中考数学解析汇编三十八章 动手操作型问题
安徽中考数学总复习专题方案设计与动手操作型问题课件
点评 本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴 对称图形、中心对称图形的性质熟练利用扇形面积 公式是解题关键．
3．认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案回答 下列问题：
1请写出这四个图案都具有的两个共同特征．
特征1： 都是轴对称图形
；
特征2： 都是中心对称图形
．
2请在下图中设计出你心中最美丽的图案使它也具备你 所写出的上述特征．
3操作型问题：大体可分为三类即图案设计类、图形拼 接类、图形分割类等．对于图案设计类一般运用中心 对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼 接类关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内 在关系然后逐一组合；对于图形分割类一般遵循由特 殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．
1．2014·绍兴将一张正方形纸片按如图步骤①②沿
专题三 方案设计与动手操作型问题
要点梳理
方案设计型问题是设置一个实际问题的情景给出若 干信息提出解决问题的要求寻求恰当的解决方案有 时还给出几个不同的解决方案要求判断其中哪个方 案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作 能力和实践能力．方案设计型问题主要有以下几种 类型：
要点梳理
1讨论材料合理猜想——设置一段讨论材料让考生进 行科学的判断、推理、证明； 2画图设计动手操作——给出图形和若干信息让考生 按要求对图形进行分割或设计美观的图案；
污/台
m
m－3
月处理污水量吨/台
220
180
1求m的值；
解：(1)由 90 万元购买 A 型号的污水处理设备的台数与用 75 万元购买 B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得： 9m0＝m7－5 3，解得 m＝18，经检验 m＝18 是原方程的解， 即 m＝18
2由于受资金限制指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元问 有多少种购买方案并求出每月最多处理污水量的吨数． 设买A型污水处理设备x台则B型10－x台根据题意得： 18x＋1510－x≤165解得x≤5由于x是整数则有6种方案当 x＝0时y＝10月处理污水量为1800吨当x＝1时y＝9月处理污水量为220＋
中考数学总复习第38课 网格型问题
点评：(1)本题给出一段资料，提供网格作为探索问题的工具，主要考查直角三角形斜边中
线、高的性质以及特
较大．
(2)理解λA 的意义，根据题目要求画出图象是解题的关键．
解析：(1)如解图 10，作 BC 边上的中线 AD.∵AC⊥DC，∴λA＝CBDD＝1.
边上的高和中线，点
D
是垂足，点
E
是
BC
的中点，规定：λA
＝DE.特别地， BE
当点 D，E 重合时，规定：λA＝0.另外，对λB，λC 作类似的规定．
(1)如图 38－10②，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，求λA，λC；
(2)在每个小正方形边长均为 1 的 4×4 的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点
4aa＋＋kk＝＝30，，解得
a＝－1， k＝4，
∴y＝－(x－2)2＋4＝－x2＋4x.
向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位可得到另一条符合题
意的抛物线，
可平移 6 次，
∴一共有 7 条抛物线．
同理：开口向上的抛物线也有 7 条．
∴满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 7＋7＝14.故选 C.
