高级中等学校招生考试数学试卷
高级中等学校招生统一考试数学试卷
高级中等学校招生统一考试数学试卷第Ⅰ卷（机读卷共32分）一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分．） 下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1．5-的相反数是（ ）Ａ．5Ｂ．5-Ｃ．15Ｄ．15-2．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2 500 000平方千米．将2 500 000用科学记数法表示应为（ ） Ａ．70.2510⨯Ｂ．72.510⨯Ｃ．62.510⨯Ｄ．52510⨯3．在函数13y x =-中，自变量x 的取值范畴是（ ） Ａ．3x ≠ Ｂ．0x ≠ Ｃ．3x >Ｄ．3x ≠-4．如图，AD BC ∥，点E 在BD 的延长线上，若155ADE ∠=，则DBC ∠的度数为（ ） Ａ．155 Ｂ．50Ｃ．45Ｄ．255．小芸所在学习小组的同学们，响应“为祖国争光，为奥运添彩”的号召，主动到邻近的7个社区关心爷爷，奶奶们学习英语日常用语．他们记录的各社区参加其中一次活动的人数如下：33，32，32，31，28，26，32，那么这组数据的众数和中位数分别是（ ） Ａ．32，31 Ｂ．32，32 Ｃ．3，31 Ｄ．3，32 6．把代数式29xy x -分解因式，结果正确的是（ ） Ａ．2(9)x y -Ｂ．2(3)x y +Ｃ．(3)(3)x y y +-Ｄ．(9)(9)x y y +-ＡＤＥＣＢ7．掷一枚质地平均的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为奇数的概率为（ ） Ａ．16Ｂ．13Ｃ．14Ｄ．128．将如右图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是（ ）高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标B 卷）第II 卷（非机读卷共88分）考生须知1．第Ⅱ卷共8页，共八道大题，17个小题．2．除画图能够用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔．二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）9．若关于x 的一元二次方程230x x m -+=有实数根，则m 的取值范畴是．10．若23(1)0m n -++=，则m n +的值为．11．用“>⨯”定义新运算：关于任意实数a ，b ，都有a >⨯21b b +=．例如，7>⨯211744+==，那么5>⨯3=；当m 为实数时，(m m >>⨯⨯2)=．12．如图，在ABC △中，AB AC =，M ，N 分别是AB ，Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．AC的中点，D，E为BC上的点，连结DN，EM．若13cmAB=，10cmBC=，5cmDE=，则图中阴影部分的面积为2cm．三、解答题（共5个小题，共25分）13．（本小题满分5分）11(2006)2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．解：14．（本小题满分5分）解不等式组315260.xx-<⎧⎨+>⎩，解：15．（本小题满分5分）解分式方程12211xx x+=-+．解：16．（本小题满分5分）已知：如图，AB ED∥，点F，点C在AD上，AB DE=，AF DC=．求证：BC EF=．证明：17．（本小题满分5分）已知230x-=，求代数式22()(5)9x x x x x-+--的值．解：ＢＤ四、解答题（共2个小题，共11分．） 18．（本小题满分5分）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=，45C ∠=，BE CD ⊥于点E ，1AD =，22CD =． 求：BE 的长． 解： 19．（本小题满分6分） 已知：如图，ABC △内接于O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，30CAD ∠=．（1）求证：AD 是O 的切线；（2）若OD AB ⊥，5BC =，求AD 的长．（1）证明：（2）解：五、解答题（本题满分5分）20．依照北京市统计局公布的2000年，2005年北京市常住人口相关数据，绘制统计图表如下： 年份 大学程度人数（指大专及以上）高中程度人数（含中专） 初中程度人数小学程度人数其他人数2000年 233 320 475 234 120 2005年362372476212114请利用上述统计图表提供的信息回答下列问题：ＡＤ ＥＣＢＣ Ｄ ＡＯ2000年，2005年北京市常住人口中教育情形统计表（人数单位：万人）（1）从2000年到2005年北京市常住人口增加了多少万人？（2）2005年北京市常住人口中，少儿（014岁）人口约为多少万人？（3）请结合2000年和2005年北京市常住人口受教育程度的状况，谈谈你的看法．解：（1）（2）（3）六、解答题（共2个小题，共9分．）21．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xOy中，直线y x=-绕点O顺时针旋转90得到直线l．直线l与反比例函数kyx=的图象的一个交点为(3)A a，，试确定反比例函数的解析式．解：22．（本小题满分4分）请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为(0)x x>．依题意，割补前后图形的面积相等，有25x=，解得x=成的矩形对角线的长．因此，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．图1 图2图3请你参考小东同学的做法，解决如下问题：现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 说明：直截了当画出图形，不要求写分析过程． 解：七、解答题（本题满分6分）23．如图1，OP 是MON ∠的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考那个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=，AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线，AD ，CE 相交于点F ．请你判定并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图3，在ABC △中，假如ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件不变， 请问，你在（1）中所得结论是否仍旧成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 解：画图：（1）FE 与FD 之间的数量关系为 ．（2）图4 图5N P M O 图1 图2图3八、解答题（本题满分8分）24．已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点(03)A ，，与x 轴分别交于(10)B ，，(50)C ，两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；（3）若一个动点P 自OA 的中点M 动身，先到达x 轴上的某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E ，点F 的坐标，并求出那个最短总路径的长．解：（1）（2）（3）九、解答题（本题满分8分）25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称那个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的专门四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论． 解：（1）（2）高级中等学校招生统一考试数学试卷（课标Ｂ卷）答案及评分参考阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名． 2．第I 卷是选择题，机读阅卷．3．第II 卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明要紧过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．第I卷（机读卷共32分）第II卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分．）三、解答题（本题共30分，每小题5分．）1311(2006)2-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭12=+·············································································4分1=+ ······················································································5分14．解：由不等式315x-<解得2x<．················································2分由不等式260x+>解得3x>-． ·············································4分则不等式组的解集为32x-<<． ·············································5分15．解：(1)2(1)2(1)(1)x x x x x++-=+-．················································2分2212222x x x x++-=-．···························································3分3x=．·································································4分经检验3x=是原方程的解．因此原方程的解是3x=．······························································5分16．证明：因为AB ED∥，则A D∠=∠． ·········································································1分又AF DC=，则AC DF=． ·········································································2分在ABC△与DEF△中，AB DEA DAC DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，·······································································3分因此ABC DEF△≌△．···························································4分因此BC EF=． ······································································5分17．解：22()(5)9x x x x x-+--322359x x x x=-+--·································································2分249x =-． ················································································ 3分 当230x -=时，原式249(23)(23)0x x x =-=+-=． ····················· 5分 四、解答题（共2个小题，共11分）18．解：如图，过点D 作DF AB ∥交BC 于点F ．