2021新高考压轴题解法挑战 圆锥曲线二级结论深度易记讲义01
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《圆锥曲线压轴小题突破练》课件ppt
|PF1|＋|PF2|＝2a1， |PF1|－|PF2|＝2a2，
得||PPFF12||＝ ＝aa11＋ －aa22， ，
设|F1F2|＝2c， 因为∠F1PF2＝π3，
由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
即 4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos π3， 整理得 a21＋3a22＝4c2， 故e121＋e322＝4. 又 4＝e121＋e322≥2 e121×e322＝2e1e32， 即 2≥e1e32，所以 e1e2≥ 23，
即 p2 ＝ 42
32·94p⇒p＝2，∴|AB|＝92.
3
题型三 圆锥曲线与其他知识的综合
例4 (多选)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史，为宣传和推广这 一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开 后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄 底端的距离为1，阳光照射油纸伞在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的 阳光照射方向与地面的夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则
唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，巧夺天工，是唐代金银细作 的典范.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C： ax22－by22 ＝1(a>0，b>0) 的右支与直线x＝0，y＝4，y＝－2围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一
周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为
3
2
√C.0，12
B.
23，1
D.12，1
连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时， 设直线PA，PB分别与圆O切于点A，B，∠OPA＝α， ∵存在M，N使得∠MPN＝120°， ∴∠APB≥120°，即α≥60°， 又α<90°， ∴sin α≥sin 60°， 连接 OA，则 sin α＝||OOPA||＝|ObP|≥ 23， ∴|OP|≤ 2b3.
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案
圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___（答：）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么（ABC ≠0，且A ，B异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
2021年新高考卷I圆锥曲线压轴题的解法
圆锥曲线内容虽以具体曲线类型与具体数据在高考试题中呈现,但对其进行深入研究,往往能得到圆锥曲线的普遍性质.本文以2021年新高考卷I第21题为例,将对其进行解法探究,并对命题进行变式引申拓展,揭示一般规律,以分享给大家.1试题呈现在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-17,0),F2(17,0),点M满足||MF1-||MF2=2,记M的轨迹为C.（1）求C的方程;（2）设点T在直线x=12上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且||TA||TB=||TP||TQ.求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.2解法探究（1）解x2-y216=1()x 1（此略）;（2）解法1:利用韦达定理.设直线AB与PQ的方程分别为y=k1x+b1与y=k2x+b2()k1≠k2,A()x1,y1,B()x2,y2,C()x3,y3,D()x4,y4,Tæèöø12,y0,则ìíîïïy0=12k1+b1y0=12k2+b2.由ìíîïïy=k1x+b1x2-y216=1,得(16-k21)x2-2k1b1x-b21-16=0,则ìíîïïïïïïïï16-k21≠0Δ>0x1+x2=2k1b116-k21x1x2=-b21+1616-k21.∴||TA||TB=1+k21||||||x1-12·1+k21||||||x2-12=(1+k21)||||||x1x2-12(x1+x2)+14=(1+k21)(y2+12)||16-k21.同理||TP||TQ=()1+k22()y2+12||16-k22.又||TA||TB= ||TP||TQ，所以(1+k21)(y2+12)||16-k21=(1+k22)(y2+12)||16-k22,即k21=k22.因为k1≠k2,所以k1=-k2,即k1+k2=0,故直线AB的斜率与直2021年新高考卷I圆锥曲线压轴题的解法探究与变式推广广东省梅县东山中学钟国城514017摘要：本文给出了一道高考题的4种解法，进而给出了试题的变式和推广.关键词：高考试题；圆锥曲线；变式；推广··56线PQ 的斜率之和为0.评注:此法是解决直线与圆锥曲线位置关系的通法,其难点就是计算量较大,需要有细心与耐心,同时在平时训练中需多总结一些计算技巧,以尽量避免失误.解法2:利用直线的参数方程.设直线AB 与PQ 的倾斜角分别为θ,αæèöøθ,α≠π2,θ≠α,T æèöø12,y 0,则直线AB 与PQ 的参数方程分别为ìíîïïx =12+t cos θy =y 0+t sin θ,ìíîïïx =12+t cos αy =y 0+t sin α()t 为参数,||TA ,||TB ,||TP ,||TQ 对应的参数分别为t 1,t 2,t 3,t 4.把直线AB 的参数方程带入曲线C 的方程,得(15cos 2θ+1)t 2+(16cos θ-2y 0sin θ)t -(12+y 20)=0,所以t 1t 2=-12+y2015cos 2θ+1.同理,t 3t 4=-12+y 2015cos 2α+1.又||TA ||TB =||TP ||TQ ,所以||t 1t 2=||t 3t 4,即12+y 2015cos 2θ+1=12+y 2015cos 2α+1,故cos 2θ=cos 2α.又θ,α≠π2,θ≠α，所以θ+α=π,故tan θ+tan α=0,于是直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.评注:虽然新高考对参数方程不做要求,但掌握此法既能开拓视野、提升思维,又能准确快速地解决问题,达到事半功倍的效果.解法3:利用曲线系方程.∵||TA ||TB =||TP ||TQ ,∴||TA ||TQ =||TP ||TB .又∠ATP =∠QTB ，所以△ATP ∽△QTB ，故∠TAP =∠TQB .∵∠TAP +∠PAB =π，∴∠TQB +∠PAB =π，即∠PQB +∠PAB =π，所以A ,B ,P ,Q 四点共圆.设T æèöø12,y 0,直线AB 与PQ 的方程分别为y -y 0=k 1⋅æèöøx -12与y -y 0=k 2æèöøx -12(k 1≠k 2),即k 1x -y +y 0-12k 1=0与k 2x -y +y 0-12k 2=0.又A ,B ,P ,Q 四点在曲线C 上,所以过四点的曲线系方程为æèöøk 1x -y +y 0-12k 1(k 2x -y +y 0)-12k 2+λæèçöø÷x 2-y 216-1=0,即()k 1k 2+λx 2+æèöø1-λ16y 2-()k 1+k 2xy +()k 1y 0+k 2y 0-k 1k 2x -æèçöø÷2y 0-k 1+k 22y +æèçöø÷y 0-k 12æèçöø÷y 0-k 22-λ=0.因为该曲线为圆,所以k 1+k 2=0,故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.