(完整word版)圆锥曲线压轴解答题22题(含详细答案,可直接打印)
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1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线x2 2 py 外一点 P(x0 , y0 ) 的任一直线与抛物线的两个交点为C、 D ，与抛物线切点弦 AB的交点为 Q。
（1）求证：抛物线切点弦的方程为x0 x p( y＋ y0 ) ；（2）求证：112.PC| PD || PQ |2. 已知定点F（ 1，0 ），动点 P 在 y 轴上运动，过点 P 作 PM 交 x 轴于点 M ，并延长MP 到点 N，且PM PF 0,| PM | | PN |.（1）动点 N 的轨迹方程；（2）线 l 与动点 N 的轨迹交于 A，B 两点，若OA OB4, 且4 6| AB | 4 30 ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 .3. 如图，椭圆C1:x2y21的左右顶点分别为A、B，P 为双曲线C2: x 2y 21右支4343上（ x 轴上方）一点，连AP 交 C1于 C，连 PB 并延长交1于 D，且△ ACD与△ PCD的面积C相等，求直线 PD 的斜率及直线CD 的倾斜角 .4. 已知点M ( 2,0), N (2,0)，动点P满足条件| PM || PN | 2 2 .记动点 P 的轨迹为W.（Ⅰ）求 W 的方程；uuur uuur（Ⅱ）若 A, B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB 的最小值.5.已知曲线 C的方程为 : kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈ R)（Ⅰ）若曲线 C是椭圆，求 k的取值范围；（Ⅱ）若曲线 C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线 l： y=x-1对称，若存在，求出过 P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。
6. 如图（ 21）图，M（-2，0）和 N（ 2，0）是平面上的两点，动点P满足：PM PN 6.(1)求点 P 的轨迹方程；2(2)若PM·PN＝1 cos MPN,求点 P 的坐标 .x2y21 (a b x 2y217. 已知F为椭圆b20) 的右焦点，直线l过点 F 且与双曲线b2a2a 的两条渐进线 l1, l2分别交于点M , N，与椭圆交于点A, B.（I）若MON，双曲线的焦距为4。
(完整word版)圆锥曲线经典练习题及答案
一、选择题 1. 圆锥曲线经典练习题及解答大足二中 欧国绪直线I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 1 l 的距离为其短轴长的丄，则该椭圆 4 的离心率为 1 (A ) ( B ) 3（C） I （D ） 2.设F 为抛物线 c ： y 2=4x 的焦点, 曲线 ky= （ k>0）与C 交于点P , PF 丄x 轴，则k= x(B )1 3 (C)—2(D )23•双曲线 2 x C ： Ta 2y_1(a 0,b 0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为'、3，贝U C的焦距等于 A. 2 B. 2、2 C.4D.4•已知椭圆 C ：0）的左右焦点为 F i ,F 2，离心率为丄3，过F 2的直线l3交C 与A 、B 两点, 若厶AF i B 的周长为4、、3，则C 的方程为（）2 A. x_3 B. 2x 2彳 xr y 1C.2 x 12 D. 2 x 12 5. y 2 b 2线的一个焦点在直线 2 A.— 5 6.已知 已知双曲线 2 x ~2a 1(a 0,b 0）的一条渐近线平行于直线 I ：y 2x 10,双曲 2 B — 20 2为抛物线y 2 ' 1 20 F l 上, 2 y 5 则双曲线的方程为（ 也1 100 A , B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧， c 3x 21 C.— 25 占 八、、的焦点， uu uuuOA OB A 、2 （其中O 为坐标原点），则-1^/2 87.抛物线 =X 2的准线方程是4(A) y (B)2(C)) D M 辽.100 25 ABO 与 AFO 面积之和的最小值是（ ）x 1(D)8•已知点A( 2,3)在抛物线C:2px的准线上，记C的焦点为F,则直线AF的斜率为A. 4B. 13C.D.9.设F为抛物线C A, B两点，贝S AB =(A)旦3 2 c:y =3x(B)10.已知抛物线C: 的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于(C) 12 (D)7、、3x的焦点为F , A X o, y0是C上一点, AF 5 冲4X0，则X o ()A. 1B. 2C. 4x2 11.已知双曲线—a拆A. 2 B.- D. 82y3、5C. -D.121(a 0)的离心率为2，则a20)与C 交于点P , PF 丄x 轴，所以- 2，所以k=2 ,1选D.3.C4.A5.A••• - 2,0 2c 10, A c 5, a 2 5, b 2 20, a2 2A x- y_ 1.5206. B试卷答案 1.B试题分析：如图，在椭圆中， OF c, OB b, OD 2b -b2在 Rt OFB 中，| OF | |OB| |BF | |OD |，且 a 2 b 22c ，代入解得x2 2 a 4c ，所以椭圆的离心率为： e 1，故选B. k焦点F(1,0)，又因为曲线y (k xy2= x ••• F（］,0）,设人（％2,%）弋（『22°2）,%>0, y2<0, B=v OAOB>4OAOB= y^y^ + y』2 = 2 • （y』2+ 2）（%丫2-1） = 0,即yy = -21 1 1 1 - •…S从OF = ?- ?y1, S^A OB = ?OA?OB?sin 0= -?OAOB?tan 0= tan 0cos0=驴！. 4 22 4 2= < 222|OA||OB| W + y1 肛 + y2 2讥％+1）（y2 +1）1_______ = 1/2 2 2 2 - ,i'~2 2 - ■ y1 y2 + y1 + y2 + 1 , y1 + y2 +5i14 2 i14 2 2，— ----------- 川+4y1 +4 卩+4y1 +4 % + 2 2--tan 0= 比+ y2 + 4 = = = 一= y1 +y1 *y1 y1 + S 从OB =鲁+ %+ —= 98y1+ —8 y1 8 y17. A8. C【答SIC【解析】试題分析；由已知得，抛物柱於=2四的谁竝方程为兀=一彳，且过点故一彳=一2,则左二4,2 2-r 3-0 3戸（2卫＞则直线AF的斜率肛=-- =—「选U-2-24【考点定位】1、抛物线的标准方程和简单几何性质；2、直线的斜率.9. C3设AF = 2m, BF = 2n, F（-,0）.则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，43 3 3 32m=2?—+ ..3m,2n=2?—- 3n，解得m= —（2+、3）,n 二（2八3）, • m+n =6.4 4 2 2AB= AF + BF = 2m+ 2n = 12故选C.10. A根据抛物线的定义可知AF1 5X0 - - X0，解之得X0 1 .选A4 411.D 注？?：=3.选 BS AAOF2 3由双曲线的离心率可得7a------- 2，解得a 1，选D.a。
高中数学圆锥曲线压轴题大全
高中数学圆锥曲线压轴题大全(总25页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-数学压轴题圆锥曲线类一1．如图，已知双曲线C ：x a yba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：O M M F→⊥→； （II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P在A 、Q 之间，满足A P A Q →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.2．已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，， 数列{}a n 满足a f n nN n=∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式； （II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为Sa a ()()≥0，求S nS n n N ()()(*)--∈1； （III ）在集合M N N kkZ ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得l i m ()n nb b b →∞+++12 存在，并求出这个极限值. 19. 设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程； （II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||A B F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP O Q →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.3. 