1期望效用理论
投资决策中的期望效用理论研究
投资决策中的期望效用理论研究投资决策一直是一个冒险与机会并存的领域。
在这个领域中，投资者需要权衡风险与收益，并做出最佳的决策。
为了更好地理解投资决策的过程，许多经济学家研究了不同的理论和模型。
其中，期望效用理论是一个被广泛接受和运用的模型。
期望效用理论的核心概念是投资者行为受到其对收益和风险的主观看法影响。
研究者认为，投资者在进行决策时，并不仅仅考虑他们预期获得的收益，还考虑与之相关的风险。
期望效用理论通过引入效用函数来解释投资者决策的动机，把收益和风险量化为一个统一的度量。
利用期望效用理论，投资者可以比较不同投资选择的效用价值。
效用是一个主观的概念，每个人对相同收益和风险的看法可能不同。
在期望效用理论中，效用函数通常被假设为一个随收益增加而递减的曲线。
这意味着收益增加对投资者的效用提升较小。
同样，风险会以不同的方式影响投资者的效用。
相同的风险可能对不同的投资者产生不同的影响。
然而，期望效用理论并不是没有争议的。
一些经济学家提出了一些批评，主要涉及其基本假设的合理性。
例如，期望效用理论假设投资者是理性的，可以准确地评估和量化收益和风险。
然而，在现实世界中，投资者面临信息不完全和不确定性的困难。
这些困难可能导致他们对收益和风险的预期产生偏差。
为了解决这些问题，一些学者提出了修正的期望效用理论。
其中，最著名的是基于前景理论的模型。
前景理论认为，投资者更关注损失而不是收益，并且对损失的敏感度高于对同等大小收益的反应。
这种倾向被称为“损失厌恶”。
基于前景理论的模型提供了一种更全面和更真实的解释，以更好地解释投资者的行为。
除了期望效用理论和前景理论之外，还有其他一些理论和模型，用于研究投资决策的心理和行为因素。
例如，行为金融学研究了人们在投资决策中的偏见和错误行为，从而影响了他们的决策。
这些理论和模型为投资决策的研究提供了更广阔的视角，使我们能够更好地理解投资者的行为和决策过程。
综上所述，投资决策中的期望效用理论是一个重要而受欢迎的研究领域。
金融数学1-期望效用理论
23
序数效用函数定理证明
情况1. 当x～x*时，定义U (x) 1； 情况2. 当x～y*时，定义U (x) 0； 情况3. 当x* x y*时，性质2存在唯一的 （0,1)
使x～x* 1 y*, 此时我们定义U (x) 。
日常生活中，我们时常要比较不同商品或者服 务给我们生理、心理上带来的感受或者说效用 （utility）。
例如，看一场电影还是吃一块鸡腿，是需要经 过激烈思想斗争的，尤其是当荷包里所剩无几 的时候。
这便涉及到效用大小比较的问题。
5
在18世纪的古典经济学家眼中，效用和黄油、 大炮一样是看得见、摸得着的，他们把效用视为快 乐的代名词，看做是一个人的整个福利的指数。
若1 U (x) U ( y) 0,此时令1 U (x),2 U ( y),
由U的定义， x～1x* 11 y*, y～2 x* 12 y*
因为1 U (x) U ( y) 2 , 由性质1
必有x y。
29
（2）证明：x ~ y 当且仅当U (x) U ( y)。
必要性
任取x, y B，设x y， 证U (x) U ( y),
若x y与y x同时成立，则x和y偏好无差异，记作x ~ y。
若x y但y x不成立，则x严格地比y好，记作x y。
自返性保证了消费者对同一商品的偏好具有明显的一 贯性；
可比较性假定保证了消费者具备选别判断的能力； 传递性保证了消费者在不同商品之间选择的首尾一贯性。
12
通常认为这三条并没有给消费者施加过分严格 的限制条件，只要是消费者是理性的都可以做 到这一点。
要解构整个金融体系，要理解金融产品、资本市场、 金融中介在跨期资源配置中的所具有的功能作用及其 实现形式，投资者行为就是一个自然的起点。
第三章期望效用与前景理论1
U(X2)
pU(X1)+(1-p)U(X2)
U(pX1+(1-p)X2) U(X1)
B A
X1 pX1+(1-p)X2 X2
U(pX1+(1-p)X2) <pU(X1)+(1-p)U(X2)