名师点拨
与图形变换有关的网格型问题，常常会考查网格中的 画图、图形描述或图形操作、运动轨迹的路径(面积)、以 及利于网格进行图案或方案设计等方面，一般而言，这类 问题常常会以我们学过的平移、旋转与对称的知识为基 础，难度不大，掌握图形变换的本质特征是解题的关键．
【预测演练 3－1】 如图 38－8，8×8 方格纸上的两条对称轴 EF ，MN 交于中心点 O，对△ABC 分别作下列变换：①先以点 A 为中心顺时针 方向旋转 90°，再向右平移 4 格，向上平移 4 格； ②先以点 O 为中心 作中心对称图形，再以点 A 的对应点为中心逆时针方向旋转 90°；③ 先以直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移 4 格，再以点 A 的对应 点为中心顺时针方向旋转 90°.其中能将△ABC 变换成△PQR 的是
2020年中考数学专题复习教学案--动手操作题(附答案)
同步测试4
（2020最新模拟·南宁）已知 在平面直角坐标系中的位置如图16所示．画出 绕点 按顺时针方向旋转 ．
【答案】旋转后的图形如图17．
动手操作题
近年来中考数学试题加强了对学生动手操作能力的考查，出现了一类新题型--动手操作题．这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力．解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．
5．将任意三角形剪切可以拼成一个与此三角形面积相等的矩形．
方法如下（如图23—1）：
请你类似上面图示的方பைடு நூலகம்，解答下列的问题：
（1）对任意三角形（如图23—2），设计一种与上例不同的方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形．
（2）对任意四边形（如图23—3），设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．
【答案】1．
类型二：图形拼接型动手操作题
图形拼接问题，就是将已知的若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．
例2（2020最新模拟·安徽）如图5，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．请画出拼成的矩形的简图．
【分析与解答】我们观察图5中的4块图形各边之间的对应关系，找出能拼接在一起的边，如图6就是一种拼接方法．
中考数学试题中动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接型动手操作题、图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型．
(中考数学专题)实验操作型专题.doc
实验操作型专题刘书妹实验操作型问题是指通过动手剪拼、折叠、变换、测量、作图、计算、证明等过程，猜想获得数学结论的探究性问题.此类问题注重探究过程，有助于实践能力和创新能力的培养，为中考热点试题.但在屮考中，由于受考场背景的影响，基木无法亲自动手实验，需要通过思维和空间想彖力去理解，猜想其中的结论或规律，或者结合动手画图的方法，将操作过程展开在图上，结合操作过程中的规律去解决.类型一：折叠类例1 (2014 -泉州)如图1,在锐角三角形纸片ABC中,AOBC，点D, E, F分别在边AB, BC, CA上.(1)已知：DE//AC, DF〃BC.①判断四边形DECF—定是什么形状；②裁剪当AC二24 cm, BC=20 cm, ZACB二45°吋，请你探索：如何剪四边形DECF,能使它的面积最大，并证明你的结论；(2)折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D, E, C, F,使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由.分析：(1)①利用两组对边分別平行可判定四边形DECF是平行四边形：②作6ECF的高，设ODECF的一边为自变最，利用三角函数及相似的知识用白变最表示出高，可列岀ODECF 的面积关于自变量的二次函数，进而利用二次函数的性质求出面积授大时自变量的值，据此口J确定裁剪方案.(2)利用菱形的每条对角线平分一组对角的性质，可先沿ZACB的平分线折證，使CB落在CA上，折线与AB的交点为D；再根据菱形的对角线互相垂直平分，对折DC,即可得到四边重合在一起的四边形，即菱形.解：(1)①平行四边形.②设FC=x cm(0<x<24),贝！J AF= (24-x) cm.如图2,过点F作FH丄BC于点H,则FH=x・ sin45°=—x.2・.・DF〃BC,AAADF^AABC..DF AF IIn DF 24-x• •—9 L屮= •BC AC 20 24...DF二20(247)= )(24一%).24 6・•・S GEC尸DF ・ FH二-(24-x)- —x = -[-(x-12)2+122].6 2 12・••当x=12时，四边形DECF的面积授大，为60血cm2.故沿三角形屮位线DF, DE剪四边形DECK,能使它的面积最大.E 图3（2）如图3,先沿ZACB 的平分线折叠，使CB 落在CA ±,压平，折线与AB 的交点为D ；再对折DC, 使C 与D 重合，压平，折线与BC, CA 的交点分别为E, I ；.展开后四边形DECF 就是菱形.理由：TCD 与EF 是四边形DECK 的对角线，而CD 与EF 互相垂直平分， ・・・四边形DECF 为菱形.点评：此题以三角形为背景，通过剪裁、折叠的实验操作过程进行探究，考杳实验操作能力，同时综 合考查平行四边形及特殊平行四边形、相似、二次函数等知识.跟踪训练：1・（2014 •绍兴）将一正方形纸片按如图所示的步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的 虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ ）2. （2014 •舟山）如图,在一张矩形纸片ABCD 中,AD 二4 cm ，点E, F 分别是CD 和AB 的中点，现将这张纸片折叠，使点B 落在EF 上的点G 处，折痕为AH,若HG 延长线恰好 经过点0,则CD 的长为（）A. 2 cmB. 2>/3 cmC. 4 cmD.类型二：剪拼类例2 （2014 •淄博）如图4,在正方形网格中有一边长为 4的平行四边形ABCD,请将其剪拼成一个有一边长为6的矩 形.（要求：在答题卡的图中価出裁剪线即可）.AB0 ① ② ③第2题图ABCD 第1题图4^3 cm分析：平行四边形的一边ABM,对应的高为6,所以平行四边形ABCD 的面积是24. 剪拼成的矩形的一边长是6,因此另-•边的长是4,据此可设计剪拼方法.解：剪拼方法不唯-，只要符合题意即可.下面给出儿种，如图5.点评：这是一道方法开放的题目，考查动手操作、方案设计的能力•此类拼剪问题，通常利用剪拼前 后图形的面积不变，找到解题的突破口.跟踪训练：3. （2013 -深圳）如图，有一张一个角为30° ,最小边长为2的直角三角形纸片， 沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是（）A. 8或2弟B. 10或4+2拆C. 10或2能D. 8或4+2、行4. （2014 •宁波）一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，贝惘② 的大正方形中未被小止方形覆盖部分的面积是 ______________ （用含a, b 的代数式表示）.