应用多元统计分析-第五章 聚类分析
多元统计分析课件聚类分析
G7
0 34.03
G8
0
（五）类平均法
（Between-group Linkage) 类类间：两类之间的距离为两类样品两 两之间的平均距离
• •
•
• •
•
递推公式
D2（0） G1={X1} G2={X2} G3={X3} G4={X4} G5={X5}
D（1）
G3 G4 G5
2.5 6 8
0 3.5 5.5 0 2 0
D（2）
表3
D(2) G6={X1, X2} G7={X4，X5} G3={X3} G6 0 8 2.5 0 5.5 0 G7 G3
D（3）
表4
D(3) G7={X4,X5 } G8={X1, X2,X3} G7 0 8 0 G8
[ ( xi xi ) ][ ( xj x j ) ]
2 2
n
n
1
1
相似矩阵
第三节 八种系统聚类方法
（hierarchical clustering method）
系统聚类法是诸聚类分析方法中使用最多 的一种，按下列步骤进行：
将n个样品各作为一类
计算n个样品两两之间的距离，构成距离矩阵 合并距离最近的两类为一新类 计算新类与当前各类的距离。再合并、计算 ，直至只有一类为止
样品进行分类。
D（0）
表1
D(0) G1={X1}G2={X2}G3={X3}G4={X4}G5={X5} G1={X1} 0
G2={X2} 1
G3={X3} 2.5
0
1.5 0
G4={X4} 6
G5={X5} 8
5
多元统计分析中的因子分析和聚类分析
在多元统计分析中，因子分析和聚类分析是两种常用的数据分析方法。
它们可以帮助我们理解数据中的潜在结构和相似性，从而揭示数据背后的规律和关系。
首先，让我们来了解一下因子分析。
因子分析是一种主成分分析方法，用于研究多个变量之间的相关性。
通过对原始数据进行因子提取，可以将一组相关的变量转换为少数几个无关的维度，这些维度被称为因子。
因子分析的核心思想是将一组相关的变量解释为共同的因素或维度，从而减少数据的复杂性。
因子分析可以帮助我们理解变量之间的内在结构，并找到隐藏在数据背后的影响因素。
聚类分析是一种无监督学习方法，用于将数据集中的对象划分为不同的群组。
聚类分析的目标是找到数据中的相似性并将其归类到同一组中。
聚类分析可以帮助我们识别数据中的模式和群组，并进行数据的分类和分析。
聚类分析可以基于数据的相似性进行聚类，也可以基于数据的距离进行聚类。
通过聚类分析，我们可以发现数据中的群组结构，并推断这些群组之间的关系。
因子分析和聚类分析在多元统计分析中扮演着不同的角色。
因子分析更侧重于变量之间的相关性和潜在结构，可以帮助我们理解变量之间的共同特征和因素。
聚类分析则更侧重于数据的相似性和群组结构，可以帮助我们找到数据中的模式和群组。
由于它们的不同特点和应用场景，因子分析和聚类分析常常被结合使用，以获得更全面的数据分析结果。
在实际应用中，因子分析和聚类分析可以用于许多领域。
在社会科学中，因子分析可以用于分析调查问卷数据，找到共同的问题维度和影响因素。
聚类分析可以用于市场细分和受众分析，帮助企业发现潜在的目标市场并制定相应的营销策略。
在医学研究中，因子分析可以用于分析疾病的症状和因素，聚类分析可以用于发现疾病的亚型和患者的分类。
综上所述，因子分析和聚类分析在多元统计分析中发挥着重要作用。
它们可以帮助我们理解数据中的潜在结构和相似性，并用于数据分类、模式识别和关联分析。
因子分析和聚类分析是数据分析中常用的工具，研究人员可以根据具体问题和数据特点选择合适的方法。
多元统计分析 第5章 聚类分析
余弦相似性 Cosine Similarity
A document can be represented by thousands of attributes,
p (such as each recording the frequency of a particular word keywords) or phrase in the document. xi yi
