0[π∈t 时，过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同的交点，试求直线m 的斜率的取值范围.39.已知圆锥曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin 3cos 2y x （α为参数）和定点()3,0A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点.（Ⅰ）求直线2AF 的普通方程；（Ⅱ）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求||||||11NF MF -的值.40.已知曲线1C 的极坐标方程为13cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ，曲线2C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 22πθρ.（Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点A 是曲线1C 上的一点，点B 是曲线2C 上的一点，求A 、B 两点间的最短距离.第21 页，共16 页第22 页，共16页 41.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=mt y m t x 233（t 为参数），若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()θθρcos 82cos 1=-. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相切，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积.。
高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)
高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。
近三年高考数学全国卷坐标系与参数方程真题
近三年高考数学真题坐标系与参数方程专练 2020全国理科一22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k k x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2020全国卷二.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.2019全国理科一在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．2019江苏在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离.C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -.2018全国卷2221141t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=在直角坐标系xOy 中，曲线C ₁的方程为y=k ∣x ∣+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ₂的极坐标方程为p ²+2p -3=0.（1） 求C ₂的直角坐标方程:（2） 若C ₁与C ₂有且仅有三个公共点，求C ₁的方程.2017全国卷在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.2020全国理科一3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩为参数）， 两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆； （2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t==为参数）， 两式相加得曲线1C1+=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤， 曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44. 2019全国理科一解：（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+，所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-. l的直角坐标方程为2110x +=.（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）.C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=. 当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l. 2019江苏解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B，2π），由余弦定理，得AB=.（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=， 则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=.。
(完整版)坐标系与参数方程全国卷真题
《坐标系与参数方程》2017高考试题选编1.（全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 3y x （θ为参数），直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y ta x 14（t 为参数）.（1）若1-=a ，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .2.（全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ.（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足16||||=⋅OP OM ，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求△OAB 面积的最大值.3.（全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t k y tx 2（t 为参数），直线2l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=k my mx 2（m 为参数）.设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：02)sin (cos =-+θθρ，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径.4.（天津卷理）在极坐标系中，直线01)6cos(4=+-πθρ与圆θρsin 2=的公共点个数为____.劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时；花开堪折直须折5.（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=28ty t x （t 为参数），曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==sy sx 2222（s 为参数）.设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.6.（北京卷）在极坐标系中，点A 在圆04sin 4cos 22=+--θρθρρ上，点P 的坐标为)0,1(，则||AP 的最小值为_________. 三、2016高考试题选编1.（全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==t a y ta x sin 1cos （t 为参数，0>a ）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C . （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 和2C 的公共点都在3C 上，求a .2.（全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()25622=++y x .（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是⎩⎨⎧==ααsin cos t y t x ，（t 为参数），l 与C 交于A ，B 两点，10||=AB ，求l 的斜率.3.（全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos 3y x （α为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为224sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ.（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.4.（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23211（t 为参数），椭圆C的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 2cos y x （θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.5.（北京卷）在极坐标系中，直线01sin 3cos =--θρθρ与圆θρcos 2=交于A ，B 两点，则=||AB ____________. 四、2015高考试题选编6.（2015广东文）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为()2sin cos -=+θθρ，曲线2C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 222（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ______________ .7.（2015广东理）已知直线l 的极坐标方程为24sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ，点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛47,22πA ，则点A 到直线l 的距离为 ______________ .8.（2015安徽理）在极坐标系中，圆θρsin 8=上的点到直线()R ∈=ρπθ3距离的最大值为__________ .9.（2015北京理）在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离为 ______ .10.（2015湖南文）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为θρsin 2=，则曲线C 的直角坐标方程为 ___________ .11.（2015重庆理）已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=t y tx 11（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为42cos 2=θρ（4543,0πθπρ<<>），则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为 _________________ .12.（2015湖北理）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()0cos 3sin =-θθρ，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t t y tt x 11（t 为参数），l 与C 相交于B A ,两点，则=||AB ___________ .13.（2015新课标全国Ⅰ，10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线2:1-=x C ，圆()()121:222=-+-y x C ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为4πθ=（R ∈ρ），设2C 与3C 的交点为N M ,，求MN C 2∆的面积.14.（较难）（2015新课标全国Ⅱ，10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线⎩⎨⎧==ααsin cos :1t y t x C （t 为参数，0≠t ），其中πα<≤0，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρθρcos 32:,sin 2:32==C C .（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值.15.（2015江苏理）已知圆C 的极坐标方程为044sin 222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πθρρ，求圆C 的半径.16.（2015福建理）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=t y t x sin 32,cos 31（t 为参数）.在极坐标系（与在平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线l 的方程为()R m m ∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4sin 2πθρ.