2020年4月浙江自考复变函数试题及答案解析
复变函数考试试题及参考答案
复变函数考试试题及参考答案下面是十道复变函数考试试题(一)的参考试题及答案：1.计算下列复数的幂函数：$z=1+i$,$n=3$。
答案：$(1+i)^3=-2+2i$。
2.计算下列复数的幂函数：$z=-2+i$,$n=4$。
答案：$(-2+i)^4=7-24i$。
3.求解方程：$z^2+4z+5=0$。
答案：可以使用求根公式求解，$(z+2)^2+1=0$，得到两个解：$z_1=-2+i$和$z_2=-2-i$。
4. 计算下列复数的极坐标形式：$z = 3e^{i \pi/6}$。
答案：$z = 3\cos(\pi/6) + 3i\sin(\pi/6) = \frac{3}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2}i$。
5.计算下列复数的共轭复数：$z=2-i$。
答案：$z^*=2+i$。
6. 将下列复数表示为共轭形式：$z = 4e^{i \pi/3}$。
答案：$z = 4\cos(\pi/3) + 4i\sin(\pi/3) = 4(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) = 2 + 2\sqrt{3}i$。
7.计算下列复数的实部和虚部：$z=3+2i$。
答案：实部为3，虚部为28.计算下列复数的模长：$z=-4+3i$。
答案：$，z， = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
9.求复数的幂函数：$z=-1-i$,$n=2$。
答案：$(-1-i)^2=1-2i-1=-2i$。
10. 求复数的幂函数：$z = \sqrt{3} + i$, $n = 3$。
答案：$(\sqrt{3} + i)^3 = -2\sqrt{3} + 2i$。
复变函数习题及答案解释
第一篇 复变函数第一章 复数与复变函数1. 求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模与幅角.（1） 72)52)(43(ii i −+；（2） .4218i i i +−2. 当x ，y 等于什么实数时，等式i iiy x +=+−++135)3(1 成立？3.证明：（1）;2z z z = （2）1122,z z z z = .02≠z4.求下列各式的值： （1）();35i −（2）().131i +−5.求方程083=+z 的所有根.6.设1z ,2z ,3z 三点适合条件0321=++z z z ，证明1z ,2z ,3z 是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点.7.指出下列各题中点z 的轨迹或所在的范围：（1）;65=−z（2）;12≥+i z（3）.i z i z −=+8.描述下列不等式所确定的区域，并指出它是有界的还是无界的： （1）;32≤≤z（2）.141+<−z z9.将方程tt z 1+=（t 为实参数）给出的曲线用一个实直角坐标方程表出.第一章 复习题1.单项选择题（1）设iy x z +=，y x ≠||，4z 为实数，则（ ）.A ．0=xy B.0=+y x C ．0=−y x D.022=−y x（2）关于复数幅角的运算，下列等式中正确的是（ ）. A ．Argz Argz 22= B.z z arg 2arg 2=C ．2121arg arg )arg(z z z z += D.2121)(Argz Argz z z Arg += （3）=+31i （ ）.A ．ie 62πB.ie 62π−C ．ie 62π± D.i e62π±（4）2210<++<i z 表示（ ）. A ．开集、非区域 B.单连通区域 C ．多连通区域 D.闭区域（5）z i z f =−1，则()=+i f 1（ ）.A ．1 B.21i+ C ．21i− D.i −1 （6）若方程1−=z e ，则此方程的解集为（ ）.A ．空集 B.π)12(−=k z ，（k 为整数） C ．i k z π)12(−= D. πi z =2.对任何复数22,z z z =是否一定成立？3. 解方程.0)1(22=−++i z z4. 求)(i Ln −，)43(i Ln +−和它们的主值.5. 求i e 21π−，i i e41π+，i 3和ii )1(+值.第二章 导数1．下列函数何处可导?何处解析? (1) ();2iy x z f −=(2) ().22y ix xy z f +=2.指出下列函数()z f 的解析性区域，并指出其导数.(1) ();22iz z z f +=(2) ();112−=z z f（3）(),dcz baz z f ++=（d c ,中至少有一个不为0）.3.设()2323lxy x i y nx my +++为解析函数，试确定l 、m 、n 的值.4.证明：如果()z f 在区域D 内解析，并满足下列条件之一，那么是常数. （1）()z f 恒取实值. （2）)(z f 在区域D 内解析. （3）()z f 在区域D 内是一个常数.5.应用导数的定义讨论下列函数的是否存在？（1）())Re(z z f =；（2）())Im(z z f =.6.证明；,sin z e z 在复平面上任一点都不解析.第二章 复习题1.单项选择题（1）函数()z f w =在点0z 可导是可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（2）函数()z f w =在点0z 可导是连续的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（3）函数()),(),(y x iv y x u z f +=，则在()00,y x 点，v u ,均可微是函数()z f 在点0z 可微的（ ）.A ．必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件 C ．充分必要条件D. 既非充分也非必要条件（4）函数()22ix xy z f −=，那么（ ）. A ．()z f 处处可微 B. ()z f 处处不可导 C ．()z f 仅在原点可导 D. ()z f 仅在x 轴上可导（5）若,0,,00,),(222222=+≠++=y x y x y x xy y x u ，,),(xy y x v =()iv u z f +=，则()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导 B. ()z f 处处不可导C ．()z f 除原点外处处可导 D. ()z f 处处可微（6）若()()y x y i xy x z f 233333+−+−=， 那么()z f （ ）.A ．