feature mapping, ... Cosine measure: If d1 and d2 are two vectors (e.g., termfrequency vectors), then cos(d1, d2) = (d1 d2) /||d1|| ||d2|| ,
where indicates vector dot product, ||d||: the length of vector d
d1 = (5, 0, 3, 0, 2, 0, 0, 2, 0, 0) d2 = (3, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1) d1 d2 = 5*3+0*0+3*2+0*0+2*1+0*1+0*1+2*1+0*0+0*1 = 25 ||d1||= (5*5+0*0+3*3+0*0+2*2+0*0+0*0+2*2+0*0+0*0)0.5=(42)0.5 = 6.481 ||d2||= (3*3+0*0+2*2+0*0+1*1+1*1+0*0+1*1+0*0+1*1)0.5=(17)0.5 = 4.12 cos(d1, d2 ) = 0.94
应用多元统计分析第五章聚类分析
改进的方法：对数据进行标准化，然后再计算距离。
13
第十三页，讲稿共六十六页哦
采用明氏距离需要注意的是：
一定要采用相同量纲的变量。如果各变量 的量纲不同，或当各变量的量纲相同但各 变量的测量值相差悬殊时，不能直接采用 明氏距离。
需要先对数据进行标准化处理，然后再用 标准化处理后的数据计算距离。
最常用的标准化处理方法是：
Dk2p
nq nr
Dk2q
np nr
nq nr
D
2 pq
具体计算过程见参考书2p78-79 。
35
第三十五页，讲稿共六十六页哦
系统聚类法
类平均法——Between-groups Linkage 重心法虽有很好的代表性，但并未充分利用个样品的
信息，因此给出类平均法，它定义两类之间的距离平 方为这两类元素两两之间距离平方的平均，即：
3
第三页，讲稿共六十六页哦
聚类分析
由于不同的指标项对重要程度或依赖关系 是相互不同的，所以也不能用平均的方法， 因为这样会忽视相对重要程度的问题。 所以需要进行多元分类，即聚类分析。 最早的聚类分析是由考古学家在对考古分 类中研究中发展起来的，同时又应用于昆虫 的分类中，此后又广泛地应用在天气、生物 等方面。
聚类中选择变量的要求
和聚类分析的目标密切相关 反映了要分类对象的特征 变量之间不应该高度相关。
6
第六页，讲稿共六十六页哦
如何聚类？
聚类分析就是要找出具有相近程度的点或类聚为一类； 如何衡量这个“相近程度”？ 一种方法是用相似系数，性质越接近的样品，它们的
相似系数的绝对值越接近1，而彼此无关的样品，它 们的相似系数的绝对值越接近于零。比较相似的样品 归为一类，不怎么相似的样品归为不同的类。 另一种方法是将一个样品看作p维空间的一个点，并在 空间定义距离，距离越近的点归为一类，距离较远的 点归为不同的类。
多元统计分析 系统聚类(方法+步骤+分析 总结)
关于啤酒聚类的分析：一、实验步骤：1．在SPSS中选择分析-分类-系统聚类，在主界面中，将热量、纳、酒精、价格导入变量框中，分群中选择个案，啤酒名导入到标注个案中，输出框中选择统计量和图2．点击“统计量”，选择“合并进程表”，在聚类成员框中选择单一方案，聚类数输入4，点击继续3．点击“绘制”，选择“树状图”，在冰柱及方向框中为默认值，点击继续4．点击“方法”，聚类方法选择“组间联接”，区间选择Euclidean距离，标准化中选择Z得分，点击继续45．点击“保存”，选择单一方案，聚类数设置为二、输出结果：聚类表含义：在第一步，将1和17聚成一类，第二步将1和17的总体和11并在一起，在进行分类时，当后面的首次出现阶群集为0时，前面的群集组合为一类，当后面的首次出现不为0时，需按首次出现向前寻找，进行聚类，以此类推。
2. 冰柱图在分成19类时，17和1并在一起；分成18类时，11、17、1并在一起。