······································· 1分 因为AD BC ∥，因此四边形ABFD 是平行四边形． ························································ 2分 因此1BF AD ==．由DF AB ∥， 得90DFC ABC ∠=∠=．在Rt DFC △中，45C ∠=，CD =，由cos CFC CD=， 求得2CF =． ··················································································· 3分 因此3BC BF FC =+=． ··································································· 4分在BEC △中，90BEC ∠=， sin BEC BC=．求得BE =． ············································································· 5分 19．解：（1）证明：如图，连结OA ．因为1sin 2B =，因此30B ∠=．故60O ∠=．···························· 1分 又OA OC =，因此ACO △是等边三角形．故60OAC ∠=． ·············································································· 2分 因为30CAD ∠=， 因此90OAD ∠=．因此AD 是O 的切线． ····································································· 3分 （2）解：因为OD AB ⊥， 因此OC 垂直平分AB ． 则5AC BC ==． ············································································· 4分 因此5OA =． ··················································································· 5分在OAD △中，90OAD ∠=， 由正切定义，有tan ADAOD OA∠=．因此AD = ·············································································· 6分 五、解答题（本题满分5分） 20．解：（1）153********-=（万人）． ···················································· 1分 故从2000年到2005年北京市常住人口增加了154万人． （2）153610.2%156.672157⨯=≈（万人）．故2005年北京市常住人口中，少儿（014岁）人口约为157万人． ·········· 3分 （3）例如：依数据可得，2000年受大学教育的人口比例为16.86%，2005年受大学教育的人口比例为23.57%．可知，受大学教育的人口比例明显增加，教育水平有所提高． ············································································································· 5分 六、解答题（共2个小题，共9分）21．解：依题意得，直线l 的解析式为y x =． ··············································· 2分 因为(3)A a ，在直线y x =上，则3a =． ··················································································· 3分 即(33)A ，． 又因为(33)A ，在ky x=的图象上， 可求得9k =． ············································································ 4分 因此反比例函数的解析式为9y x=． ················································ 5分 22．解：所画图形如图所示．说明：图4与图5中所画图形正确各得2分．分割方法不唯独，正确者相应给分． 七、解答题（本题满分6分．） 23．解：图略．画图正确得1分． （1）FE 与FD 之间的数量关系为FE FD =． ········································ 2分 （2）答：（1）中的结论FE FD =仍旧成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连结FG ． ····························· 3分 因为12∠=∠，AF 为公共边，可证AEF AGF △≌△．图4图5因此AFE AFG ∠=∠，FE FG =． ·················· 4分 由60B ∠=，AD CE ，分别是BAC BCA ∠∠，的平分线， 可得2360∠+∠=．因此60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=．因此60CFG ∠=． ··········································································· 5分 由34∠=∠及FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△．因此FG FD =． 因此FE FD =． ················································································ 6分 证法二：如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ． ···························· 3分 因为60B ∠=，且AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线，因此可得2360∠+∠=，F 是ABC △的内心． ············· 4分 因此601GEF ∠=+∠，FG FH =．又因为1HDF B ∠=∠+∠， 因此GEF HDF ∠=∠． ············································· 5分 因此可证EGF DHF △≌△．因此FE FD =． ················································································ 6分 八、解答题（本题满分8分） 24．解：（1）依照题意，3c =，因此3025530.a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得3518.5a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此抛物线解析式为2318355y x x =-+． ··············································· 2分 （2）依题意可得OA 的三等分点分别为(01)，，(02)，． 设直线CD 的解析式为y kx b =+．当点D 的坐标为(01)，时，直线CD 的解析式为115y x =-+； ···················· 3分 当点D 的坐标为(02)，时，直线CD 的解析式为225y x =-+． ··················· 4分图5（3）如图，由题意，可得302M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点M 关于x 轴的对称点为302M ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，， 点A 关于抛物线对称轴3x =的对称点为(63)A '，．连结A M ''．依照轴对称性及两点间线段最短可知，A M ''的长确实是所求点P 运动的最短总路径的长． ······································································································· 5分因此A M ''与x 轴的交点为所求E 点，与直线3x =的交点为所求F 点． 可求得直线A M ''的解析式为3342y x =-． 可得E 点坐标为(20)，，F 点坐标为334⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ·········································· 7分 由勾股定理可求出152A M ''=． 因此点P 运动的最短总路径()ME EF FA ++的长为152． ························· 8分 九、解答题（本题满分8分） 25．解：（1）略．写对一种图形的名称给1分，最多给2分．（2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长． ······························································· 3分已知：四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC BD =，且60AOD ∠=．求证：BC AD AC +≥．证明：过点D 作DF AC ∥，在DF 上截取DE ，使DE AC =． 连结CE ，BE ． ················································································ 4分 故60EDO ∠=，四边形ACED 是平行四边形．因此BDE △是等边三角形，CE AD =． ··············································· 6分因此DE BE AC ==．①当BC 与CE 不在同一条直线上时（如图1），在BCE △中，有BC CE BE +>．因此BC AD AC +>． ··············································· 7分②当BC 与CE 在同一条直线上时（如图2）， 则BC CE BE +=．因此BC AD AC +=． ··············································· 8分 综合①、②，得BC AD AC +≥．A DE FC BO图2A DE F C B O图1x'即等对角线四边形中两条对角线所夹角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．。
1986年河南省高级中等学校招生考试试卷
