第三讲 期望效用理论
投资决策中的期望效用理论研究
投资决策中的期望效用理论研究投资决策一直是一个冒险与机会并存的领域。
在这个领域中，投资者需要权衡风险与收益，并做出最佳的决策。
为了更好地理解投资决策的过程，许多经济学家研究了不同的理论和模型。
其中，期望效用理论是一个被广泛接受和运用的模型。
期望效用理论的核心概念是投资者行为受到其对收益和风险的主观看法影响。
研究者认为，投资者在进行决策时，并不仅仅考虑他们预期获得的收益，还考虑与之相关的风险。
期望效用理论通过引入效用函数来解释投资者决策的动机，把收益和风险量化为一个统一的度量。
利用期望效用理论，投资者可以比较不同投资选择的效用价值。
效用是一个主观的概念，每个人对相同收益和风险的看法可能不同。
在期望效用理论中，效用函数通常被假设为一个随收益增加而递减的曲线。
这意味着收益增加对投资者的效用提升较小。
同样，风险会以不同的方式影响投资者的效用。
相同的风险可能对不同的投资者产生不同的影响。
然而，期望效用理论并不是没有争议的。
一些经济学家提出了一些批评，主要涉及其基本假设的合理性。
例如，期望效用理论假设投资者是理性的，可以准确地评估和量化收益和风险。
然而，在现实世界中，投资者面临信息不完全和不确定性的困难。
这些困难可能导致他们对收益和风险的预期产生偏差。
为了解决这些问题，一些学者提出了修正的期望效用理论。
其中，最著名的是基于前景理论的模型。
前景理论认为，投资者更关注损失而不是收益，并且对损失的敏感度高于对同等大小收益的反应。
这种倾向被称为“损失厌恶”。
基于前景理论的模型提供了一种更全面和更真实的解释，以更好地解释投资者的行为。
除了期望效用理论和前景理论之外，还有其他一些理论和模型，用于研究投资决策的心理和行为因素。
例如，行为金融学研究了人们在投资决策中的偏见和错误行为，从而影响了他们的决策。
这些理论和模型为投资决策的研究提供了更广阔的视角，使我们能够更好地理解投资者的行为和决策过程。
综上所述，投资决策中的期望效用理论是一个重要而受欢迎的研究领域。
行为金融学 第3章 期望效用理论及其受到的挑战 PPT
• 偏好受判断和选择的背景、 程序的影响。
3.4
期望效用理论的修正模型
期望效用理论的修正模型
主观权重效用模型 .
非可加性效用模型
扩展性效用模型. 非可加性效用模型
修正模型的缺陷
不足
• 对模型的修补只是让现 象适应理论，而不能使 理论解释现象
• 在一些实验结果面前顾 此失彼和相互矛盾
风险中立与效用函数
效用
U(px+(1-p)y) pU(x) + (1-p)U(y)
x px+(1-p)y y
财富
U(px, (1-p)y)＝pU(x) + (1-p)U(y)
3.3
心理实验对期望效用理论的挑战
阿莱悖论
• 期望效用理论受到了选择 实验中的一系列“悖论” 的挑战。
• 最早的选择实验由法国经 济学家阿莱（Allais）做 出，因而产生了著名的 “阿莱悖论”（Allais paradox)。
• 备选组4 G:（3000，0.002） H:（6000，0.001）
损 失
• 备选组2’ C’:（-4000，0.20）
性 D’:（-3000，0.25）
预 • 备选组3’ 期 E’:（-3000，0.90）
F’:（-6000，0.45）
• 备选组4’
G’:（-3000，0.002）
H’:（-6000，0.001）
• 实验结果（N：参加人数，括号内表示选择的人数比例）
问题1: N=72，A[18] ，B[82] 问题2: N=72，C[83] ，D[17]
同比率效应
• 被试者被要求在下面两组彩票中做出选择 • 备选组1
第三章期望效用与前景理论1
U(X2)
pU(X1)+(1-p)U(X2)
U(pX1+(1-p)X2) U(X1)
B A
X1 pX1+(1-p)X2 X2
U(pX1+(1-p)X2) <pU(X1)+(1-p)U(X2)
13
3.1 期望效用理论
（3）风险中性