13
3.1 期望效用理论
（3）风险中性
U(X2)
U(X1)
X1
pX1+(1-p)X2 X2
U(pX1+(1-p)X2) =pU(X1)+(1-p)U(X2)
10
3.1 期望效用理论
A：100%获得100美元
A：确定性收益100美元
B：50%获得200美元，50%什么都没
B：期望收益100美元
有
• 决策人偏好确定性所得，则属于风险厌恶
U(A)>U(B)
• 决策人偏好不确定
• 决策人不关心是确定性还是不确定性所得，则属于风险中性
实验结果大部分人选择了(A,D)
18
3.2 心理学实验对期望理论的挑战
问题1
选择A
选择B
收益 概率 收益 概率
100万 100% 500万 10%
100万 89%
0
1%
问题1
选择A
选择B
收益 概率 收益 概率
100万 11% 500万 10%
100万 89% 100万 89%
0
1%
问题2
选择C
选择D
收益 概率 收益 概率
100万 11% 500万 10%
0
89%
0
90%
问题1
选择A
选择B
收益 概率 收益 概率
期望效用理论与前景理论之比较
期望效用理论与前景理论之比较本文分析了传统的期望效用理论和前景理论的区别和各自的运用，并进一步展望了前景理论的发展。
标签：期望效用理论前景理论比较一、期望效用理论期望效用理论是经济学家在解决风险问题时经常使用的理论模型假设。
期望效用理论曾解释了著名的圣彼得堡悖论（St. Petersburg Paradox）。
圣彼得堡问题是一个赌博问题：其奖励机制非常简单，即掷一个硬币，奖励参与者，其中x 是第一次正面出现时已掷的次数，当第一次正面出现时，赌博结束。
被问及愿意支付的参与费时，很多参与者只愿意付2到3美元，但是，显然地，参与这个赌博的期望收益为无穷大：这样，就引出了期望效用最大化理论（相对于期望收益最大化）：假设效用函数为。
那么参与圣彼得堡赌博的期望效用为：×这同样也解释了为什么参与者只愿意付出2到3美元的现象。
事实上，即使大多数从事非期望效用理论或更广义地讲，研究行为经济学的学者，也承认大多数的个体在简单风险情形下，仍遵循期望效用理论。
但自从出现了阿莱悖论（Allais Paradox）以后，期望效用理论框架出现了危机，实证经济学家做了相当的工作来解释阿莱悖论，以及一些其他的非理性行为。
这其中又可分为两类，一类处于挽救期望效用理论的角度，发展了一般化的期望效用理论，如概率加权，秩独立期望效用理论（RankDependent Expected Utility）、Quiggin 的期待效用（Anticipated Utility）等；另一类完全放弃了期望效用理论框架，直接从解释行为的实证角度出发，利用实验，发展了非期望效用理论，代表性的有Kahneman 和Tversky 的前景理论（Prospect theory）、Yarri 的含糊回避效用（Ambiguity aversion）等。
Savage 可能是第一个被用来验证阿莱悖论的被试验者，他在意识到自己的初次选择违背了期望效用中的独立性时，立即修正了选择，并认为只要表述更清楚，个体的选择总是符合期望效用的。
预期效用理论的含义、缺陷
预期效用理论的含义、缺陷预期效用理论是一种描述个体在风险环境下决策时所遵循的原则或规则的理论，它的基本思想是将不确定性和风险考虑到决策过程中，并试图以一种理性的、系统化的方式来描述这种决策过程。
1. 预期效用理论的含义预期效用理论的基本假设是，一个理性的决策者会在给定的选择集合中，选择期望效用最大的选项。
这里的效用是指个体从某种结果中获得的满足程度，它可以是正的，也可以是负的。
例如，一个决策者可以选择赌博或储蓄，每种选择都有可能带来不同的结果，如财富的增加或减少，而每种结果都会给决策者带来不同的效用。
预期效用理论的核心思想是将不确定性和风险考虑到决策过程中，并通过计算每种可能结果的预期效用来评估每个选项的风险和收益。
预期效用理论认为，一个理性的决策者应该选择预期效用最大的选项，即使在面对不确定性或风险时也是如此。