① ②笫4题图类型三：操作探究类例3 （2014 •南京）【问题提出】第3题图学习了三角形全等的判定方法（即“ SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”）和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究. 【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在DEF小，AC二DF, BC二EF, ZB=ZE,然后对ZB进行分类，可分为“ZB 是直介、钝饬、锐角”三种情况进行探究.【深入探究】第一种情况：当ZB是直角时，△ABC9ADEF.(1 )如图6,在Z\ABC 和ZWEF 屮，AC二DF, BC二EF, ZB二ZE二90。
数学中考冲刺：动手操作与运动变换型问题--知识讲解(提高)
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解（提高）【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的剪拼问题1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下(如图所示)：请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；(2)对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．【思路点拨】对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线的垂线段而分割出①③两个直角三角形．对于四边形的分割重组，可以先把四边形转化为三角形的问题，再利用三角形的分割重组方法进行．【答案与解析】解：(1)如图所示：(2)如图所示：【总结升华】按照三角形的剪拼方法，探索规律，将任意四边形先分割成三角形，再进行剪拼，使学生经历由简单到复杂的探索过程．举一反三：【变式】（2016•绥化）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）A． B． C． D．【答案】A .当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．故选C ．类型二、实践操作2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 （1）要证∠APB=∠BPH ，由内错角∠APB=∠PBC ，即证∠PBC=∠BPH ，折叠后∠EBP=∠EPB=90°，再由性质等角的余角相等即可得证．（2）△PHD 的周长为PD+DH+PH ．过B 作BQ ⊥PH 构造直角三角形，再利用三角形全等：△ABP ≌△QBP 和△BCH ≌△BQH ．证明AP=QP ， CH=QH ，可得其周长为定值．（3）1()2S BE CF BC =+，关键是用x 来表示BE 、CF ．过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，先由边角关系得△EFM ≌△BPA ，得EM AP ==x ．在Rt △APE 中可由勾股定理表示出BE ，再由228x CF BE EM x =-=+-，很容易用x 表示出S ，再配方求最值．【答案与解析】解：（1）∵PE=BE ，∴∠EBP=∠EPB ．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP ．即∠PBC=∠BPH ．又∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBC ．∴∠APB=∠BPH ．（2）△PHD 的周长不变，为定值 8．证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，∴△ABP ≌△QBP ．∴AP=QP , AB=BQ ．又∵ AB=BC ，∴BC = BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.（3）过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM BC AB ==.又EF 为折痕，∴EF ⊥BP .∴90EFM MEF ABP BEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFM ABP ∠=∠．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM ≌△BPA ．∴EM AP ==x ．∴在Rt △APE 中，222(4)BE x BE -+=． 解得，228x BE =+． ∴228x CF BE EM x =-=+-． 又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等， ∴211()(4)4224x S BE CF BC x =+=+-⨯． 即：21282S x x =-+． 配方得，21(2)62S x =-+， ∴当x =2时，S 有最小值6．【总结升华】本题将函数和几何知识较好的综合起来，对能力的要求较高．本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识．难度较大，是一道很好的压轴题，通过此题能够反映出学生的思维能力及数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系起来．此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x 来表示S ．3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B ＝90°，∠C ＝60°，∠A ＝30°，BC ＝6 cm ；图②中，∠D ＝90°，∠E ＝45°，DE ＝4 cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．(1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐________．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD ＝15°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．【思路点拨】本题以动三角形为背景，考查特殊角的三角函数值、勾股定理．【答案与解析】解：(1)变小．(2)问题①：∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝6，∴AC ＝12．∵∠FDE ＝90°，∠DEF ＝45°，DE ＝4，∴DF ＝4．连结FC ，设FC ∥AB ，∴∠FCD ＝∠A ＝30° ∴在Rt △FDC 中，DC ＝43．