现代数学基础
现代数学基础
现代数学基础1《代数与编码》（第三版）万哲先编著2《应用偏微分方程讲义》姜孔尚孔德兴陈志浩编著3《实分析》（第二版）程民德邓东皋龙瑞麟编著4《高等概率论及其应用》胡迪鹤著5《线性代数与矩阵论》许以超编著6《矩阵论》詹兴致7《可靠性统计》茆诗松汤银才王玲玲编著8《泛函分析第二教程》（第二版）夏道行严绍宗舒五昌童裕孙编著9《无限维空间上的测度和积分—抽象调和分析》（第二版）夏道行著10《奇异摄动问题中的渐近理论》倪明康林武忠11《整体微分几何初步》（第三版）沈一兵编著12《数论Ⅰ—Ferma的梦想和类域论》加藤和也黑川信重斋藤毅著胥鸣伟印林生译13《数论Ⅱ—岩泽理论和自守形式》加藤和也栗原将人斋藤毅著印林生胥鸣伟译14《微分方程与数学物理问题》[瑞典]Nail H. lbragimov 著卢琦杨凯罗朝俊胡享平译15《有限群表示论》（第二版）曹锡华时俭益16《实变函数论与泛函分析》（上册·第二版修订本）夏道行吴卓人严绍宗舒五昌编著17《实变函数论与泛函分析》（下册·第二版修订本）夏道行吴卓人严绍宗舒五昌编著18《现代极限理论及其在随机结构中的应用》苏淳冯群强刘杰著19《偏微分方程》孔德兴20《几何与拓扑的概念导引》古志鸣编著21《控制论中的矩阵计算》徐树方著22《多项式代数》王东明牟晨琪李晓亮杨静金萌黄艳丽编著23 《矩阵计算六讲》徐树芳钱江著24《变分学讲义》张恭庆编著25《现代极小曲面讲义》Frederico Xavier·潮小李26《群表示论》丘维声编著27《可靠性数学引论》（修订版）曹晋华程侃著28《次正常算子解析理论》夏道行著28《复变函数专题选讲》余家荣路见可主编余家荣柏盛桄肖修治何育赞路见可编30《数论—从同余的观点出发》蔡天新31《多复变函数论》萧荫堂陈志华钟家庆著32《工程数学的新方法》蒋耀林33《现代芬斯勒几何初步》沈一兵沈忠民34《数论基础》潘承洞著展涛刘建亚校35《Toeplitz 系统预处理方法》金小庆著庞宏奎译36《索伯列夫空间》王明新37《伽罗瓦理论—天才的激情》章璞著38《李代数》(第二版) 万哲先编著39《实分析中的反例》汪林40《泛函分析中的反例》汪林著41《拓扑线性空间与算子谱理论》刘培德编著42《旋量代数与李群、李代数》戴建生43《格论导引》方捷著44《李群讲义》项武义侯自新孟道骥著45《古典几何学》项武义王申怀潘养廉著46《黎曼几何初步》伍鸿熙沈纯理虞言林著47《高等线性代数学》黎景辉白正简周国晖编著48《实分析与泛函分析(续论)》(上册) 匡继昌51《阶的估计基础》潘承洞于秀源52《非线性泛函分析》(第三版) 郭大钧著复习题1. 判断下面方程的类型并把它化成标准型：4520.xx xy yy x y u u u u u +++++=证明：因为判别式,0942〉=-=∆ac b 故方程为双曲型。
现代数学基础学习报告
现代数学基础学习报告可修复人机系统解的渐进稳定性分析摘要本文通过分析系统算子的谱点分布及特征值,进而得出系统解的渐进稳定性. 人机系统是对作为主体的人和所控制的各种类型机器的统称.伴随着人机系统的日益庞大和复杂化,新技术及新材料应用速度不断加快,而预防设备并没有及时达到完善.因此,提高系统(包括硬件系统和软件系统)的稳定性一直以来都是工程学及其相应学科所迫切需要解决的问题.文献[1]中作者运用Laplace变换研究此模型,并指出了系统稳定解的存在性.文献[2]证明了系统动态非负解是存在唯一的.1泛函分析介绍泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。
它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。
它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。
比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。
它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。