()z f 仅在原点可导且()00=′f B. ()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322+−=′ C ．()z f 处处解析且()xy i y x z f 63322−−=′ D. ()z f 处处解析且()xy i x y z f 63322+−=′ （7）函数()z z z f = ，则（ ）. A ．()z f 在全平面解析 B. ()z f 仅在原点解析C ．()z f 仅在原点可导但不解析 D. ()z f 处处不可导（8）设()34−=′z z f ，且()i i f 31−=+，则()=z f （ ）.A ． i z z −−322 B. i z z 3322+− C ．i z z 43322+−+ D. i z z 43322−+− 2.指出函数112+z 的解析性区域，并求导数.3.如果0z 是()z f 的奇点，而()z g 在0z 解析，那么0z 是否是())(z g z f +和())(z g z f 的奇点.4.若()iv u z f +=是区域D 内的解析函数，那么在D 内v +iu 是否也是解析函数.第三章 积分1.沿下列路径计算积分∫Czdz Re .（1）自原点至1+i 的直线段；（2）自原点沿实轴至1，再由1铅直向上至1+i ；（3）自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平向右至1+i .2.分别沿y =x 与2x y =计算积分()∫++i dz iy x102的值.3计算积分dz zzC∫，其中C 为正向圆周，2=z .4.计算下列积分 ，其中C 为正向圆周，1=z . （1）;21dz z C ∫− （2）;4212dz z z C ∫++（3）;cos 1dz zC ∫ （4）;211dz z C∫−（5）;dz ze Cz ∫（6）().)2(21dz i z z C∫−+5.沿指定曲线正向计算下列积分：（1）dz z C ∫−21，C ：12=−z ；（2）dz a z C ∫−221，C: a a z =−；（3）,3dz z zC ∫− C ：2=z ；（4）()()dz z z C∫++41122，C ：23=z ；（5）dz zzC ∫sin ，C ：1=z ； （6）dz z zC∫−22sin π，C ：2=z .6.计算下列各题： （1）∫−ii z dz e ππ32；（2）∫−iizdz ππ2sin ；（3）.)(0∫−−iz dz e i z7.计算下列积分：（1）dz i z z C ∫+++2314，C ：4=z ，正向； （2）dz z iC ∫+122，C ：61=−z ，正向； （3）,cos 213dz z zC C C ∫+= 1C ：2=z ，正向，2C ：3=z ，负向；（4）dz i z C ∫−1，C 为以i 56,21±±为顶点的正向菱形； （5）()dz a z eC z∫−3；其中a 为1≠a 的任何复数，C ：1=z ，正向.9. 设C 为不经过a 与a −的简单正向闭曲线，a 为不等于0的任何复数，试就a 与a −跟C 的各种不同位置，计算积分dz a z zC ∫−22的值.第三章 复习题1.单项选择题.（1）设C 为θi e z =，θ从2π−到2π的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．i B.2i C ．-2i D.- i（2）设C 是从0=z 到i z +=1的直线段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1+i B.21i+ C ．i e4π− D. ie 4π（3）设C 为θi e z =，θ从0到π的一段，则=∫Czdz arg （ ）.A ．i 2−−π B. π− C ．i 2+π D. i 2−π（4）设C 为t i z )1(−=，t 从1到0的一段，则=∫Cdz z （ ）.A ．1 B.-1 C ．i D.- i（5）设C 为1=z 的上半部分逆时针方向，则=−∫Cdz z )1(（ ）.A ．2i B.2 C ．-2i D.- 2（6）设C 为θi e z 21=，正向，则=−∫C z dz e e zsin （ ）.A ．sin1 B.e i 1sin 2π C ．e i 1sin 2π− D.0（7）=++∫=dz z z z 12221（ ）.A ．i π2 B.i π2− C ．0 D.π2 （8）设C 为沿抛物线12−=x y 从()0,1−到()0,1的弧度，则=+∫C dz z )1sin(（ ）.A ．0 B.2cos − C ．12cos − D. 12cos − （9）=++∫=+dz z z e z z 232)1(232（ ）. A ．0 B.i π32C ．i π2 D. i π2−（10）=++∫=dz z z zz 121682cos π（ ）A ．0 B.i π C ．i π− D. i π2.（11）=+∫=dz z zz 221（ ）.A ．0 B.i π2 C ．i π2− D. i π（12）=∫=dz z e z z12（ ）.A ．i π2 B. i π C ．0 D. π （13）1322z z z e dz ==∫（ ）.A ．i π2 B. i π16 C ．i π8 D. i π4 2.计算()∫Γ−=dz z z e I z12，其中Γ是圆环域：221≤≤z 的边界.3.（1）证明：当C 为任何不经过原点的闭曲线时，则;012=∫dz zC（2）沿怎样的简单闭曲线有;012=∫dz z C（3）沿怎样的简单闭曲线有.0112=++∫dz z z C4.设(),4ζζζπd ze zf C ∫−=其中C ：2=z ，试求()i f ，()i f −及()i f 43−的值.5.计算()22,2z Ce z I dz z =+∫其中C ：.1=z6.()()∫=−=12,ζζζdz z e z f z()1≠z ，求().z f ′第四章 级数1.判别下列级数的绝对收敛性与收敛性：();11∑∞=n nni()∑∞=2;ln 2n nni();8)56(30∑∞=+n n ni().2cos 40∑∞=n n in2.求下列幂级数的收敛半径：()为正整数）；p nz n p n(,11∑∞=()∑∞=12;)!(2n nn z nn()∑∞=+0;)1(3n nnz i().41∑∞=n n n iz e π3.把下列各函数展开成z 的幂级数，并指出它们的收敛半径： ();1113z +();)1(1223z +();cos 32z();4shz();5chz().sin 622z e z4.