∴AD ＝AC －DC ＝1243-即AD ＝(1243)-cm 时，FC ∥AB ．问题②：设AD ＝x ，在Rt △FDC 中，FC 2＝DC 2+FD 2＝(12-x)2+16．(i)当FC 为斜边时，由AD 2+BC 2＝FC 2得2226(12)16x x +=-+，316x =．(ii)当AD 为斜边时，由222FC BC AD +=得22(12)16x x -+=，4986x =>(不符合题意，舍去)． (iii)当BC 为斜边时，由222AD FC BC +=得222(12)166x x +-+=，212620x x -+=， △＝144－248＜0，∴方程无解．另解：BC 不能为斜边．∵FC ＞CD ．∴FC+AD ＞12．∴FC 、AD 中至少有一条线段的长度大于6．∴BC 不能为斜边．∴由(i)、(ii)、(iii)得，当316x =cm 时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形．问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．理由如下：假设∠FCD ＝15°．由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°．作∠EFC 的平分线，交AC 于点P ，则∠EFP ＝∠CFP ＝∠FCP ＝15°，∴PF ＝PC ．∠DFP ＝∠DFE+∠EFP ＝60°．∴PD ＝43，PC ＝PF ＝2FD ＝8．∴PC+PD ＝8+4312>．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．假设∠FCD ＝15°，设AD ＝x ．由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°．作EH ⊥FC ，垂足为H ．∴HE ＝12EF ＝22，CE ＝AC －AD －DE ＝8-x ， 且22(12)16FC x =-+．∵∠FDC ＝∠EHC ＝90°，∠DCF 为公共角，∴△CHE ∽△CDF ．∴EC HE FC DF =． 又2222142HE DF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴212EC FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 整理后，得到方程22(8)1(12)162x x -=-+． ∴14430x =-<(不符合题意，舍去)，24438x =+>(不符合题意，舍去)．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．【总结升华】本题的突破点是将图形静止于所要求的特殊位置，根据题中条件得出相应的结论．本题涉及分类讨论思想、方程思想，有一定的难度．举一反三：【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题 例3 】【变式】如图，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ，OB=6,CD=BC=4，BC ⊥OB 于B,以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在求出直线的解析式,若不存在，请说明理由.【答案】解：如图③，存在符合条件的直线，过点D作DA⊥OB于点A，则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心∴过点P的直线只要平分的面积即可.易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积.即直线PH为所求直线设直线PH的表达式为且过点∵直线OD的表达式为解之，得∴点H的坐标为∴PH与线段AD的交点F的坐标为∴ 解之，得∴直线l 的表达式为类型三、平移旋转型操作题4．两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A ＝60°，AC ＝1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1)如图所示，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积．(2)如图所示，当D 点移动到．AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．(3)如图所示，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时，点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sin α的值．【思路点拨】平移时，CF AD ，AD ＝BE ，根据等底等高的特征，将求梯形面积转化为求ABC S △，旋转时需知道∠ABE ＝90°，BE ＝CB ，运用相似等知识解答．【答案与解析】【解析】(1)过C 点作CG ⊥AB 于G ，如图．在Rt △AGC 中，∵sin 60CG AC=°， ∴32CG =． ∵AB ＝2， ∴1332222ABC CDBF S S ==⨯⨯=△梯形． (2)菱形．∵CD ∥BF ，FC ∥BD ，∴四边形CDBF 是平行四边形∵DF ∥AC ，∠ACB ＝90°，∴CB ⊥DF ，∴四边形CDBF 是菱形．(3)解法一：过D 点作DH ⊥AE 于H ，如图，则11313222ADE S AD EB ==⨯⨯=△， 又1322ADE S AE DH ==△， 332177DH AE ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭或．∴在Rt△DHE中，321 sin1427DHDEα⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．解法二：∵△ADH∽△AEB，∴DH ADBE DE=，即137DH=，∴37 DH=，∴321 sin1427DHDEα⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．【总结升华】本题是平移和旋转类型的操作题，需知道平移和旋转的性质，这两种变换都是全等变换.类型四、动态数学问题5．（2015•石峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）当t为何值时，S△BCD=？【思路点拨】（1）由于∠CAB=90°，易证得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．【答案与解析】解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠CAO=∠ABE．∴Rt △CAO ∽Rt △ABE ． ∴． ∴．∴t=8．（2）由Rt △CAO ∽Rt △ABE 可知：BE=t ，AE=2．当0＜t ＜8时，S △BCD =CD •BD=（2+t ）（4﹣）=． ∴t 1=t 2=3．当t ＞8时，S △BCD =CD •BD=（2+t ）（﹣4）=． ∴，（为负数，舍去）． 当t=3或3+5时，． 