第1讲 期望效用函数理论与单期定价模型

β (x1, y1 ) + (1 − β )(x2 , y2 ) = (βx1 + (1 − β )x2 , βy1 + (1 − β )y2 ) = (β (x1 − x2 ) + x2 , β (y1 − y2 ) + y2 )
若 α(x1, y1 ) + (1−α )(x2 , y2 ) β (x1, y1 ) + (1− β )(x2 , y2 )
1.1 序数效用函数
期望效用函数是基数效用函数，为研究基数效用函数，我们首先介绍序数效用函数，所
谓序数效用函数，只要求效用函数值与偏好关系一致，即如果消费者认为商品 x比商品 y 更
受偏好，我们定义的序数效用函数，就要求 x 的效用函数值比 y 的效用函数值大。 假设商品选择 B 是 n 维欧式空间 R n 中的凸集。我们首先引入偏好关系感念。
如 果 x1 = x3 ， 此 时
x1 = x2 = x3 因为 ( x1, y 1 ) ( x2 , y2 ) 所以， y1 ≥ y2 又 ( x2 , y2 ) ( x3 , y3 ) ，所以，
y2 ≥ y3 于是 y1 ≥ y3 ，于是 ( x1, y 1 ) ( x3 , y3 ) ，即传递性成立。
如果 x1 = x2 ， y1 < y2 ，则 ( x2 , y2 ) ( x1, y 1 ) ，即可比较性成立。
③ 设 ( x1, y 1 ) ， ( x2 , y2 ) ， ( x3 , y3 ) ∈ B2 若 ( x1, y 1 ) ( x2 , y2 ) ( x3 , y3 ) 显 然
x1 ≥ x3 ， 如 果 x1 > x3 按 定 义 ， ( x1, y 1 ) ( x3 , y3 )
第 1 章 期望效用函数及风险度量
众所周知，在经济学中，效用函数是偏好的定量描述，投资人决策的依据。金融学是不 确定性的环境中进行决策，金融资产的价格和收益都是随机变量，我们如何确定它的效用， 是必须解决的重要问题。
期望效用函数理论是 von-Nenmann 和 Morgenstren 创立的。期望效用函数是对不确定性 的环境中，对于各种可能出现的结果，定义效用函数值，即 von-Nenmann and Morgenstren 效用函数，然后将此效用函数按描述不确定性的概率分布取期望值。本章首先介绍期望效用 函数理论。然后在此基础上研究投资者的风险偏好以及风险度量，最后介绍单期定价模型。
则必有α > β ，因为，若α = β ，必有
α(x1, y1 ) + (1−α )(x2 , y2 )～β (x1, y1 ) + (1− β )(x2 , y2 )
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若α < β ，则由于 x1 ≥ x2 ，则有
α x1 + (1−α ) x2 = α ( x1 − x2 ) + x2 ≤ β ( x1 − x2 ) + x2 α y1 + (1− α ) y2 = α ( y1 − y2 ) + y2 ≤ β ( y1 − y2 ) + y2
时我们定义U (x) = α
这样，我们完成了效用函数的构造性定义。
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1. 首先证明 x y 当且仅当U (x) > U ( y)
必要性 设 x y
①如果 x～x* y y* ，此时 U (x) =1，由于 x* y y* ，则存在唯一 α ∈ (0,1) 使 y～α x* + (1 − α ) y* ，按定义，U ( y) =α < 1， 所以U (x) > U ( y)
由于α 2 < 1，由性质保序性， x y 。
② 当U (x) =1，U ( y) =0 时，按定义 x～x* y*～y ，故 x y 。
③ 若U (x) =α 1 ∈ (0,1) ，U ( y) =0 此时
y～y* = 0x* + (1 − 0) y* ， x～α1x* + (1 − α1 ) y* ，由于α 1 >0，所以 x y 。
下面验证上述的二元关系是一偏好的关系：
①若 ( x , y ) ∈ B2 ，因为 x = x , y = y ,按定义 ( x , y ) ( x , y ) ，即反身性成立。
②若 ( x1, y1 ) ， ( x2 , y2 ) ∈ B2 如果 x1 > x2 ，按定义， (x1, y1 ) (x2 , y2 ) 反之 ，如果 x1 < x2 ，则 ( x2 , y2 ) ( x1, y 1 ) ( ) 如果 x1 = x2 ， y1 > y2 按定义则 x1, y1 (x2 , y2 )
1.1.3 效用函数
设 B 是具有偏好关系“ ”的选择集， U : B → R+ 的单值函数，如果 x, y ∈ B ， U (x) ≥ U ( y) 当且仅当 x y ，则称U 为效用函数。
