圆锥曲线压轴习题锦集

【题文】已知抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足求的面积的最小值．【参考答案】解：令设直线方程为由得，则又点到直线的距离为【题文】已知抛物线：，直线：与抛物线有且只有一个公共点．求抛物线的方程以及点坐标；设为坐标原点，直线平行于与交于不同的两点，，且与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【参考答案】解：因为直线：与抛物线有且只有一个公共点，而由得，所以，解得，因此抛物线的方程为．将代入得，解得，因此点坐标为．由知，因此直线的斜率为，而直线平行于，所以可设直线的方程为．又因为直线与直线交于点，所以由得点的坐标为，因此．又因为直线与抛物线交于不同的两点，，若，，由得，所以，，因此，，所以．假设存在常数，使得成立，则，解得，因此存在常数，使得成立．【试题解析】本题考查了两条直线的交点坐标，两点间的距离公式和直线与抛物线的位置关系，考查了学生的运算能力，属于较难题．利用直线与抛物线相切，把直线的方程代入到抛物线的方程得，再利用判别式，计算得抛物线的方程为，再把将代入，计算得点的坐标；利用题目条件设直线的方程为，利用两条直线的交点坐标得点的坐标，再利用两点间的距离公式得，再设，，由由得，，再利用两点间的距离公式得，最后结合题目条件，计算得结论．【题文】已知点，点为抛物线上任意一点，且点为的中点，设动点的轨迹为曲线．Ⅰ求曲线的方程；Ⅱ已知点关于的对称点为点，是否存在斜率为的直线交曲线于、两点，且为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由．【参考答案】解：Ⅰ设，，是的中点，则，因为为抛物线上，所以，即，所以，故曲线的方程为：；Ⅱ由题意得，设直线：，设，，将的方程代入得，所以，，，所以，的中点，因为，所以，所以符合，所以直线存在，所以化为，，，所以：，所以．【试题解析】本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及面积公式，属于较难题．Ⅰ设的坐标，可得的中点的坐标，由在抛物线上可得的方程；Ⅱ设直线的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得的中点的坐标，由为以为底边的等腰三角形可得，所以可得，求出直线的方程，及弦长及的值，代入面积公式求出面积【题文】顺次连接椭圆的四个顶点得到边长为的菱形，且该菱形的对角线长度之比为．求椭圆的标准方程；设椭圆的右焦点为，定点，过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，求证：．【参考答案】解：依题意得解得，所以椭圆的标准方程为．由知，证明：当直线的斜率不存在时，直线，的倾斜角互补，所以．当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，整理得，设，则，，综上所述，【试题解析】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质和几何意义，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，属于中档题．根据椭圆的方程结合椭圆的性质和几何意义得解方程组即可．当直线的斜率不存在时，直线，的倾斜角互补，所以当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，整理根据韦达定理得，从而化简即可求解．【题文】已知动点到点的距离比到直线的距离大．求动点的轨迹的方程；过点的直线与相交于，两点，直线与轴的交点为求证：．【参考答案】解：设点的坐标为，则点到直线的距离，由题意，点满足集合，所以，化简得，故动点的轨迹的方程为．证明：显然直线的斜率不为，故设直线的方程为，设，把代入，化简得到，则，且，由题意知，显然直线、的斜率都存在，分别设为，则，所以．【试题解析】本题考查圆锥曲线中的轨迹问题以及直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．设点的坐标为，则点到直线的距离，写出点满足的条件，用坐标来表示，化简即可得到答案；显然直线的斜率不为，故设直线的方程为，设，设直线、的斜率分别为，把直线方程代入抛物线方程得到，结合韦达定理证明即可．【题文】已知椭圆的焦点在轴上，过作垂直于轴的直线，交椭圆于两点且，的周长为．求椭圆的方程；动点在直线上，由点引椭圆的两条切线，切点分别是，求证：直线过定点．【参考答案】解：的周长为，，．把代入椭圆方程中，可得，，，椭圆方程为．在直线上，，设，，设处的切线方程为假设斜率存在，联立方程得：，直线与椭圆相切，，方程有两个等根，，即，代入切线方程，可得：当斜率不存在时，也成立，同理，因为，都过点，，根据上式，可得直线的方程为：，把式代入上式，化简得：，直线过定点．