评注:此法的关键在于证得A ,B ,P ,Q 四点共圆,进而建立起过A ,B ,P ,Q 四点的曲线系方程,根据圆的一般方程的特点得到直线AB 与PQ 斜率之间的关系.解法4:先猜后证.设T æèöø12,y 0,直线AB 与PQ 的方程分别为y -y 0=k 1æèöøx -12与y -y 0=k 2æèöøx -12，(k 1≠k 2).当y 0=0时,根据||TA ||TB =||TP ||TQ ,结合对称性可知,此时直线AB 与PQ 关于x 轴对称,则k 1+k 2=0,故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.以下过程只需说明当y 0≠0时,k 1+k 2=0.以下同解法1.评注:此法虽与解法1无异,但通过对特殊情况进行分析得到答案,使得在解决一般情况时目标明确,从而更有针对性地求解问题,能减少一些不必要的计算.3变式探究变式探究的过程是促进数学知识结构完善的过程,也是形成创新性思维品质的有··57效方法,更是揭示数学内容本质、提升学生数学核心素养能力的重要手段.因此,本文对这道高考题第（2）问进行了一些变式.限于篇幅,仅列举部分并简要分析如下.变式1若直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0,求证:||TA ||TB =||TP ||TQ .证明:设直线AB 与PQ 的方程分别为y =kx +b 1与y =-kx +b 2,A ()x 1,y 1,B ()x 2,y 2,C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),T æèöø12,y 0,则ìíîïïy 0=12k +b 1y 0=-12k +b 2.由ìíîïïy =kx +b 1x 2-y 216=1,得(16-k 2)x 2-2kb 1x -b 21-16=0,则ìíîïïïïïïïï16-k 2≠0Δ>0x 1+x 2=2kb 116-k 2x 1x 2=-b 21+1616-k 2.∴||TA ||TB =1+k 2·||||||x 1-12·1+k 2||||||x 2-12=()1+k 2|||x 1x 2-12(x 1+|||x 2)+14=()1+k 2()y 20+12||16-k 2.同理，||TP ||TQ =()1+k 2()y 20+12||16-k 2.所以||TA ||TB =||TP ||TQ .评注:变式1实质是该高考试题第（2）问的逆命题,此处只用韦达定理进行证明,进一步说明通法在解决问题的重要作用,当然也可以用其他方法进行证明.变式2若直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0,求证:A ,B ,P ,Q 四点共圆.证明:同变式1证明,得||TA ||TB =||TP ⋅||TQ ,即||TA ||TQ =||TP ||TB .又∠ATP =∠QTB ,所以△ATP ∽△QTB ，故∠TAP =∠TQB .∵∠TAP +∠PAB =π，∴∠TQB +∠PAB =π,即∠PQB +∠PAB =π.所以A ,B ,P ,Q 四点共圆.评注:变式2实质是变式1的进一步拓展,也可以用其他方法进行证明.4结论拓展根据上述试题及变式,可以得到以下两个结论.结论1已知双曲线x 2a 2-y 2b2=±1(a >0,b >0)上有不同四点A ,B ,P ,Q ,且直线AB与PQ 交于点T ,若||TA ||TB =||TP ||TQ （或A ,B ,P ,Q 四点共圆）,则直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.点评:此结论实质是高考试题的一般情形,其证明方法与高考试题的解答无异,在此不再赘述.结论2已知双曲线x 2a 2-y 2b2=±1(a >0,b >0)上有不同四点A ,B ,P ,Q ,且直线AB与PQ 交于点T ,若直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0,则||TA ||TB =||TP ||TQ （或A ,B ,P ,Q 四点共圆）.点评:此结论是结论1的逆命题,其证明方法与变式探究的解答一样,由此可见上述两个结论构成一个充要条件.5类比拓广事实上,可以将上述结论进行类比拓广,可以得到圆锥曲线中的一条性质:已知圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）上有不同四点A ,B ,P ,Q ,若直线AB 与PQ 交于点T ,则A ,B ,P ,Q 四点共圆的充要条件是直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0.这是圆锥曲线的一个通性,也是上述高考试题的背景.基金项目:本文系广东省教育科学规划课题“中学生数学核心素养培养途径与策略研究”（课题批准号:2019ZQJK031）的阶段性研究成果.··58。
押新高考第21题 圆锥曲线(新高考)(原卷版)
圆锥曲线圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。
圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题方法总结1.圆锥曲线中最值问题的求解方法（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基本不等式求解2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．3定点、定值模板1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接3，确定与参数无关点、值，即为所求.1．（2021·湖南·高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()20A ，3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y x =-与椭圆C 相交于P Q ，两点，求AP AQ ⋅的值.2．（2021·江苏·高考真题）已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上.(1) 求实数a 的值；(2) 求()()48f f -+的值；(3) 求函数()f x 的解析式.3．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F 6 （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =4．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>一个顶 点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．1．（2022·天津·一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2 且6AB (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与椭圆相交于点24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭H ，与y 轴相交于点S ，过点S 的另一条直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的32倍，求直线l 的方程. 2．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为12,F F ，2过点()2,0P 作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.若A 是椭圆C 的短轴端点时，23AF AP ⋅=. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断是否存在直线l ，使得21F A ，2112F P ，21F B 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为C 的左､右焦点，过1F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，满足115AF F B =，且12224AF F Sa =.