当分成四类时，在纵坐标等于4时画一条横线，四类分别为19/16,13/12/10/20/9,14/15/5/4,7/3/2/18/8/6/11/17/1。
.3. 树状图* * * * * * * * * * * * * * * * * * * H I E R A R C H I C A L C L U S T E R A N A L Y S I S * * * * * * * * * * * * * * * * * * *Dendrogram using Ward MethodRescaled Distance Cluster CombineC A S E 0 5 10 15 20 25 Label Num +---------+---------+---------+---------+---------+Budweiser 1 -+Hamms 17 -+-----+Coors 11 -+ +-+Strchsbohemi 8 -+---+ | |Heilemans 18 -+ +-+ +-------------------------------+Milnaukee 6 -----+ | |Schlitz 2 ---+-+ | |Ionenbrau 3 ---+ +---+ +-------+ Aucsberger 7 -----+ | | Heineken 5 -+ | | Kkirin 15 -+-----+ | | Kronensourc 4 -+ +---------------------------------+ | Secrs 14 -------+ | Miller-lite 9 -+-+ | Schlite 20 -+ +-+ | Sudeiser 10 ---+ +-----------+ | Coorslicht 12 ---+-+ +-------------------------------+ Michelos 13 ---+ |Pabst 16 -----+-----------+Olympia 19 -----+在树状图中，分成四类处画一条竖线，得到结果和冰柱图相同。
应用多元统计分析讲稿朱建平
第一章多元分析概述第一节引言多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法。
近30年来，随着计算机应用技术的发展和科研生产的迫切需要，多元统计分析技术被广泛地应用于地质、气象、水文、医学、工业、农业和经济等许多领域，已经成为解决实际问题的有效方法。
然而，随着Internet的日益普及，各行各业都开始采用计算机及相应的信息技术进行管理和决策，这使得各企事业单位生成、收集、存储和处理数据的能力大大提高，数据量与日俱增，大量复杂信息层出不穷。
在信息爆炸的今天，人们已经意识到数据最值钱的时代已经到来。
显然，大量信息在给人们带来方便的同时也带来一系列问题。
比如：信息量过大，超过了人们掌握、消化的能力；一些信息真伪难辩，从而给信息的正确应用带来困难；信息组织形式的不一致性导致难以对信息进行有效统一处理等等，这种变化使传统的数据库技术和数据处理手段已经不能满足要求.Internet的迅猛发展也使得网络上的各种资源信息异常丰富，在其中进行信息的查找真如大海捞针。
这样又给多元统计分析理论的发展和方法的应用提出了新的挑战。
多元统计分析起源于上世纪初，1928年Wishart发表论文《多元正态总体样本协差阵的精确分布》，可以说是多元分析的开端。
20世纪30年代R.A. Fisher 、H.Hotelling、S.N.Roy、许宝騄等人作了一系列得奠基性工作，使多元分析在理论上得到了迅速得发展。
20世纪40年代在心理、教育、生物等方面有不少得应用，但由于计算量大，使其发展受到影响，甚至停滞了相当长得时间。
20世纪50年代中期，随着电子计算机得出现和发展，使多元分析方法在地质、气象、医学、社会学等方面得到广泛得应用。