已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m m a n n=+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1. （I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，l i m (l g )l i m (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334…+-b b n n 1)成立？4．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率； （2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．5．（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．6．垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;2202为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 7．已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出过程）.数学压轴题圆锥曲线类二1．如图，设抛物线2:xy C=的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 2．设A 、B 是椭圆λ=+223y x上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）3． 已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明 ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n>时，对任意b>0，都有.51<n a4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．5．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+．(Ⅰ)求函数()g x 的解析式；(Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；(Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．数学压轴题圆锥曲线类三1．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca P F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.2．函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g += （Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.3．已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()nn f x a x a x a x=+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.4．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程； （II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.5．椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.6.数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=….7．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n .1.解：（I ） 右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y bax =∴=+M a c a b cF c c a b()()22220，，，， ，∴→=O M a c a b c ()2， M F c a c a b c b c a bc →=--=-()()22，，O M M F a b c a bc O M M F →⋅→=-=∴→⊥→2222220 ……3分（II ） e b a e a b =∴=-=∴=621222222，，||()M F b c a b c b b a cb a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ ……8分证明：设l 31：y k x =+，点P x y Q x y ()()1122，，， x =由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=kx k x l 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k ……11分 A P A Q x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x kk k k k k ， -<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ∴+>∴-+>()1421022λλλλ∴λ的取值范围是（0，1）……13分 2.解：（I ） nN ∈* ∴=--+-=+-f n n n n f nn f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n()()1 ……1分 ∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……fn fn n ()()--=1 将这n 个式子相加，得fnf n n n ()()()-=++++=+012312f f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n n N n()(*)12……3分 （II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为fn f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，∴=N 201020122998，，……，均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列. 设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N m i n =2010 ……9分（IV ）设b a nn=1，即b n n n n n =+=-+212111()()则b b b n n n n 122112121313141112111+++=-+-+-++-+=-+ [()()()()]()显然，其极限存在，并且l i m ()l i m []n nn b b b n →∞→∞+++=-+=122112 ……10分 注：b c a n n=（c 为非零常数），b b q q n a n n a n n n ==<<++()(||)12012121，等都能使l i m ()n n b b b →∞+++12 存在. 19.解：（I ） ec a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，， ∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()Mx y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] O P O Q xx y y xx k x x xx k xx x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k xx k k i i =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222 由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3.解：（I ）由已知S m m a n n ++=+-1111()()S m m a n n=+-()1 （2） 由()()12-得：a m a m a n n n ++=-11，即()m a m a n n+=+11对任意n N ∈*都成立 {} m m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m m a 111=+-() ∴====+∴==+≥∈---a b I q f m mm b f b bb n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()* ∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n，即为等差数列，分()()*a m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-l i m (l g )l i m l g l g l i m ()l i m n b a n n n m m mm n bb bb b b n n n n nn n 121133131414151112112231·……由题意知lg mm +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4.