求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径： ();1,1110=+−z z z()();110,10,1122<−<<<−z z z z()()(),2113−−z z;21,110+∞<−<<−<z z()()为中心的圆环域内；在以i z i z z =−,142第四章 复习题1.单项选择题：()().112的收敛半径为幂级数∑∞=n nin z e0.A 1.B 2.C ∞.D()()∑∞=1.1sin 2n nnz n 的收敛半径为幂级数0.A 1.B e C . ∞.D()()()∑∞=−1.13n n n z i 的收敛半径为幂级数1.A 21.B 2.C 21.D()()()∑∞=+12.434n n n z i 的收敛半径为幂级数5.A 51.B 5.C 51.D ()()∑∞=1.!5n nn z n 的收敛半径为幂级数1.A ∞.B 0.C e D .()()∑∞−∞=−=>=n nne a z za z z.,0,6721则设!71.A !71.−B !91.C !91.−D()∑∞==−10,2.2n nn z z a 收敛，能否在幂级数 .3发散而在=z().1.32的和函数求n n z n n ∑∞=−.0cos 1.40处的泰勒展开式在求=−∫z d zζζζ上的罗朗展开在求函数11sin .512>−∫=ζζζζz d z .式第五章 留数1.判断下列函数奇点的类型，如果是极点，指出它的阶数：()();11122+z z();sin 23z z();11323+−−z z z()();1ln 4zz +();511−z e()().1162−z e z()..2在有限奇点处的留数求下列各函数z f();2112zz z −+();1242z e z −()();113224++zz();cos 4zz();11cos5z−().1sin 62zz3.计算下列各积分（利用留数，圆周均取正向）.();sin 123∫=z dz z z()();12222dz z e z z∫=−()();,cos 1323为整数m dz z zz m∫=−();tan 43∫=z zdz π().521111∫=−−z z dz ze点？并是下列各函数的什么奇判断∞=z .4.的留数求出在∞();121z e();sin cos 2z z −().3232zz+()[]的值，如果：求∞,Re 5.z f s()();112−=z ez f z()()()().41124−+=z z z z f6.计算下列各积分，C 为正向圆周：()()()∫=++Cz C dz zzz ;3:,211342215().2:,1213=+∫z C dz e z z zC7.计算下列积分：();sin 351120θθπd ∫+()();0,cos sin 2202>>+∫b a d b a θθθπ()()∫+∞∞−+;11322dx x()∫+∞∞−++.54cos 42dx x x x第五章 复习题1.单项选择题：()().1sin101的是函数zz = 本性奇点.A 可去奇点.B 一级奇点.C 非孤立奇点.D()().0,1cos Re 2=z z s0.A 1.B 21.C 21.−D()()()().,11Re 32=+−i z i z s 4.i A 4.i B − 41.C 41.−D()().0,1Re 44=−−z e s z !31.A !31.−B !41.C !41.−D()()()∫=−=+21.,15z n n n dz z z 为正整数0.A i B π2. i n C π2. niD π2.()()∫=−=11.6z zz dz zei e A 1.−π i B π2. i e C 12.−π i D π2.−()()∫==−25.117z dz z 0.A i B π2. i C π25. i D π52.2.判断zz e 1+的孤立奇点的类型，并求其留数.3.计算n dz z z z n,1cos 1∫=是正整数.4.计算积分∫=−+114.1z z dz5.计算积分∫+πθθ20.cos 2d6.计算∫+∞+04.11dx x7.计算∫+∞+02.42cos dx x x复变函数总复习题一、单项选择题：(1) 函数z w ln =在i e z =处的值为（）. (k 为整数)A. ()i k 12+πB. ()i k π12+C. i k π2D. i k π+212(2) 设积分路径C 为从原点到i +2的直线段, 则积分()=∫Cydz .A. 21i− B. 21i +C. i +1D. i −1(3) 1=z 是函数1ln 2−z z的( ).A. 可去奇点B. 极点C. 本性奇点D. 非孤立奇点 (4) 设()33iy x z f −=, 则()z f 在复平面上( ).Ａ. 处处可导 B. 仅在0=z 处解析 C. 处处不可导 D. 仅在0=z 处可导(5) ()()=−∫=−dz z e z iz211221. A.21i+ B. i +1 C. ()i e i +−12π D. 2π−(6) 函数21z e z+以∞=z 为( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(7) 0=z 是ze z 111−−的( ).Ａ. 可去奇点 B. 极点 C. 本性奇点 D. 解析点(8) 由2121>−z 与2123>−i z 所确定的点集是( ).A. 开集、非区域 Ｂ. 单连通区域 C. 多连通区域 D. 闭区域(9) ()=+−∫=dz z z z z z 122sin cos 1. A. 0 B. i π2 C. i π D. i π3二、填空题：1. =i e π9 .2.=+∫=dz z z 12121. 3. 设()()z z z f Im =, 则()=′0f .4. 级数()()()∑∞=+−+−0124121n n nz n 的收敛范围为 .5. 函数z 211−在+∞<<z 21内的罗朗展式为 . 6.()=−∫=dz z z 12 .7. 级数()∑∑∞=∞=+−12121n n n n n nn z z 的收敛范围是 .8. ()2236z z z z z f ++−=, ()()=∞,Re z f s .9. =−1,1sin Re z z s ;=−1,11sin Re z z s .三、解答下列各题:1. 已知()(),21i i z −+= 求()Re z .2. 求2122lim 1z zz z z z →+−−−.3. 讨论()2z z f =在0=z 处的可导性及解析性.4. 讨论()()yx i x y x z f 322322−++−−=的解析性, 并求出在解析点处的导数.5. 