（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值.17.（2015湖南理）已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x l 213235:（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=. （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点M 的直角坐标为()3,5，直线l 与曲线C 的交点为B A ,，求||||MB MA ⋅的值.18.（2015陕西）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23213（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为θρsin 32=. （Ⅰ）写出圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 五、2014高考试题选编19.（2014安徽理）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=31t y t x （t 为参数），圆C 的极坐标方程是θρcos 4=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ）A.14B.142C.2D.2220.（2014北京理）曲线⎩⎨⎧+=+-=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）的对称中心 （ ）A. 在直线x y 2=上B. 在直线x y 2-=上C. 在直线1-=x y 上D. 在直线1+=x y 上21.（2011安徽理）在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛3,2π到圆θρcos 2=的圆心的距离为（ ）A.2B.942π+C.912π+ D.322.（2011北京理）在极坐标系中，圆θρsin 2-=的圆心的极坐标是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛2,1πB.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,1π C.()0,1 D.()π,1六、其他高考试题选编23.（2013新课标全国Ⅰ，10分）已知曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=t y tx sin 55cos 54（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρsin 2=. （Ⅰ）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求1C 与2C 交点的极坐标（πθρ20,0≤≤≥）.24.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=21t y t x （t 为参数）.在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为θρ2cos 213+=.（Ⅰ）直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围.25.（2012新课标全国，10分）已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且D C B A ,,,依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛3,2π.（Ⅰ）求点D C B A ,,,的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围.26.（2012福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点N M ,的极坐标分别为()0,2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛2,232π，圆C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=θθsin 23cos 22y x （θ为参数）. （Ⅰ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 与圆C 的位置关系.27.（2014皖南八校联考）若直线⎩⎨⎧-==t y t x l 412:（t 为参数）与曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==θθsin 5cos 5:m y x C （θ为参数）相切，则实数m 为__________.28.（2015江西联考）在极坐标系中，曲线θθρsin 4cos 2=的焦点的极坐标为__________.（规定：πθρ20,0≤≤≥）29.（2013广州调研）已知圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==2sin cos θθy x （θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为1cos sin =+θρθρ，则直线l 截圆C 所得的弦长为__________.30.（2015长春质量监测）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=ty tx 2122（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θρ2sin 312+=.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）试判断曲线1C 与2C 是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，请说明理由.31.（2014大连双基测试）在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin 4cos 44y x （α为参数），圆2C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ββsin 22cos 2y x （β为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求1C 和2C 的极坐标方程；（Ⅱ）1C 和2C 交于P O ,两点，求P 点的一个极坐标.32.（2014广州综合测试）在极坐标系中，直线()a =-θθρcos sin 与曲线θθρsin 4cos 2-=相交于B A ,两点，若32||=AB ，则实数a 的值为___________.33.（2013惠州调研）在极坐标系中，已知两点B A ,的极坐标分别为⎪⎭⎫ ⎝⎛3,3π、⎪⎭⎫⎝⎛6,4π，则AOB ∆（其中O 为极点）的面积为______________. （附：海伦公式 ()()()c p b p a p p S ---=∆，其中()c b a p ++=21） 34.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=-=ty tx 312（t 为参数），圆C 的极坐标方程为0sin 2=+θρ，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为__________.35.已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 31cos 33y x （θ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为06cos =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ. （Ⅰ）写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程； （Ⅱ）求圆C 截直线l 所得的弦长.36.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 4cos 4y x （θ为参数），直线l 经过点()2,1P ，倾斜角6πα=.（Ⅰ）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求||||PB PA ⋅的值.37.在极坐标系中，曲线C 的方程为θρ22sin 213+=，点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,22πR .（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标.38.以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx sin 2cos 2（t 为参数）. （Ⅰ）若曲线C 在点()1,1处的切线为l ，求l 的极坐标方程；（Ⅱ）若点A 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛4,22π，且当参数],0[π∈t 时，过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同的交点，试求直线m 的斜率的取值范围.39.已知圆锥曲线C ：⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin 3cos 2y x （α为参数）和定点()3,0A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点.（Ⅰ）求直线2AF 的普通方程；（Ⅱ）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求||||||11NF MF -的值.40.已知曲线1C 的极坐标方程为13cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πθρ，曲线2C 的极坐标方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4cos 22πθρ.（Ⅰ）将曲线1C 、2C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点A 是曲线1C 上的一点，点B 是曲线2C 上的一点，求A 、B 两点间的最短距离.第21 页，共16 页第22 页，共16页 41.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧--=+=mt y m t x 233（t 为参数），若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()θθρcos 82cos 1=-. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相切，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积.。
专题11.1 坐标系与参数方程(全国卷文科数学专用)-5年高考真题与优质模拟题(原卷版+解析版)
专题11.1 坐标系与参数方程A 组 5年高考真题1．（2020全国Ⅰ文理21）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．2．（2020全国Ⅱ文理21）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．3．（2020全国Ⅲ文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点．（1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．4．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=5．（2019全国II 文理22）在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P ． （1）当时，求及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．6．(2019全国III 文理22）如图，在极坐标系Ox 中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M 上，且P 的极坐标．000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM 0=3θπ0ρ(2,0)A )4B π)4C 3π(2,)D πAB BC CD (1,0)(1,)2π(1,)π1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P ||OP =7．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．8．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．9．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．10．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l ，求a ．11．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．12．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x t y kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．