解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=．由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分 ∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分 而AQ FA b x AQ b c FA ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅AQ FA ．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分圆半径a ca cb r ==+=22222．10分由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|， 又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分5.（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++d n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分)2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++)3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 )2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++．当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6.解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M --- 则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121 =+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为22020201222242y yyx d +=+=+=于是……10分11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)( ππππx f x f f x f fx f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g xx 得由,0)(),0(32),0(],,0[ .)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),( x g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)( x f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ 当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分 数学压轴题圆锥曲线类二1.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P=+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310， ,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(0414********=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ②且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠ ∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）.直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根，∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12, ∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）3.本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a nn n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba b n b n b a b a n n +<+=+>∴= 证法2：设n n f 13121)(+++= ，首先利用数学归纳法证不等式.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n（i ）当n=3时， 由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k+≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bbk k f b b b k f k k b k ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][log 22][log 21122 =+=+<n n b bb n ba n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a4.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 115tan y y PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
(word完整版)高二数学圆锥曲线测试题以及详细答案(2021年整理)
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圆锥曲线测试题及详细答案一、选择题：1、双曲线221102x y -=的焦距为（ ）D 。
2。
椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）A ．23 B ．3 C ．27D ．4 3．已知动点M 的坐标满足方程|12512|1322-+=+y x y x ，则动点M 的轨迹是( ） A. 抛物线 B.双曲线 C. 椭圆 D.以上都不对4．设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为1,023F y x =-、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若5||1=PF ，则=||2PF （ )A 。
1或5 B. 1或9 C 。
1 D. 95、设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是（ )。
C. 21 6．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163B ．83C ．316D ．387. 若双曲线2221613x y p-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( ）（A)2 （B)3 (C ）4 8．如果椭圆193622=+y x 的弦被点(4，2）平分,则这条弦所在的直线方程是（ ） A 02=-y x B 042=-+y x C 01232=-+y x D 082=-+y x 9、无论θ为何值，方程1sin 222=⋅+y x θ所表示的曲线必不是（ ）A 。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
2023年高考圆锥曲线解答题精选一百道答案
故点
h 在以 为直径的圆外．
13. （1） 设切点坐标为 h h h h h h ，则切线斜率为
线方程为
h
h
h
h
即
h
h
此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为
h，切
h
由h
h
最大值，即
hh
hh
h h，可知，当且仅当 h
有最小值，因此点 的坐标为
由题意知
h
时， h h 有
．
h
解得
故 方程为 （2） 由（1）知
．
若直线 与曲线 只有一个交点，令
h．
当 h 时，解得
h，即
解得
，
，即 h，
，此时方程可化为
满足条件．
当 h 时，
①若
是方程的解，则
h
h 另一根为
故在区间
上有且仅有一个根，满足题意．
h h툨 ，
②若
是方程的解，则
h
另外一根为
，
툨
，故在区间
上有且仅有一个根，满足题意．
③若
和
均不是方程的解，则方程在区间
3. （1） 设
，
，
则：
，
，所以
，
又
两式相减得 即
က က
h
h
所以
，
因此原命题得证，且定值为 ．
（2） 根据题意，如图．
假设存在符合题意的平行四边形 于是
，设 h h ，则
h
h
က
᜕h
此时根据第（1）小题的结论，有 က hh က
hh
整理得
ကh ကh
h
h
က
即
圆锥曲线专题(含答案)