U(X2)
U(X1)
X1
pX1+(1-p)X2 X2
U(pX1+(1-p)X2) =pU(X1)+(1-p)U(X2)
10
3.1 期望效用理论
A：100%获得100美元
A：确定性收益100美元
B：50%获得200美元，50%什么都没
B：期望收益100美元
有
• 决策人偏好确定性所得，则属于风险厌恶
U(A)>U(B)
• 决策人偏好不确定
• 决策人不关心是确定性还是不确定性所得，则属于风险中性
实验结果大部分人选择了(A,D)
18
3.2 心理学实验对期望理论的挑战
问题1
选择A
选择B
收益 概率 收益 概率
100万 100% 500万 10%
100万 89%
0
1%
问题1
选择A
选择B
收益 概率 收益 概率
100万 11% 500万 10%
100万 89% 100万 89%
0
1%
问题2
选择C
选择D
收益 概率 收益 概率
100万 11% 500万 10%
0
89%
0
90%
问题1
选择A
选择B
收益 概率 收益 概率
ch3 期望效用理论
2
不确定性下的理性决策原则
Crammer(1728)采用幂函数的形式的效用函数对这 一问题进行了分析。 假定u(x)=x1/2 ，则
1 1 x 1 E[u ( x)] p( x)u ( x) x 2 2 2 x 1 x 1 2
x {E[u( x)]} 2.914
资产1 资产2 资产3
20% 60% 60%
与资产2相比，资产1的期望收益率更高而标准差更小，资 产1均值-方差占优(mean-variance dominance)于资产2。 另外，资产3均值-方差占优于资产2。在资产1与资产3间 无法根据期望收益率和标准差做出选择，不过，资产3状 态占优于资产1。
105
不确定性下的理性决策原则
投资者考虑买进两只当期价格均为100元的股票， 如果股票2的未来价格在好状态时高于股票1而在 坏状态时低于股票1，投资者应该选择哪只股票？
时期0股票价格 股票1 股票2 -100 -100 时期1股票价格p πgood state =π 120 130 πbad state =1-π 100 90
风险资产选择标准
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实 际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来 推测未来的结果发生的可能性，因此学术界常常 把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事 件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风 险。 风险与不确定性有区别，但在操作上引入主观概 率或设定概率分布的概念后二者的界线就模糊了， 几乎成为一个等同概念。
风险资产选择标准
当一个人面临不确定结果做决策时，可以概念化为一 个随机变量。随机变量的均值、标准差等统计概念也 会用于决策过程。 随机变量是能用数字准确记录下随机事件的不同结果 的变量，表示随机变量取不同值时的概率的函数f(x)称 为随机变量的概率密度函数。 随机变量的期望记为E(x)。若x是有n种结果的离散变 量，则 E(x) = ∑ni=1 xi f(xi) ；若x是连续变量则E(x) = ∫∞-∞ x f(x)dx。， 若x是有n种结果的离散变量，则var(x)=∑ni=1[xi -E(x)]2 f(xi) ；若x是连续变量，则var(x)=∫∞-∞ [xi -E(x)]2f(x) dx。
《期望效用值理论》PPT课件
论的语言来讲,设X是一个随机变量,指赌徒在一局赌博中 赢得的钱,则X的数学期望就是赌徒为参加这样的赌博应 该先交的钱。因为在多次赌博之后,赌局的设立者获得的 收入,应等于赌徒赚得的收入。用公式表示如下：
E(X )
2
1 2
22
1 22
... 2n
1 2n
...