【总结升华】考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，解决本题的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．举一反三：【高清课堂：图形的设计与操作及运动变换型问题 例4 】【变式】如图，平行四边形ABCD 中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P 从点A 出发沿折线AB-BC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当P 与C 重合时停止运动，过点P 作AB 的垂线PQ 交AD 或DC 于Q ．设P 运动时间为t 秒，直线PQ 扫过平行四边形ABCD 的面积为S ．求S 关于t 的函数解析式．【答案】解：（1）213S=3(03)22t t t t ∙∙=≤≤； （2）193S=-33333-(310)22t t t t +∙=（）＜≤；（3）116-t 3(16)S=1033-222t -⨯∙∙ 3=1033-16-8t ⨯2（） 23-4323(1016)8t t t =+-＜≤. 综上，S 关于t 的函数解析式为：223(03)29333-(310)23-4323(1016)8t t S t t t t t ⎧⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+-⎪⎪⎩≤≤＜≤＜≤。
中考数学操作型问题专题复习
中考数学操作型问题专题复习初三第二轮复习专题二：操作型问题【知识梳理】操作型问题主要借助三角板、纸片等工具进行图形的折与展、割与补、平移与旋转等变换，通过动手操作和理性的思考，考查学生的空间想象、推理和创新能力。
解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．关键是抓住图形变化中的不变性。
【课前预习】1、如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有一个角为锐角的菱形；④正方形，以上图形一定能被拼成的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，那么展开后三角形的周长是 ( )A．2＋ B．2＋2 C．12 D．．将两个形状相同的三角尺放置在一张矩形纸片上，按如图所示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形状是_______．【例题精讲】例1、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如图①所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q 也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为______．例2、如图，在一块正方形ABCD木板上需贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，△ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸．A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元．【探究1】如果木板边长为2米，FC＝1米，则一块木板用墙纸的费用需________元；【探究2】如果木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用；【探究3】设木板的边长为a(a为整数)，当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最省？如果用这样的多块木板贴一堵墙(7×3平方米)进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不浪费材料，则需要这样的木板多少块？例3、如下图，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图②，量得它们的斜边长为10 cm，较小锐角为30°，再将这两张三角形纸片摆成如图③的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合(在图③至图⑥中统一用F表示)．小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．(1)将图③中的△ABF沿BD向右平移到图④的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离．(2)将图③中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图⑤的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度． (3)将图③中的△ABF沿直线AF翻折到图⑥的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH＝DH.例4．如图所示，有一张长为5，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．(1)该正方形的边长为______(结果保留根号)；(2)现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程．【巩固练习】1、七巧板是我们祖先的一项卓越创造，用它可以拼出多种图形．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图①）经过平移、旋转拼成图形．(1)拼成矩形，在图②中画出示意图；(2)拼成等腰直角三角形．在图③中画出示意图．注意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格的顶点上．2、如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.(1)实践与操作:利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)．①作△ABC的外接圆，圆心为O；②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；③连接BD，交⊙O于点E，连接AE.(2)综合与运用:在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则：①AD与⊙O的位置关系是_______．②线段AE的长为_______．【课后作业】班级姓名一、必做题：1、如图，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是( )2、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若要得到2 011个小正方形，则需要操作的次数是( )A．669 B．670 C．671 D．6723、如图，从边长为(a＋4) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a＋1) cm的正方形(a0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为( ) A．