这里 R+ 是全体非负实数构成的集合。显然，效用函数是偏好关系的一个定量描述，效
用函数数值的大小与偏好关系相一致，这样我们就可以按函数的大小最为选择的依据。为了
我们称“ ”是一个偏好关系。
上述的二元关系我们可以如下理解，若 x, y ∈ B ，x y 我们认为 x 比 y 好，或者 x 不 比 y 差。若 x y 与 y x 同时成立，则 x 和 y 偏好无差异，记为 x ～ y 。若 x y 但 y x 不成立，则 x 严格地比 y 好，记为 x y 。
1.1.1 偏好关系 设 B 是 n 维欧氏空间 R n 中的凸集，在 B 中引入一个二元关系记为“ ”，如果它具有
（1）（反身性） 若 x ∈ B ，则 x x
（2）（可比较性） 若 x, y ∈ B ，则 x y 或者 y x ；
(3)（传递性） 若 x, y, z ∈ B ，如果 x y ， y z 则 x z 。
当 x* x y～y* ，此时，按定义U ( y) =0，由于 x* z1 y* ，则存在唯一α ∈ (0,1) 使α x* + (1− α ) y*～x ，此时U (z1 ) =α > 0，即U (x) >U ( y) 成立。
②如果 x* x y y* ，则存在α 1 ，α 2 ，使
α1x* + (1− α1 ) y*～x ，按定义U (x) =α 1 ， α2 x* + (1− α2 ) y*～y ，按定义U ( y) =α 2 ，
所以
α(x1, y1 ) + (1−α )(x2 , y2 )≺β (x1, y1 ) + (1− β )(x2 , y2 )
矛盾，故必有α > β 。 充分性 设α > β 。 根据字典序的定义，可能有如下两种情况， x1 > x2 ，或 x1 = x2 y1 > y2 分别证明如下
（1）若 x1 > x2 ，则α(x1 − x2 ) + x2 > β (x1 − x2 ) + x2 结论成立。
（2）若 x1 = x2 ， y1 > y2 ，
则 α(x1 − x2 ) + x2 = β (x1 − x2 ) + x2 ， α(y1 − y2 ) + y2 > β (y1 − y2 ) + y2
所以
α(x1, y1 ) + (1−α )(x2 , y2 ) β (x1, y1 ) + (1− β )(x2 , y2 )
=[α x1 + (1 − α ) x2 ,α y1 + (1 − α ) y3 ]
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因为 0 < α < 1， x1 > x2 ，有
αx1 + (1 − α )x2 = α(x1 − x2 ) + x2 > x2 所以α ( x1, y1 ) + (1−α )( x3, y3 ) ( x2, y2 ) ，因此不存在α ∈ (0,1)使得
在具有偏好关系的商品选择集 B 上定义与偏好关系一致的效用函数，需要 B 上的偏好关系
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具有如下 3 条性质
1.1.4 偏好关系的三条重要性质
性质 1（序保持性） 对任意 x, y ∈ B ， x y ，及α, β ∈ [0,1]， [αx + (1−α )y] [βx + (1− β )y]
当且仅当α > β 。
由性质 1，由于 x y ，必有α 1 > α 2 ，故U (x) >U ( y)
充分性 假设已知 x, y ∈ B ，且U (x) > U ( y) ，往证 x y 。
①
若U (x) = 1，U ( y) = α 2 ∈ (0,1) 此时 x～1x* + (1 −1) y* ，y～α2 x* + (1 − α2 ) y* ，
④ 若 1 > U (x) > U ( y) > 0 ， 此 时 令 α1 = U (x) ， α 2 = U ( y) ， 由 U 的 定 义 ，
x～α1x* + (1− α1 ) y* ， y～α2 x* + (1 − α2 ) y* ，因为α 1 = U (x) > U ( y) =α 2 ，由性质 1，
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1.1.2 字典序
我们给出一个偏好关系的例子，设选择集
B2 = {(x, y) x ∈ [0,∞), y ∈ [0,∞)}
容易验证 B2 是 R2 中的凸集，在 B2 上，定义二元关系 如下：
若 (x1, y1 )∈ B2 ， (x2 , y2 )∈ B2 ， 如 果 x1 > x2 ， 或 者 x1 = x2 ， y1 ≥ y2 ， 定 义 (x1, y1 ) (x2 , y2 ) 。
字典序具有性质 1 但不具有性质 2 证明：首先证明字典序具有性质 1
必要性 若 (x1, y1 )∈ B2 ， (x2 , y2 )∈ B2 ， (x1, y1 ) (x2 , y2 )，α, β ∈ (0,1)，则根据向