1986年河南省高级中等学校招生考试数学试卷一、填空：(满分28分，1—6题每空2分，7—10题每空3分) 1．最小的正整数是 ． 2．当x ＝ 时，分式xx-32无意义． 3．n 是正整数，当n ＝ 时， 22-n 为最简二次根式． 4．π2log 2＝ ．5．解高次方程的基本思路是通过 ，把高次方程化为一次方程二次方程；解分式方程的基本思路是通过 ，把分式方程化为整式方程． 6．如果点P 1(－2，0)与点P 2(4，k )的距离是10，则k ＝ ． 7． 边形的内角和为1800°．8．等腰三角形的一边长等于9，另一边长等于4，它的周长是 ．9．直角三角形的两直角边的长分别为6㎝和4㎝，斜边上的中线长为 ㎝． 10．“全等三角形一定是相似三角形”的逆否命题是：_________________________________________________________________． 二、选择题：(每题2分，共10分) 1．下列四个命题中正确的是( )A ．相反数等于本身的实数只有零B ．倒数等于本身的实数只有1C ．绝对值等于本身的实数只有零D ．算术平方根等于本身的实数只有1 2．一项工程，甲队做完需要m 天，乙队做完需要n 天．若甲、乙两队合作，完成这项工程需要的天数为( ) A ．m +n B ．2n m + C ．mn n m + D ．nm mn+ 3．对角线相等的四边形是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．形状不能确定 4．已知点A (1，2)，AC 垂直于Ox 轴，垂足是C ．则点C 的坐标是( )A ．(0，0)B ．(1，0)C ．(2，0)D ．(2，1) 5．一个三角形的一个内角等于其它两个内角的和，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定三、解下列各题：(满分22分，1—4题每题4分，5题6分)1．数a 、b 在数轴上的位置如图，且|a |＞|b |，化简|a |－|a ＋b |－|b －a |．2．计算：()060sin 16.0︒－001.0lg 2-．3．已知样本3，2，1，3，1求这个样本的方差．4．解方程 3－x ＝2x ．5．用如图表示：A 四边形 B 梯形 C 平行四边形 D 矩形 E 菱形 F 正方形的关系，把这些图形的代号分别填入图中适当的位置．四、某工厂计划从1985年到1987年把某种产品的成本下降19％，求平均每年下降的百分数(6分)五、一只船向东航行．上午9时到一座灯塔的西南68海里，上午11时到达这座灯塔正南，求这只船航行的速度．(6分)六、已知函数y ＝y 1－y 2，且y 1与x 成反比例关系，y 2与(x －2)成正比例关系，当x ＝1时y ＝—1，当x ＝3时，y ＝5．求当x ＝5时x ＝？(7分)七、已知方程2x 2＋bx ＋c ＝0的二根分别是b 和2，求bc .(6分)八、已知⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，外公切线AB 分别切⊙O 1于点A ，切⊙O 2于点B ，连心线O 1O 2交⊙O 1于点D ．求证：(1)BC //AD ；(2)AC 2＝BC ·AD ．(8分)九、在一个三角形中，已知一个角B 的2倍等于其它两个角的和，最长边的长与最短边的长的和是8㎝，最长边的长与最短边的长的积是15cm 2，求该三角形的面积及∠B 所对边长．(7分)。
河南省中考数学试题及答案(word版)
河南省初中学业水平暨高级中等学校招生考试试卷数 学注意事项：1. 本试卷分试题卷和答题卡两部分。
试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.2. 试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效.3. 答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置上.参考公式：二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac a b --. 一、选择题 （每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的. 1. -2的相反数是（ ） A . 2 B . 2-- C .21D . 21- 2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）3.方程(x-2)(x +3)=0的解是（ ）A . x =2B . x =3-C . x 1=2-，x 2=3D . x 1=2，x 2=3-4. 在一次体育测试中，小芳所在小组8人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50.则这8人体育成绩的中位数是（ ）A . 47B . 48C . 48.5D . 495. 如图是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个数字，那么在原正方体中，与数字“2”相对的面上的数字是（ ）A . 1B . 4C . 5D . 66. 不等式组⎩⎨⎧>+≤122x x 的最小整数解为（ ）A . 1-B . 0C . 1D . 2第5题3 245 16 A BCD7. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点G ，直线EF 与 ⊙O 相切于点D ，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. AG =BG B. AB //EF C. AD //BC D. ∠ABC =∠ADC8. 在二次函数y =－x 2+2x +1的图象中，若y 随x 的增大而增大，则x 的取值范围是（ ） A. x ＜1 B. x ＞1 C. x ＜－1 D. x ＞－1 二、填空题 （每小题3分，工21分） 9. 计算：._______43=--10. 将一副直角三角板ABC 和EDF 如图放置（其中∠A =60°，∠F =45°），使点E 落在AC 边上，且 ED //BC ，则∠CEF 的度数为_________. 11. 化简：._________)1(11=-+x x x 12. 已知扇形的半径为4 cm ，圆心角为120°，则此扇形的弧长是_________cm.13. 现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字-1，-2，3，4. 把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数 字之积为负数的概率是_________. 14. 如图，抛物线的顶点为P (-2，2)，与y 轴交于点A (0，3). 若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点P ′(2，-2)，点A 的对应 点为A ′，则抛物线上P A 段扫过的区域 （阴影部分）的面积为_________. 15. 如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处，当△CEB ′为直 角三角形时，BE 的长为_________.三、解答题 （本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：(x +2)2+(2x +1)(2x -1)-4x (x +1)，其中2-=x .E CDBA第15题B ′POA第14题xy A′P ′EO FCD B G A 第7题EFC DBA第10题17.（9分）从2013年1月7日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气. 某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表.组别 观点频数（人数）A 大气气压低，空气不流动 80B 地面灰尘大，空气湿度低m C 汽车尾部排放 n D 工厂造成污染120 E其他60请根据图表中提供的信息解答下列问题；（1）填空：m =________，n =_______，扇形统计图中E 组所占的百分比为_________%. （2）若该市人口约有100万人，请你估计其中持D 组“观点”的市民人数；（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C 组“观点”的概率是多少？18.（9分）如图，在等边三角形ABC 中，BC =6cm. 射线AG //BC ，点E 从点A 出发沿射线AG以1cm/s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t (s).（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：△ADE ≌△CDF ；ED AECDB A 调查结果扇形统计图 20%10%（2）填空：①当t 为_________s 时，四边形ACFE 是菱形；②当t 为_________s 时，以A 、F 、C 、E 为顶点的四边形是直角梯形.19.（9分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位. 如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角∠BAE =68°，新坝体的高为DE ，背水坡坡角∠DCE =60°. 求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC （结果精确到0.1米. 参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，3≈1.73）.E C D BA图68°60°20.（9分）如图，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为（2，3）.双曲线)0(>=x xky 的图象经过BC 的中点D ，且与AB 交于点E ，连接DE . （1）求k 的值及点E 的坐标；（2）若点F 是OC 边上一点，且△FBC ∽△DEB ，求直线FB 的解析式.EOF C D BA第20题xy21.（10分）某文具商店销售功能相同的A、B两种品牌的计算器，购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和1个B品牌的计算器共需122元.（1）求这两种品牌计算器的价格；（2）学校毕业前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售. 设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，分别求出y1、y2关于x 的函数关系式；（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由.22.（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°. （1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_________________. （2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE //AB 交BC 于点E （如图4）.若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ， 请直接写出．．．．相应的BF 的长.A (D )B (E ) C图 1ACB DE图 2 M图3AB C DENECD BA图423.（11分）如图，抛物线y =-x 2+bx +c 与直线221+=x y 交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为)273(，. 点P 是y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F .（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 的横坐标为m ，当m 为何值时，以O 、C 、P 、F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由.（3）若存在点P ，使∠PCF =45°，请直接写出．．．．相应的点P 的坐标.PEOF CDBAxyOCDBA 备用图yx参考答案。
2020年北京市中考数学试卷附答案解析版
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2020 年北京市高级中等学校招生考试
数学
此
考生须知：
1.本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题。满分 100 分。考试时间 120 分钟.
2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号.
答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
（2）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE ， EF ， BF 之间的数量关系，并证明．
28.在平面直角坐标系 xOy 中， O 的半径为 1， A，B 为 O 外两点， AB 1 ． 给出如下定义：平移线段 AB ，得到 O 的弦 AB（ A，B 分别为点 A，B 的对应点）， 线段 AA 长度的最小值称为线段 AB 到 O 的“平移距离”. 数学试卷 第 7 页（共 8 页）
（2）若点 A，B 都在直线 y 3x 2 3 上，记线段 AB 到 O 的“平移距离”为 d1 ，求
d1 的最小值；
3
（3）若点
A
的坐标为
2， 2
，记线段
AB
到
O
的“平移距离”为
d2
，直接写出
d2
的
取值范围.