第6章
上式表示,不管赌徒应先交多少钱,他都是有利可图 的,因为不管每局交多少钱,都小于它可能得到的回报。 然而,如果真有这样的赌局,又有哪个赌徒真的会这样做 呢？这就产生一个悖论： 理论上平等的赌博,在现实中 是不可能有人敢于参加的,实际上也是无法实现的。
考虑风险型决策问题,即各自然状态的出现概率已知的情 形。首先我们引入一些新的概念,以用来描述一个方案的结果, 以及方案之间的关系和运算。
第6章
定义6.1 把具有两种或两种以上的可能结果的方案 （行为）称为事态体,其中的各种可能结果为依一定概 率出现的随机事件。如用记号T来表示一个事态体,则
T=(θ1, θ2, …, θn; p1, p2, …, pn)
其中, θ1, θ2, …, θn表示该行为的n种可能的结果,它们
分别以p1, p2, …, pn的概率出现,且满足pi>0, i=1, 2, …,
n,
。
n
pi 1
i 1
第6章
n=2时的事态体T=(θ1, θ2; p1, p2)称为简单事态体,由于p2 + p1 =1, p2可由p1确定,故可简记为T=(θ1, θ2; p1)。
本章的目的,就是介绍这样一种合理的评价准则,即 将后果值转换为效用值,以期望效用值作为方案选择的 判别准则。为此,我们在下一节中先讨论行为假设与偏 好关系。
期望效用理论公式
期望效用理论公式
期望效用理论是一个关于经济学的非常基础的理论，也是人们研究决策行为的
重要的基础原理之一。
期望效用理论的基本原则可以分为以下三个关键部分：首先，人们在做选择时会考虑期望效用，而期望效用指的是人对某一结果发生的可能概率乘以该结果发生时带给自己的感知价值；其次，人们会为较高的期望效用而做选择，以此来最大化自己的利益；最后，期望效用会随着利润拿到的期望而改变，从而影响人们的决策行为。
期望效用理论的具体计算公式描述为：E=∑（Pn*Vn），其中E 为期望效用，
P 为事件n发生的可能性，V 为事件n发生时带来的期望价值。
P 和V 的乘积正
是一个人做出此次决策的参考值，可以说是决策的基石。
期望效用理论在生活中也十分普通，比如在做投资时，人们因为有概率原因会
偏向投资期望效用更高的项目，而对于期望差的项目反之；又比如就业和谈恋爱时，也会有期望效用的考虑，人们会选择拥有比较高期望效用的工作或者对象。
由此可见，期望效用理论在经济学领域和日常生活中都有着广泛的运用。
总而言之，期望效用理论是一套实用的经济学理论，其基本原理可以用于衡量
不同的决策的期望效用，同时，也可以用于日常生活中的决定和选择，使人们能够更好地从投资、就业、恋爱等方面发挥自身优势，从而最大化自身利益。
期望效用理论 PPT
π=-(σ2/2) [U’’(W)/ U’(W)]
其中,σ2就是x得方差。 [-U’’(W)/ U’(W)]可作为风险厌 恶度量指标。
风险态度及其度量
阿罗-普拉特指标(Arrow-Pratt absolute risk aversion)定义:
(1)Ra’(W)<0,递减绝对风险厌恶,随着财富增加,投 资者要求得风险溢价降低; (2)Ra’(W)>0,递增绝对风险厌恶,随着财富增加,投 资者要求得风险溢价降低; (3)Ra’(W)=0,不变绝对风险厌恶。
期望效用理论运用
保险需求 案例分析 结论:在消费者不能影响损失得概率下,该消费者将
为其可能得损失数量全额投保;在保险业完全竞争 下,保费率为发生风险得概率。 注意:如果消费者得行动确实影响损失得概率呢？
期望效用理论
不确定环境中效用函数可表示成不同状态下 消费计划效用得期望值:
U (c) u (c0 , c1 )
在时间可加条件下,等价于:
U (c) u0 (c0 ) u1(c1 )
期望效用函数
唯一性问题 如果U就是一个描述不确定环境中得期望效用函
数,那么任何一反射变换(即乘以一个正数加上一个 实数)仍为期望效用函数。
C=(c0,c1) 其中,t=0期消费c0,t=1期消费c1。 如果0期为当期,则c0为确定。而 t=1时受到自 然状态影响,消费水平c1不确定。 消费计划就是一个随机变量,其概率分布性质由 相应时间得概率分布决定,每个消费计划都对应一 个概率分布。
偏好定义
偏好关系: ~
在确定环境下,x y~,被称为消费者在商品束x,y中 “弱偏好于”x,即消费者认为x至少与y一样好。