20世纪60年代通过应用和实践又完善和发展了理论，由于新的理论、新的方法不断涌现又促使它的应用范围更加扩大。
20世纪70年代初期在我国才受到各个领域的极大关注，并在多元统计分析的理论研究和应用上也取得了很多显著成绩，有些研究工作已达到国际水平，并已形成一支科技队伍，活跃在各条战线上。
多元统计分析——基于R 语言 PPT课件-聚类分析
(1)把样品粗略分成K个初始类。
(2)进行修改,逐个分派样品到其最近均值类中(通常用标准化数据或非标准化数据计算欧氏距
离)。重新计算接受新样品的类和失去样品的类的形心(均值)。
(3)重复第2步,直到各类无元素进出。
注意：
样品的最终聚类在某种程度上依赖于最初的划分或种子点的选择。
为了检验聚类的稳定性,可用一个新的初始分类重新检验整个聚类算法。如果最终分类与原来
✓有序样品的聚类：n个样品按某种原因(时间、地层深度等)排成次序，必须是
次序相邻的样品才能聚成一类。
✓分解法：首先所有的样品均在一类,然后用某种最优准则将它分为两类,再试
图用同种准则将这两类各自分裂为两类,从中选一个使目标函数较好者,这样
由两类变成三类,如此下去,一直分裂到每类只有一个样品为止(或采用其他停
1. 可能的分类数目
′
对于有序样品，n个样品分成k类的一切可能的分法有： , =
−
−
2. 最优分割法(又称Fisher算法)
（1）定义类的直径
设某一类 是{ , +1 , … , }( > )，均值为ഥ
，ഥ
=
σ= 。
−+
（2）定义目标函数
= ≤≤ { − , − + , }
当我们要分k类时，首先找 使上式达到最小，即
(2)最长距离法： , = max{ | ∈ , ∈ }，表示类 与类 最邻近的两个样本距
离。
定义
(3)类平均法： , =
σ∈ σ∈
，表示类 与类 任两个样品距离的平均。
(4)重心法： , = ഥpഥ ，表示两个重心ഥ
多元统计课件第5章 聚类分析
表5.2
合并， （3）在D（1）中最小值是 34＝D48＝2，由于 4与G3合并， ） ，由于G ）中最小值是D 又与G 合并，因此G 合并成一个新类G 又与 8合并，因此 3、G4、G8合并成一个新类 9，其与其 它类的距离D ） 见表5.3 它类的距离 （2） ，见表
1 2 1 2 2 D = Dkp + Dkq + βD pq 2 2
2 kr
(−1／4 ≤ β ≤ 0) − ／
(5.15)
如果采用最短距离法， 设Dkq＞Dkp，如果采用最短距离法，则Dkr = Dkp，如果采用 最长距离法， 如图5.2所示 所示， 最长距离法，则Dkr = Dkq。如图 所示，(5.15)式就是取它 式就是取它 最长距离与最短距离）的中间一点作为计算D 的根据。 们（最长距离与最短距离）的中间一点作为计算 kr的根据。
它的重心是 X r =
D =
2 kr
np nr
D +
2 kp
nq nr
D −
2 kq
n p nq n
2 r
2 D pq
（5.18） ）
） 式表示的类 G k 与新类 G r 这里我们应该注意， 这里我们应该注意， 实际上 5.18） （ 的距离为： 的距离为：
2 Dkr = ( X k − X r )′( X k − X r )
Dkr =
X i ∈Gk , X j ∈Gr
max
dij
d ij , max d ij }
= max{
X i ∈Gk , X j ∈G pj
max
xi ∈Gk , x j ∈Gq
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1
第五章 把对象分类 ——聚类分析
2
分类
俗语说，物以类聚、人以群分。 当有一个分类指标时，分类比较容易。 但是当有多个指标，要进行分类就不是很 容易了。 比如，要想把中国的县分成若干类，可以 按照自然条件来分：考虑降水、土地、日照、 湿度等各方面； 也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、 基础设施等指标；
14
对指标标准化的方法
15
明氏距离的缺点