13．（2016全国I 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t=⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=． （I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．14．（2016全国II 文理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，AB =l 的斜率．15．（2016全国III 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．专题11.1 坐标系与参数方程A 组 5年高考真题1．（2020全国Ⅰ文理21）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=． （1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标． 【解析】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），两式平方相加得221x y +=，∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆．（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数），∴0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin x tt y t⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），两式相加得曲线1C 方程为1x y +=，得1y x =-，平方得21,01,01y x x x y =-+≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程1,41630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=136=（舍去），11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44．2．（2020全国Ⅱ文理21）已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）．（1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程．【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=，由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=．（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =， ∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 3．（2020全国Ⅲ文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数且1t ≠），C 与坐标轴交于,A B 两点．（1）求AB ；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．【解析】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A ． 令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -．AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=．由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=．4．（2019全国1文理22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值．【解析】（1）因为，且，所以C 的直角坐标方程为．的直角坐标方程为．（2）由（1）可设C 的参数方程为（为参数，）．C 上的点到．当时，取得最小值7，故C 上的点到．5．（2019全国II 文理22）在极坐标系中，O 为极点，点在曲线上，直线l 过点且与垂直，垂足为P ．2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=221111t t --<≤+()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+221(1)4y x x +=≠-l 2110x ++=cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩αππα-<<l π4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=2π3α=-π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭l 000(,)(0)M ρθρ>:4sin C ρθ=(4,0)A OM（1）当时，求及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解析】（1）因为在C 上，当时，由已知得． 设为l 上除P 的任意一点．在中， 经检验，点在曲线上．所以，l 的极坐标方程为． （2）设，在中，即．． 因为P 在线段OM 上，且，故的取值范围是．所以，P 点轨迹的极坐标方程为 ．6．(2019全国III 文理22）如图，在极坐标系Ox 中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧．（1）分别写出，，的极坐标方程；（2）曲线由，，构成，若点在M 上，且P 的极坐标．【解析】（1）由题设可得，弧所在圆的极坐标方程分别为，，0=3θπ0ρ()00,M ρθ03θπ=04sin 3ρπ==||||cos23OP OA π==(,)Q ρθRt OPQ △cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭(2,)3P πcos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(,)P ρθRt OAP △||||cos 4cos ,OP OA θθ== 4cos ρθ=AP OM ⊥θ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π(2,0)A )4B π)4C 3π(2,)D πAB BC CD (1,0)(1,)2π(1,)π1M AB 2M BC 3M CD 1M 2M 3M M 1M 2M 3M P ||OP =,,AB BC CD 2cos ρθ=2sin ρθ=，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为，的极坐标方程为． （2）设，由题设及（1）知若，则，解得； 若，则或； 若，则． 综上，P 的极坐标为或或或．7．(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=． (1)求2C 的直角坐标方程；(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【解析】(1)由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43k =-或0k =．经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或43k =．2cos ρθ=-1M π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭2M π3π2sin 44ρθθ⎛⎫=⎪⎝⎭3M 3π2cos π4ρθθ⎛⎫=-⎪⎝⎭(,)P ρθπ04θ2cos θ=π6θ=π3π44θ2sin θ=π3θ=2π3θ=3ππ4θ2cos θ-=5π6θ=π6⎫⎪⎭π3⎫⎪⎭2π3⎫⎪⎭5π6⎫⎪⎭经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23y x =-+． 8．（2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α（t 为参数）．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y ． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ； 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1=x ．(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t ．①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120+=t t ． 又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2α==-k ． 9．（2018全国Ⅲ）[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=． 当2απ=时，l 与O 交于两点． 当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为y kx =l 与O 交于两点当且仅当1<，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数，44απ3π<<)． 设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t满足2sin 10t α-+=．于是A B t t α+=，P t α．又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是2,22x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 10．（2017全国Ⅰ文理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数)．(1)若1a =-，求C 与l 的交点坐标；(2)若C 上的点到l，求a ．【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=． 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=．由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-．（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为d =．当4a -≥时，d=8a =；当4a <-时，d=16a =-． 综上，8a =或16a =-．11．（2017全国Ⅱ文理）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．(1)M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为(2,)3π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（1）设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>，M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>． 由椭圆知||OP ρ=，14||cos OM ρθ==．由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>，因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠．（2）设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>．由题设知||2OA =，4cos B ρα=，于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-2|sin(2)|32πα=--2+≤ 当12πα=-时，S取得最大值2，所以OAB ∆面积的最大值为2+．12．（2017全国Ⅲ文理）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2x ty kt=+⎧⎨=⎩ (t 为参数)，直线2l 的参数方程为2x m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：(cos sin )ρθθ+-0=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12，消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212．设(,)P x y ，由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212，消去k 得()x y y -=≠2240，所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240．（2）C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0＜＜2，联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+，故tan θ=-13，从而cos sin θθ2291=，=1010，代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5，所以交点M．13．