L2=(10/11,1/11;5000000, 0); 发现:
期望效用理论
期望效用理论简析期望效用函数理论是20世纪50年代，冯·纽曼和摩根斯坦在公理化假设的基础上，运用逻辑和数学工具，建立了不确定条件下对理性人选择进行分析的框架。
这一理论适用于对一不确定性事件的最终效用的评估，即当有一不确定事件的时候，假设这一事件的结果一共有i种可能，而每一结果发生的可能性是Pi，相对应的每一结果发生最后造成的效用是Xi，所以对于这一不确定事件的效用评估就可以用其期望效用来表示即U（x）=P1X1+P2X2 ... +PnXn，而人们会跟据不同事件的期望效用的不同而进行决策，即人们会选择期望效用高的选项。
期望效用理论的建立很好的推动了现代的经济学，金融学，计量学的发展，他为人们有效合理的评估一不确定事件建立了一个规范的框架，这样有利于学科的发展，同样也让人们对于不同的不确定事件可以进行有效的比较。
但是这一理论的基础却是建立在理性人的假设上面，而这一假设已经被卡尼曼等人推翻了，人并不是理性人，或者说人并不是完全理性的，决策会受到人们复杂的心理行为的左右。
例如著名的阿莱悖论，实验者提供给被试两种选择，赌局A：100%的机会得到100万元。
赌局B：10%的机会得到500万元，89%的机会得到100万元，1%的机会什么也得不到。
如果按照期望效用理论来分析赌局A的期望值是100万，而赌局B的期望值是139万，人们应该更倾向于赌局A，但是实验结果却是绝大多数人选择A而不是B。
即赌局A的期望值（100万元）虽然小于赌局B 的期望值（139万元），但是A的效用值大于B的效用值。
所以从这里就可以很明显的看出期望值和效用值并不能完全的等同。
同样的卡尼曼等人提出的前景理论也对期望效用理论有一定的补充，一是大多数人在面临获得时是风险规避的这一条就很好的解释了阿莱悖论即人们在面临获得时更加的倾向于获得确定性的收益；二是大多数人在面临损失时是风险偏爱的，这一条的真实含义通俗的来讲就是人们如果面临的有关损失的选择，一个是确定性的损失，而另一个是不确定性的损失，可能损失的更多也可能损失的少一点，人们更倾向于去赌一把选择不确定的损失；三是人们对损失比对获得更敏感即损失100块比得到100块的效用的绝对值更高。
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各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。
圣·彼得堡悖论（St·petersburg paradox）
1713年，数学家尼古拉·贝努利向他的一位法国朋友蒙 莫尔提出，到1738年其堂弟丹尼尔·贝努利在《圣彼得堡
科学院评论》上发表论文解决了这一问题，从此，这一问
题就开始以“圣·彼得堡悖论”而著称。 圣·彼得堡悖论是关于一个猜硬币正反面的赌博问题。 假设第一次猜对，赌徒可得2元；第一次猜错，第二次猜对， 赌徒可得4元，„，一般地，如果前n-1次都猜错，第n次猜
∴
CE =14
CE=196
故他对彩票的最高出价是196元，风险贴水ρ： 0.2×900+0.8×100-ρ=196 ∴ρ=64
2.风险厌恶系数
对于风险很小的公平博彩行为，也即预期收益为0 且预期收益的方差很小的博彩行为，如果效用函数是
二次连续可微的，我们可对 E (u (W )) u(W ) 等式
不确定性选择的事例
例1 彩票(lottery)
发行彩票是一种常见的低成本筹资手段。购买彩票有可能 获得奖品，甚至可能获得大奖。彩票种类很多，面对众多彩票， 消费者究竟依据怎样的行为准则进行选择？这是我们关心的问 题。
例2
赌博(gamble)
赌博是一种典型的靠随机因素决定收入的现象，用它可区 别一个人对待风险的态度。我们关心的问题是，当消费者面对 一种赌博的时候，他是依据什么准则来决定是参加还是拒绝赌 博的？ 例3 择业(job-choice) 职业各种各样，有些职业具有稳定的收入，而有些职业的 收入不稳定，与绩效挂钩。因此，择业也是一种不确定选择问 题。
ρ
x1
p1· x1+p2· x2
x2
x
ρ即为风险溢价，或称风险贴水（升水）。
W
例：有一种彩票，获得900元的概率是20%，获得100元的概率
是80%。如某人的效用函数形式为U=
w，问该消费者愿出
多少钱去买这种彩票？风险贴水ρ的值是多少？
