期望效用理论

Sichuan University
一、风险与不确定性
伯努利选择的期望效用函数为对数函数，即用alog(x) 表示效用函数，x表示财富。则对投币游戏的期望值的计算 应为对其对数函数期望值的计算：
E[u(x)] 1 a log 2x1 a1.39 a log 2x 2x
其中， 0 为一个确定值。
（元） （元）
Sichuan University
一、风险与不确定性
问题：是否期望收益最大准则就是一个最优的决策法 则呢？
典型例子：“圣彼德堡悖论”（Saint Petersburg Paradox）问题：
有这样一场赌博：掷硬币直到正面朝上为止。第一次 就得到正面朝上的结果，则赢得 1 元，第二次得到正面 朝上的结果，赢得 2 元；第三次时，得4 元，......。 一般情形为如果掷n次，则第 n 次赢得 2 的 n-1 次方元
Sichuan University
一、风险与不确定性
通过观察函数f可以区分确定条件下和不确定条件下的 决策。
若f关于现实状态是不变的，即现实状态不会影响产生的 结果，则可以认为是确定条件下的决策。
若不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确定条 件下的决策。
Sichuan University
一、风险与不确定性
3、在投机与赌博中的风险 投机：在获取相应报酬时承担一定的风险。 赌博：为一个不确定的结果打赌或下注。
Return
Sichuan University
一、风险与不确定性
（二）不确定性下建立偏好模型的方法 1、状态偏好方法
定义：自然（或现实）状态指特定的、会影响个体行 为的所有外部环境因素。
通常用S表示自然状态的集合： S={1，…，s}。
自然状态的特征：自然状态集合是完全的、相互 排斥的（即有且只有一种状态发生）
大量的自然（现实）状态的存在使得目前所采取的 任何行为的将来结果是不确定的。
Sichuan University
一、风险与不确定性
状态偏好方法：用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的 集合，来反映个人所面临的随机性。
x(s) C,s S, x X
在这种情况下，我们可以用定义在C上的一个函数P（.） 来表示行为x，其中，P（c）是使选择x的结果等于c的概率
即对于所有的c∈C，P（c）≥0且 p(c) 1 cC Return
Sichuan University
一、风险与不确定性
（三）不确定性下的理性决策原则 1、确定性下的决策原则——收益最大准则
公理5、偏好关系具有单调性（monotonicity） ：
x, y C ，如果有 x y ，则有 xy 。 多总比少好
强单调性 ：
x, y C ， ifx y且x y，则x y
例如： 1
01
0