（1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AE a ， BF b ，求 EF 的长（用含 a，b 的式子表示）；
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
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5年年河南省中招考试数学试题卷及答案
2007年河南省高级中等学校招生学业考试试卷数 学注意事项：1. 本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟.请用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后括号内.【 】A.— 1B. 1C.-3 2. 使分式有意义的x 的取值范围为A.x≠2B.X≠-2C.X>-23. 如图，△ABC 与△AB ℃关于直线1对称， 则 Z B 的 度 数 为 【 】A.30°B. 50°C. 90°D. 100°4. 为了某小区居民的用水情况，随机抽查了10户家庭的月用水量，结果如下表：D. 3【 】C. x<2( 第 3 题 )则关于这10户家庭的约用水量，下列说法错误的是【 】A. 中位数是5吨B. 极 差 是 3 吨 C . 平均数是5 . 3吨 D . 众 数 是 5 吨一 、选择题(每小题3分，共18分)1. 计算( - 1)3 的结果是得分 评卷人5. 由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形中的数字表 示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是 【 】A. B. C. D. (第5题图)6. 二次函数y=ax²+x+a² - 1 的图像可能是 【 】A. B. C. D.7. 的相反数是 .8. 计算：(-2x²) · 3x ⁴=9. 写出一个经过点(1, — 1)的函数的表达式10. 如图， PA 、PB 切◎O 于点A 、B,点C 是◎O 上 一 点，且ZACB=65°,则ZP=.(第10题图) (第11题图)11. 如图，在直角梯形ABCD 中， AB//CD,ADICD,AB=1cm,AD=2cm,CD=4cm, 则BC= ·12. 已知x 为整数，且满足- √2≤x≤ √3,则x= .13. 将图①所示的正六边形进行分割得到图②,再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③,再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割， … ,则第n 个图形中共有 个正六边形.● ·0度 二、 填空题(每小题3分，共27分)得分评卷人14.将图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点○为圆心的EF上，若OA=3,Z1=22,则扇形OEF的面积为 .15.如图，点P是ZAOB的角平分线上一点，过P作P C//OA交OB于点C .若ZAOB=60°,O C = 4 , 则点P 到O A 的距离P D 等于三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16 . (8分)(第15题图)17 . (9分)如图，点E 、F 、G分别是□ABCD 的边AB 、BC、CD 、DA 的中点.求证：△BEF丝△DGH .18. (9分)下图是2006年某省各类学校在校生数情况制作的扇形统计图和不完整的条形统计图.人数 ( 万人)得分评卷人得分评卷人已知2006年该省普通高校在校生为97.41万人，请根据统计图中提供的信息解答下列问题：(1)2006 年该省各类学校在校生总人数约多少万人? (精确到1万)(2)补全条形统计图；(3)请你写出一条合理化建议.19.(9分)张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，各自设计了一种方案：张彬：如图，设计了一个可以自由转动的转盘，随意转动转盘，当指针指向阴影区域时，张彬得到了入场券；否则，王华得到入场券；王华：将三个完全相同的小球分别标上数字1、2、3后，放入一个不透明的袋子中.从中随机取出一个小球，然后放回袋子；混合均匀后，再随机取出一个小球.若两次取出的小球上的数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券.请你运用所学的概率知识，分析张彬和王华的设计方案对双方是否公平.20. (9分)如图，A BCD 是边长为1的正方形，其中D E 、EF 、FG 的圆心依次是点A 、B 、C .(1)求点D 沿三条圆弧运动到G 所经过的路线长； (2)判断直线GB 与DF 的位置关系，并说明理由 .(2)在你所画的等腰△ ABC 中设底边BC=5米，求腰上的高BE . 22. (10分)某商场用36万元购进A 、B 两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：(注：获利=售价一进价)(1)该商场购进A 、B 两种商品各多少件?底边上的高AD=BC .(1)求tanB 和sinB 的值；21. (10分)请你画出一个以BC 为底边的等腰△ ABC,使(2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品.购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售.若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元?23 . (11分)如图，对称轴为直线的抛物线经过点A ( 6 , 0 ) 和B ( 0 , 4 ) .(1)求抛物线解析式及顶点坐标；(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形?②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.2007年河南省实验区中考数学试题参考答案79例三、解答题16.解：方程两边同乘以(x+2)(x-2),得3x(x-2)+2(x+2)=3(x+2)(x-2)解之，得X= 4检验：当x=4时，(x+2)(x-2)=(4+2)(4-2)≠0所以，X=4是原方程的解.17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，·ZB= ZD,AB = CD,BC =AD.又∵E、F 、G 、H 分别是平行四边形ABCD 的四边中点， . · B E = DG,BF = DH. · △BEF 丝△DGH.18. 解：(1)2006年该省种类学校在校生总数为97 .41÷4 . 87%≈2000(万人) .(2)普通高中在校生人数约为2000×10 . 08%= 201 . 6(万人) . (没有计算，但图形正确者可给满分)(3)(答案不唯一 ，回答合理即可) .19. 解：张彬的设计方案：,,,所以，张彬的设计方案不公平.王华的设计方案：可能出现的的所有结果列表如下：第一次第二次1 2 31 2 3 42 3 4 53 4 5 65: P ( 王华得到入场券) = P ( 和为偶数) = 9 ,4P(张彬得到入场券)=P(和不是偶数)=9因头所以，王华的设计方案也不公平.20.解：(1)∵AD=1,ZDAE=90°,. D E 的长同理，EF的长所以，点D运动到点G所经过的路线长l=l+1z+l3=3π(2)直线GBLDF .理由如下：延长GB交DF于H.∵CD=CB,LDCF= ZBCG,CF = CG,·△FDC丝△GBC .·ZF =LG.又∵ZF+ ZFDC = 90°,LG + ZFDC = 90°,即ZGHD = 9 0 ,故G B L D F .21. 解：如图，正确画出图形.(1)∵A B=A C,A D工B C,A D=B C,·:AB=√ED²+AD⁷=√5BD即AD=2BD ..(2)作BELAC 于E .在Rt △BEC 中，又 ∵·故BE=2 √5(米).22. (1)设购进A 种商品X 件，B 种商品Y 件.根据题意，得化简，得解之，得答：该商场购进A 、B 两种商品分别为200件和120件. (2)由于A 商品购进400件，获利为(1380- 1200)×400 = 72000(元).从而B 商品售完获利应不少于81600-72000 = 9600(元).设B 商品每件售价为x 元，则120(x- 1000)≥9600. 解之，得x≥1080.所以，B 种商品最低售价为每件1080元.23. 解：(1)由抛物线的对称轴是,可设解析式为把A 、B 两点坐标代入上式，得解之，得故抛物线解析式为,顶点为.(2)∵点E(x y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合:y<0,即-y>0,-y 表示点E 到OA 的距离.∵0A是口OEAF 的对角线，因为抛物线与X 轴的两个交点是(1,0)的(6,0),所以，自变量X 的取值范围是1<X<6.根据题意，当S = 24时，即化简，得 解之，得×=3,X2= 4. 故所求的点E 有两个，分别为El(3,-4),E2(4,—4).点E1(3,-4)满足OE = AE,所以□OEAF 是菱形；点E2(4,—4)不满足OE = AE,所以□OEAF 不是菱形.当OALEF,且OA=EF 时，口OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是(3, 一 3) .而坐标为(3,-3)的点不在抛物线上，故不存在这样的点E,使□OEAF为正方形.(实验区)(濮阳市的中原油田、南阳市的南阳油田)2008年河南省高级中等学校招生统一考试试卷数 学注意事项：1、本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟。
北京市中考数学试卷及答案(完整版)
北京市中考数学试卷及答案（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）2021年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 解析满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2021-2021）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。
将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案：B解析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3 960＝3.96×103 2. 43-的倒数是 A. 34 B. 43 C. 43- D. 34-答案：D解析：(0)a a ≠的倒数为1a ，所以，43-的倒数是34- 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A.51 B. 52 C. 53 D. 54答案：C解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为534. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A. 40°B. 50°C. 70°D. 80° 答案：C解析：∠1＝∠2＝12（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 ∠4＝70°。
5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。
若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：CE CDBE AB=，即102020AB=，解得：AB＝406. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。
2020年北京市高级中等学校招生考试数学试卷及参考答案
2023年河南省中考数学真题(解析版)