（2016全国I 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4cos ρθ=． （I ）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（II ）直线3C 的极坐标方程为0=a θ，其中0a 满足0tan =2a ，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ． 【解析】(1)（均为参数），∴①∴为以为圆心，为半径的圆．方程为． ∵，∴，即为的极坐标方程．(2)，两边同乘得，，即②：化为普通方程为，由题意：和的公共方程所在直线即为，①—②得：，即为，∴，∴．14．（2016全国II 文理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=． （I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B两点，AB =l 的斜率．cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩t ()2221x y a +-=1C ()01，a 222210x y y a +-+-=222sin x y y ρρθ+==，222sin 10a ρρθ-+-=1C 24cos C ρθ=：ρ22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=()2224x y -+=3C 2y x =1C 2C 3C 24210x y a -+-=3C 210a -=1a =【解析】（Ⅰ）整理圆的方程得2212110x y +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．(Ⅱ)记直线的斜率为k ，则直线的方程为0kx y -=，由垂径定理及点到直线距离公式知：=22369014k k =+，整理得253k =，则k =． 15．（2016全国III 文理）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=．（Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．【解析】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=． （Ⅱ）由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值，即为P 到2C 的距离()d α的最小值，()sin()2|3d παα==+-．当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时，()d α取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为31(,)22．。
坐标系与参数方程联系题(真题)(含答案)
1、在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ()θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ()θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为()1，π2即为所求．2、已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ()θ－π4＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ()θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ()cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ()θ＋π4＝22.3、(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程； (2)设点A 的极坐标为()2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·||sin ()α－π3＝2||sin ()2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.4、(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1， 所以△C 2MN 的面积为12.5．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a . 解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆． 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.6．(2018·洛阳模拟)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ()θ＋π6＝53，射 线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4， 得圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎨⎧ρ＝4sin θ，θ＝π6，解得ρ1＝2，θ1＝π6.设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ()θ＋π6＝53，θ＝π6，解得ρ2＝5，θ2＝π6.所以|PQ |＝ρ2－ρ1＝3.7．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ()θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ()θ－π3＝1得ρ()12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ()233，π2. (2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为()0，233. 所以P 点的直角坐标为()1，33，则P 点的极坐标为()233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)． 8．(2018·福建质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，曲线C 3：θ＝π6(ρ>0)，A (2,0)．(1)把C 1的普通方程化为极坐标方程；(2)设C 3分别交C 1，C 2于点P ，Q ，求△APQ 的面积． 解：(1)因为C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x 2＋y 2－4x ＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ. (2)依题意，设点P ，Q 的极坐标分别为()ρ1，π6，()ρ2，π6. 将θ＝π6代入ρ＝4cos θ，得ρ1＝23，将θ＝π6代入ρ＝2sin θ，得ρ2＝1，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝23－1.依题意，点A (2,0)到曲线θ＝π6(ρ>0)的距离d ＝|OA |sin π6＝1，所以S △APQ ＝12|PQ |·d ＝12×(23－1)×1＝3－12.9．(2018·贵州适应性考试)在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α()π6＜α≤π4的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B 异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．解：(1)由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ， 两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y . (2)射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6＜α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α， ∴|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α.∵π6＜α≤π4， ∴|OA |·|OB |的取值范围是(]433，4.(1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)．(4)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a 1cos θ，y ＝b tan θ (θ为参数)．10、(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数)． (1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，()－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为 d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917. 由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8； 当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16. 综上，a ＝8或a ＝－16.2．结论要记根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. (1)弦长l ＝|t 1－t 2|；(2)弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； (3)|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.11．(2018·湖南五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ (θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，得t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为()92，332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得(cos 2α－sin 2α)t 2＋6cos αt ＋8＝0， 则|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝||8cos 2α－sin 2α＝||8(1＋tan 2α)1－tan 2α，由已知得tan α＝2，故|PA |·|PB |＝403.12．(2018·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos ()θ＋π4＝－ 2.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由ρcos ()θ＋π4＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2,0)，B (0,2)， 化为极坐标为A (2，π)，B ()2，π2， 设点P 的坐标为(－5＋2cos t,3＋2sin t )， 则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝||－6＋2cos ()t ＋π42.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2. 所以△PAB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4.13、在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的极坐标为()23，π6，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)．(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 中点M 到直线l ：ρcos θ＋2ρsin θ＋1＝0距离的最小值． 解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 可得点P 的直角坐标为(3，3)，由⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α，得x 2＋(y ＋3)2＝4， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋3)2＝4. (2)直线l 的普通方程为x ＋2y ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝－3＋2sin α(α为参数)，设Q (2cos α，－3＋2sin α)， 则M ()32＋cos α，sin α， 故点M 到直线l 的距离d ＝||32＋cos α＋2sin α＋112＋22＝||5sin (α＋φ)＋525≥－5＋525＝52－1()tan φ＝12， ∴点M 到直线l 的距离的最小值为52－1.14、．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)， 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.15．(2018·武昌调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t(t 为参数，a >0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρcos ()θ＋π4＝－2 2.