1.已知椭圆22221(0)x y C a b ab+=>>：2F (-2,0).（1） 求椭圆C 的方程；（2） 若直线y =x +m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2+y 2=1上，求m 的值.解：（1）由题意，得22222,.c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得 2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2） 设点A 、B 的坐标分别为（x 1,y 1),(x 2,y 2)，线段AB 的中点为M (x 0,y 0)，由221,84.x yy x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，3x 2+4mx +2m 2-8=0, Δ=96-8m 2＞0,∴-23＜m ＜23.∴,322210m x x x -=+=∴300m m x y =+=.∵点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上，222()()133m m ∴-+=，5m ∴=±.2.已知抛物线C 的顶点在原点，焦点为)021(，F ． （1）求抛物线C 的方程； （2）已知直线)21(+=x k y 与抛物线C 交于A 、B 两点，且FB FA 2=，求k 的值；（3）设点P 是抛物线C 上的动点，点R 、N 在y 轴上，圆1)1(22=+-y x 内切于PRN ∆，求PRN ∆的面积最小值．解：（1）设抛物线C 的方程为22(0),y px p =>由122p =，即1p =，所以抛物线C 的方程为22y x =（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由||2||FA FB =得故12112()22x x +=+即12122x x -=①又由21()22y k x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2222(2)04k k x k x +-+=故12221x x k +=- ②1214x x =③解①②③构成的方程组得1211,,43x x k ===±又由2242(2)440k k k ∆=--=->，即11k -<<，所求得的k 适合，因此所求得的k的值为3±（3）设00(,),(0,),(0,)P x y R b N c ，且b c >∴直线PR 的方程为000()0y b x x y x b --+=圆22(1)1x y -+=内切于P R N ∆， 由则圆心（1，0）到直线PR 的距离为1，||1y b x b -+∴=化简得2000(2)20x b y b x -+-=同理可得2000(2)20x c y c x -+-=，由于02x >，所以,b c 为方程2000(2)20x x y x x -+-=的两根，∴0022x y c b -=+，002x x bc -=，∴20220020202)2(4)2(844)(-=--+=-x x x x y x c b∴8424)2(22100020≥+-+-=-=-=∆x x x x x c b S PRN ，当且仅当40=x 时取等号，所以PRN ∆的面积最小值为8．3.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点3(1,)2．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)直线2y kx =-与椭圆E 相交于A ，B 两点，在O A 上存在一点M ，O B 上存在一点N ，使得12M N A B =，若原点O 在以M N 为直径的圆上，求直线斜率k 的值．解：(Ⅰ) 依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>．∵ 12c a=， ∴ 2a c =，22223b a c c =-=．∵ 椭圆经过点3(1,)2，∴ 椭圆的方程为22143xy+=．(Ⅱ) 记,A B 两点坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，222143y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y ，得22(43)1640k x kx +-+=． ∵ 直线与椭圆有两个交点，∴ 24(16)16(43)0k k ∆=-+>，∴ 214k >．由韦达定理 1221643k x x k +=+，122443x x k =+．∵ 原点O 在以M N 为直径的圆上，∴ O M O N ⊥，即0OM ON ⋅=． ∵ 12M N A B =，M 在O A 上，N 在O B 上∴ 0OA OB ⋅= ，又11(,)OA x y = ，22(,)OB x y =，∴ OA OB ⋅=12121212(2)(2)x x y y x x kx kx +=+--21212(1)2(+)+4k x x k x x =+-222416(1)2+4=04343k k kk k =+-++．∴ 241=32k >， ∴=3k ±4.已知椭圆2222:1x y C ab += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值. 解：（Ⅰ）由已知，222214a b e a-==，所以2234a b =， ①又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914ab+= ， ②由①②解之，得224,3a b ==. 故椭圆C 的方程为22143xy+=.(Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(34)84120k x km x m +++-=， 222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ③设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则： 012012122286,()23434km m x x x y y y k x x m kk=+=-=+=++=++，由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=.从而222222216121(34)(34)k mmk k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式.又点O 到直线l 的距离为：2d ===≥=当且仅当0k =时等号成立当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，从而P 点为(2,0),(2,0)-，直线l 为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1所以点O 到直线l的距离最小值为25.已知点C （4，0）和直线,1:=x l P 是动点，作,l PQ ⊥垂足为Q ，且,0)2()2(=-⋅+PQ PC PQ PC 设P 点的轨迹是曲线M 。
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圆锥曲线压轴22题及答案一．解答题（共22小题）1．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)的焦点是椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，且两曲线有公共点（,）．（1）求椭圆M 的方程;（2)O 为坐标原点，A ，B ，C 是椭圆M 上不同的三点，并且O 为△ABC 的重心，试探究△ABC 的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 2．已知直线11：ax ﹣y+1=0，直线12：x+5ay+5a=0．（1）直线11与l 2的交点为M,当a 变化时，求点M 的轨迹C 的方程：（2）已知点D （2，0）,过点E （﹣2，0）的直线1与C 交于A ，B 两点，求△ABD 面积的最大值． 3．已知椭圆C:+=1（a ＞b ＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M 与点F 分别为椭圆C 的上顶点与左焦点，且△MOF 的面积为（点O 为坐标原点）．（1）求C 的方程；(2）直线l 过F 且与椭圆C 交于P ，Q 两点，点P 关于O 的对称点为P′，求△PP′Q 面积的最大值．4．如图所示，椭圆C 1:+y 2=1，抛物线C 2：y=x 2﹣1，其中C 2与y 轴的交点为M,过坐标原点O的直线l 与C 2相交于点A ，B,直线MA ，MB 分别与C 1相交于点D ，E ． （Ⅰ）证明：MA ⊥MB;（Ⅱ）记△MAB ，△MDE 的面积分别是S 1,S 2．问：是否存在直线l ，使得=．若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．5．已知椭圆C1:的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1）求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点,若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点,则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．6．