2023年河南省普通高中招生考试试卷数学一、选择题1. 下列各数中，最小的数是（ ）A. －lB. 0C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】根据实数的大小比较法则，比较即可解答．【详解】解：∵101-<<<，∴最小的数是-1．故选：A【点睛】本题考查实数的大小比较，负数都小于0，正数都大于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）A. 主视图与左视图相同B. 主视图与俯视图相同C. 左视图与俯视图相同D. 三种视图都相同【答案】A【解析】【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．【详解】解：这个花鹅颈瓶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A ．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键．3. 2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源．数据“4.59亿”用科学记数法表示为（ ）A. 74.5910´B. 845.910´C. 84.5910´D. 90.45910´【答案】C【解析】【分析】将一个数表示为10n a ´的形式，其中110a £<，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．【详解】解：4.59亿8459000000 4.9510==´．故选：C ．【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为10n a ´，其中110a £<，确定a与n 的值是解题的关键．4. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若180∠=︒，230∠=︒，则AOE ∠的度数为（ ）A. 30︒B. 50︒C. 60︒D. 80︒【答案】B【解析】【分析】根据对顶角相等可得180AOD ∠=∠=︒，再根据角和差关系可得答案．【详解】解：∵180∠=︒，∴180AOD ∠=∠=︒，∵230∠=︒，∴2803050AOE AOD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．5. 化简11a a a -+的结果是（ ）A 0 B. 1 C. a D. 2a -【答案】B【解析】的.【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可．【详解】解：11111a a a a a a a--++===，故选：B ．【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．6. 如图，点A ，B ，C 在O e 上，若55C ∠=︒，则AOB ∠的度数为（ ）A. 95︒B. 100︒C. 105︒D. 110︒【答案】D【解析】【分析】直接根据圆周角定理即可得．【详解】解：∵55C ∠=︒，∴由圆周角定理得：2110AOB C ==︒∠∠，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．7. 关于x 的一元二次方程280x mx +-=的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】A【解析】【分析】对于20(0)ax bx c a ++=¹，当0D >, 方程有两个不相等的实根，当Δ0=, 方程有两个相等的实根，Δ0<, 方程没有实根，根据原理作答即可．【详解】解：∵280x mx +-=，∴()2248320m m D =-´-=+>，所以原方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．8. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）A. 12 B. 13 C. 16 D. 19【答案】B【解析】【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可．【详解】设三部影片依次为A 、B 、C ，根据题意，画树状图如下：故相同的概率为3193=．故选B ．【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．9. 二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a 、b 的正负情况，再由一次函数的性质解答．【详解】解：由图象开口向下可知a<0，由对称轴b x 02a=->，得0b >．∴一次函数y x b =+的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出a 、b 的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．10. 如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x ，PB y PC=，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为（ ）A. 6B. 3C.D. 【答案】A【解析】【分析】如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PB PC =，AO =30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为AO OB ==O 作OD AB ^，解直角三角形可得cos303AD AO =×︒=，进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，1PB PC=，∴PB PC =，AO =又∵ABC V 为等边三角形，∴60BAC ∠=︒，AB AC =，∴()SSS APB APC △≌△，∴BAO CAO ∠=∠，∴30BAO CAO ∠=∠=︒，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为∴OB =AO OB ==，∴30BAO ABO ∠=∠=︒，过点O 作OD AB ^，∴AD BD =，则cos303AD AO =×︒=，∴6AB AD BD =+=，即：等边三角形ABC 的边长为6，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．二、填空题11. 某校计划给每个年级配发n 套劳动工具，则3个年级共需配发______套劳动工具．【答案】3n【解析】【分析】根据总共配发的数量=年级数量´每个年级配发的套数，列代数式．【详解】解：由题意得：3个年级共需配发得套劳动工具总数为：3n 套，故答案为：3n ．【点睛】本题考查了列代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列代数式．12. 方程组35,37x y x y +=ìí+=î的解为______．【答案】12x y =ìí=î【解析】【分析】利用加减消元法求解即可．【详解】解：3537x y x y +=ìí+=î①②由3´-①②得，88x =，解得1x =，把1x =代入①中得315y ´+=，解得2y =，故原方程组的解是12x y =ìí=î，故答案为：12x y =ìí=î．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的常用解法：代入消元法和加减消元法，观察题目选择合适的方法是解题关键．13. 某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x （cm ）的统计图，则此时该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约有______棵．【答案】280【解析】【分析】利用1000棵乘以样本中不低于300cm 的百分比即可求解．【详解】解：该基地高度不低于300cm 的“无絮杨”品种苗所占百分比为10%18%28%+=，则不低于300cm 的“无絮杨”品种苗约为：100028%280´=棵，故答案为：280．【点睛】本题考查用样本估计总体，明确题意，结合扇形统计图中百分比是解决问题的关键．14. 如图，PA 与O e 相切于点A ，PO 交O e 于点B ，点C 在PA 上，且CB CA =．若5OA =，12PA =，则CA 的长为______．【答案】103【解析】【分析】连接OC ，证明OAC OBC V V ≌，设CB CA x ==，则12PC PA CA x =-=-，再证明PAO PBC V V ∽，列出比例式计算即可．【详解】如图，连接OC ，∵PA 与O e 相切于点A ，∴90OAC ∠=︒；∵OA OB CA CB OC OC =ìï=íï=î,∴OAC OBC V V ≌，∴90OAC OBC ∠=∠=︒，∴90PAO PBC ∠=∠=︒，∵P P ∠=∠，∴PAO PBC V V ∽，∴PO AO PC BC=，∵5OA =，12PA =，∴13PO ==，设CB CA x ==，则12PC PA CA x =-=-，∴13512x x=-，解得103x =，故CA 的长为103，故答案为：103．【点睛】本题考查了切线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形相似的判断和性质，熟练掌握性质是解题的关键．15. 矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且1AN AB ==．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为______．【答案】21【解析】分析】分两种情况：当90MND ∠=︒时和当90NMD ∠=︒时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当90MND ∠=︒时，∵四边形ABCD 矩形，∴90A ∠=︒，则∥MN AB ，由平行线分线段成比例可得：AN BM ND MD =，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM MD =，∴1AN BM ND MD==，即：1ND AN ==，【∴2AD AN ND =+=，当90NMD ∠=︒时，∵M 为对角线BD 的中点，90NMD ∠=︒∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN ND =，∵四边形ABCD 矩形，1AN AB ==∴90A ∠=︒，则BN ==∴BN ND ==∴1AD AN ND =+=，综上，AD 的长为21，故答案为：21+．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．三、解答题16. （1）计算：135---+；（2）化简：()()224x y x x y ---．【答案】（1）15；24y 【解析】【分析】（1）先求绝对值和算术平方根，再进行加减计算即可；（2）先利用完全平方公式去括号，再合并同类项即可．【详解】（1）解：原式1=335-+15=；（2）解：原式222444x xy y x xy=-+-+24y =．【点睛】本题考查实数的混合运算、多项式乘多项式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．17. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：a ．配送速度得分（满分10分）：甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10b ．服务质量得分统计图（满分10分）：c ．配送速度和服务质量得分统计表：配送速度得分服务质量得分项目统计量快递公司平均数中位数平均数方差甲78m 72s 甲乙8872s乙根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的m =______；2s 甲______2s 乙（填“>”“=”或“<”）．（2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？【答案】（1）7.5；<.（2）甲公司，理由见解析（3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）【解析】【分析】（1）根据中位数和方差概念求解即可；（2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可；（3）根据题意求解即可．