例如，假设有两台洗衣机可供选择，一台价格较低但洗涤效果较差，另一台价格较高但洗涤效果更好。
如果个体对洗涤效果非常重视，那么他们可能会选择价格较高的洗衣机；但如果他们对价格敏感度更高，他们可能会选择价格较低的洗衣机。
在这种情况下，个体会根据他们对洗涤效果和价格的偏好来评估两种选择的期望效用，并选择能够最大化预期效用的那个方案。
2. 期望效用函数预期效用理论通过期望效用函数来描述决策者的期望效用与风险之间的关系。
期望效用函数的一般形式如下：U(x) = Σ(probability of outcome * utility of outcome)其中，x表示决策的结果，probability of outcome表示x出现的概率，utility of outcome表示x的效用。
期望效用函数对每个可能的决策结果计算其预期效用，并将这些预期效用进行加总，以得出每个选择的期望效用。
期望效用函数的一个重要性质是它满足风险厌恶条件，也就是说，随着风险的增加，期望效用函数的值会减小。
这是因为在面对高风险的选择时，人们通常会更加谨慎和保守。
期望效用理论公式
期望效用理论公式
期望效用理论是一个关于经济学的非常基础的理论，也是人们研究决策行为的
重要的基础原理之一。
期望效用理论的基本原则可以分为以下三个关键部分：首先，人们在做选择时会考虑期望效用，而期望效用指的是人对某一结果发生的可能概率乘以该结果发生时带给自己的感知价值；其次，人们会为较高的期望效用而做选择，以此来最大化自己的利益；最后，期望效用会随着利润拿到的期望而改变，从而影响人们的决策行为。
期望效用理论的具体计算公式描述为：E=∑（Pn*Vn），其中E 为期望效用，
P 为事件n发生的可能性，V 为事件n发生时带来的期望价值。
P 和V 的乘积正
是一个人做出此次决策的参考值，可以说是决策的基石。
期望效用理论在生活中也十分普通，比如在做投资时，人们因为有概率原因会
偏向投资期望效用更高的项目，而对于期望差的项目反之；又比如就业和谈恋爱时，也会有期望效用的考虑，人们会选择拥有比较高期望效用的工作或者对象。
由此可见，期望效用理论在经济学领域和日常生活中都有着广泛的运用。
总而言之，期望效用理论是一套实用的经济学理论，其基本原理可以用于衡量
不同的决策的期望效用，同时，也可以用于日常生活中的决定和选择，使人们能够更好地从投资、就业、恋爱等方面发挥自身优势，从而最大化自身利益。
第一章 期望效用函数理论
ECJTU xu long
1.3.2马科维茨风险溢价
( ) 设Θ w0, h 满足下列条件
( ( )) V w0 − Θ w0, h = pV (w0 + h1 ) + (1－p)V (w0 + h2 )
更一般地，V ⎡⎣E (w) − Θ(w)⎤⎦ = E ⎡⎣V (w)⎤⎦
R(x)
=
−
V ′′( x) x V′(x)
=1
ECJTU xu long
ECJTU xu long
1.1.2字典序
{ } 设在凸集B2 = ( x, y) x ∈[0,∞), y ∈[0,∞) 中，
若( x1, y1 ) ∈ B2，( x2 , y2 ) ∈ B2，如果x1 > x2或x1 = x2， y1≥y2，则定义 ( x1, y1 ) ≥ ( x2 , y2 )。
（1）返身性：任意P ∈ B，有P ≥ P；
（2）可比较性：任意P,Q ∈ B，则P ≥ Q或Q ≥ P；
（3）传递性：任意P1, P2 , P3 ∈ B， 如果P1 ≥ P2，P2 ≥ P3，则P1 ≥ P3；
性质1：对任意P,Q ∈ B，设P Q,α , β ∈[0,1]，则
⎡⎣α P ⊕ (1－α )Q⎤⎦ ⎡⎣β P ⊕ (1－β )Q⎤⎦的充要条件α > β
资本资产定价的原理 与模型
ECJTU xu long
第一章 期望效用函数理论
1.1 序数效用函数 1.1.1 偏好关系
设B是n维欧氏空间R n中的凸集，在B中引入 一个二元关系记为“ ≥ ”，如果它具有 （1）反身性：若x ∈ B，则x ≥ x； （2）可比较性：若x，y ∈ B，则x ≥ y或y ≥ x； （3）传递性：若x，y，z ∈ B，则x ≥ y，y ≥ z，则x ≥ z。