另一个缺点：它没有考虑到指标之间的相关性。 改进的方法是：采用马氏距离 马氏距离是1936年由印度数学家：马哈拉比斯由协方差 矩阵计算构造的距离。
16
距离矩阵
计算任何两个样品 X i 与 X j 之间的距离 d ij ，其值越小表示两
d 个样品接近程度越大， ij 值越大表示两个样品接近程度越小。
29
八种系统聚类方法
最短距离法 最长距离法 中间距离法 重心法 类平均法 可变类平均法 可变法 离差平方和法
系统聚类分析尽管方法很 多，但归类的步骤基本上 是一样的，所不同的仅是 类与类之间的距离有不同 的定义方法，从而得到不 同的计算距离的公式。这 些公式在形式上不大一样， 但最后可将它们统一为一 个公式，对上机计算带来 很大的方便 。
30
系统聚类法
最短距离法——Nearest Neighbor
G1
G1 G2 G3 G4 G5 0 1 2.5 6 8
G2
G3
G4
G5 G6 G3 G4 G5
0
G6
G3
G4
G5
0 1.5 5 7
0 3.5 5.5
0 2
0 1.5 0 5 3.5 7 5. 5
0 2
0
31
系统聚类法
最长距离法——Furthest Neighbor
19
夹角余弦—cosine
将任何两个样品 X i 与 X j 看成 p 维空间的两个向量，这两 个向量的夹角余弦用 cos ij 表示。则
p
cos ij
x
k 1 p k 1
ik
x jk
p
2 xik x 2 jk k 1
当 cos ij =1，说明两个样品 X i 与 X
j
6
如何聚类？
聚类分析就是要找出具有相近程度的点或类聚为 一类； 如何衡量这个“相近程度”？ 一种方法是用相似系数，性质越接近的样品，它 们的相似系数的绝对值越接近1，而彼此无关的样 品，它们的相似系数的绝对值越接近于零。比较 相似的样品归为一类，不怎么相似的样品归为不 同的类。 另一种方法是将一个样品看作p维空间的一个点， 并在空间定义距离，距离越近的点归为一类，距 离较远的点归为不同的类。
37
系统聚类法
Gt
中样品的离差平方和为：
38
系统聚类法
如有五个样品：1， 2， 3.5， 7， 9 第一步：将五个样品各自分成一类，显 然这时的类内离差平方和S=0； 第二步：将一切可能的任意两样品合并， 计算所增加的离差平方和： 如
39
G1 G1 G2 G3 G4 G5
G2
G3
2 36
34
系统聚类法
重心法——Centroid Clustering 重心法定义两类之间的距离就是两类重心的距离。 设 Gp和Gq 的重心（即该类样品的均值）分别是 X p 和X q （注意一般他们是p维向量），则 Gp 和Gq 之间的距离是
2 D D D D pq 计算公式为： nr nr nr nr 2 kr 2 kp 2 kq
4
聚类分析
对于一个数据，人们既可以对变量（指标）进行
分类(相当于对数据中的列分类)，也可以对观测 值（事件，样品）来分类（相当于对数据中的行 分类）。 对变量的聚类称为R型聚类，而对观测值聚类称为 Q型聚类。这两种聚类在数学上是对称的，没有什 么不同。
5
聚类中选择变量的要求
和聚类分析的目标密切相关 反映了要分类对象的特征 变量之间不应该高度相关。
G4
G5
0 0.5 0 3.125 1.123 0 18 12.5 6.125 32 24.5 12.125
0 2
0
此外，还有类内平均法等。
40
SPSS中的聚类 分析与过程
41
例9.1
饮料数据（drink.sav ）
•16种饮料的热量、咖啡因、钠及价格四种变量
42
SPSS中的聚类分析
Spss中的聚类功能常用的有两种： 快速聚类（迭代过程）： K-Means Cluster 分层聚类：Hierarchical
cos 12 cos 22 cos n 2
cos 22
cos 1n cos 2 n cos nn cos nn 1 ，
是一个实
对称阵，所以只须计算上三角形部分或下三角形部分，根据 可对 n 个样品进行分类，把比较相似的样品归为一类，不怎么 相似的样品归为不同的类。