【小问1详解】由题意可得，787.52m +==，()()()()22222137748726757110s éù=´´-+´-+´-+-=ëû甲()()()()()()()222222221478721072679725777 4.210s éù=´-+-+´-+´-+-+´-+-=ëû乙，∴22s s <甲乙，故答案为：7.5；<；【小问2详解】∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，∴甲更稳定，∴小丽应选择甲公司；【小问3详解】还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可）【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键．18. 如图，ABC V 中，点D 在边AC 上，且AD AB =．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出A ∠的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．（2）若（1）中所作的角平分线与边BC 交于点E ，连接DE ．求证：DE BE =．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；的（2）证明()SAS BAE DAE △≌△，即可得到结论．【小问1详解】解：如图所示，即为所求，【小问2详解】证明：∵AE 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，∵AB AD =，AE AE =，∴()SAS BAE DAE △≌△，∴DE BE =．【点睛】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．19. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数k y x =图象上的点)A 和点B 为顶点，分别作菱形AOCD 和菱形OBEF ，点D ，E 在x 轴上，以点O 为圆心，OA 长为半径作 AC ，连接BF ．（1）求k 的值；（2）求扇形AOC 的半径及圆心角的度数；（3）请直接写出图中阴影部分面积之和．【答案】（1（2）半径为2，圆心角为60︒（3）23p -【解析】【分析】（1）将)A 代入k y x=中即可求解；（2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出AOD ∠的度数，最后结合菱形的性质求解；（3）先计算出AOCD S =菱形，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k 的几何意义可求出FBO S =V 【小问1详解】解：将)A 代入k y x=中，得1=，解得：k =【小问2详解】解：Q 过点A 作OD 的垂线，垂足为G ，如下图：)A Q ，1,AG OG \==，2OA \==，\半径为2；12AG OA =Q ，∴1sin 2AG AOG OG ∠==，30AOG \∠=︒，由菱形的性质知：30AOG COG ∠=∠=︒，60AOC \∠=︒，\扇形AOC 的圆心角的度数：60︒；【小问3详解】解：2OD OG ==Q ，1AOCD S AG OD \=´=´=菱形221122663AOC S r p p p =´=´´=Q 扇形，如下图：由菱形OBEF 知，FHO BHO S S =V V ，2BHO k S ==V Q2FBO S \==V ，2233FBO AOCD AOC S S S S p p \=+-=+=V 阴影部分面积菱形扇形．【点睛】本题考查了反比例函数及k 的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握k 的几何意义．20. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，30cm AB =，顶点A 处挂了一个铅锤M ．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D ，A 与树顶E 在一条直线上，铅垂线AM 交BC 于点H ．经测量，点A 距地面1.8m ，到树EG 的距离11m AF =，20cm BH =．求树EG 的高度（结果精确到0.1m ）．【答案】树EG 的高度为9.1m 【解析】【分析】由题意可知，90BAE MAF BAD ∠=∠=∠=︒， 1.8m FG =，易知EAF BAH ∠=∠，可得2tan tan 3EF EAF BAH AF ∠==∠=，进而求得22m 3EF =，利用EG EF FG =+即可求解．【详解】解：由题意可知，90BAE MAF BAD ∠=∠=∠=︒， 1.8m FG =，则90EAF BAF BAF BAH ∠+∠=∠+∠=︒，∴EAF BAH ∠=∠，∵30cm AB =，20cm BH =，则2tan 3BH BAH AB ∠==，∴2tan tan 3EF EAF BAH AF ∠==∠=，∵11m AF =，则2113EF =，∴22m 3EF =，∴22 1.89.1m 3EG EF FG =+=+»，答：树EG 的高度为9.1m ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，得到EAF BAH ∠=∠是解决问题的关键．21. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种．活动一：所购商品按原价打八折；活动二：所购商品按原价每满300元减80元．（如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由．（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价．（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a 元，请直接写出a 的取值范围．【答案】（1）活动一更合算（2）400元 （3）当300400a £<或600800a £<时，活动二更合算【解析】【分析】（1）分别计算出两个活动需要付款价格，进行比较即可；（2）设这种健身器材的原价是x 元，根据“选择活动一和选择活动二的付款金额相等”列方程求解即可；（3）由题意得活动一所需付款为0.8a 元，活动二当0300a <<时，所需付款为a 元，当300600a £<时，所需付款为()80a -元，当600900a £<时，所需付款为()160a -元，然后根据题意列出不等式即可求解．【小问1详解】解：购买一件原价为450元的健身器材时，活动一需付款：4500.8360´=元，活动二需付款：45080370-=元，∴活动一更合算；【小问2详解】设这种健身器材的原价是x 元，则0.880x x =-，解得400x =，答：这种健身器材的原价是400元，【小问3详解】这种健身器材的原价为a 元，则活动一所需付款为：0.8a 元，活动二当0300a <<时，所需付款为：a 元，当300600a £<时，所需付款为：()80a -元，当600900a £<时，所需付款为：()160a -元，①当0300a <<时，0.8a a >，此时无论a 为何值，都是活动一更合算，不符合题意，②当300600a £<时，800.8a a -<，解得300400a £<，即：当300400a £<时，活动二更合算，③当600900a £<时，1600.8a a -<，解得600800a £<，即：当600800a £<时，活动二更合算，综上：当300400a £<或600800a £<时，活动二更合算．【点睛】此题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，注意分类讨论的应用．22. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 在x 轴上，球网AB 与y 轴的水平距离3m OA =，2m CA =，击球点P 在y 轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+；若选择吊球，羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．（1）求点P 的坐标和a 的值．（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．【答案】（1）()0,2.8P ，0.4a =-，（2）选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近【解析】【分析】（1）在一次函数上0.4 2.8y x =-+，令0x =，可求得()0,2.8P ，再代入()21 3.2y a x =-+即可求得a 的值；（2）由题意可知5m OC =，令0y =，分别求得0.4 2.80x -+=，()20.41 3.20x --+=，即可求得落地点到O 点的距离，即可判断谁更近．【小问1详解】解：在一次函数0.4 2.8y x =-+，令0x =时， 2.8y =，∴()0,2.8P ，将()0,2.8P 代入()21 3.2y a x =-+中，可得： 3.2 2.8a +=，解得：0.4a =-；【小问2详解】∵3m OA =，2m CA =，∴5m OC =，选择扣球，则令0y =，即：0.4 2.80x -+=，解得：7x =，即：落地点距离点O 距离为7m ，∴落地点到C 点的距离为752m -=，选择吊球，则令0y =，即：()20.41 3.20x --+=，解得：1x =±+（负值舍去），即：落地点距离点O 距离为()1m +，∴落地点到C 点的距离为()(514m -=-，∵42-<，∴选择吊球，使球的落地点到C 点的距离更近．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．（1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点()4,0M 的直线l y P 轴，作ABC V 关于y 轴对称的图形111A B C △，再分别作111A B C △关于x 轴和直线l 对称的图形222A B C △和333A B C △，则222A B C △可以看作是ABC V 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；333A B C △可以看作是ABC V 向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．（2）探究迁移：如图2，ABCD Y 中，()090BAD a a ∠=︒<<︒，P 为直线AB 下方一点，作点P 关于直线AB 的对称点1P ，再分别作点1P 关于直线AD 和直线CD 的对称点2P 和3P ，连接AP ，2AP ，请仅就图2的情形解决以下问题：①若2PAP b ∠=，请判断b 与a 的数量关系，并说明理由；②若AD m =，求P ，3P 两点间的距离．（3）拓展应用：在（2）的条件下，若60a =︒，AD =，15PAB ∠=︒，连接23P P ．当23P P 与ABCD Y 的边平行时，请直接写出AP 的长．【答案】（1）180︒，8．（2）①2b a =，理由见解析；②2sin m a（3）或【解析】【分析】（1）观察图形可得222A B C △与ABC V 关于O 点中心对称，根据轴对称的性质可得即可求得平移距离；（2）①连接1AP ，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ∠=∠∠=∠，，进而可得22PAP BAD ∠=∠，即可得出结论；②连接113,PP PP 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ^，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ==，且113PP AB PP CD ^^，，得出32PP EF =，证明四边形EFDG 是矩形，则DG EF =，在Rt DAG △中，根据sin DG DAG DA∠=，即可求解；（3）分23P P AD ∥，23P P CD ∥，两种情况讨论，设AP x =，则12AP AP x ==，先求得1PP x =，勾股定理求得13PP ，进而表示出3PP ，根据由（2）②可得32sin PP AD a =，可得36PP =，进而建立方程，即可求解．