解：∵U（CE）=0.2U(900)+0.8U(100)=14
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际
中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的
结果发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设
定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果 的事件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操 作上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者 的界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。
三、VNM期望效用函数
期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值判断
标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者 偏好结构的刻画，具有广泛的用途。 如果某个随机变量X以概率 pi 取值 xi ，i=1,2,„,n，而某 人在确定地得到
xi 时的效用为u ( xi ) ，那么，该随机变量给
通常可以从两个方面来刻画：
（1）观察经济行为主体面对公平游戏时的行为选择，
即是愿意确定性地接受一个公平游戏的期望价值还是宁 愿接受这个游戏本身及其不确定性的结果。 （2）经济行为主体愿意付出多少价值来避免蕴含在这 个游戏中的风险。或者说，让经济行为主体参与这个游 戏行为需要多少风险溢价补偿。
2.风险态度的描述
弗里德曼-萨维奇（1948）解释了这种现象。他 们认为，效用函数是几个不同的部分组成。在人们财 富较少时，部分投资者风险厌恶的；随着财富的增加， 投资者对风险有些漠不关心；而在较高财富水平阶段， 投资者则显示出风险偏好。
五、风险厌恶的度量
1.确定性等值与风险溢价
确定性等值（certainty equivalence）是指经
随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于
未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有
准确的认识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。
不确定性：是指发生结果尚为不知的所有情形，
也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的
事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果
的一类问题。即知道未来世界的可能状态（结果），但 对于每一种状态发生的概率不清楚。
定义：
u 是经济主体的VNM效用函数，W为个体的初始 禀赋，如果对于任何满足 E ( ) 0 Var ( ) 0 的随
机变量
，有
u (W ) E[u (W )]
则称个体是（严格）风险厌恶的（risk aversion）； 如果上述不等号方向相反，则称个体是风险偏好的 （risk loving）；如果两边相等，则称个体是风险中
E x 1 x1 2 x2 ... n xn i xi
i 1
பைடு நூலகம்
n
抽奖的预期值是奖的加权之和，此权是各自的概率。
例如，发500张彩票， 一等奖：200元 二等奖：50元 三等奖：10元 四等奖：0元
概率 概率 概率 概率
1/500 1/100 1/20 469/500
即：
u ( px1 (1 p ) x2 ) pu ( x1 ) (1 p )u ( x2 )
这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益分布的期 望值，而不是未来收益分布本身。即对于风险厌恶的经济 主体而言，确定性收益（数学期望值）的效用大于效用的
期望值。
基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效用函数为 凹函数。