设e 为C 的离心率. (1)求2e ； (2)若32e ≤，且2a =，过点P （4，1）的直线1l 与C 交于E ，F 两点，1l 上存在一点T 使111EP FP PT +=.求T 的轨迹方程.4．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且焦距1223F F =，线段,AB CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；(2)若(,)N s t 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个．．．．．．．．．．．，证明：直线PQ 经过定点． ①31,2s t =≠±，直线,NA NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ； ②2,t s =∈R ，直线,NC ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ．5．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由．（限时：30分钟）1．已知圆C ：()22116x y -+=，点()1,0F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M .（1）求点M 的轨迹方程E .（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点()4,0T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点B .2．已知定点()22,0O ，点P 为圆1O ：()22232x y ++=(1O 为圆心)上一动点，线段2O P 的垂直平分线与直线1O P 交于点G ．(1)设点G 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若过点2O 且不与x 轴重合的直线l 与(1)中曲线C 交于D ，E 两点，M 为线段DE 的中点，直线OM (O 为原点)与曲线C 交于A ，B 两点，且满足2MD MA MB =⋅，若存在这样的直线，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由． 3．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别是点A ，B ，直线2:3l x =与椭圆C 相交于D ，E 两个不同点，直线DA 与直线DB 的斜率之积为14-，ABD △的面积为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是直线2:3l x =的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.5．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.。
2021高考数学必考点解题方式秘籍 圆锥曲线1 理(1)
2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：圆锥曲线1点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，那么核心在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以核心弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.以核心半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，那么过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，那么过Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2，那么切点弦P1P2的直线方程是00221x x y ya b +=.椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右核心别离为F1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，那么椭圆的核心角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).设过椭圆核心F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个极点，连结AP 和AQ 别离交相应于核心F 的椭圆准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF.过椭圆一个核心F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A1、A2为椭圆长轴上的极点，A1P 和A2Q 交于点M ，A2P 和A1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，那么22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB-=。
若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，那么被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，那么过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y ab a b +=+. 双曲线点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的内角.PT 平分△PF1F2在点P 处的内角，那么核心在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.以核心弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.以核心半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，那么过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b -=. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，那么过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2，那么切点弦P1P2的直线方程是00221x x y ya b -=.双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右核心别离为F1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，那么双曲线的核心角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a=-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a=--设过双曲线核心F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个极点，连结AP 和AQ别离交相应于核心F 的双曲线准线于M 、N 两点，那么MF ⊥NF.过双曲线一个核心F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A2为双曲线实轴上的极点，A1P 和A2Q 交于点M ，A2P 和A1Q 交于点N ，那么MF ⊥NF.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，那么0202y a x b K K ABOM =⋅，即022y a x b K AB =。
2021高考数学必考点解题方式秘籍 圆锥曲线2 理(1)
2021高考理科数学必考点解题方式秘籍：圆锥曲线2第一、知识储蓄： 1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一样式。