计算()12CIi z dz =+−∫, 其中C 为连接01=z , 12=z 和i z +=13, 从1z 至2z 至3z 的折线段.6. 将z 2sin 展开为z 的幂级数.7. 求级数()n n nn z n 214302+++∑∞=的收敛圆, 并讨论在47−=z 和49−=z 处的收敛性.8. 求()242−=z z z f 在3<z 内所有留数之和.9. 求函数z cot 在它所有有限孤立奇点处的留数.10. 求()()222aze zf ibz+=在ai −处的留数,(a , b 为实数).11. 计算积分()()dz z e z zI z z∫=−+−=232189.12. 计算积分dz z z I z ∫=++=2365112.13. 计算积分dz z z I z ∫=+−=22211.14. 计算积分dz z z e i I z z∫=++=2241221π.15. 计算积分()dx axx I ∫∞++=02222, ()0>a .四、证明题:1. 证明()=≠+=0,00,22z z yx xyz f 在0=z 处不连续.2. 证明0→z 时, 函数()()22Re zz z f =的极限不存在.第二篇 积分变换1. 设() >≤=1,01,1t t t f , 试算出()ωF , 并推证:>=<=∫∞+1,01,41,2cos sin 0t t t d t ππωωωω. (提示()t f 为偶函数)2. 求矩形脉冲函数()≤≤=其它,00,τt A t f 的傅氏变换.3. 求()><−=1,01,1222t t t t f 的傅氏积分. 4. 求()2sin tt f = 的拉氏变换.5. 求()≥<≤−<≤=4,042,120,3t t t t f 的拉氏变换.6. 求下列函数的拉氏逆变换:(1) ()221as s F +=;(2) ()441a s s F −=答案第一章：,2295,135.3,13Im ,5.3Re )1.(1=+−=−=−=z i z z z ).(,23arctan ,10||,31,3Im ,1Re )2();(,)12()726arctan(arg Z k k Argz z i z z z Z k k z ∈+−==+=−==∈++=ππ.11,1.2==y x().2,1,0,2)2(;16316)1.(43275.06=−−+k ei k iπ5..31,2,31i i −−+7.（1）以z =5为圆心，6为半径的圆；（2）以z =-2i 为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）i 和i 两点的连线的中垂线. 8.（1）圆环形闭区域，有界； （2）中心在,1517−=z 半径为158的圆周的外部区域，无界. 9．xy =1。
《复变函数》试题及参考答案
《复变函数》在线作业参考资料一、单选题1、设则（C ）ABCD2、当iiz −+=11时，5075100z z z ++的值等于（B ） A i B i − C 1 D 1−3、若，则双边幂级数的收敛域为(A)A B C D4、复数)2(tan πθπθ<<−=i z 的三角表示式是（D ）A )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i B )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i C )]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++−iD )]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++−i5、设为复数，则方程的解是（B ）A B C D6、若z 为非零复数，则22z z −与z z 2的关系是（C ）A z z z z 222≥−B z z z z 222=−C z z z z 222≤−D 不能比较大小 7、下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（B ）A BC D8、设y x ,为实数，yi x z yi x z +−=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（B ）A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 9、关于圆周的对称点是(C)ABCD10、一个向量顺时针旋转3π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31−，则原向量对应的复数是（A ）A 2B i 31+C i −3D i +311、积分( B)A0 B C10 D12、使得22z z =成立的复数z 是（D ）A 不存在的B 唯一的C 纯虚数D 实数13、设复数满足那么（A ）A B C D14、在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点，但不解析C 有可导点，且在可导点集上解析D 处处解析15、方程232=−+i z 所代表的曲线是（C ）A 中心为i 32−，半径为2的圆周B 中心为i 32+−，半径为２的圆周C 中心为i 32+−，半径为2的圆周D 中心为i 32−，半径为２的圆周16、函数在点处是(B)A 解析的B 可导的C 不可导的D 既不解析也不可导17、00)Im()Im(lim0z z z z x x −−→（D ）A 等于iB 等于i −C 等于0D 不存在18、函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（C ）A ),(y x u 在),(00y x 处连续B ),(y x v 在),(00y x 处连续C ),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续D ),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续19、设为解析函数的级零点，那么(A)ABCD20、设C z ∈且1=z ，则函数zz z z f 1)(2+−=的最小值为（A ）A 3−B 2−C 1−D 1 21、积分(C)A0 B C D22、设为函数的级极点，那么(C)A5 B4 C3D223、设为负向，正向，则(B)AB0 CD24、幂级数在内的和函数为(A)A B C D25、设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么(C)A1 B2 C3 D426、设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于.