(1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝2时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方，求a 的取值范围． 解：(1)由ρcos ()θ＋π4＝－22， 得22(ρcos θ－ρsin θ)＝－22， 化成直角坐标方程，得22(x －y )＝－22， 即直线l 的方程为x －y ＋4＝0. 依题意，设P (2cos t,2sin t )， 则点P 到直线l 的距离d ＝|2cos t －2sin t ＋4|2＝||22cos ()t ＋π4＋42＝22＋2cos ()t ＋π4.当cos ()t ＋π4＝－1时，dmin ＝22－2.故点P 到直线l 的距离的最小值为22－2. (2)∵曲线C 上的所有点均在直线l 的右下方， ∴对∀t ∈R ，有a cos t －2sin t ＋4>0恒成立， 即a 2＋4cos(t ＋φ)>－4()其中tan φ＝2a 恒成立， ∴a 2＋4<4， 又a >0，∴0<a <2 3. 故a 的取值范围为(0,23)．16．已知P 为半圆C ：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程． 解：(1)由已知，点M 的极角为π3，且点M 的极径等于π3，故点M 的极坐标为()π3，π3. (2)由(1)知点M 的直角坐标为()π6，3π6，A (1,0)． 故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋()π6－1t ，y ＝3π6t(t 为参数)．17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R)．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．解：(1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，∴其普通方程为x －y －a ＋1＝0.∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， ∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，将曲线C 1的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程，化简得2t 2－22t ＋1－4a ＝0. ∴Δ＝(－22)2－4×2(1－4a )>0，即a >0， t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝1－4a2.根据参数方程的几何意义可知|PA |＝2|t 1|，|PB |＝2|t 2|， 又|PA |＝2|PB |可得2|t 1|＝2×2|t 2|， 即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2.∴当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝2，t 1·t 2＝2t 22＝1－4a2，解得a ＝136，符合题意． 当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝2，t 1·t 2＝－2t 22＝1－4a 2，解得a ＝94，符合题意．综上，实数a ＝136或a ＝94.318．(2018·贵阳模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋3cos t ，y ＝5＋3sin t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若A ，B 分别为曲线C 1，C 2上的动点，求当AB 取最小值时△AOB 的面积．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝4＋3cos t ，y ＝5＋3sin t(t 为参数)得C 1的普通方程为(x －4)2＋(y －5)2＝9， 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ， 将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入上式， 得C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)如图，当A ，B ，C 1，C 2四点共线，且A ，B 在线段C 1C 2上时，|AB |取得最小值，由(1)得C 1(4,5)，C 2(0,1)，则kC 1C 2＝5－14－0＝1， ∴直线C 1C 2的方程为x －y ＋1＝0， ∴点O 到直线C 1C 2的距离d ＝12＝22， 又|AB |＝|C 1C 2|－1－3＝(4－0)2＋(5－1)2－4 ＝42－4，∴S △AOB ＝12d |AB |＝12×22×(42－4)＝2－ 2.19．(2018·广州综合测试)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝22cos ()θ－π4.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝3－t ，y ＝1＋t(t 为参数)消去t 得x ＋y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －4＝0.由ρ＝22cos ()θ－π4＝22()cos θcos π4＋sin θsin π4＝2cos θ＋2sin θ， 得ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式， 得x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2. 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. (2)法一：设曲线C 上的点P (1＋2cos α，1＋2sin α)，则点P 到直线l 的距离d ＝|1＋2cos α＋1＋2sin α－4|2＝|2(sin α＋cos α)－2|2＝||2sin ()α＋π4－22.当sin ()α＋π4＝－1时，d max ＝2 2.所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2. 法二：设与直线l 平行的直线l ′：x ＋y ＋b ＝0， 当直线l ′与圆C 相切时，|1＋1＋b |2＝2， 解得b ＝0或b ＝－4(舍去)， 所以直线l ′的方程为x ＋y ＝0. 因为直线l 与直线l ′的距离d ＝|0＋4|2＝2 2. 所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2 2.20．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和()32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4||sin ()α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4. 21．已知直线L 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2 θ.(1)求直线L 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与直线L 夹角为π3的直线l ，设直线l 与直线L 的交点为A ，求|PA |的最大值． 解：(1)由⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)，得L 的普通方程为2x ＋y －6＝0， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得直线L 的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ－6＝0，由曲线C 的极坐标方程，知ρ2＋3ρ2cos 2θ＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1. (2)由(1)，知直线L 的普通方程为2x ＋y －6＝0，设曲线C 上任意一点P (cos α，2sin α)，则点P 到直线L 的距离d ＝|2cos α＋2sin α－6|5. 由题意得|PA |＝d sin π3＝415||2sin ()α＋π4－315，所以当sin ()α＋π4＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为415(3＋2)15. 22．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，将曲线C 1上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)过坐标原点O 且关于y 轴对称的两条直线l 1与l 2分别交曲线C 2于A ，C 和B ，D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线l 1的普通方程．解：(1)由ρ＝2，得ρ2＝4，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.故由题意可得曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1. 所以曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (2)设四边形ABCD 的周长为l ，点A (2cos θ，sin θ)，则l ＝8cos θ＋4sin θ＝45sin(θ＋φ)，()其中sin φ＝25，cos φ＝15 所以当θ＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，l 取得最大值，最大值为45，此时θ＝2k π＋π2－φ(k ∈Z)， 所以2cos θ＝2sin φ＝45，sin θ＝cos φ＝15， 此时A ()45，15. 所以直线l 1的普通方程为x －4y ＝0.23．(2018·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈()π2，π.(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4， ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ.由ρ＝23，得sin θ＝32， ∵θ∈()π2，π，∴θ＝2π3. (2)易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)， 联立⎩⎨⎧ θ＝2π3(ρ≥0)，ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3.∴点B 的极坐标为()43，2π3，∴|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.。
坐标系与参数方程全国卷真题
劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时；花开堪折直须折《坐标系与参数方程》2017高考试题选编x 3cos1.（全国卷I）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参y sinx a 4t数方程为（t为参数）•y 1 t（1 ）若a 1，求C与I的交点坐标；（2 ）若C上的点到I距离的最大值为,17，求a.2.（全国卷n）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，G的极坐标方程为cos 4.（1）M为曲线G上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM | |OP| 16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为（2,—），点B在曲线C2上，求△ OAB面积的最大值.3x 2 t3.（全国卷川）在直角坐标系xOy中，直线I,的参数方程为（t为参数），直线l2的参数y ktx轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线方程为m（m为参.设l1与I2的交点为P，当k变化时, P的轨迹为曲线C .（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设I—: (cos sin ) - 2 0 , M 为I —与C的交点，求M的极径.4.（天津卷理）在极坐标系中，直线 4 COs（ 6）1 02si n的公共点个数为与圆4页，共16页6.（北京卷）在极坐标系中，点A 在圆22 cos 4 sin的最小值为 ___________ . 三、2016高考试题选编以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 :4cos（I ）说明5是哪一种曲线，并将 C 1的方程化为极坐标方程; 0,其中0满足tan °2,若曲线C 1和C 2的公共点都在C 3上，2. （全国卷H ）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 6 2 y 2 25 .（1） 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2） 直线I 的参数方程是x tcos, （t 为参数），|与C 交于A , B 两点，|AB| .10，求I 的y tsi n斜率.3. （全国卷川）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x'3cos（为参数）.以坐标原y sin点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为sin— 2、2.4（1）写出G 的普通方程和C 2的直角坐标方程；第3页，共16页5.