期望效用理论
期望效用理论简析期望效用函数理论是20世纪50年代，冯·纽曼和摩根斯坦在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人选择进行分析的框架。
这一理论适用于对一不确定性事件的最终效用的评估，即当有一不确定事件的时候，假设这一事件的结果一共有i种可能，而每一结果发生的可能性是Pi，相对应的每一结果发生最后造成的效用是Xi，所以对于这一不确定事件的效用评估就可以用其期望效用来表示即U（x）=P1X1+P2X2 ... +PnXn，而人们会跟据不同事件的期望效用的不同而进行决策，即人们会选择期望效用高的选项。
期望效用理论的建立很好的推动了现代的经济学，金融学，计量学的发展，他为人们有效合理的评估一不确定事件建立了一个规范的框架，这样有利于学科的发展，同样也让人们对于不同的不确定事件可以进行有效的比较。
但是这一理论的基础却是建立在理性人的假设上面，而这一假设已经被卡尼曼等人推翻了，人并不是理性人，或者说人并不是完全理性的，决策会受到人们复杂的心理行为的左右。
例如著名的阿莱悖论，实验者提供给被试两种选择，赌局A：100%的机会得到100万元。
赌局B：10%的机会得到500万元，89%的机会得到100万元，1%的机会什么也得不到。
如果按照期望效用理论来分析赌局A的期望值是100万，而赌局B的期望值是139万，人们应该更倾向于赌局A，但是实验结果却是绝大多数人选择A而不是B。
即赌局A的期望值（100万元）虽然小于赌局B 的期望值（139万元），但是A的效用值大于B的效用值。
所以从这里就可以很明显的看出期望值和效用值并不能完全的等同。
同样的卡尼曼等人提出的前景理论也对期望效用理论有一定的补充，一是大多数人在面临获得时是风险规避的这一条就很好的解释了阿莱悖论即人们在面临获得时更加的倾向于获得确定性的收益；二是大多数人在面临损失时是风险偏爱的，这一条的真实含义通俗的来讲就是人们如果面临的有关损失的选择，一个是确定性的损失，而另一个是不确定性的损失，可能损失的更多也可能损失的少一点，人们更倾向于去赌一把选择不确定的损失；三是人们对损失比对获得更敏感即损失100块比得到100块的效用的绝对值更高。
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max U ( x1 , x2 )
s.t. p1 x1 p2 x2 w
x1 , x2
一、确定条件下的效用函数
Lagrangian函数为： L U ( x1 , x2 ) (w p1 x1 p2 x2 ) F.O.C. U
U p2 0 x2
x1
p1 0
一、确定条件下的效用函数
主流经济学——新古典理性对消费者的基本假定：消 费者具有良好的偏好或效用函数，追求效用最大化。 满足这一假定的消费者，叫做理性消费者。
一、确定条件下的效用函数
（一）消费集合及其特点 消费集合：商品空间中那些代表可行消费活动的商品 向量的全体（用C表示）。
1、闭集
Ifxn X (n 1,2,...)& lim xn x,
例如：
一、确定条件下的效用函数
（三）效用函数的存在性和唯一性
定义：假设是 u( x)定义在X上的一个正实数值函 数，如果对于C中的任意两个商品组合x，y， x y 的 充分必要条件是 u ( x) u ( y ) ，那么就称函数 u( x) 是 消费者的效用函数。
注：但是仅在前面三个理性偏好的假定下，这样 的效用函数是不一定存在的，例如字典序偏好。
n
thenx X
C为闭集，因此消费具有 连续性
一、确定条件下的效用函数
2、凸集
如果 S R n ，在S中 任取两点，其连线仍在S 中，则S为凸集。 对消费集合C为凸集 的意思是，如果两个消 费束 x, y C ，则对于任 意实数 a [0,1] ，消费束
z ax (1 a) y C
其中，
0 t 1
一、确定条件下的效用函数
（四）确定条件下消费者效用最大化
max(u), s.t.W