（2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈②点到直线的距离d ③夹角公式：2121tan 1k k k k α-=+（3）弦长公式直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：2AB x =-= 或2AB y =-（4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥⇔=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=⇔且二、圆锥曲线方程及性质(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）标准方程：221(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且2a +=参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种标准方程：221(0)x y m n m n +=⋅<距离式方程：|2a=(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ (4)、圆锥曲线的概念你记清楚了吗？如：已知21F F 、是椭圆13422=+y x 的两个核心，平面内一个动点M 知足221=-MF MF 那么动点M 的轨迹是（ ）A 、双曲线；B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线(5)、核心三角形面积公式：122tan2F PF P b θ∆=在椭圆上时，S（其中2221212121212||||4,cos ,||||cos ||||PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==•=⋅）(6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为“左加右减，上加下减”。
（2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为（3）11||,||22p px x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为(6)、椭圆和双曲线的大体量三角形你清楚吗？ 第二、方式储蓄一、点差法（中点弦问题）设()11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13422=+y x 的弦AB 中点那么有1342121=+y x ，1342222=+y x ；两式相减得()()03422212221=-+-y yx x⇒()()()()3421212121y y y y x x x x +--=+-⇒AB k =b a43-二、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？若是有两个参数如何办？设直线的方程，而且与曲线的方程联立，消去一个未知数，取得一个二次方程，利用判别式0∆≥，和根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点代入曲线方程取得○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元··，假设有两个字母未知数，那么要找到它们的联系，消去一个，比如直线过核心，那么能够利用三点A 、B 、F 共线解决之。
高考数学专题六解析几何 微专题38 圆锥曲线中二级结论的应用
当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率
π 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的
面积为 6π，两个焦点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 的上顶点，直线 y＝
kx 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若 PA，PB 的斜率之积为－49，则椭圆 C 的
A，B
两点，且|A→F|＝λ|F→B|，则椭圆的离心率等于λ＋λ1－c1os
α.
2.设点 P 是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，则
(1)|PF1||PF2|＝1－2cbo2s
θ.(2)
S△PF1F2
＝ b2 tan
由二级结论可知S△F1PF2 ＝
∠bF2 1PF2＝5 3.
tan 2
(2)已知 P 为椭圆 C：x42＋y32＝1 上的一个动点，F1，F2 是椭圆 C 的左、右焦 点，O 为坐标原点，O 到椭圆 C 在 P 点处切线的距离为 d，若|PF1|·|PF2|＝
274，则
14 d＝____2____.
方法二 因为AB过抛物线的焦点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1x2＝p42＝1，y1y2＝－p2＝－4，
所以O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝－3.
总结提升
圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二 级结论，能快速解决圆锥曲线压轴小题，常用结论包括椭圆与双曲 线中的焦点三角形面积公式、焦半径、切线方程、离心率等，周角 定理以及抛物线焦点弦二级结论的综合应用.
3.M为抛物线y2＝2px(p>0)的准线l上一点，MA，MB均与抛物线相切，A， B为切点，则有：(见图4) (1)AB过焦点F. (2)2yM＝yA＋yB. (3)MA⊥MB. (4)MF⊥AB.
2021年高考文数第二轮第3讲 圆锥曲线中的热点问题
P1(1，1)，P2(0，1)，P3－1，
23，
P41，
23中恰有三点在椭圆
C
上.
(1)求 C 的方程；
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的 和为－1，证明：l 过定点.
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(1)解 由于点 P3，P4 关于 y 轴对称，由题设知 C 必过 P3，P4.又由a12＋b12>a12＋43b2知，
设l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)，
k1＋k2＝yAm－1＋－ymA－1＝－m2＝－1，得 m＝2，
此时l过椭圆C右顶点，与椭圆C不存在两个交点，故不满足.
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1). 将 y＝kx＋m 代入x42＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
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以 x22＝m－(3－2y2)2＝－14m2＋52m－94＝－14(m－5)2＋4≤4，所以当 m＝5 时，点 B 的 横坐标的绝对值最大，最大值为 2. 答案 5
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2.(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆
C：ax22＋by22＝1(a>b>0)，四点
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真题感悟 1.(2018·浙江卷)已知点 P(0，1)，椭圆x42＋y2＝m(m>1)上两点 A，B 满足A→P＝2P→B，
则当 m＝________时，点 B 横坐标的绝对值最大. 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A→P＝2P→B，得－ 1－x1y＝1＝2x22（，y2－1），即 x1＝－2x2， y1＝3－2y2.因为点 A，B 在椭圆上，所以4x4422x＋22＋y22（＝3m－，2y2）2＝m，得 y2＝14m＋34，所