(2a2＋5a)cm2 B．(3a＋15) cm2 C．(6a＋9)cm2 D．(6a＋15)cm24、请将含60°顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形．5．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2,3)、B(－6,0)、C(－1,0)．(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°.画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；(3)请直接写出:以A,B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.6、如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60°，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合．现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动．(1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图；(2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路线与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S．二、选做题：7、在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)，在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图①那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图②所示的位置，此时骰子朝上的点数不可能是下列数中的( )A．5 B．4 C．3 D．18、正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝b(b2a)，且边AD和AE在同一直线上．小明发现：当b＝a时，如图①，在BA上选取中点G，连接FG和CG，移动△FAG和△CBG的位置可构成正方形FGCH. (1)类比小明的剪拼方法，请你就图②和图③两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．⑵要使(1)中所剪拼的新图形是正方形须满足BG:AE= .9、阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题，如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题，他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC、BD、AD＋BC的长度为三边长的三角形（如图②）．请你回答：图②中△BDE的面积等于_______．参考小伟同学思考问题的方法，解决下面的问题：如图③，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．(1)在图③中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；(2)若△ABC的面积为1，则以AD、BE、CF的长度为三边长的三角形的面积等于_______．。
中考数学“动手操作”专题训练试题[1]
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中考数学“动手操作”专题训练试题江苏 文页一、选择题1，如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）A.25°B.30°C.45°D.60°2，如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）.按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）A ．都是等腰梯形B ．都是等边三角形C ．两个直角三角形，一个等腰三角形3，Rt △ABC 中，斜边AB =4，∠B=60º，将△ABC 绕点B 旋转60º，顶点C 运动的路线长是（ ）A．3π B ．3π2 C ．π D ．3π4 4，用一把带有刻度尺的直角尺, ①可以画出两条平行的直线a 和b, 如图(1); ②可以画出∠AOB 的平分线OP, 如图(2); ③可以检验工件的凹面是否为半圆, 如图(3); ④可以量出一个圆的半径, 如图(4). 这四种说法正确的有（ ）图(1) 图(2) 图(3) 图(4)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5，如图1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm6，当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A 所（4）（3）沿虚线剪开对角顶点重合折叠（2）（1）图1 图2A B CD在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ．则∠AFE ＝（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．72︒D ．75︒7，如图，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）A.20B.22C.248，如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）A.18B.16C.12D.89，把一张正方形纸片按如图.对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为10，如图，将n 个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A 1、 A 2、…、A n分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）A ．41cm 2 B ．4n cm 2 C ．41-n cm 2D ．n )41( cm 2 二、填空题11，在同一平面内，用两个边长为a 的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是＿＿＿.① ② ③ ④ ⑤A ．B ．C ．D ．12，如图，是用形状、大小完全相同的等腰提梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是 度.13，用等腰直角三角板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为＿＿＿°.14，如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB CD ，于点M N ，，在MN 上任取两点P Q ，，那么图中阴影部分的面积是 ．15，如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为 cm.16，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝ 度.17，如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB 的高为 0.3米，踏板DE 长为1.6米，支撑点A 到踏脚D 的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E 上升了 __米.A图 （2）图（1）DM N18，小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的一条腰长为_________．三、解答题19，如图是一个食品包装盒的侧面展开图。