其中W是由收入或财富构成的预算约束，包含收入和 商品价格等方面的要素。假定消费集C中的所有商品都具 有一个唯一的公开市场价格：
qc q1c1 q2 c2 ... qM cM W
公理6 偏好具有凸性（convexity）
x, y, z C, ifxy且yz tx (1 t ) yz
严格凸性（strict convexity）
无差异曲线凸 向原点
x, y, z C, ifxy, yz, x y tx (1 t ) y z
x1
x*1
x*2
x2
一、确定条件下的效用函数
2、Lagrangian法 假定：（1）消费者只消费两种不同商品x1、x2，其 效用函数为U（x1.x2)，满足： U U （非满足性）， 2U 2U （边际效 0, 0 0, 2 0 2 x1 x2 x1 x2 用递减）。 （2）假定x1、x2的价格分别为p1、p2，且价格是外生给 定的，消费者的财富为w。 消费者的选择问题可以写成如下：
一、确定条件下的效用函数
常见效用函数的形式：
完全替代偏好的效用函数：U（x,y）=ax+by 完全互补偏好的效用函数：U（x,y）=min｛ax,by｝ 拟线性偏好的效用函数：U（x,y）=af(x)+by 例如： U（x,y）=2ln(x)+y
一、确定条件下的效用函数
柯布-道格拉斯偏好的效用函数：
一、确定条件下的效用函数
（2） x y 被称为消费者“严格偏好于”x，即在任 何情况下，消费者认为x比y好，即：
x y
x y ，但 y ~ x 不成立
（3）x ～ y 被称为消费者“无差异于”商品x、y，即消 费者认为两样东西同样好，即： x～y
x y
且
y x
一、确定条件下的效用函数
2、偏好应满足的基本公理（Axiom)条件：
公理1 偏好具有完备性（completeness）：
x, y C 有 x y 、y x 与 x ～ y 至少一个成立。
有序
公理2 偏好有自反性（reflexivity）：
x C ，有
x x 。
确定序
公理3 偏好具有传递性(transitivity)：
一、确定条件下的效用函数
公理5 偏好关系具有单调性（monotonicity） ： 多总比少好 x, y C ，如果有 x y ，则有 x y 。 强单调性 ： x, y C ， 例如：
1 0
ifx y且x y，则x y
0 1 Time 0 1 Time
一、确定条件下的效用函数
(1) 张三提出用苹果换梨子，并要求李四 找一分钱。仅花一分钱就能换来更大 的满足，李四不会不答应，成交！ (2) 张三提出用梨子换桃子，并要求李四 找一分钱，李四还会答应，成交！ (3) 张三提出用桃子换苹果，并要求李四 找一分钱，李四依然同意，成交！
桃
梨
苹果
李四的不传递的偏好
交换一直循环进行下去，李四变成穷光蛋，张三变成富翁。 显然，这样的事情不可能发生在理性消费者身上。
x, y, z C ，如果
x y ， y z ，则 x z 。
非循环序
例5 不服从传递性公理将导致富翁变穷人的例子 张三是穷人，李四是富翁；张三只有一个苹果，而李四不但 有一个桃子，还有一个梨子；但李四的偏好不传递，他认为，桃 比苹果好，苹果比梨好，梨比桃好。
Money pump
一、确定条件下的效用函数
衣 B x
A
食
字典序偏好
一、确定条件下的效用函数
公理4 偏好具有连续性（continuity） ：
如果 x y ，那么与x“充分接近的”商品组合z， 也满足 z y 。
微小变动的序
z C, 集合{x C : x z}和{ y C : y z}是闭的
一、确定条件下的效用函数
一、确定条件下的效用函数
非凸
一、确定条件下的效用函数
消费集合为凸性的经济学含义：凸性明确指出从一种 可行方案过渡到另一种可行方案的最短路径。
例如：面临选择为 4两米饭 vs 4两馒头
一、确定条件下的效用函数
（二）偏好及其基本假定 效用：消费者消费一定数量的若干商品后所感受到的 满足程度。 效用是一种纯主观的心理感受，因人因时而异。
效用与偏好联系在一起。偏好正是消费者对效用进行 自我比较后得出的关于各种消费方案好坏的评价。 cardinal utility vs. ordinal utility