如果在上的值为2，那么对内任一点(C)A等于0 B等于1 C等于2 D不能确定27、设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径(C)A B1 C D28、设是复数，则(C)A在复平面上处处解析 B的模为C一般是多值函数 D的辐角为的辐角的倍29、满足不等式的所有点构成的集合是（D）A有界区域 B无界区域 C有界闭区域D无界闭区域30、下列级数中，绝对收敛的级数为(D)A B C D31、设，则( A)A2 B C D32.、设为正向圆周，则(C)A B C0 D33、是函数的(D)A可去奇点B一级极点C一级零点 D本性奇点34、分式线性变换将区域:映射为(D)A BC D35、下列命题中，正确的是(C) A 设在区域内均为的共轭调和函数，则必有B 解析函数的实部是虚部的共轭调和函数C 若在区域内解析，则为内的调和函数D 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数36、函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的(B) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既非充分条件也非必要条件 37、下列命题中，正确的是(D) A 设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy xB 若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导C 若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 D 若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 38、下列函数中，为解析函数的是(C)A xyi y x 222−−B xyi x +2C )2()1(222x x y i y x +−+−D 33iy x + 39、若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f −++−+=在复平面内处处解析，那么实常数=a (C)A 0B 1C 2D 2−40、如果)(z f ′在单位圆1<z 内处处为零，且1)0(−=f ，那么在1<z 内≡)(z f (C)A 0B 1C 1−D 任意常数41、设函数)(z f 在区域D 内有定义，则下列命题中，正确的是(C)A 若)(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数B 若))(Re(z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数C 若)(z f 与)(z f 在D 内解析，则)(z f 在D 内是一常数 D 若)(arg z f 在D 内是一常数，则)(z f 在D 内是一常数 42、设22)(iy x z f +=，则=+′)1(i f (A) A 2 B i 2 C i +1 D i 22+43、ii 的主值为(D)A 0B 1C 2πe D 2π−e43、ze 在复平面上(A)A 无可导点B 有可导点，但不解析C 有可导点，且在可导点集上解析D 处处解析 44、设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是(C) A )(z f 在复平面上处处解析 B )(z f 以π2为周期 C 2)(iziz e e z f −−= D )(z f 是无界的45、设α为任意实数，则α1(D)A 无定义B 等于1C 是复数，其实部等于1D 是复数，其模等于1 46、下列数中，为实数的是(B)A 3)1(i − B i cos C i ln D i e23π−47、设c 为从原点沿x y =2至i +1的弧段，则=+∫cdz iy x )(2(D)A i 6561−B i 6561+−C i 6561−−D i 6561+ 48、设c 为不经过点1与1−的正向简单闭曲线，则dz z z zc∫+−2)1)(1(为(D)A 2iπ B 2i π− C 0 D(A)(B)(C)都有可能二、判断题1、如果是的可去奇点，则一定存在且等于零（错）2、若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析(错）3、若函数是区域内的解析函数，则它在内有任意阶导数（对）4、有界整函数必在整个复平面为常数（对）5、若在区域内解析，则||也在内解析（错）6、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛（对）7、是一个有界函数（错）8、若函数在处解析，则在满足Cauchy-Riemann 条件（对）9、有界整函数必为常数（对）10、若f(z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）（对）11、如果函数为整函数，且存在实数，使得，则为一常数（错）12、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点（对）13、若与在内解析，且在内一小弧段上相等，则（对）14、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点（对）15、若函数在处解析，则它在该点的某个领域内可以展开为幂级数（对）16、（错）17、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数(错）18、若函数是区域内的单叶函数，则（对）19、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续（对） 20、若函数在解析，则在的某个邻域内可导（对）21、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续（对）22、若，则为的n 阶零点（错）23、若在单连通区域内解析，则对内任一简单闭曲线都有（对）24、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析(错） 25、若在区域内解析,则对内任一简单闭曲线（错）26、存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f (错）27、若函数是非常的整函数，则必是有界函数（错）28、若函数f (z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f (z )在区域D 