【小问1详解】（1）∵ABC V 关于y 轴对称的图形111A B C △，111A B C △与222A B C △关于x 轴对称，∴222A B C △与ABC V 关于O 点中心对称，则222A B C △可以看作是ABC V 绕点O 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180︒∵()1,1A -，∴12AA =，∵()4,0M ,13,A A 关于直线4x =对称，∴131248A A AA +=´=，即38AA =，333A B C △可以看作是ABC V 向右平移得到的，平移距离为8个单位长度．故答案为：180︒，8．【小问2详解】①2b a =，理由如下，连接1AP ，由对称性可得，112PAB P AB P AD P AD ∠=∠∠=∠，，2112PAP PAB P AB P AD P AD∠=∠+∠+∠+∠1122P AB P AD=∠+∠()112P AB P AD =∠+∠2BAD=∠∴2b a =，②连接113,PP PP 分别交,AB CD 于,E F 两点，过点D 作DG AB ^，交AB 于点G ，由对称性可知：113PE PE PF P F ==，且113PP AB PP CD ^^，，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD∥∴13P P P ，，三点共线，∴311311222PP PE PE PF P F PE PF EF =+++=+=，∵113,,PP AB PP CD DG AB ^^^，∴1190PFD PEG DGE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFDG 是矩形，∴DG EF =，在Rt DAG △中，DAG a ∠=，AD m=∵sin DG DAG DA∠=，∴sin sin DG AD DAG m a =×∠=,∴3222sin PP EF DG m a===【小问3详解】解：设AP x =，则12AP AP x ==，依题意，12PP AD ^，当23P P AD ∥时，如图所示，过点P 作1PQ AP ^于点Q ，∴12390PP P ∠=︒∵15PAB ∠=︒，60a =︒，∴1320P PAP AB ∠=︒∠=，1245DAP DAP ∠=∠=︒∴2190P AP ∠=︒，则12PP =，在1APP V 中，()111180752APP PAP ∠=︒-∠=︒，∴213180457560P PP ∠=︒-︒-︒=︒，则13230PP P ∠=︒，∴13212PP P P ==在Rt APQ △中，30PAQ ∠=︒，则1122PQ AP x ==，AQ x ==，在1Rt PQP V 中，11PQ AP AQ x x =-=，1PP x ====，∴3113PP PP PP x x =+=+=由（2）②可得32sin PP AD a =，∵AD =∴326PP =´=6x =，解得：x =；如图所示，若23P P DC ∥，则13290PP P ∠=︒，∵21360P PP ∠=︒，则32130P P P ∠=︒，则131212PP PP x ==，∵1PP x =，3PP x x x =+=，∵36PP =，6=，解得：x =，综上所述，AP 的长为或【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．。
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高级中等学校招生考试数学试卷考生须知：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共8页．全卷共九道大题，25道小题．2．本试卷满分120分，考试时间120分钟．3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号．4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（机读卷共32分）考生须知：1．第Ⅰ卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题．2．考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．6-的绝对值等于（）A．6B．16C．16-D．6-2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（）A．50.21610⨯B．321.610⨯C．32.1610⨯D．42.1610⨯3．若两圆的半径分别是1cm和5cm，圆心距为6cm，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（）A．50，20 B．50，30 C．50，50 D．135，505．若一个多边形的内角和等于720o，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．86．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）A．15B．25C．12D．357．若20x +=，则xy 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．5D ．68．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）2008年北京市高级中等学校招生考试数 学 试 卷二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数121y x =-中，自变量x 的取值范围是 ． 10．分解因式：32a ab -= ．11．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点， 若2cm DE =，则BC = cm ．12．一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）．三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）1012sin 45(2)3-⎛⎫+-π- ⎪⎝⎭o ．解：CA E D BO P M O M ' M P A ． O M ' M P B ． OM ' M P C ． O M ' M P D ．解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来．解： 15．（本小题满分5分） 已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =． 求证：AC CD =．证明：16．（本小题满分5分）如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标． 解： 17．（本小题满分5分） 已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y+--+g 的值． 解：四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=o，AD =BC =求DC 的长． 解：ACE DBy ABCD已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=o，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O e 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．解：（1）（2）五、解答题（本题满分6分）20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：请你根据以上信息解答下列问题： （1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明．．．．．．．．．．．，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响． 解：（1）A图1“限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图 “限塑令”实施后，使用各种购物袋的人数分布统计图 其它 ％ 46%24%（2）六、解答题（共2道小题，共9分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？ 解： 22．（本小题满分4分）已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．（1）若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；（2）实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为 ；（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为 ；m 的取值范围为 ．图1图2 A B 备用图 A B备用图七、解答题（本题满分7分）23．已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．（1）证明：（2）解：（3）解：八、解答题（本题满分7分）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数． 解：（1）（2）x（3）九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=o，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<oo，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC 的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PGPC= ．（2）高级中等学校招生考试 数学试卷答案及评分参考D A BE F C P G 图1 D C G PA B F图2阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名．2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．第Ⅰ卷（机读卷共32分）第Ⅱ卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）13．（本小题满分5分）112sin45(2π)3-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭o2132=⨯+-····················································································4分2 =．···································································································5分14．（本小题满分5分）解：去括号，得51286x x--≤． ····································································1分移项，得58612x x--+≤． ···········································································2分合并，得36x-≤． ·······················································································3分系数化为1，得2x-≥． ·················································································4分···················································································································5分15．（本小题满分5分）证明：AB EDQ∥，B E∴∠=∠．