【试题解析】本题考查椭圆的标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中定点问题的求解，属于中档题．根据椭圆的定义求出的值，再根据，得到，求出，从而得到椭圆的标准方程；先根据在直线上，得到，设，，，再设出处的切线方程假设斜率存在，并与椭圆方程联立，根据直线与椭圆相切，得到当斜率不存在时，也成立，同理得到，进而得到直线的方程为：，再结合式，化简得到直线过定点．【题文】已知椭圆的一个焦点坐标为，一条斜率为的直线分别交，轴于点，，交椭圆于点，，且点，三等分．求该椭圆的方程若是第一象限内椭圆上的点，其横坐标为，过点的两条不同的直线分别交椭圆于点，，且直线，的斜率之积，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标．【参考答案】解：不妨设，，，，则，即，，则由题意知，，或，，分别代入椭圆的方程得消去，整理得，，又，所以，．故该椭圆的方程为．解法一由题意得，直线的斜率存在，且不为，设直线的方程为，代入椭圆的方程整理得，．设，，由根与系数的关系得，由得，即，所以，即，整理得，．由求根公式得，，故或．若，则直线的方程为，直线过点，即点，舍去．若，则直线的方程为，恒过定点．解法二由题意得，直线的斜率存在，且不为，设直线的方程为，，，，，，．把代入椭圆的方程整理得，，即．把代入直线的方程并整理得，②，由得，，整理得，，又，所以．故直线的方程为，直线恒过定点．【试题解析】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查函数与方程思想、运算求解能力．分别设出点，的坐标，用相关参数表示，的坐标，代入椭圆方程，求出，的值设出直线的方程，利用条件求出相关参数关系，即可求得定点坐标．【题文】已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程．【参考答案】解：设抛物线的方程为，则消去得，，，，则，即，解得或，或．【题文】设分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足．求动点的轨迹方程斜率为的直线不经过原点，且与动点的轨迹相交于，两点，为线段的中点，直线与直线能否垂直？证明你的结论。

【参考答案】解：设，，，，，动点的轨迹方程．直线与直线不垂直．设，，联立，直线的斜率为，，直线的斜率为，直线与直线不垂直．【试题解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．设出，坐标，的坐标，利用向量关系，距离即可求动点的轨迹方程；直线与直线不垂直．设，，利用平方差法转化求解即可．【题文】已知焦点在轴上，中心在原点，离心率为的椭圆经过点，动点，不与定点重合均在椭圆上，且直线与的斜率之和为，为坐标原点．求椭圆的方程；求证直线经过定点；求的面积的最大值．【参考答案】解：设椭圆：的离心率为，可知，又因为，所以．由定点在椭圆上可得，故，．所以椭圆的方程为．当直线与轴垂直时，设，则．由题意得，即，所以直线的方程为．当直线不与轴垂直时，可设直线为，，，将代入得，所以，．由直线与的斜率之和为可得①，将和代入①并整理得：②，将，代入②并整理得：，分解因式可得，因为直线：不经过点，所以，故．所以直线的方程为，经过定点．综上所述，直线经过定点．由可得，．．因为坐标原点到直线的距离为，所以的面积．令，则，且，当且仅当，即时的面积取得最大值．【题文】已知抛物线，点，若斜率为的弦过点，且以为弦中点．Ⅰ求抛物线方程；Ⅱ若是抛物线过点的任一弦，点是抛物线准线与轴的交点，直线分别与抛物线交于两点，求证：直线的斜率为定值，并求的取值范围．【参考答案】解：设以点为中点的弦所在的直线交抛物线于，则有，于是，，得，抛物线方程为．设，则直线的方程为，代入得，，或，且，直线：，代入得，为点的纵坐标，点，同理，为定值，，由，得【试题解析】本题考查抛物线的定义，中点弦问题以及直线与抛物线的位置关系的综合问题．利用“点差法”，找到中点坐标与弦所在直线的斜率的关系，即可求解；将直线的方程整理代入抛物线方程中消元，由判别式可得，或，再由根与系数的关系写出两交点，坐标的关系．设出直线的方程，代入抛物线方程中，可以得到点，坐标之间的关系，这样就可把点表示成，同理，根据直线的斜率公式，化简得出，为定值．由两点之间的距离公式可把弦表示为，继而得到的取值范围．【题文】如图，过点作两条直线和：分别交抛物线于，和，其中，位于轴上方，直线，交于点．Ⅰ试求，两点的纵坐标之积．Ⅱ求证点的横坐标为定值，并求这个定值．Ⅲ若，求的最小值．【参考答案】解：Ⅰ将直线的方程代入抛物线得：，设点，则，Ⅱ由题得，则，，直线的方程为，直线的方程为，联立两直线方程消去得，将代入上式得，故点的横坐标为定值，并求这个定值为Ⅲ，，又，，令，则，当且仅当即时，取到最小值．【试题解析】本题考查直线与抛物线的位置关系及定值定点问题，同时考查利用基本不等式求最值．