内为常数（对）29、若函数在区域内的解析，且在内某一条曲线上恒为常数，则在区域内恒为常数（对）30、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析(错）31、设函数是有界区域内的非常数的解析函数，且在闭域上连续，则存在，使得对任意的，有（对）32、如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f （对）33、与在复平面内有界（错）34、若0z是)(z f 的可去奇点，则0)),((Res 0=z z f （对）35、若是的一级极点，则（对）36、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件（对） 37、当复数时，其模为零，辐角也为零（错）38、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析(错）39、如果是的极点，则一定存在且等于无穷大（对）40、函数z sin 与z cos 在整个复平面内有界(错）41、若收敛，则与都收敛（对）42、设函数与在区域内解析，且在内的一小段弧上相等，则对任意的，有（对）43、一定不存在（对）44、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数. （对） 45、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数.（对）46、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析.（对） 47、若函数f (z )在z 0可导，则它在该点解析.（错） 48、设函数)(z f 在复平面上解析，若它有界，则必)(z f 为常数.（对）49、若函数()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的某个领域内可导.（对） 50、如果0z 是()f z 的本性奇点，则0lim ()z z f z →一定不存在.（对）51、若函数()f z 是区域D 内解析，并且()0()f z z D ′≠∀∈，则()f z 是区域D 的单叶函数.（错）52、如果函数()f z 在1z ≤内解析，则11max{()}max{()}.z z f z f z ≤==（对）。
复变函数考试题及答案自考
复变函数考试题及答案自考一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. -3 + 4iC. -3 - 4iD. 3 + 4i答案：A2. 如果复变函数f(z)在点z₀处解析，那么它的导数f'(z₀)等于：A. 极限lim(Δz→0) [f(z₀ + Δz) - f(z₀)] / ΔzB. f(z₀)的实部C. f(z₀)的虚部D. f(z₀)的模答案：A3. Cauchy积分定理适用于：A. 仅在实数域B. 仅在复平面上的简单闭合曲线C. 仅在复平面上的开区域D. 所有以上情况答案：C4. 如果一个复变函数在某区域内除了一个孤立奇点外处处解析，那么这个函数在该区域内：A. 一定有原函数B. 一定没有原函数C. 可能是周期函数D. 以上都不对答案：A5. 复变函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)中，u和v分别表示：A. 实部和虚部B. 模和辐角C. 辐角和模D. 都不对答案：A6. 以下哪个是复变函数的柯西-黎曼方程？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B7. 复变函数的级数展开式中的系数是：A. 常数B. 复数C. 实数D. 以上都不对答案：B8. 如果一个复变函数在某个区域内处处连续，那么它的模：A. 也必定处处连续B. 可能不连续C. 必定不连续D. 以上都不对答案：A9. 复变函数的Taylor级数展开是关于：A. 模的展开B. 辐角的展开C. z的展开D. 共轭复数的展开答案：C10. 下列哪个是复变函数的Laurent级数展开的一个特性？A. 它只能展开在解析函数上B. 它包含负幂项C. 它只能展开在奇点附近D. 以上都是答案：B二、填空题（每题3分，共30分）11. 复数z = 2 - 3i的模是________。
2023年4月全国自考复变函数与积分变换的试卷及答案
中国自考人()——700门自考课程 永久免费、完整 在线学习 快快加入我们吧！全国2023年4月高等教育自学考试复变函数与积分变换试题课程代码: 02199一、单项选择题（本大题共10小题, 每小题2分, 共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目规定的, 请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ）A.Re z<-1B.Re z<0C.Re z<1D.Im z<02.设v(x,y)=eaxsiny 是调和函数, 则常数a=（ ）A.0B.1C.2D.33.设f(z)=z3+8iz+4i, 则f ′(1-i)=（ ）A.-2iB.2iC.-2D.2 4.设C 为正向圆周|z-a|=a(a>0), 则积分 =（ ）A.B. C.D. 5.设C 为正向圆周|z-1|=1, 则 （ ）A.0B.πiC.2πiD.6πi 6.f(z)=211z在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（ ） A.23 B.1 C.2 D.3 7.下列级数中绝对收敛的是（ ）A.B. C.D. 8.可以使f(z)=3)3(1+z z 在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是（ ） A.0<|z|<2或2<|z|<+∞ B.0<|z|<+∞C.0<|z-2|<2D.0<|z-2|<+∞ 9.点z=-1是f(z)=(z+1)5sin )1(1+z 的（ ） A.可去奇点 B.二阶极点C.五阶零点D.本性奇点 10.设C 为正向圆周|z|=1, 则 （ ）A.-2π.B.2π.C.-2πD.2π二、填空题(本大题共6小题, 每小题2分, 共12分)请在每小题的空格中填上对的答案。
错填、不填均无分。