2011年中考数学真题分类汇编之第三十八章尺规作图(含答案)
（第8题图）第38章 尺规作图一、选择题1. （2011浙江绍兴，8，4分）如图，在ABC ∆中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点,M N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD .若ADC ∆的周长为10，7AB =，则ABC ∆的周长为（ ）A.7B.14C.17D.20DMN CA B【答案】C二、解答题1. （2011江苏扬州，26,10分）已知，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90º，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D 。
（1）以AB 边上一点O 为圆心，过A ，D 两点作⊙O （不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC 与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若（1）中的⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，AB=6，BD=32, 求线段BD 、BE 与劣弧DE所围成的图形面积。
（结果保留根号和π）【答案】（1）如图，作AD 的垂直平分线交AB 于点O ，O 为圆心，OA 为半径作圆。
判断结果：BC 是⊙O 的切线。
连结OD 。
∵AD 平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAB ∵OA=OD ∴∠ODA=∠DAB∴∠DAC=∠ODA ∴OD ∥AC ∴∠ODB=∠C ∵∠C=90º ∴∠ODB=90º 即：OD ⊥BC ∵OD 是⊙O 的半径 ∴ BC 是⊙O 的切线。
(2) 如图，连结DE 。
设⊙O 的半径为r ，则OB=6-r ， 在Rt △ODB 中，∠ODB=90º，∴ 0B 2=OD 2+BD 2 即：(6-r)2= r 2+(32)2 ∴r=2 ∴OB=4 ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º∵△ODB 的面积为3223221=⨯⨯，扇形ODE 的面积为ππ322360602=⨯⨯ ∴阴影部分的面积为32—π32。
2. （2011山东滨州，23，9分）根据给出的下列两种情况，请用直尺和圆规找到一条直线，把△ABC 恰好分割成两个等腰三角形（不写做法，但需保留作图痕迹）；并根据每种情况分别猜想：∠A 与∠B 有怎样的数量关系时才能完成以上作图？并举例验证猜想所得结论。
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动手操作型问题10．（2012湖北荆州，10，3分）已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2012个图形中直角三角形的个数有( )A ．8048个B ．4024个C ．2012个D ．1066个【解析】本题是规律探索题。
观察图①有4个直角三角形， 图②有四个直角三角形，图③有8个直角三角形，图④有8个直角三角形，图⑤图⑥有12个直角三角形…… 可以发现规律图②→图④→图⑥→图⑧→…… 4 → 8 → 12 → 16 →……直角三角形的个数，依次增加4个，并且图形中直角三角形的个数是图形序号的2倍， 所以第2012个图形中直角三角形的个数有4024个 【答案】B【点评】对于规律探索题，关键是寻找变化图形中的不变的规律。
（2012·哈尔滨，题号22分值 6）22． 图l 、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A 和点B 在小正方形的顶点上．(1)在图1中画出△ABC(点C 在小正方形的顶点上)，使△ABC 为直角三角形(画一个 即可)；(2)在图2中画出△ABD(点D 在小正方形的顶点上)，使△ABD 为等腰三角形(画一个即可)；【解析】本题考查网格中的作图能力、勾股定理以及等腰三角形性质. （1）可以分三种情况来考虑：图① 图② 图③以A （Ｂ）为直角顶点，过A （Ｂ）作ＡＢ垂线（点Ｃ不能落在格点上） 以C 为直角顶点：斜边AB=5，因此两直角边可以是3、4或5、20； （2）也分可分三情况考虑：以A （B ）为等腰三角形顶点：以A （B ）为圆心，以5为半径画弧来确定顶点C ； 以Ｃ为等腰三角形顶点：作AB 垂直平分线连确定点C （点Ｃ不能落在格点上）.【答案】【点评】本题属于实际动手操作题，主要考查学生对格点这一新概念的理解能力、直角三角形、等腰三角形的概念及性质的掌握情况和分类讨论的数学思想，有一定的难度，容易错解和漏解．25. ( 2012年四川省巴中市,25,9)①如图5,在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB,请将△OAB 绕点O 顺时针旋转900,画出旋转后的△OA′B′ ②折纸:有一张矩形纸片如图6,要将点D 沿某直线翻折1800,恰好落在BC 边上的D′处,请在图中作出该直线.【解析】①如图△OA′B′即是旋转900后的图形，②折痕为直线DD′的垂直平分线EF.【答案】画图见解析BC图5图6【点评】本题是对图形变换中的旋转及轴对称变换的考查.24．(2012广安中考试题第24题，8分)（8分）现有一块等腰三角形纸板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm。
若把这个三角形纸板沿其对称轴剪开，拼成一个四边形，请画出你能拼成的各种四边形的示意图，并计算拼成的各个四边形的两条对角线长的和。
思路导引：动手操作，注意分类讨论，进行长度计算问题，联系平行四边形的性质：对角线互相平分，以及直角三角形中的勾股定理分别对每一种情况进行解答解析：设AB=AC=xcm，则BC=（x+2）cm，根据题意得出x＋2＋2x=32，解得x=10。