Time
01
Time
Sichuan University
不同个体可能会对自然状态持有不同的信念，但通常 假定所有的个体的信念相同，这样特定状态出现的概率就 是唯一的。
Sichuan University
一、风险与不确定性
不确定性条件下的行为选择可以理解为行为主体在不 同的概率分布中进行选择。这意味着，行为主体表现自己 偏好关系的可行行为集合X必须具备如下性质：
工作是在私营公司里搞推销，薪金较高，但是收入是不确定的 。如果干得好，每月可挣得2000元；干得一般，每月就只能挣 得1000元。假定他挣得2000元和挣得1000元的概率各为1/2。 第二种工作是在国营商店当售货员，每月工资1510元。但在国 营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到510元的基本 工资收入。不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出 现营业状况极差情况的可能性只有1％，因此第二种工作获得 月收入1510元的可能性为99％。
注意：这里得到的效用函数并不唯一，一个效 用函数通过正单调的变换得到的另一个效用函数与原 来的效用函数具有相同的偏好关系。即
u(x) f [u(x)]且f ()是单调递增函数，则有： u(x) u( y) u(x) u( y)
Sichuan University
二、确定条件下的效用函数
x～y
xy 和 yx
Sichuan University
二、确定条件下的效用函数
偏好应满足的基本公理（Axiom)条件： 公理1、偏好具有完备性（completeness）：
x, y C 有 xy 与 yx 至少一个成立。
有序
公理2、偏好有自反性（reflexivity）：
x C ，有 xx 。
（1）xy 被称为消费者在商品x、y中，“弱偏好于
”x，即消费者认为x至少与y一样好。
Sichuan University
二、确定条件下的效用函数
（2）x y 被称为消费者“严格偏好于”x，也就是说在任
何情况下，消费者认为x比y好，即：
x y
xy ，但 yx 不成立
（3）x ～ y 被称为消费者“无差异于”商品x、y，也就是 说消费者认为两样东西同样好，即：
风险：那些涉及以已知概率或可能性形式出现的随机问 题，但排除了未数理化的不确定性问题。
不确定性：那些每个结果的发生概率尚未不知的事件。 即那些决策的结果明显依赖于不能由决策者控制的事件 ，并且仅在作出决策后，决策者才知道其决策结果的一 类问题。
Sichuan University
一、风险与不确定性
确定序
公理3、偏好具有传递性(transitivity)：
x, y, z C ，如果 xy ，yz ，则 xz 。
非循环序
Sichuan University
二、确定条件下的效用函数
注：若一个二元关系同时满足公理1-3，则称此二元关系 为等价关系（equivalence relation)。这样可以将有等价关 系的东西放在一起，得到无差异曲线，从而简化问题。
可用分散、转移、补偿或保险等机 制来消除
区别： 风险:可用概率计算的随机事件这种不确定性 不确定性:不可用概率计算的随机事件
真正的不确定性
Sichuan University
一、风险与不确定性
联系：预测和计算风险并不是一个独立的客观过程 可计算的风险后面隐藏着不确定性 金融领域的测不准原理
一、风险与不确定性
2、用概率来描述偏好的方法 自然状态的信念（belief）：
个体会对每一种状态的出现赋予一个主观的判断，即 某一特定状态s出现的概率P（s）满足：
0≤P（s）≤1， p(s) 1 sS
概率P(s)是一个主观概率(subjective probability)， 成为个体对自然的信念。
收益最大准则广泛应用于完全没有风险的情况下。按照 这一法则，只需选取收益率最高的投资机会即可。通过正确的 选择，可以实现投资期末的财富最大化。
——经济学中的生产者理论和价值理论广泛使用这一准 则。
Sichuan University
一、风险与不确定性
问题：不确定条件下效用最大化还适用吗？ 例1 设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。第一种
Sichuan University
一、风险与不确定性
2、不确定性下理性决策的三种原则
（1）数学期望最大化准则 数学期望最大化准则是指使用投资收益的预期值比较各
种投资方案优劣。
例1的解： 计算这两种工作的预期月收入：
ER1 0.5 2000 0.5 1000 1500
ER2 0.99 1510 0.01 510 1500
2 2
x {E[u(x)]}2 2.914
Sichuan University
一、风险与不确定性
（3）后期望效用理论： 由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理
论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、 非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济 学对期望效用的新的解释。
Return
Sichuan University
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一、风险与不确定性
2、风险的来源
风险与不确定性联系在一起。 一项经济活动的风险可以由其收益的不可预测性的波动性
来定义，而不管收益波动采取什么样的形式。 风险与其可能带来的不利后果相联系。
一项经济活动的风险可以由收益波动的损失来定义。
Sichuan University
Sichuan University
二、确定条件下的效用函数
（一）偏好及其基本假定 定义1 偏好（preference): A preference is a
complete ranking of pairs of consumption (cash flow) streams. 定义2 二元关系(binary relations) ：一个集合上 的二元关系是确定这个集合中两元素之间的一种联系。 定义3: 偏好关系(preference relationship) ：具有完 备性、自反性、传递性的一个二元关系
对该式的求解表明，人们确定的等价财富的确在2-3元之 间。
Sichuan University
一、风险与不确定性
Crammer（1728）采用幂函数的形式的效用函数对这
一问题进行了分析。假定：u(x) x
则

E[u(x)]

p(x)u(x)
1
2 x1
1
x1
x1 2 x
Sichuan University
二、确定条件下的效用函数
令C 为商品（或者消费）集合，C 中有M 种可供选 择的商品。它是M 维实数空间RM中的一个非负子集，它 总是被假定为闭集和凸集。x、y、z…是它的子集，或者 称之为商品束（commodity bundle）或者消费束（ consume boundle）。则可以在消费束的集合上建立下 面的偏好关系（preference relation）或者偏好顺序（ preference ordering） ：