i 1
xn1
i
1
2.预期值（数学期望值）
假如抽奖提供几个奖项（有一些可能是0），
赢得这些奖项的概率是，
x1 , x2 ,..., xn
1 , 2 ,..., n
i 1
n
i
1
如果假定每个参与者只能得到一个奖，那么为了给这 种抽奖的平均报偿提供一种测量方法，我们将其定义为预 期值：
公平游戏不改变个体原来的期望收益，但它提供了
个体增加或减少原来收入的机会。
风险厌恶者：如果经济主体拒绝接受公平游戏，这
说明该个体在确定性收益和游戏之间更偏好确定性收益，
我们称该主体为风险厌恶者。
风险偏好者：如果一个经济主体在任何时候都愿意 接受公平游戏，则称该主体为风险偏好者。 风险中性者：如果一个经济主体对公平游戏持无所 谓的态度，则称该主体为风险中性者。
因此，他的期望效用为
根据我们对风险厌恶者的定义，对于一个风险厌
恶的经济主体而言，我们有：
u (W ) pu (W x1 ) (1 p )u (W x2 )
由于
W p (W x1 ) (1 p )(W x2 )
所以，上述不等式可改写为：
u ( p(W x1 ) (1 p)(W x2 )) pu (W x1 ) (1 p)u (W x2 )
A B
u=u(x)
u(x1)
x1
p1· x1+p2· x2
x2
x
期望效用与期望值的效用
四、风险态度
1.问题的提出 现实观察： 经济行为主体对待风险的态度是存在差异 的。热衷冒险的人会在等待不确定性结果中获得刺激而兴 奋不已；大多数的行为主体则认为风险是一种折磨，尽可 能地回避风险；而另一些人对风险可能采取一种无所谓的 态度。 如何通过效用函数描述不同经济主体对待风险的态度？
对于风险中性者而言，我们有
u ( px1 (1 p ) x2 ) pu ( x1 ) (1 p )u ( x2 )
其效用函数为线性效用函数。
U(x)
x
3.效用函数的凸凹性的局部性质
经济行为主体效用函数的凸凹性实际上是一种局 部性质。即一个经济主体可以在某些情况下是风险厌
恶者，在另一种情况下是风险偏好者。
3.公平游戏（博彩）
期望值为0的游戏
如果期望值不为0,那么就有一玩家为 此游戏支付成本.
二、不确定性下的理性决策原则
A.数学期望最大化原则
数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下 这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行
准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大化准 则在不确定情形下的推广。
问题：数学期望最大化准则是否是一最优的不确定 性下的行为决策准则？
E (u (W )) u (W )
这里，ε 为公平博彩的随机收益（即报酬的微小 增量）， W为初始禀赋，ρ 被称之为马科维兹风险溢 价。其值越大表明经济主体风险厌恶的程度越高。而 W-ρ 为确定性等价收益。
u(x)
u(x2)
p1· u(x1)+p2· u(x2)
u=u(x)
u(x1)
性的（neutral）。
对于一个具有效用函数为 u 和初始禀赋为W的经济
主体，如果他不参加博彩，则其效用为 u w 。如果他
愿意参加博彩，则他有p的概率获得 W x1 ，1-p的
概率获得
W x2 ，（ W p(W x1 ) (1 p)(W x2 ) ）。 pu (W x1 ) (1 p )u (W x2 )
1 则其预期效用= iU ( xi ) (ln 2 ) 2i 1.39 i 1 i 1
i
C.后期望效用理论：
由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用 理论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、 非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济 学对期望效用的新的解释。
U(x) B
C
A
x
风险厌恶者的效用函数
同样地，我们可以得到风险偏好者和风险中性者 的效用函数的特征。 对于风险偏好者而言，我们有：
u ( px1 (1 p) x2 ) pu ( x1 ) (1 p)u ( x2 )