n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。
比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。
一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。
现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。
因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。
古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
现代数学基础教学的若干认识问题
现代数学基础教学的若干认识问题摘要：在当今大学的教学中，数学课程总是呈现出其固有的困难。
本文依据认识论的原理及作者本人的经验，试图科学地揭示出问题的本质与渊源。
文章提出了四个方面的问题：数学的超现实性；数学的认知规律；数学的价值观和教学主导思想；数学的美学内蕴等，并进行了初步的论述。
关键词：现代数学教学；超现实性；认知规律；价值观；美学内蕴在当今的大学里，数学几乎已经进入了一切专业的课堂，其作为基础课程的地位，日重一日。
然而数学在教学上的困难，却并不因为其重要性和地位的加重而有所改善。
几十年来，不少有志的同仁在实践上作出了许多改革尝试，企图改变现状，但均收效甚微。
看来数学教学所呈现的，并不只是技术和方法上的问题，而有其深刻的科学和文化上的渊源，需要我们去作认真的思索与解析。
一、数学的超现实性所谓学习，从心理科学上来看，乃是人的大脑的一种认知活动。
因而说数学难学，就意味着在数学认知上有不同寻常的难度。
为什么会有这个难度?为了探究其缘故，并寻求克服的途径，我们须要考察一下这个认知过程中的客体——数学。
现代抽象数学的任何分支，其内容是完全形式化的，这就是说其符号与语言，没有任何现实的物质含义，这就使得数学呈现出一种“超现实”的品格。
而就是这个“超现实性”，使得人们弄不清数学是从哪里来的?有什么用?它究竟是一种什么“学问”?当这些疑问得不到明白的解答，人们在心理上就会形成一种很大的阻抗，阻滞数学知识的灌注和吸收。
这一切说明做一名数学教师，不是仅仅照本宣科去讲清楚数学推理就够了，他需要自己先去弄明白上面的道理，去给学生疏通数学认知的通道。
现再回过头看数学的“超现实性”。
数学不是从天上掉下来的，它的任何分支都是更初级的内容演化发展的结果，追本溯源，它们都是自现实发端的有源之水，因此数学不可能是真正“超现实”的。
它之所以具有“超现实”的形式，事实上，这是由于它的极端的抽象性，即它对物质的无限高度的概括性，这就造成了它失去了一切物质属性。
现代数学基础习题
现代数学基础习题1 集合与映射 -51 证明R ~)1,1(-，其中R 为实数集。
2 证明：如果M 是无限集，A 是可数集合，则A M M ⋃~。
3 记区间[]1,0中全体无理数所构成集合为D ，证明：[]1,0~D 。
4 证明：[]()1,0~1,0。
5 证明：(){}n i Q r r r r Qi n n≤≤∈=1,:,,,21 是可列集合。
2 实数集的紧理论 -61 设(1) ()∞=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+=1n nn 11A ，则=A inf 0，=A sup 23； (2) (){}π,,sin :0x x y y B ∈==，则=B inf 0，=B sup 1。
2设1R E ⊆，E h sup =，则{}E x n ⊆∃，使得{}h x n →。
3 设121R E E ⊆⊆≠Φ，则21E E inf inf ≥，≤1E sup 2E sup 。
4 设1R E⊆有上(或下)确界，则其上(或下)确界必唯一。
5 证明：1R 中单调有界数列必有极限。
6令∑==n1k nk 1x ，运用Cauchy 收敛准则证明：{}n x 发散。