（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为y（t 为参数），曲线C的参数方程为2s 22.2 s（s 为参数） .设P 为曲线C 上的动点，求点 P 到直线I 的距离的最小值4 0上，点P 的坐标为（1,0），则| AP|1.（全国卷I ）在直角坐标系 xOy 中，曲线C 1的参数方程为a cost 1 a si nt（t 为参数,（H ）直线C 3的极坐标方程为求a.（2）设点P 在C i 上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标5.（北京卷）在极坐标系中，直线 cos -,3 sin 1 0与圆四、2015高考试题选编6. （ 2015广东文）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,与C 2交点的直角坐标为 ___________________则点A 到直线l 的距离为 ____________________4.（江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线I 的参数方程为 （t 为参数） ，椭圆C的参数方程为x cos y 2sin为参数） .设直线I 与椭圆C 相交于A ， B 两点，求线段AB 的长.2cos 交于A, B 两点，则| AB |曲线G 的极坐标方程为cos sin 2，曲线C 2的参数方程为t 2（t 为参数），则G7. （ 2015广东理）已知直线l 的极坐标方程为2 sin42，点A 的极坐标为"G8. （ 2015安徽理）在极坐标系中，圆8s"上的点到直线3R 距离的最大值为9. （ 2015北京理）在极坐标系中，点2, 到直线 cos 3sin 6的距离为310. （2015湖南文）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标方程为2sin ，则曲线C 的直角坐标方程为11. （2015重庆理）已知直线lx1的参数方程为x（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的y 1 t正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos2 4 （ 0,35、），则直44线l 与曲线C 的交点的极坐标为12.（ 2015湖北理）在平面直角坐标系 xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线I 的极坐标方程为sin 3cos 0，曲线C 的参数方程为交于A, B 两点，贝U |AB| ____________ .13. （ 2015新课标全国I, 10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1 :x 2 ,圆2 2C 2： x 1 y 21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .（I ）求C 1, C 2的极坐标方程； （n ）若直线C 3的极坐标方程为（ R ）,设C 2与C 3的交点为M,N ，求C 2MN 的面积.4x t cos14. （较难）（2015新课标全国n, 10分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 1 :（ t 为y tsi n参数，t 0）,其中0 ,在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2: 2sin , C 3:2、、3cos .（I ）求C 2与C 3交点的直角坐标；1t（ t 为参数）1t11. （2015湖南文）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐（n）若C1与C2相交于点A , C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值.4 0，求圆C 的半径.15. （2015江苏理）已知圆 C 的极坐标方程为22、、2 sin极坐标系（与在平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点轴）中，直线1的方程为.，2 sin 忆mmR（I ）求圆C 的普通方程及直线I 的直角坐标方程； （H ）设圆心C 到直线I 的距离等于2,求m 的值.x 5 — t17. （2015湖南理）已知直线I :2（ t 为参数）•以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极y 、、3 厶2轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2cos .（I ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（H ）设点M 的直角坐标为 5,3，直线I 与曲线C 的交点为A,B ，求|MA| | MB |的值.3 -t为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为 2. 3 sin（I ）写出圆C 的直角坐标方程；（n ） P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求 P 的直角坐标.五、2014咼考试题选编19. （2014安徽理）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种16. （2015福建理）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为x 1 3C0St，（ t 为参数）.在 y 2 3sintO 为极点，以x 轴非负半轴为极18. （2015陕西）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），以原点x t 1坐标系中取相同的长度单位•已知直线I 的参数方程是（t 为参数），圆C 的极坐标方程是y t 34cos , 则直线1被圆C 截得的弦长为（）A. ,14B.2、、14C.2D.2 220.（2014北京理）曲线x 1 cos y 2 sin（为参数）的对称中心()A. 在直线y 2x 上B.在直线y 2x 上C. 在直线y x 1上 D.在直线y x 1上21. （2011安徽理）在极坐标系中，点2,—至U 圆3A. 1 ,—B.1 ,C.1,0D22六、其他咼考试题选编（I ）把5的参数方程化为极坐标方程； （H ）求C 1与C 2交点的极坐标（0,0 2 ）2cos 的圆心的距离为（A. 2B.D.22. （2011北京理）在极坐标系中，圆2si n 的圆心的极坐标是（ 23. （2013新课标全国I,10分）已知曲线C 1的参数方程为5cost 5sint（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为2si n第13页，共16页x t 124.在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为y t 2（t 为参数）.在以原点为极点，x轴的（I ）直接写出直线I 的普通方程、曲线 C 的直角坐标方程； （n ）设曲线 C 上的点到直线I 的距离为d ，求d 的取值范围都在C 2上，且A,B,C,D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 2,.3（I ）求点A,B,C, D 的直角坐标；（n ）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2 |PB|2 |PC |2 |PD|2的取值范围26. （2012福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系•已知直线I 上两点M,N 的极坐标分别为2,0 , 空？，一,圆C 的参数方程为2 2（n ）判断直线I 与圆C 的位置关系相切，则实数 m 为 ______________正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为25. （2012新课标全国，10分）已知曲线 C 1的参数方程是x 2 cos y 3sin（为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是2.正方形ABCD 的顶点x 2 2cos y ■. 3 2sin（为参数）（I ）设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程;27. （2014皖南八校联考）x 若直线I:2tx ■■- 5 cos（t 为参数）与曲线C :l1 4ty m 、5sin（为参数）32. （2014广州综合测试）在极坐标系中，直线 sin cos a 与曲线 2cos 4sin 相交于理由•标系.（I ）求C 1 和 C 2的极坐标方程;（n ） G 和C 2交于0,P 两点，求P 点的一个极坐标28. （2015江西联考）在极坐标系中，曲线cos 24si n 的焦点的极坐标为.（规定:0,0 2 )x 29. （2013广州调研）已知圆 C 的参数方程为ycossin （为参数），以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 I 的极坐标方程为 sincos 1，则直线I 截圆C 所得的弦长为30. （2015长春质量监测）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为y2t（ t 为参数），■ 2t以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2的极坐标方程为2 .1 3si n 2（I ）求曲线 Ci 的普通方程与曲线 C 2的直角坐标方程;（n ）试判断曲线 C i 与C 2是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离;若不存在, 请说明31. （2014大连双基测试）在直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为x 4 4cos y 4si n（为参数），圆C 2的参数方程为x 2cos y 2 2sin（为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐A,B 两点，若|AB| 2上，则实数a 的值为37.在极坐标系中，曲线 C 的方程为31 2si n 233.（2013惠州调研）在极坐标系中，已知两点A,B 的极坐标分别为 3,—335. 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为 x 3 3c °s（为参数），以原点 o 为极y 1 3si n点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线丨的极坐标方程为cos —0.6（I ）写出直线丨的直角坐标方程和圆 C 的普通方程； （n ）求圆C 截直线丨所得的弦长.x 4cos36. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆C 的参数方程为（为参数），直线丨经过点P 1,2 ,y 4si n倾斜角 一.6（I ）写出圆C 的标准方程和直线l 的参数方程；（n ）设直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求|PA||PB|的值•（附：海伦公式 S. p p a1p b p c ，其中 p - a b c )234.已知直线丨的参数方程为x 2 t （t 为参数），圆C 的极坐标方程为2si n0，若y 1 、3t中O 为极点）的面积为 __________________ P 的直角坐标为在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小,则点4,，贝U AOB (其6(I)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直 角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(H)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS 周 长的最小值，及此时 P 点的直角坐标•38.以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的参数方程为x 2 cost 、，“、、”， (t 为参数). y , 2 si nt(I)若曲线C 在点1,1处的切线为I ，求I 的极坐标方程；2・、2,，且当参数t [0,]时，过点A 的直线m 与曲线C 有两个不同4的交点，试求直线 m 的斜率的取值范围x 2cosl39.已知圆锥曲线 C :( 为参数)和定点 A 0 , , 3 , F ,、F 2是此圆锥曲线的左、右y 3si n隹占八、、八\、 ■(I)求直线 AF 2的普通方程；(n)经过点 片且与直线AF 2垂直的直线I 交此圆锥曲线于 M 、N 两点，求| |MF ! | |Nh ||的值.(I)将曲线 G 、C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(n)若点 A 是曲线G 上的一点，点 B 是曲线C 2上的一点，求 A 、B 两点间的最短距离(n)若点A 的极坐标为 40.已知曲线G 的极坐标方程为cos1,曲线C 2的极坐标方程为2 , 2 cos4为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为1 cos2(I)求曲线C 的直角坐标方程；(n)若直线I 与曲线C 相切，求直线I 与坐标轴围成的三角形的面积41.在平面直角坐标系 xOy 中，直线I 的参数方程为x t .3m y .. 3t 2m(t 为参数)，若以坐标原点 O 8cos。
全国卷极坐标与参数方程
极坐标与参数方程(全国卷高考题)(2007)坐标系与参数方程：口 01和口。