Ⅰ联立直线与抛物线的方程得：，点，根据韦达定理得，即可求得结果．Ⅱ由题得求出，的坐标，然后写出直线，的方程，求出交点的横坐标即可求解Ⅲ将表示为的函数，然后利用换元法以及基本不等式求解即可．【题文】已知椭圆，过点作椭圆的切线，在第一象限的切点为，过点作与直线倾斜角互补的直线，恰好经过椭圆的下顶点．求椭圆的方程为椭圆的右焦点，过点且与轴不垂直的直线交椭圆于，两点，点关于轴的对称点为，则直线是否过定点，若是，求出定点坐标若不是，请说明理由．【参考答案】解：由题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得化简整理得，，得，所以方程可化为，可得切点，由已知得，所以，即，得，所以椭圆的方程为．由知，设直线的方程为，与椭圆方程联立，得化简整理得，设，，则，．由，可得，则的方程为，即，所以当时，，即过定点．【试题解析】本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质，直线的倾斜角与方程，点关于直线对称，直线与椭圆的位置关系，考查数形结合思想和运算求解能力．设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，利用相切得到根的判别式为，进而得到切点坐标，再根据两直线倾斜角之间的关系，得到的值，从而得椭圆的方程设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，设出，，可得，及坐标，写出直线的方程，化简，根据方程的特点，即得过定点．【题文】已知椭圆的左、右焦点分别为，且关于直线的对称点在直线上．求椭圆的离心率若的长轴长为且斜率为的直线交椭圆于，两点，问是否存在定点，使得，的斜率之和为定值若存在，求出所有满足条件的点坐标若不存在，请说明理由．【参考答案】解：依题意知，设，则且，解得即．在直线上，，，．存在由及题设得且，，，．椭圆方程为．设直线的方程为，代入椭圆方程消去整理得．依题意，即．设，，则，．如果存在使得为定值，那么的取值将与无关，，令，则为关于的恒等式，解得或综上可知，满足条件的定点是存在的，坐标为或【试题解析】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了定点与定值问题，考查计算能力与推理能力，属于难题．依题意知，设，则且，计算得出，根据在直线上，代入即可得解．先由及题设得出椭圆的方程，设直线的方程为，代入椭圆方程消去整理得依题意，设，，设存在使得为定值，，利用为关于的恒等式，即可得解．【题文】如图，已知定点，动点，分别在轴和轴上移动，延长至点，使，且．求动点的轨迹；圆：，过点的直线依次交于，两点从左到右，交于，两点从左到右，求证：为定值．【参考答案】解：方法一：设，，，则由，及，得化简得，所以动点的轨迹是顶点在原点，开口向上的抛物线；方法二：设，由，得，，所以，，由，得，即，化简得，所以动点的轨迹是顶点在原点，开口向上的抛物线；证明：由题意，得，的圆心即为抛物线的焦点，设，，则，同理，直线的斜率显然存在，设直线的方程为，联立得，所以，所以，，所以．所以为定值．【试题解析】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，抛物线的概念与标准方程，轨迹方程问题，直线与抛物线的位置关系，抛物线中的定值问题，属于中档题．设，由，得，化简得，即可求出动点的轨迹；由由已知得，的圆心即为抛物线的焦点，设出直线的方程与抛物线方程联立，由，即可证明为定值．【题文】在平面直角坐标系中，抛物线的方程为，过点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，设，．当为抛物线的焦点时，直线的方程为，求抛物线的标准方程；求证：为定值．【参考答案】解：直线的方程为，令，则，即，得：，抛物线的标准方程为；设，由得：，所以，由题意，直线的斜率存在，设直线，得：，所以故，即为定值为【试题解析】本题考查抛物线方程的求法，圆锥曲线中的定值问题，属中档题．求出焦点坐标，根据抛物线定义计算即可；利用，得到，然后直线与抛物线联立，利用韦达定理代入上式，即可得到定值．【题文】已知椭圆，是坐标原点，分别为其左右焦点，，是椭圆上一点，的最大值为．求椭圆的方程若直线与椭圆交于，两点，且，中点为试问点到直线的距离是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由．【参考答案】解：由题意得，所以，当位于上下端点时，最大，此时，所以，，所以椭圆的方程为．由，所以，即，①当、的斜率都存在，且不为时，设直线：，、，由得，，同理得，，所以，所以，所以，设到的距离为，则，即，即，即，所以为定值；②当、的斜率一个为，一个不存在时，，可得也为定值，综上所述点到的距离为定值．【试题解析】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系，属于综合题，属于难题．