11.arg (-1+3i )= .12.已知f(z)=u+iv 是解析函数, 其中u= ,则 .13.设C 为正向圆周|z |=1,则=-⎰dz ie c z22π . 14.z=0是f(z)= 的奇点, 其类型为 .15.f(z)= 在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式......16.设f(z)= +--++--+---n n z z z z )1()1()1(1)1(1)1(12,则Res[f(z),1]= .三、计算题（本大题共8小题, 共52分）17. （本题6分）求z=（-1+i ）6 的共轭复数 及共轭复数的模| |.18. (本题6分) 设t 为实参数, 求曲线z=reit+3 (0≤t ＜2π的直角坐标方程.19．(本题6分) 设C 为正向圆周|z|=1, 求I= .20. (本题6分) 求 在z=0处的泰勒展开式.21. (本题7分) 求方程sin z+cos z=0 的所有根.22．(本题7分) 设u=e2xcos 2y 是解析函数f(z)的实部, 求f(z).23. (本题7分) 设C 为正向圆周|z-i|= ,求I= .24．(本题7分)设C 为正向圆周|z|=1, 求I= .四、综合题（下列3个小题中, 第25题必做, 第26.27题中只选做一题。
4月全国自考复变函数与积分变换试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试复变函数与积分变换试题课程代码：02199一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.arg(-1+i 3)=( ) A.-3π B.3π C.π23 D.π23+2n π 2.w =|z |2在z =0( ) A.不连续 B.可导 C.不可导D.解析3.设z =x +iy ，则下列函数为解析函数的是( ) A.f (z )=x 2-y 2+i 2xy B.f (z )=x -iy C.f (z )=x +i 2yD.f (z )=2x +iy4.设C 为由z =-1到z =l 的上半圆周|z |=1，则⎰Cz z d ||=( )A.2πiB.0C.1D.25.设C 为正向圆周|z |=1，则⎰-Cz z z)2(d =( )A.-πiB.0C.πiD.2πi6.设C 为正向圆周|z |=2，则⎰-Ciz i z z e 3)(d z =( )A.0B.e -1C.2πiD.-πe -1i2 7.z =0是3sin z z 的极点，其阶数为( )A.1B.2C.3D.48.以z=0为本性奇点的函数是( ) A.zzsin B.2)1(1-z zC.z1eD.1e 1-z9.设f (z )的罗朗展开式为-11)1(22---z z +(z -1)+2(z -l)2+…+n (z -1)n +…则Res[f (z ),1]=( ) A.-2 B.-1C.1D.2 10.设z =a 为解析函数f (z )的m 阶零点，则函数)()(z f z f '在z =a 的留数为( )A.-mB.-m +lC.m -1D.m二、填空题(本大题共6小题，每小题2分,共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.|z -i |=|z -1|的图形是_______________. 12.设z =i i ，则Im z =_______________.13.设C 为由点z =-l-i 到点z =l+i 的直线段，则⎰Cz 3 d z =_______________.14.设C 是顶点为z=±21,z=±i 56的菱形的正向边界，则⎰-Ciz e 2dz=______________. 15.设C 为正向圆周|z|=1，则⎰Cz cos z d z =_________.16.函数21-z 在点z =4的泰勒级数的收敛半径为_________. 三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17.设z =x +iy ,求复数11+-z z 的实部与虚部.（6分） 18.求复数i 8-4i 25+i 的模.(6分)19.求f (z )=(z -1)2e z 在z =1的泰勒展开式.(6分)3 20.求f (z )=)2)(1(2--z z 在圆环域1<|z|<2内的罗朗展开式.(6分)21.求解方程cos z =2.（7分）22.设z =x +iy ,试证v (x ,y )=x 2+2xy -y 2为调和函数，并求解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y ).(7分) 23.设C 为正向圆周|z-2|=1,求⎰-Cz z z 2)2(e d z .(7分)24.设C 为正向圆周|z|=1，求⎰Cz1sind z .(7分) 四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。
最新4月浙江自考复变函数试题及答案解析
1浙江省2018年4月自考复变函数试题课程代码：10019一、填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.设z=3-i ，则arg z =______________（-π<arg z ≤π）.2.函数f (z )=z 2sin z 的导数f ′(z )=______________.3.如果函数f (z )在区域D 内______________，则称f (z )为区域D 内的解析函数.4.已知曲线C 为|z |=2的正向，则积分⎰--+c z z z z d 1122=____________. 5.设幂级数n n zn ∑∞=+011的和函数为f (z )，则f ″(0)=______________.6.函数cos z 在z =0处的泰勒展式为______________.7.设z =1是解析函数f (z )的孤立奇点，且2)(lim 1=→z f z ，则点z =1是f (z )的______________. 8.函数w =z 2将z 平面上的角形区域0<arg z <3π变换为w 平面上的区域______________. 二、判断题（本大题共7小题，每小题2分，共14分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