2 kr
G p和Gq合并为Gr，则任一类Gk 与Gr的距离为：
np nr
D
2 kp
nq nr
2 Dkq
36
系统聚类法
离差平方和法——Word’s Method Word’s法的基本思想是来自于方差分析，如果分 类正确，同类样品的离差平方和应当较小，类与 类的离差平方和应当较大。 具体方法： 先将n个样品各自成一类，然后每次缩小一类； 每缩小一类离差平方和就要增大，选择使离差平 方和增加最小的两类合并，直到所有的样品归为 一类为止。
3
聚类分析
由于不同的指标项对重要程度或依赖关系 是相互不同的，所以也不能用平均的方法， 因为这样会忽视相对重要程度的问题。 所以需要进行多元分类，即聚类分析。 最早的聚类分析是由考古学家在对考古分 类中研究中发展起来的，同时又应用于昆虫 的分类中，此后又广泛地应用在天气、生物 等方面。
本章主要介绍常用的系统聚类法。
25
系统聚类法
26
系统聚类法的基本思想
先将每个研究对象(样品或指标)各自看成一类。 然后根据对象间的相似度量，将h类中最相似的两 类合并，组成一个新类，这样得到h-1类，再在这 h-1类中找出最相似的两类合并，得到h-2类，如 此下去，直至将所有的对象并成一个大类为止。 当然，真的合并成一个类就失去了聚类的意义， 所以上面的聚类过程应该在某个类水平数（即未 合并的类数）停下来，最终的类就取这些未合并 的类。决定聚类个数是一个很复杂的问题。
2 kr
33
系统聚类法-中间法
G1
G1 G2 G3 G4 G5 0 1 2.5 6 8
G2
G3
G4
G5
G6 G3 0 3.5 5. 5 0 2 G4 G5 G6 G3 G4 G5 0 1.75 5.50 7.25
0 1.5 5 7
0 3.5 5.5
0 2
0
1 2 1 2 1 2 1 1 1 D D31 D32 D12 2.5 1.5 1 1.75 2 2 4 2 2 4
21
相关系数
通常所说相关系数，一般指变量间的相关系数，作为刻划 样品间的相似关系也可类似给出定义，即第 i 个样品与第 j 个 样品之间的相关系数定义为：
rij
(x
k 1 p k 1
p
ik
பைடு நூலகம்
xi )( x jk x j )
p
( xik xi ) 2 ( x jk x j ) 2
27
系统聚类法的步骤
可选择适当的距离，计算距离 把每个样品看成一类，构造n个类
合并最近的两类为一新类
采用系统聚类法
计算新类与当前各类的距离
不是仅有一个类 判断 仅有一个类
画聚类图
根据实际情况，确定类和类的个数
28
系统聚类法
正如样品之间的距离可以有不同的定义方法一样， 类与类之间的距离也有各种定义。 例如可以定义类与类之间的距离为两类之间最近 样品的距离，或者定义为两类之间最远样品的距 离，也可以定义为两类重心之间的距离等等。类 与类之间用不同的方法定义距离，就产生了不同 的系统聚类方法。
k 1
r 实际上， ij 就是两个向量 X i X i 与 X j X j 的夹角余弦，其
中 X i ( xi , xi , , xi ) ， X 据标准化，则 X i X
j j
( x j , x j , , x j ) 。若将原始数
＝ cos ij 。
22
0 ，这时 rij
43
Hierarchical Cluster聚类
分层聚类由两种方法：分解法和凝聚法。 分层聚类的功能：即可进行样品的聚类，也可进 行变量的聚类。 分层聚类的原理：即我们前面介绍过的系统聚类 方法的原理和过程。
44
Hierarchical Cluster聚类
分层聚类的中要进行以下的选择： 数据的标准化 测度方法的选择：距离方法的选择或相似性、关 联程度的选择。 聚类方法的选择：即以什么方法聚类，spss中提 供了7中方法可进行选择。 输出图形的选择：树形图或冰柱图。
G1
G1 G2 G3 G4 G5 0 1 2.5 6 8
G2
G3
G4
G5 G6 G3 G4 G5
0
G6
G3
G4
G5
0 1.5 5 7
0 3.5 5.5