椭圆的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B 两点，当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）在y轴上是否存在异于点P的定点Q，使得直线l变化时,总有∠PQA=∠PQB?若存在,求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知椭圆，点在椭圆C上,椭圆C的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C的方程；(2)设点A为椭圆长轴的左端点,P、Q为椭圆上异于椭圆C长轴端点的两点，记直线AP、AQ斜率分别为k1、k2，若k1k2=2，请判断直线PQ是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．8．已知椭圆Γ：=1（0＜b＜2）的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为B，O为坐标原点，且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q(1，0），点P是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值;(3）设不经过点B的直线l与椭圆Γ相交于M、N两点,且直线BM、BN的斜率之和为1，证明：直线l过定点．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．(Ⅰ）求椭圆E的标准方程;(Ⅱ）设直线与椭圆E交于A，C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问｜AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值;若不是,请说明理由．10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ)求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点，以AC为对角线作正方形ABCD,记直线l与x 轴的交点为H,试问｜BH｜是否为定值?若是,求出定值；若不是，请说明理由．11．设椭圆M：+=1(a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．（1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m，使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围． 12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点． （ I ）求椭圆C 的方程； （ II ）当直线l 的斜率为时，求△POQ 的面积；( III ）在椭圆C 上是否存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形?若存在，求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由． 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：(a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD|=1，O 为坐标原点． (1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点，A 1、A 2为C 的上、下顶点,直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问:|OT|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣,0)，F 2（，0)，点E(，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M ，N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围． 15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．（I ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值？若存在，请求出该点的坐标;若不存在，请说明理由． 16．已知椭圆C ：(a ＞b ＞0）的离心率，抛物线E ：的焦点恰好是椭圆C的一个顶点．（1)求椭圆C 的标准方程；（2)过点P （0，1）的动直线与椭圆C 交于A,B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立？请说明理由．17．在平面直角坐标系中,点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点，双曲线C 的离心率为2，点（1,)在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．(1）求动点P 的轨迹方程；（2）在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）,线段MN 的中点为G ，已知点(x 1，x 2)在圆x 2+y 2=2上，求｜OG ｜•|MN ｜的最大值，并判断此时△OMN 的形状． 18．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0)，其内接△ABC 中∠A=90°． （I)当点A 与原点重合时，求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II ）当点A 的纵坐标为常数t 0(t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 19．如图，已知F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点，点P （﹣2,3）是椭圆C上一点,且PF 1⊥x 轴． （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆M ：(x ﹣m ）2+y 2=r 2（r ＞0）．①设圆M 与线段PF 2交于两点A,B ，若，且AB=2，求r 的值；②设m=﹣2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点（异于点P ）．试问：是否存在这样的正数r,使得G,H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．20．己知椭圆在椭圆上，过C 的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．(1）求椭圆C 的标准方程；．（2）过点A （﹣2,0)作两条相交直线l 1，l 2，l 1与椭圆交于P ，Q 两点（点P 在点Q 的上方），l 2与椭圆交于M ，N 两点（点M 在点N 的上方），若直线l 1的斜率为，，求直线l 2的斜率．21．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x 2=2py （p ＞0),直线y=x 与C 交于O ，T 两点，｜OT ｜=4．（Ⅰ）求C 的方程; （Ⅱ)斜率为k （0）的直线l 过线段OT 的中点，与C 交于A,B 两点,直线OA,OB 分别交直线y=x ﹣2于M ，N 两点，求|MN|的最大值．22．已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上，焦距为4,离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l经过点P(0,﹣1），且与椭圆交于A,B两点，若,求直线l的方程．参考答案与试题解析一．解答题(共22小题）1．已知抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1(a＞b＞0)的右焦点,且两曲线有公共点（,）．（1)求椭圆M的方程；(2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆M上不同的三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：(1)抛物线C:y2=2px（p＞0）的焦点是椭圆M：+=1（a＞b＞0)的右焦点,∴=c，∵两曲线有公共点（,)，∴=2p•，+=1，解得p=2，∴c=1，∴c2=a2﹣b2=1，∴a2=4，b2=3，∴椭圆的方程为+=1；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+4y2=12,可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1)，B（x2,y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+)=（，﹣），由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12，化简可得4m2=3+4k2，|AB|=•=•=•==，C到直线AB的距离d═，S△ABC=|AB|•d=••=．当直线AB的斜率不存在时，|AB｜=3，d=3，S△ABC=｜AB｜•d=．