2的极坐标方程分别为p =4cos 0, p =-4sin 0 .(I)把口 01和口 02的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过口 01, 口 02交点的直线的直角坐标方程.(2008)坐标系与参数方程:1X :cos 0 （0为参数）,曲线C 2： y= sin 0 (1)指出C 1, C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数;(2)若把C 1, C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线q, C 2'。
写出C 1', q 的参数方程。
J 与C 2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
已知曲线C 1： . 乙 (t 为参数)。
，2 -t 2I x = -4 + cos t ,(2009)已知曲线C ：〈 c .(t 为参数)，C ：1[ y = 3 + sin t ,2(I)化C 1, C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；冗I x = 3 + 21,(II)若C 上的点P 对应的参数为t = -, Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线J ： \( (t 1223 [y = -2 +1为参数)距离的最小值.x =1+1 cos a ,(2010)坐标系与参数方程：已知直线J ： {1[y = t sin a ,⑴当a =n 时，求C 1与c 2的交点坐标;(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A , P 为OA 的中点.当a 变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它 是什么曲线.x = 8cos 0,y 二 3sin0,（ ° 为参x =cos e(t 为参数),圆C 2：{y =sin 仇(e为参数)•(2011)坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为「= 2cos a (a为参数)，M是[y = 2 + 2sin aC1上的动点，P点满足OP = 2OM ,P点的轨迹为曲线C2(I )求C2的方程兀(II)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线e= y与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB .'x=2cos0”为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐y=3sin (2012)已知曲线C1的参数方程是＜Q 标系，曲线C2的极坐标方程是p=2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点n A的极坐标为(2, 5)(I)求点A、B、C、D的直角坐标；(II)设P为C1上任意一点，求IPAI2+ IPBI2 + IPCI 2+ |PD|2的取值范围。
坐标系与参数方程联系题(真题)(含答案)教程文件
4 因为 p 2— 2 2 p os( 9— 4) 2,n ncos 0cos4 +sin O sin^)所以圆O 2的直角坐标方程为x 2 + y 2— 2x — 2y —2= 0.(2)将两圆的直角坐标方程相减， 所以p 2— 2 2 p2,化为极坐标方程为pcos 9+p sin 9= 1, 即 p in( 9+扌)=二3、(2017全国卷H )在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C ’的极坐标方程为p os 0= 4.(1)M 为曲线G 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM| |OP|= 16,求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程; ⑵设点A 的极坐标为(2, 3) 解：(1)设P 的极坐标为(p, 9)(p>0), M 的极坐标为(p, 0( p>0). ，点B 在曲线C 2上，求△ OAB 面积的最大值.由题设知 |OP|= p, |OM|= pi —eg 9由 |OM| |OP|= 16, 得 C 2 的极坐标方程 p= 4cos 0p>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x — 2)2+ y 2= 4(X M 0). ⑵设点B 的极坐标为(PB , a ( PB >0),由题设知|OA|= 2, pB = 4cos a 于是△ OAB 的面积将(0,1)转化为极坐标为(1, ^) 即为所求.(1) 把圆O i 和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; ⑵求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解：(1)由 p= 2 知 p= 4,所以圆O ’的直角坐标方程为x 2 + y 2= 4. 1、在极坐标系下，已知圆 O : p= cos 9+ sin 9和直线I : psin ( 0— 4)= ¥( P‘ 0,0 三 9 2n)(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程;psi n(2)当9€ (0 , n 时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标. 解：(1)圆 O ： p= cos 9+ sin 9,即 p 2= pcos 9+ psin 9,故圆O 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 — x — y = 0,直线 l ： psin( 9-n )则直线l 的直角坐标方程为x — y +1= 0. ，即 psin 0— pcos 0= 1,⑵由⑴知圆O 与直线I 的直角坐标方程,x 2+y 2 — x — y =0,将两方程联立得解得 x — y + 1 = 0,x = 0,y = 1,即圆O 与直线I 在直角坐标系下的公共点为(0,1),2、已知圆O i 和圆。
选修4-4：坐标系与参数方程5年高考真题
选修4－4：坐标系与参数方程2008年宁夏 23、（本小题满分10分） 已知曲线C 1：co s ()sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数，曲线C 2：222()22x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数。
（1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数；（2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。
写出1'C ，2'C 的参数方程。
1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
2009年宁夏（23）（本小题满分10分）已知曲线C 1：4co s ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨=+⎩ （t 为参数）， C 2：8co s ,3sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。
（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P对应的参数为2t π=，Q 为C 2上的动点，求P Q 中点M 到直线332,:2x t C y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值。
2010宁夏23.（本小题满分10分） 已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．2011年宁夏(23)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2co s 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）M 是C 1上的动点，P 点满足2O P O M=uu u v uuuv ,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求A B .23.(2012课标全国,文23)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是2co s ,3sin xy ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D依逆时针次序排列,点A 的极坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上任意一点,求|P A |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2的取值范围. 解:(1)由已知可得A ππ2co s,2sin33⎛⎫ ⎪⎝⎭,B ππππ2co s ,2sin 3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,C ππ2co s π,2sin π33⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, D π3ππ3π2co s ,2sin 3232⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即A (1,3),B (-3,1),C (-1,-3),D (3,-1).(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S =|P A |2+|PB |2+|PC |2+|PD |2,则S =16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值范围是[32,52].练习题1、已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=，设直线L 的参数方程是为参数）t t y t x (22122⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=．（Ⅰ）将曲线C 的参数方程转化为普通方程；（Ⅱ）设直线L 与曲线C 相交于A 、B 两点，求线段AB 的长。
(完整版)坐标系与参数方程全国卷真题.docx
劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时；花开堪折直须折《坐标系与参数方程》2017 高考试题选编1. （全国卷Ⅰ）在直角坐标系x3cos为参数），直线l 的参xOy 中，曲线 C 的参数方程为（y sinx a4t 数方程为1（ t 为参数）.y t（ 1）若a1，求 C 与 l 的交点坐标；（ 2）若C上的点到l距离的最大值为17 ，求 a .2. （全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4 .（ 1）M为曲线C1上的动点，点P 在线段OM上，且满足| OM | | OP |16 ，求点P的轨迹 C2的直角坐标方程；（ 2）设点A的极坐标为(2 ,) ，点B在曲线 C2上，求△ OAB 面积的最大值.33. （全国卷Ⅲ）在直角坐标系x2tl2的参数xOy 中，直线 l1的参数方程为k t（ t 为参数），直线yx2m方程为m（ m 为参数）.设 l1与 l2的交点为P，当 k 变化时，P的轨迹为曲线 C .yk（ 1）写出C的普通方程；（ 2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )20 ，M为l 3与 C 的交点，求M的极径.4. （天津卷理）在极坐标系中，直线 4 cos() 1 0 与圆 2 sin的公共点个数为____.6x8t5. （江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为t（ t 为参数），曲线Cy2x 2s2的参数方程为（ s 为参数）.设P为曲线 C 上的动点，求点P 到直线l的距离的最小值.y 2 2 s6.（北京卷）在极坐标系中，点A在圆2 2 cos 4 sin40 上，点P的坐标为 (1, 0)，则 | AP |的最小值为 _________.三、 2016 高考试题选编1. （全国卷Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为x a cost0 ）.在y（ t 为参数， a1 a sin t以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 : 4 cos .（Ⅰ）说明 C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C3的极坐标方程为0 ，其中0 满足tan0 2 ，若曲线 C1和 C2的公共点都在C3上，求a .2. （全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 x 6 2y 2 25 .（ 1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程；（ 2）直线l的参数方程是x t cos10 ，求 l 的y，（ t 为参数）， l 与 C 交于 A ，B两点， | AB |t sin斜率 .3. （全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为x 3 cos（为参数）.