因此AB=AC=10cm，BC=12cm，过点A做AD⊥BC于点D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=6cm，，可以拼成4种四边形，如图所示：图（1）中两条对角线之和是10＋10=20（cm），图（2）中两条对角线之和是（6）（cm），图（3）中，两条对角线之和是（8）（cm），图（4）中，S△ABC=12AC×BC=12AB×OC，所以OC=AC BCAB⨯=245，两条对角线之和是245×2＋10=19.6（cm）；点评：几何图形的有关剪切、拼接的动手操作问题，往往多解，因此应当分类讨论，分类个数根据得出的几何图形的判定方法以及性质进行，图形的有关计算，往往联系直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数进行.专项四动手操作型问题（38 ）22．（2012北京，22，5）操作与探究：（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以13，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P'.点A B，在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A B''，其中点A B ，的对应点分别为A B ''，．如图1，若点A 表示的数是3-，则点A '表示的数是 ；若点B '表示的数是2，则点B 表示的数是 ；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合，则点E 表示的数是 ；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a ，将得到的点先向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位（00m n >>，），得到正方形A B C D ''''及其内部的点，其中点A B ，的对应点分别为A B ''，。
已知正方形ABCD 内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点F '与点F 重合，求点F 的坐标。
【解析】（1）–3×13+1=0；设B 点表示的数为a ，13a +1=2，a =3；设点E 表示的数为a ,13a +1=a ，解得a =32(2)由点A 到A ’，可得方程组3102a m a m -+=-⎧⎨⨯+=⎩；由B 到B ’，可得方程组3202a m a n +=⎧⎨⨯+=⎩，解得12122a m n ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩设F 点的坐标为（x ,y ），点F ’与点F 重合得到方程组1122122x x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩，即F （1，4）【答案】（1）0，3，32（2）F （1，4）【点评】本题考查了根据给出的条件列出方程或方程组，并解方程组的知识。
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（2012北京，23，7）已知二次函数23(1)2(2)2y t x t x =++++ 在0x =和2x =时的函数值相等。
（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值；（3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。
请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。
【解析】利用已知条件求二次函数及一次函数解析式。
平移后的临界点讨论。
【答案】解：（1）由题意0x =和2x =时的函数值相等可知，233(1)22(2)222t t =+⨯++⨯+ 解得32t =-，∴二次函数的解析式为21322y x x =-++（2）∵二次函数图象必经过点A ∴213(3)(3)622m =-⨯-+-+=-∵一次函数y =kx +6的图象经过点A∴–3k +6= –6，∴k =4（3）由题意可知，点B C ，间的部分图象的解析式为()()1312y x x =--+，13x -≤≤则向左平移后得到的图象C 的解析式为()()312y x n x n =--+++113n x n ---≤≤此时平移后的解析式为46y x n =++由图象可知，平移后的直线与图象C 有公共点，则两个临界的交点为()10n --，与()30n -， 则()0416n n =--++ 23n =()0436n n =-++ 6n =∴263n ≤≤【点评】前两问都比较简单，第三问有一定难度，考察学生对于函数图象平移的理解，以及对于直线与抛物线位置关系的运用。
此题的关键在于临界点讨论需要同学们能够表示出临界点的坐标，带入直线解析式即可得到n 的取值范围。
24．（2012北京，24，7）在ABC △中，BA BC BAC =∠=α，，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段PA绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ 。
（1） 若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；坐标为（3-n,0）（2） 在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3） 对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且P Q Q D =，请直接写出α的范围。
【解析】动点问题和几何变换结合【答案】⑴30CDB ∠=︒⑵ 连接PC AD ，，易证APD CPD △≌△∴AP PC = A D B C D B ∠=∠ P A D P C D ∠=∠ 又∵PQ PA =∴2PQ PC ADC CDB =∠=∠，，PQC PCD PAD ∠=∠=∠∴180PAD PQD PQC PQD ∠+∠=∠+∠=︒∴()360180APQ ADC PAD PQD ∠+∠=︒-∠+=︒ ∴1801802ADC APQ α∠=︒-∠=︒-∴21802CDB α∠=︒- ∴90CDB α∠=︒-⑶ ∵90CDB α∠=︒-，且PQ QD =∴21802PAD PCQ PQC CDB α∠=∠=∠=∠=︒- ∵点P 不与点B M ，重合∴BAD PAD M AD ∠>∠>∠ ∴21802ααα>︒-> ∴4560α︒<<︒【点评】此题并没有考察常见的动点问题，而是将动点问题和几何变换结合在一起，应用一个点构造2倍角。
需要同学们注意图形运动过程中的不变量，此题可以用倒角（上述答案的方法）或是构造辅助圆的方法解决。
C25．（2012北京，25，8）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常距离”，给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -； 若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -.例如：点1(12)P ，，点2(35)P ，，因为|13||25|-<-，所以点1P 与点2P 的“非常距离”为|25|3-=，也就是图1中线段1PQ 与线段2P Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线1PQ 与垂直于x 轴的直线2P Q 的交点）。