一、确定条件下的效用函数
1、消费者的偏好关系 定义1 偏好（preference): A preference is a complete ranking of pairs of consumption (cash flow) streams. 定义2 二元关系(binary relations) ：一个集合上的 二元关系是确定这个集合中两元素之间的一种联系。 定义3 偏好关系(preference relationship) ：具有完 备性、自反性、传递性的一个二元关系
一、确定条件下的效用函数
注：若一个二元关系同时满足公理1-3，则称此二元关 系为等价关系（equivalence relation)或无差异关系。这样可 以将有等价关系的东西放在一起，得到无差异曲线。即对于 xC，集合 [x]={yC: y x} 称作 x 的等价类或者无差异类 或者无差异曲线，它由两两无差异(一样好)的消费方案构成。
u ( x, y ) x b y c b 令：a bc 则有：u（x，y） x a y1-a
练习：求解如下柯布-道格拉斯偏好效用函数
Maxu( x, y) x 2 y 3
S.T . p x x p y y m
（1） （2）
一、确定条件下的效用函数
解：将（2）式带入（1）式可得： 2 m px x 3 Maxu( x, y) x ( ) py 求一阶导数：
py px 2 3 m px x p y 可得：x
x 2 5 3 y 5 m px m py
二、VNM期望效用函数
（一）不确定性下的理性决策原则
1、确定性下的决策原则——收益最大准则 收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况下。按 照这一法则，只需选取收益率最高的投资机会即可。通过 正确的选择，可以实现投资期末的财富最大化。
第1章 期望效用理论
杜晓蓉 金融工程期望效用理论 个体风险态度
资产定价方面的文献综述 经典资产定价理论及其发展 有效市场假说
教学计划
公司财务方面的文献综述 资本结构之谜 公司治理
教学计划
（二）教材及参考文献 陈雨露，汪昌云. 金融学文献通论（微观金融卷）. 中国 人民大学出版社，2006年
——经济学中的生产者理论和价值理论使用这一准
则。
二、VNM期望效用函数
问题：不确定条件下效用最大化还适用吗？
例子 假设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。 第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金较高，但是收入 是不确定的。如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般， 每月就只能挣得1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元 的概率各为1/2。第二种工作是在国营商店当售货员，每 月工资1510元。但在国营商店营业状况极差的情况下，每 月就只能得到510元的基本工资收入。不过，一般情况下 国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可 能性只有1％，因此第二种工作获得月收入1510元的可能 性为99％。
参考文献 经典论文（具体见各章PPT附录）
教学计划
（三）教学方式 专题讲授＋课堂报告、讨论
（四）考核方法 平时成绩（课堂报告、讨论、作业、出勤）：40％ 期末成绩（课程论文）：60％ （五）联系方式：dxraa@
教学计划
课堂讨论的拟定题目： 1、CAPM的缺陷文献综述 2、关于APT与CAPM关系研究的文献综述 3、股票价格决定因素 4、梳理中国证券市场有效性实证检验的文献 5、债权期限结构影响因素的文献综述 6、资本结构之谜的文献综述 7、 亚洲家族控股企业的优缺点，及家族控股如何影响 公司价值 8、中国上市公司不同的股权结构与公司价值之间的关系 文献综述。