·······························································································2分在ABC△和CED△中，AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ABC CED ∴△≌△． ···················································································· 4分 AC CD ∴=． ······························································································· 5分 16．（本小题满分5分）解：由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上， ·············································· 1分 231k ∴--=．解得2k =-．································································································ 2分∴直线的解析式为23y x =--． ······································································· 3分令0y =，可得32x =-． ∴直线与x 轴的交点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ······························································· 4分令0x =，可得3y =-．∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-，． ································································· 5分 17．（本小题满分5分） 解：222()2x yx y x xy y +--+g22()()x yx y x y +=--g ························································································· 2分 2x yx y+=-． ··································································································· 3分 当30x y -=时，3x y =． ·············································································· 4分原式677322y y y y y y +===-． ··············································································· 5分四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分） 解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ． ····································· 1分 ∴AE DF ∥． 又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形．A BCDF E 图1EF AD ∴== ····································· 2分AB AC ⊥Q ，45B ∠=o，BC = AB AC ∴=．12AE EC BC ∴===DF AE ∴==CF EC EF =-=···················································································· 4分在Rt DFC △中，90DFC ∠=o，DC ∴=== ············································· 5分 解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． ···················· 1分 AB AC ⊥Q ，90AED BAC ∴∠=∠=o ．AD BC Q ∥，18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=o o ．在Rt ABC △中，90BAC ∠=o，45B ∠=o，BC =sin 4542AC BC ∴===o g ································································· 2分 在Rt ADE △中，90AED ∠=o，45DAE ∠=o，AD =1DE AE ∴==．3CE AC AE ∴=-=． ·················································································· 4分 在Rt DEC △中，90CED ∠=o，DC ∴===． ························································· 5分 19． （本小题满分5分）解：（1）直线BD 与O e 相切． ········································································ 1分 证明：如图1，连结OD ． OA OD =Q ， A ADO ∴∠=∠．90C ∠=o Q ， 90CBD CDB ∴∠+∠=o ．又CBD A ∠=∠Q ，90ADO CDB ∴∠+∠=o ．AABCDFE图290ODB ∴∠=o ．∴直线BD 与O e 相切． ················································································· 2分 （2）解法一：如图1，连结DE ．AE Q 是O e 的直径， 90ADE ∴∠=o ．:8:5AD AO =Q ，4cos 5AD A AE ∴==． ······················································································ 3分 90C ∠=o Q ，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ··············································································· 4分 2BC =Q ， 52BD ∴=． ······································································ 5分 解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12AH DH AD ∴==．:8:5AD AO =Q ，4cos 5AH A AO ∴==． ··················· 3分 90C ∠=o Q ，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ································· 4分 2BC =Q ，52BD ∴=． ································································································· 5分 五、解答题（本题满分6分） 解：（1）补全图1见下图． ·············································································· 1分91372263113100100⨯+⨯+⨯+==（个）．这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数为3个． ································· 3分200036000⨯=．估计这个超市每天需要为顾客提供6000个塑料购物袋． ········································· 4分 （2）图2中，使用收费塑料购物袋的人数所占百分比为25%． ······························· 5分A图1 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料．．购物袋的人数统计图根据图表回答正确给1分，例如：由图2和统计表可知，购物时应尽量使用自备袋和押金式环保袋，少用塑料购物袋；塑料购物袋应尽量循环使用，以便减少塑料购物袋的使用量，为环保做贡献． ································································································· 6分 六、解答题（共2道小题，共9分）21．解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x 千米，则由天津返回北京的平均速度是每小时(40)x +千米． ········································································· 1分依题意，得3061(40)602x x +=+． ···································································· 3分 解得200x =． ······························································································ 4分答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米． ······························ 5分 22．解：（1）重叠三角形A B C '''． ··················································· 1分（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''2)m -； ······················· 2分m 的取值范围为843m <≤． ··········································································· 4分七、解答题（本题满分7分）23．（1）证明：2(32)220mx m x m -+++=Q 是关于x 的一元二次方程，222[(32)]4(22)44(2)m m m m m m ∴∆=-+-+=++=+． Q 当0m >时，2(2)0m +>，即0∆>．∴方程有两个不相等的实数根． ········································································ 2分（2）解：由求根公式，得(32)(2)2m m x m+±+=．22m x m+∴=或1x =． ·················································································· 3分 0m >Q ，222(1)1m m m m++∴=>．12x x <Q ，11x ∴=，222m x m +=． ················································································ 4分 21222221m y x x m m+∴=-=-⨯=．即2(0)y m m =>为所求． ······················· 5分（3）解：在同一平面直角坐标系中分别画出2(0)y m m=>与2(0)y m m =>的图象．····························································· 6分0)。