综上可得，△ABC的面积为定值．2．已知直线11：ax﹣y+1=0，直线12:x+5ay+5a=0．（1）直线11与l2的交点为M，当a变化时,求点M的轨迹C的方程：（2）已知点D(2，0)，过点E（﹣2,0)的直线1与C交于A，B两点，求△ABD面积的最大值．【解答】解:（1）由题意设M（x，y)，M满足直线11、直线12：可得，消去a，可得x2+5y2=5，即点M的轨迹C的方程为：(2）设直线l的方程x=my﹣2．E（﹣2,0)在M的轨迹C内．ED=4，直线1与C交于A，B两点，A（x1,y1）．B（x2，y2）∴，可得（m2+5）y2﹣4my﹣1=0．∴y1+y2=．y1y2=∴△ABD面积s=×|y1﹣y2｜•|ED=×4×=2×==2×≤2×=2×=,当且仅当m=时，表达式取得最大值．△ABD面积的最大值：．3．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点围成的菱形的面积为4，点M与点F分别为椭圆C的上顶点与左焦点，且△MOF的面积为（点O为坐标原点）．（1）求C的方程；(2）直线l过F且与椭圆C交于P,Q两点，点P关于O的对称点为P′，求△PP′Q面积的最大值．【解答】解：(1)∵△MOF的面积为,∴bc=，即bc=．又∵椭圆C的四个顶点围成的菱形的面积为4,∴=4，即ab=2．∴==,∴=，∴a=2,b=,∴C的方程为:=1．（2）由题意可知，点O为PP′的中点，则=2S△POQ．设直线l的方程为：x=my﹣1,P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得(3m2+4)y2﹣6my﹣9=0，∴y1+y2=，y1y2=,∴|y1﹣y2|===，∴S△POQ =|OF|•|y1﹣y2｜=．设=t≥1,=．∵函数g(t)=在［1，+∞）上单调递减，∴当t=1时，△PP′Q面积取得最大值=3．4．如图所示，椭圆C1：+y2=1,抛物线C2：y=x2﹣1，其中C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D,E．（Ⅰ)证明：MA⊥MB;(Ⅱ)记△MAB，△MDE的面积分别是S1,S2．问:是否存在直线l，使得=．若存在,求出直线l的方程，若不存在,请说明理由．【解答】解:(Ⅰ)证明：由题得,直线l 的斜率存在，设为k,则直线l 的方程为:y=kx, 由y=kx 和y=x 2﹣1，得x 2﹣kx ﹣1=0．设A(x 1，y 1），B(x 2,y 2), 于是x 1+x 2=k ，x 1•x 2=﹣1，又点M 的坐标为（0，﹣1）． 所以k MA •k MB =•====﹣1．故MA ⊥MB ，即MD ⊥ME;(Ⅱ）设直线MA 的斜率为k 1,则直线MA 的方程为y=k 1x ﹣1． 联立y=x 2﹣1可得或则点A 的坐标为（k 1，k 12﹣1）． 又直线MB 的斜率为﹣，同理可得点B 的坐标为（﹣，﹣1）．于是S 1=|MA ｜•｜MB ｜=｜k 1|•••|﹣｜•=．由椭圆方程x 2+4y 2=4和y=k 1x ﹣1， 得（1+4k 12）x 2﹣8k 1x=0,解得,或,则点D的坐标为（,）．又直线ME的斜率为﹣,同理可得点E的坐标为（﹣，)．于是S2=｜MD｜•|ME｜=．故=（4k12++17)=，解得k12=4，或k12=．又由点A，B的坐标得，k==k1﹣．所以k=±．故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程为y=±x．5．已知椭圆C1：的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线距离为．（1)求椭圆C1的方程；（2）点F为椭圆的左焦点,不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线C1相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标;若不存在这样的定点，请说明理由．【解答】解:（1)由题意可知：a=2……………………………………1分又椭圆的上顶点为(0，b）双曲线的渐近线为：2y±x=0由点到直线的距离公式有：得……………………3分所以椭圆的方程为．……………………4分（2）设直线线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1）、B（x2，y2）联立得（3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0……………………5分则……………………7分由已知直线FA、FB的斜率之和为0，有,2kx1x2+（k+m)（x1+x2)+2m=0…………………9分所以化简得m=4k………………11分此时△=（8km)2﹣4×(3+4k2)(4m2﹣12）=(32k2）2﹣4×（3+4k2)（64k2﹣12)=16×64k4﹣16(4k2+3）（16k2﹣3)=16×9（1﹣4k2）显然△=16×9（1﹣4k2）＞0有机会成立．所以直线l的方程为：y=kx+m=k（x+4）所以存在这样的定点（﹣4，0）符合题意．…………12分6．椭圆的离心率是，过点P(0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点,当直线l与x轴平行时，直线l被椭圆C截得的线段长为．（1)求椭圆C的方程;（2）在y 轴上是否存在异于点P 的定点Q,使得直线l 变化时，总有∠PQA=∠PQB?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵，∴a 2=2c 2=b 2+c 2，b=c,a 2=2b 2,椭圆方程化为:，由题意知，椭圆过点，∴，解得b 2=4，a 2=8，所以椭圆C 的方程为：;（2）当直线l 斜率存在时,设直线l 方程:y=kx+1， 由得(2k 2+1）x 2+4kx ﹣6=0，△=16k 2+24（2k 2+1）＞0,设,假设存在定点Q （0，t)符合题意，∵∠PQA=∠PQB ，∴k QA =﹣k QB , ∴=,∵上式对任意实数k 恒等于零，∴4﹣t=0，即t=4，∴Q （0,4），当直线l 斜率不存在时,A ，B 两点分别为椭圆的上下顶点（0，﹣2），（0,2）， 显然此时∠PQA=∠PQB ，综上，存在定点Q （0，4）满足题意． 7．已知椭圆，点在椭圆C 上，椭圆C 的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．（1）求椭圆C 的方程;（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P 、Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP 、AQ 斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=2,请判断直线PQ 是否过定点?若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由． 【解答】解:（1）由点在椭圆C 上可得：，整理为：9a 2+4b 2=4a 2b 2， 由椭圆C 的四个顶点的连接线构成的四边形的面积为可得：，即，可得，由a ＞b ＞0可解得：，故椭圆C 的方程为：．（2）设点P 、Q 的坐标分别为（x 1,y 1)，（x 2，y 2），点A 的坐标为（﹣2，0）， 故，可得y 1y 2=2（x 1+2)（x 2+2），设直线PQ 的方程为y=kx+m （直线PQ 的斜率存在）， 可得（kx 1+m)(kx 2+m ）=2（x 1+2）（x 2+2）， 整理为：，联立，消去y 得:(4k 2+3）x 2+8kmx+(4m 2﹣12）=0，由△=64k 2m 2﹣4(4k 2+3）（4m 2﹣12）=48（4k 2﹣m 2+3)＞0,有4k 2+3＞m 2， 有，，故有:，整理得：44k 2﹣32km+5m 2=0，解得：m=2k 或,当m=2k 时直线PQ 的方程为y=kx+2k,即y=k(x+2)，过定点（﹣2，0)不合题意， 当时直线PQ 的方程为，即,过定点．8．已知椭圆Γ：=1(0＜b ＜2）的左右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B ，O 为坐标原点,且向量与的夹角为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设Q （1，0），点P 是椭圆Γ上的动点，求的最大值和最小值；(3）设不经过点B 的直线l 与椭圆Γ相交于M 、N 两点，且直线BM 、BN 的斜率之和为1，证明：直线l 过定点． 【解答】解:（1)椭圆Γ:=1（0＜b ＜2）的a=2，向量与的夹角为,可得｜BF 1｜=|BF 2｜=a==2b=2，即b=1,则椭圆方程为+y 2=1；(2）设P （m ，n ），可得+n 2=1，即n 2=1﹣，•=（1﹣m ，﹣n ）•(﹣m ，﹣n ）=m 2﹣m+n 2=m 2﹣m+1=（m ﹣）2+，由﹣2≤m ≤2可得m=时，上式取得最小值;m=﹣2时,取得最大值6， 则•的范围是［，6]；（3）证明:当直线l 的斜率不存在时，设M （x 1，y 1），N(x 2，y 2）， 由k BM +k BN =+==1，x 1=x 2,y 1=﹣y 2，得x 1=﹣2，此时M ，N 重合，不符合题意；设不经过点P 的直线l 方程为：y=kx+m ，M （x 1,y 1)，N （x 2，y 2）， 由得（1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=,k BM +k BN =+==1,⇒（kx1﹣1+t）x2+（kx2﹣1+t）x1=x1x2⇒(2k﹣1）x1x2+（t﹣1）（x1+x2）=0⇒（t﹣1)（2k﹣t﹣1）=0，∵t≠1，∴t=2k﹣1,∴y=k（x+2）﹣1，直线l必过定点（﹣2，﹣1）．