以坐标原y sin点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin 2 2 .4（ 1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（ 2）设点P在C1上，点Q在C2上，求| PQ |的最小值及此时P 的直角坐标.x 11 t 24. （江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（ t 为参数），椭圆 C3y t2x cos的参数方程为（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.y 2sin5. （北京卷）在极坐标系中，直线cos 3 sin 10 与圆2cos交于A ，两点，则 | AB | B____________.四、 2015高考试题选编6. （ 2015广东文）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为cos sin 2 ，曲线 C2x t 2（ t 为参数），则 C1的参数方程为y 2 2 t与 C2交点的直角坐标为______________ .7. （ 2015 广东理）已知直线l的极坐标方程为 2 sin 2 ，点 A 的极坐标为 A 2 2 ,7，44则点 A 到直线 l 的距离为______________ .8. （ 2015安徽理）在极坐标系中，圆8 sin上的点到直线R距离的最大值为3__________ .9. （ 2015 北京理）在极坐标系中，点 2 ,到直线cos 3 sin6 的距离为______ .310. （ 2015湖南文）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为___________ .11. （ 2015 重庆理）已知直线l 的参数方程为x1t（ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的y1t正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 cos2 4 （0 ,35），则直44线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为_________________ .12. （ 2015 湖北理）在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，x1 t直线 l 的极坐标方程为sin 3 cos0，曲线 C 的参数方程为t（ t 为参数）， l 与 C 相y1tt交于 A , B 两点，则 | AB |___________ .13. （ 2015新课标全国Ⅰ， 10 分）在平面直角坐标系xOy中，直线C1: x 2 ，圆C2 : x 1 2y 2 21，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求 C1， C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线 C3的极坐标方程为（R ），设 C2与 C3的交点为 M , N ，求C2MN 的面积.414. （较难）（ 201510 分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线 C1x t cos新课标全国Ⅱ，:（ t 为y t sin参数， t 0 ），其中 0，在以 O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2 :2 sin , C3 : 2 3cos.（Ⅰ）求 C2与 C3交点的直角坐标；（Ⅱ）若C1与C2相交于点 A ， C1与C3相交于点 B ，求| AB | 的最大值.15. （ 2015 江苏理）已知圆 C 的极坐标方程为22 2 sin4 0 ，求圆 C 的半径 .416. （ 2015 福建理）在平面直角坐标系x 1 3cost, xOy 中，圆 C 的参数方程为2 （ t 为参数） . 在y3sin t极坐标系（与在平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴）中，直线 l 的方程为 2 sinm m R .4（Ⅰ）求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆心 C 到直线 l 的距离等于2，求 m 的值 .x53t17. （ 2015 湖南理）已知直线 l :2 （ t 为参数） . 以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极1 t y32轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 cos .（Ⅰ）将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点 M 的直角坐标为5, 3 ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A, B ，求 | MA | | MB | 的值 .x 3 1 t18. （ 2015 陕西）在平面直角坐标系xOy 中，直线 l 的参数方程为2（ t 为参数），以原点y3 t2 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为2 3 sin .（Ⅰ）写出圆 C 的直角坐标方程；（Ⅱ） P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标 .五、 2014 高考试题选编19. （ 2014安徽理）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位x t 1. 已知直线 l 的参数方程是t（ t 为参数），圆 C 的极坐标方程是y 34 cos，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为（）A.14B.2 14C.2D.2 2x 1 cos 为参数）的对称中心 （）20. （ 2014 北京理）曲线2 （ysinA.在直线 y 2x 上 B. 在直线 y 2x 上 C.在直线 yx 1 上D.在直线 y x1 上21. （ 2011 安徽理）在极坐标系中，点2 ,到圆 2cos的圆心的距离为（）322A.2B.4C.1D.39922. （ 2011 北京理）在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是（ ）A. 1 ,B. 1 ,C. 1, 0D. 1 ,22六、其他高考试题选编x 4 5 cost（ t 为参数），以坐标原23. （2013 新课标全国Ⅰ， 10 分）已知曲线 C 1 的参数方程为 5 5sin ty点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为2sin .（Ⅰ）把 C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求 C 1与 C 2 交点的极坐标（0 , 02） .x t1 24. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为t （ t 为参数）.在以原点O为极点，x轴的y2正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为3.1 2cos2（Ⅰ）直接写出直线l 的普通方程、曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线 C 上的点到直线l 的距离为 d ，求 d 的取值范围.25. （ 2012 新课标全国， 10 分）已知曲线C的参数方程是x 2 cos（为参数），以坐标原点1y3sin为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是 2 .正方形 ABCD 的顶点都在 C2上，且 A,B,C, D 依逆时针次序排列，点 A 的极坐标为 2 ,.3（Ⅰ）求点 A, B, C, D 的直角坐标；（Ⅱ）设 P 为 C1上任意一点，求 | PA |2| PB |2| PC |2| PD |2的取值范围.26. （ 2012 福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系 . 已知直线l上两点M , N的极坐标分别为 2 , 0， 2 3 ,2，圆 C 的参数方程为2x 22cos y （为参数） .3 2sin（Ⅰ）设 P 为线段 MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程；（Ⅱ）判断直线 l 与圆 C 的位置关系.x2t x 5 cos 27. （ 2014 皖南八校联考）若直线l :（ t 为参数）与曲线 C :y （为参数）y 1 4t m 5 sin 相切，则实数m 为 __________.28. （ 2015江西联考）在极坐标系中，曲线cos2 4 sin的焦点的极坐标为 __________. （规定：0 , 0 2 ）29. （ 2013x cos（为参数），以原点为极点，x 轴的广州调研）已知圆 C 的参数方程为siny2正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 1 ，则直线 l 截圆 C 所得的弦长为 __________.30. （ 2015 长春质量监测）在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为x22t（ t 为参数），y12t以原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2.1 3sin2（Ⅰ）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）试判断曲线C1与 C2是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，请说明理由 .31. （ 2014 大连双基测试）在直角坐标系xOy 中，圆 C1x 4 4cos的参数方程为（为参数），y4sin圆 C2x 2 cos为参数），以原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐的参数方程为（y 2 2sin标系 .（Ⅰ）求C1和C2的极坐标方程；（Ⅱ）C1和 C2交于O , P 两点，求P 点的一个极坐标.32. （ 2014广州综合测试）在极坐标系中，直线sin cos a 与曲线2cos 4 sin相交于A ,B 两点，若 | AB | 2 3 ，则实数 a 的值为 ___________.33.（2013 惠州调研） 在极坐标系中， 已知两点 A , B 的极坐标分别为 3 ,、 4 , ，则 AOB （其36中 O 为极点）的面积为 ______________.（附：海伦公式 Sp p a p b p c ，其中 p1 a b c ）2x 2 t C 的极坐标方程为2sin0 ，若34. 已知直线 l 的参数方程为1（ t 为参数），圆y3t在圆 C 上存在一点 P ，使得点 P 到直线 l 的距离最小，则点P 的直角坐标为 __________.35. 已知在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为x 3 3 cos （ 为参数），以原点O 为极y1 3sin点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos0 .6（Ⅰ）写出直线 l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程；（Ⅱ）求圆 C 截直线 l 所得的弦长 .36. 在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的参数方程为x 4cos （ 为参数），直线 l 经过点 P 1 , 2 ，y 4sin倾斜角.6（Ⅰ）写出圆 C 的标准方程和直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点，求 | PA | | PB | 的值 .37. 在极坐标系中，曲线C 的方程为23，点 R 22 ,. 1 2sin 24（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；（Ⅱ）设 P 为曲线C上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标.38. 以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的参数方程为x 2 cost（ t 为参数）.y 2 sin t（Ⅰ）若曲线 C 在点 1 ,1 处的切线为 l ，求 l 的极坐标方程；（Ⅱ）若点 A 的极坐标为 2 2 ,，且当参数t[0 , ] 时，过点A的直线 m 与曲线 C 有两个不同4的交点，试求直线m 的斜率的取值范围.x2cosA 0 , 3 ， F1、 F2是此圆锥曲线的左、右39. 已知圆锥曲线C：（为参数）和定点y 3 sin焦点 .（Ⅰ）求直线AF2的普通方程；（Ⅱ）经过点 F1且与直线 AF2垂直的直线 l 交此圆锥曲线于M 、N两点，求| | MF1|| NF1 | | 的值.40. 已知曲线C1的极坐标方程为cos1，曲线 C2的极坐标方程为 2 2 cos.34（Ⅰ）将曲线C1、 C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若点A是曲线C1上的一点，点 B 是曲线C2上的一点，求 A 、 B 两点间的最短距离.41. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x t3m（ t 为参数），若以坐标原点O y3t 2m为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为1 cos28cos .（Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线 C 相切，求直线l 与坐标轴围成的三角形的面积.第21 页，共 16 页第22 页，共 16 页。