由题意即可求得、的值，从而求得椭圆的方程；分类讨论，当、的斜率存在时，设出、的方程，代入到椭圆方程中，求得、点的坐标，即可求得的值，再由到的距离为，可得距离为定值．【题文】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，一个焦点坐标为，动点在椭圆上，点是的中点，过点作直线和直线不重合与椭圆相交于，两点，．求椭圆的标准方程；若直线，的斜率分别为，，且，求的值．【参考答案】解：由题设可知：，，，故，故椭圆的标准方程为；设，，，，，，即，，，，同理，，，，，，，，又，，，即，或，当时，，两点重合，舍去，经检验符合题意．故的值为．【试题解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，椭圆中的向量问题，关键在于通过消元得到关于的方程，进而求解．根据焦点坐标和离心率求出标准方程；设，，，，由得到，将点的坐标带入椭圆方程，又点是的中点，得，，得到，根据，得到，得到关于的方程，解方程即可求解，注意检验．【题文】如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且．求椭圆的方程设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于，两点是否存在常数，使得为定值若存在，求出的值若不存在，请说明理由．【参考答案】解：由已知，点，的坐标分别为，，又点的坐标为，且，于是解得，，所以椭圆的方程为．存在理由如下：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，的坐标分别为，，联立得，其判别式，所以，，从而．所以当时，，此时为定值．当直线斜率不存在时，直线即为直线，此时．故存在常数，使得为定值．【试题解析】本题考查椭圆的概念及标准方程、直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定点与定值问题，属于较难的题目．由已知，建立，，的方程组，即可求解；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，的坐标分别为，，联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系化简可得，即可求解，得到的值；当直线斜率不存在时，直线即为直线，直接计算即可得解．【题文】在平面直角坐标系中，曲线与直线交于，两点，当时，分别求在点和处的切线方程在轴上是否存在点，使得当变动时，总有请说明理由．【参考答案】解：由题设可得，，或，．又，故在处的导数值为，曲线在点处的切线方程为，即．在处的导数值为，曲线在点处的切线方程为，即．故所求切线方程为和．存在符合题意的点，理由如下：设为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为，．将代入的方程得．恒成立，故，．从而．当时，有，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故，所以存在点，使得当变动时，总有．【试题解析】本题主要考查了导数的几何意义，直线与抛物线的位置关系，考查计算能力，属于中档题．求出，的坐标，求导，代值得出斜率，进而得出直线方程；将代入的方程得，结合韦达定理得出当时，有，得出结果．【题文】设椭圆的右焦点为，以原点为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆的两焦点，且该圆截直线所得的弦长为．求椭圆的标准方程；过定点的直线交椭圆于两点、，椭圆上的点满足，试求的面积．【参考答案】解：以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为．圆过椭圆的两焦点，．圆截直线所得的弦长为．，解得．．椭圆的标准方程为．设过点的直线方程为．两点的坐标分别为，，联立方程，得，，，，，点，点在椭圆上，有，即，，即，解得，，．【试题解析】本题考查直线与椭圆的综合问题，较难．先求圆的方程为，由该圆截直线所得的弦长为得，求出，进而求，即可；设过点的直线方程为，联立方程，消得：，利用韦达定理，利用，得，由点在椭圆上，有，即，求出，再求，．【题文】已知椭圆：，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由．【参考答案】解：时，椭圆：，两个焦点，，设，则，，，，的范围是；设，设直线，即，由的结论可知，代入椭圆方程得，，由与，联立得，若四边形为平行四边形，那么也是的中点，所以，即，整理得．解得，经检验满足题意，所以当时，四边形为平行四边形．【试题解析】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，以及圆锥曲线的探索性问题，属于中档题．设，则，，得出结论；设直线斜率为，求出点坐标，令为的中点得出的值．。