1．两个共轭复数在复平面上的对应点关于虚轴对称.( )2．不等式Re z >0表示的是z 平面上的一个单连通区域.( )3．如果函数f (z )在点z 0满足柯西-黎曼条件，则它在点z 0可微.( )4．对任意的z ≠0，必有Ln z 2=2 Ln z .( )5．如果函数f (z )在区域D 内解析，则对区域D 内任一闭曲线C ，有⎰cz z f d )(=0.( ) 6．设f (z )在区域D 内解析，{z n }是D 内一点列，且f (z n )=0，则在D 内有f (z )≡0.( )7．解析函数f (z )的孤立奇点a 为极点的充要条件是)(lim z f az →=∞.( ) 三、完成下列各题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.求函数f (z )=z z 在z 平面上的不连续点. 2.将函数f (z )=31+z 在|z |<3内展开为幂级数. 3.设点z 0分别是解析函数f (z )和g (z )的m 阶零点和n 阶零点，证明：z 0是函数f (z )·g (z )的m +n 阶零点.2 4.讨论函数f (z )=23)1(z z -的奇点（包括无穷远点）及其类型.5.求函数f (z )=2)1)(2(+-z z z在点z =2和z =-1处的留数.6.试求映射w =f (z )=z 2-2z 在点z =1-2i 处的旋转角和伸缩率.四、(本大题10分)证明函数f (z )=x 2-y 2+i (2xy -2)在复平面上解析，并求f ′(z ).五、(本大题10分) 用留数计算积分：⎰+π2024cos 5d sin xx x . 六、(本大题10分)设函数f (z )在复平面上解析，且|f (z )|恒大于一个正的常数，试证f (z )必为常数.七、(本大题10分)求一个从上半单位圆：|z |<1,Im z >0到单位圆：|w |<1的共形映射.。
复变函数考试卷试题及答案
应用数理统计应用数理统计 试题试题第 1 页 共 4 页复变函数考试卷一、单项选择题（15分，每小题3分）分）1． 设()2,00,0z z f z zz ì¹ï=íï=î，则()f z 的连续点集合为（的连续点集合为（）。
（A ）单连通区域）单连通区域 （B ）多连通区域）多连通区域 （C ）开集非区域）开集非区域 （D ）闭集非闭区域）闭集非闭区域 2． 设()(,)(,)f z u x y iv x y =+，那么(,)u x y 与(,)v x y 在点()00,x y 可微是()f z 在点000z x i y =+可微的（可微的（）。
()()()()A B C D 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分也非必要条件3． 下列命题中，不正确的是（下列命题中，不正确的是（）。
()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.zz A f z f z B f z D z f z D C e i Dz e iwp w ¥¥=-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数,则在内解析.幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆4． 设c 是()1z i t =+，t 从1到2的线段，则arg d cz z ò（ ）。
()()()()()11444AB iC iD i ppp ++5． 设()f z 在01z <<内解析且()0lim 1z zf z ®=，那么()()Res ,0f z =（ ）。
()()()()2211A iB iCD p p --二、填空题（15分，每空3分）分） 1．()Ln 1i -的主值为的主值为。
2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。
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浙江省2018年4月自考复变函数试题
课程代码：10019
一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共16分)
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.设z =x +iy ，则|e i-2z |=________；
2.方程z =(1+i )t （t 是实参数）给出的曲线是________；
3.关系式11
z 1-z <+所表示的z 点的轨迹是________； 4.z a z c n d )(1⎰
-=________，其中C 表示以a 为圆心，ρ为半径的圆周，而n 为整数； 5.设区域D 的边界是周线C ，f （z ）在D 内解析，在D =D +C 上连续，则有柯西积分公式f (z )=________(z ∈D )；
6.当|z |＜1时，幂级数1+z +z 2+…+z n -1+…的和函数为________；
7.设在圆环K ：r ＜|z -a |＜R （0＜r ＜R ＜+∞）上有表示式f (z )=
∑+∞-∞=-n n n a z c )(，则
c m =________(m =0,±1,…)；
8.如果f (z )________，则称f (z )在点z 0解析。
二、判断题（本大题共7小题，每小题2分，共14分）
判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。
1.z =0是函数2
cos 1z z -的二级极点.( ) 2.设z 是复数，δ＞0,若|z -z 0|＜δ，则|z 0|-δ＜|z |＜|z 0|+δ.( )
3.若解析函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )，则f ′(z )=u x +iv x .( )
4.以指数形式表示的两个复数r e i θ和ρe i φ相等的充要条件是r =ρ，θ=φ.( )
5.e z 以2πi 为基本周期的周期函数。
( )
6.若z 0是f (z )的本性奇点，则z 0也是)
(1z f 的本性奇点.( ) 7.f (z )的孤立奇点a 为可去奇点的充要条件是函数f (z )在点a 的某个去心邻域内有界.( )
三、完成下列各题（本大题共6小题,每小题5分，共30分）
2 1.设z 1=i z i
-=+3212，，试用指数形式表z 1z 2及2
1z z . 2.试证函数x +y 在z 平面上任何点都不解析.
3.试证函数f (z )=x 3+3x 2yi -3xy 2-y 3i 在z 平面上解析，并分别求出其导函数.
4.不用计算，验证积分⎰
c z dz cos 之值为零，其中C 均为单位圆周|z |=1. 5.证明级数∑∞=1n n n
i 收敛. 6.求下列函数f (z )=1-e 2z z
在z =±1的留数.
四、（本大题10分） 求出函数2
2)4(1+-z z z 的奇点，并确定其类别（对于极点，要指出它们的级），对于无穷远点也要加以讨论.
五、(本大题10分)
证明代数学基本定理：n 次多项式（n ≥1）至少有一个零点.
六、(本大题10分)
在原点的邻域内函数f (z )满足1)21(,0)121(
==-n
f n f (n =1,2,…) 证明函数f (z )在原点不解析.
七、(本大题10分)
变换w =i
i z z +-e e 将z 平面上的带形区域0＜Im z ＜π变成w 平面上什么区域？为什么？。