9．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程;（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A,C两点，与x轴交于点H，设AC的中点为Q，试问|AQ|2+｜QH|2是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】（本小题满分12分)解:（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分)令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分)所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ)由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C（x2，y2）则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又，∵Q为AC的中点，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分)直线l与x轴的交点为H（﹣2m，0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜AQ｜2+|HQ｜2为定值10．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）10．椭圆E：的左、右焦点分别为、，过F1且斜率为的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆E交于A、C两点,以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x 轴的交点为H，试问｜BH|是否为定值？若是，求出定值；若不是,请说明理由．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）过且斜率为的直线方程为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分）令，则y=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分)由题意可得，解得a2=16，b2=4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以椭圆E的标准方程．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）由可得x2+2mx+2m2﹣8=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分)设A（x1，y1），C(x2，y2）则有,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分）又，设AC的中点为Q，则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）直线l与x轴的交点为H(﹣2m,0），所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）=，所以｜BH｜为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分）11．设椭圆M：+=1（a＞b＞0）经过点P（,），F1，F2是椭圆M的左、右焦点，且△PF1F2的面积为．(1）求椭圆M的方程；（2）设O为坐标原点，过椭圆M内的一点（0，t）作斜率为k的直线l与椭圆M交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若对任意实数k，存在实m,使得k1+k2=mk，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设M的焦点F1（﹣c，0），F2(c,0），∵，△PF1F2面积为，∴，∴c=1，由，得∴椭圆M的方程为．(2）设直线l的方程为y=kx+t，由•得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12=0，设A（x1•y2)，B（x2•y2),则．．由k1+k2=mk对任意k成立，得，∴，又（0，t）在椭圆内部，∴0≤t2＜3，∴m≥2，即m∈[2，+∞）．12．已知椭圆经过点，离心率为，过右焦点F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（ I）求椭圆C的方程；( II）当直线l的斜率为时，求△POQ的面积；（ III)在椭圆C上是否存在点M，使得四边形OPMQ为平行四边形？若存在,求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解:（I) 根据题意,解得，故椭圆C的方程为．…(5分）（ II) 根据题意，直线l的方程为．设P（x1,y1），Q（x2，y2）．由得15x2﹣24x=0．解得．法一：．法二:，原点O到直线l的距离．所以…（10分)（ III）设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．设P(x1，y1）,Q（x2,y2），由得（3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．由韦达定理得，．所以PQ 的中点．要使四边形OPMQ 为平行四边形，则N 为OM 的中点，所以．要使点M 在椭圆C 上，则，即12k 2+9=0，此方程无解．所以在椭圆C 上不存在点M ，使得四边形OPMQ 为平行四边形．…．（14分) 13．已知F 1、F 2是椭圆C ：（a ＞b ＞0）的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A 、B 两点,F 1B 与y 轴交于点D ，AD ⊥F 1B ，且｜OD ｜=1,O 为坐标原点． （1）求C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上任一异于顶点的点,A 1、A 2为C 的上、下顶点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点M 、N ．若直线OT 与过点M 、N 的圆切于点T ．试问：|OT ｜是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）如图：AF 2⊥x 轴，｜OD|=1， ∴AB ∥OD,∵O 为F 1F 2为的中点, ∴D 为BF 1的中点， ∵AD ⊥F 1B ，∴｜AF 1｜=|AB ｜=2｜AF 2｜=4｜OD ｜=4， ∴2a=|AF 1｜+｜AF 2｜=4+2=6， ∴a=3, ∴｜F 1F 2｜==2，∴c=,a=3，∴b2=a2﹣c2=6，∴+=1，（2）由（1）可知,A1(0，），A2（0，﹣)．设点P（x0，y），直线PA1：y﹣=x，令y=0，得xM=；直线PA2:y+=x，令y=0，得xN=;|OM｜•｜ON|=,∵+=1，∴6﹣y02=x2,∴｜OM｜•|ON｜=．由切割线定理得OT2=OM•ON=．∴OT=，即线段OT的长度为定值．14．已知椭圆C ：+=1的两个焦点分别是F 1（﹣，0)，F 2（，0），点E （，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）设P 是y 轴上的一点，若椭圆C 上存在两点M,N 使=2，求以F 1P 为直径的圆面积取值范围．【解答】解:（Ⅰ）由已知,c=， ∴2a=|EF 1|+|EF 2|=+=4，∴a=2,∴b 2=a 2﹣c 2=8﹣2=6， ∴椭圆方程为+=1，（Ⅱ）设点P 的坐标为（0，t)，当直线MN 的斜率不存在时，可得M,N 分别是椭圆的两端点,可得t=±，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y=kx+t ，M(x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则由=2可得x 1=﹣2x 2，①，由，消y 可得（3+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣24=0，由△＞0,可得64k 2t 2﹣4（3+4k 2）(4t 2﹣24）＞0，整理可得t 2＜8k 2+6，由韦达定理可得x 1+x 2=﹣,x 1x 2=，②,由①②,消去x 1，x 2可得k 2=，由，解得＜t 2＜6, 综上得≤t 2＜6，又以F 1P 为直径的圆面积S=π•，∴S 的范围为[，2π）．15．已知椭圆的右焦点为F ，离心率为，平行于x 轴的直线交椭圆于A,B 两点,且．（I)求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过点F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点,在x 轴上是否存在定点E ，使得是定值?若存在，请求出该点的坐标；若不存在,请说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：，∵平行于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且．∴，a=,∴c=2，b 2=a 2=﹣c 2=2． ∴椭圆C 的方程为（Ⅱ）设直线l 的方程为y=k （x ﹣2）， 代入椭圆C 的方程,得（3k 2+1）x 2﹣12k 2x+12k 2﹣6=0，设M（x3，y3），N（x4，y4）,则，，x3x4=．根据题意，假设x轴上存在定点E（t，0），使得是为定值,=(x3﹣t,y3）•（x4﹣t,y4）=(x3﹣t）•(x4﹣t)+y3y4，=（x3﹣t)•（x4﹣t)+k2（x3﹣2）•（x4﹣2）,=（k2+1)x3x4﹣（2k2+t)(x3+x4）+4k2+t2,=要使上式为定值,即与k无关，则应3t2﹣12t+10=3（t2﹣6），即t=，故当点E的坐标为（,0）时，使得为定值．16．已知椭圆C：(a＞b＞0）的离心率，抛物线E：的焦点恰好是椭圆C 的一个顶点．（1)求椭圆C的标准方程；（2)过点P（0，1)的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数λ，使得恒成立?请说明理由．【解答】解：（1)由抛物线E：的焦点（0,)，椭圆的C的焦点在x轴，由题意可知：b=,椭圆的离心率e===,则a=2，∴椭圆的标准方程:；（2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1,A，B的坐标分别为（x1,y1），（x2，y2)．联立,整理得（4k 2+3）x 2+8kx ﹣8=0．其判别式△＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣．∴•+λ•=x 1x 2+y 1y 2+λ［x 1x 2+（y 1﹣1）(y 2﹣1）］，=（1+λ)（1+k 2)x 1x 2+k （x 1+x 2)+1==﹣2λ﹣3，当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，即•+λ•=﹣7为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．17．在平面直角坐标系中，点F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点,双曲线C 的离心率为2,点(1，）在双曲线C 上．不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形PF 1QF 2的周长为．（1）求动点P 的轨迹方程；（2)在动点P 的轨迹上有两个不同的点M （x 1,y 1）、N （x 2，y 2），线段MN 的中点为G,已知点(x 1，x 2）在圆x 2+y 2=2上，求|OG ｜•｜MN|的最大值,并判断此时△OMN 的形状． 【解答】解：（1）设F 1，F 2分别为（﹣c ，0)，（c ，0） 可得，b 2=c 2﹣a 2=3a 2,又点（1,)在双曲线C 上，∴，解得，c=1．连接PQ ，∵OF 1=OF 2,OP=OQ ，∴四边形PF 1QF 2的周长为平行四边形． ∴四边形PF 1+PF 2=2＞2，∴动点P 的轨迹是以点F 1、F 2分别为左右焦点的椭圆（除左右顶点),∴动点P 的轨迹方程（y ≠0）;（2）∵x 12+x 22=2，,∴y 12+y 22=1．∴｜OG ｜•｜MN｜=•=•=．∴当3﹣2x 1x 2﹣2y 1y 2=3+2x 1x 2+2y 1y 2⇒x 1x 2+y 1y 2=0时取最值， 此时OM ⊥ON ，△OMN 为直角三角形．18．已知抛物线C:y 2=2px （p ＞0），其内接△ABC 中∠A=90°． （I ）当点A 与原点重合时,求斜边BC 中点M 的轨迹方程；（II)当点A 的纵坐标为常数t 0（t 0∈R ）时，判断BC 所在直线是否过定点？过定点求出定点坐标；不过定点，说明理由． 【解答】解：（I ）设B （，y 1)，C （，y 2）,∵AB ⊥AC ，∴+y 1y 2=0,∴y 1y 2=﹣4p 2．∴设BC 的中点M （x ，y ），则=x ，y 1+y 2=2y ，∵y 12+y 22=(y 1+y 2）2﹣2y 1y 2, ∴px=4y 2+8p 2，∴M 的轨迹方程为：y 2=（x ﹣8p ）． （II ）A （，t 0)，设直线BC 的方程为y=kx+b,B （，y 1），C （,y 2),∴k AB ==,k AC ==,∵AB⊥AC，∴•=﹣1．即y1y2+t（y1+y2）+t2+4p2=0．联立方程组，消去x可得y2﹣y+=0，∴y1y2=,y1+y2=，∴+t0+t2+4p2=0．解得b=﹣t﹣﹣2pk，∴直线BC的方程为：y=kx﹣t0﹣﹣2pk=k（x﹣2p﹣）﹣t，∴直线BC过定点(2p+，﹣t）．19．如图,已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点,点P（﹣2，3）是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴．（1）求椭圆C的方程；（2)设圆M：（x﹣m）2+y2=r2（r＞0）．①设圆M与线段PF2交于两点A，B,若,且AB=2，求r的值；②设m=﹣2，过点P作圆M的两条切线分别交椭圆C于G,H两点（异于点P)．试问:是否存在这样的正数r，使得G，H两点恰好关于坐标原点O对称？若存在,求出r的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1）因点P（﹣2，3)是椭圆C上一点，且PF1⊥x轴，所以椭圆的半焦距c=2，由,得，所以,……（2分）化简得a2﹣3a﹣4=0，解得a=4，所以b2=12，所以椭圆C的方程为．……(4分)（2）①因，所以，即，所以线段PF2与线段AB的中点重合(记为点Q），由（1）知,……（6分）因圆M与线段PF2交于两点A，B，所以，所以,解得，……（8分）所以，故．……(10分）②由G，H两点恰好关于原点对称,设G(x0，y），则H（﹣x，﹣y）,不妨设x＜0，因P（﹣2,3），m=﹣2,所以两条切线的斜率均存在,设过点P与圆M相切的直线斜率为k，则切线方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，由该直线与圆M相切，得，即，……（12分）所以两条切线的斜率互为相反数，即kGP =﹣kHP,所以，化简得x0y=﹣6，即，代入,化简得，解得x=﹣2(舍），，所以，……(14分）所以，,所以，所以．故存在满足条件的,且．……(16分）20．己知椭圆在椭圆上,过C的焦点且与长轴垂直的弦的长度为．（1)求椭圆C的标准方程;．（2）过点A(﹣2，0）作两条相交直线l1，l2,l1与椭圆交于P，Q两点（点P在点Q的上方），l2与椭圆交于M，N两点（点M在点N的上方），若直线l1的斜率为，，求直线l2的斜率．【解答】解：（1）由已知得：，…………………………(2分）解得a=6，b=1．故椭圆C的方程为．………………………（4分）(2）由题设可知:l1的直线方程为x=﹣7y﹣2．联立方程组，整理得:85y2+28y﹣32=0.．…………………………（6分）∴．…………………………………………（7分)∵，∴，即．…………………………………………（8分)设l2的直线方程为x=my﹣2（m≠0)．将x=my﹣2代入+y2=1得(m2+36)y2﹣4my﹣32=0．设M（x1，y1），N(x2，y2），则．……………………………………(10分)又∵，∴．解得m2=4，∴m=±2．故直线l2的斜率为．………………………（12分）21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2=2py(p＞0），直线y=x与C交于O，T两点，｜OT|=4．（Ⅰ)求C的方程；（Ⅱ）斜率为k（0)的直线l过线段OT的中点，与C交于A,B两点,直线OA,OB分别交直线y=x﹣2于M,N两点，求｜MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由方程组得x2﹣2px=0，解得x1=0,x2=2p，所以O（0，0）,T(2p,2p），则｜OT｜=2p，又｜OT|=2p=4，所以p=2．故C的方程为x2=4y．(Ⅱ)由（Ⅰ）O（0，0),T(4，4）,则线段OT的中点坐标(2，2）．故直线l的方程为y﹣2=k(x﹣2)．由方程组得x2﹣4kx+8k﹣8=0．设A(x1,x12），B（x2，x22）,则x1+x2=4k，x1x2=8k﹣8，直线OA的方程y=x,代入y=x﹣2，解得x=,所以M（，），同理得N(,）,所以|MN|=•|﹣｜=|｜=×|=4•因为0＜k≤，所以8＜|MN｜≤4．当k=时，｜MN|取得最大值4．22．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为．（1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l经过点P（0,﹣1），且与椭圆交于A，B两点,若，求直线l的方程．【解答】（本小题满分12分）解:(1）依题意可设椭圆方程为(a＞b＞0)，由2c=4，c=2，e==，则a=2,b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的方程为：．(2）由题意可知直线l的斜率存在,设l的方程为:y=kx﹣1，A（x1，y1）,B（x2,y2），由，整理得（2k2+1）x2﹣4kx﹣6=0,且△＞0，则x1+x2=，x1x2=﹣,由,即（﹣x1，﹣1﹣y1)=2（x2,y2+1），x1=﹣2x2,，消去x2并解关于k的方程得:k=±，∴l的方程为：y=±x﹣1．。