3 闭区间上连续函数性质-11设连续函数列(){}x f n 在区间[]b a ,上一致收敛于函数()x f ，证明：()()⎰⎰=∞→baban n dx x f dx x f lim4 Lebesgue 可测集 - 41 设(){}c x k i b x a x x x E k i i i n k 1=≠<<=;,:,,,, ，则()0E m =*。
2 设n R E⊆是最多可数集，则()0E m =*。
3 证明：(1) 若()0E m =*，则n m E ∈；(2) 设()0E m=，E F ⊆∀，则n m F ∈，且()0=F m 。
4 设n m E ∈，Z 是零测集，则n m Z E ∈⋃，且()()E m Z E m=⋃。
5 Lebesgue 可测函数 -111 设()x f 是可测集n R E ⊆上的函数，如果对Q r ∈∀，()r fE>都是可测集，则对1R t ∈∀，()t f E >是可测集。
现代数学基础 习题与解答
现代数学基础习题解答目录现代数学基础习题解答 (1)1 集合与映射 (2)2 实数集的紧理论 (4)3 闭区间上连续函数性质 (6)4 Lebesgue可测集 (7)5 Lebesgue可测函数 (8)6 Lebesgue积分的定义及性质 (14)7 距离空间的基本概念 (16)8 距离空间中的点集 (25)9 距离空间的完备性 (25)10 赋范线性空间的基本概念 (26)11 群的基本概念 (33)12 环与域的基本概念 (39)1 集合与映射 -51 证明R ~)1,1(-，其中R 为实数集。
证明 ： 设R 11x x f ⨯-∈⊆)},(|{，()f y x ∈,当且仅当21xxy -=， 容易验证，f 是双射。
所以R ~)1,1(-。
2 证明：如果M 是无限集，A 是可数集合，则A M M ⋃~。
证明： 不失一般性，设Φ=⋂A M 。
由于M 是无限集，故M 存在可数子集，设M '是M 的可数子集， 则()M M M M '⋃'-=，()()A M M M A M ⋃'⋃'-=⋃，且 ()Φ='⋂'-M M M ，()()Φ=⋃'⋂'-A M M M ，于是A M ⋃'是可数集合，记{},,,,21n m m m M ='，{},,,,21n a a a A M =⋃'， 令A M M f ⋃→:为：若Φ='-M M ，()n n a m f =； 若Φ≠'-M M ()⎩⎨⎧'-∈==M M x xm x a x f n n ,,，易知f 为双射，故A M M⋃~。
3 记区间[]1,0中全体无理数所构成集合为D ，证明：[]1,0~D 。
证明： 由于D 是无限集，故D 存在可数无线集，记为D '。
令[]Q Q ⋂='1,0，于是()D D D D '⋃'-=，[]()()Q D D D Q D '⋃'⋃'-='⋃=1,0，且()Φ='⋂'-D D D ，()()Φ='⋃'⋂'-Q D D D ，而且Q D '⋃'为可数集，记{},,,,21n d d d D ='，{},,,,21n q q q Q D ='⋃'，令[]1,0:→D f为：()⎩⎨⎧'-∈==D D x xd x q x f n n ,,，易知f 为双射，故[]1,0~D。
现代数学的基础
现代数学的基础数学除了是工程师的计算工具，物理学家的建模和解释工具，是能够单独存在的，是具有智力审美价值的，不是仅仅只是一些数值计算和逻辑证明，更多的是对人类思想极限的挑战。
当然由于是瞎扯，就不能深入，而且这里不能用数学符号，所以也无法具体介绍过程。
大学工科学习的所谓高等数学，其实还是初等数学，不过是学会了怎么计算初等函数的微分（例如加速度，边际效益等等）和积分（例如体积，面积，重量），也能用行列式解一次方程组，有的可能还能计算傅利叶变换等等，但是也只是掌握一点计算工具而已，大多数学生还是无法了解这些工具是怎么构造的，是怎么来的。
数学系的学生当然也要学习计算，但是在整个课程中占的比例极少，可能不到5%，大多数时间，还是在学习如何构造工具现有工具的来龙去脉，但是更重要的是在培养一种精细的思维方式和逻辑结构框架，只有具备了这些思维方式和逻辑框架，人才能超越直觉和常识，进入一种抽象的审美境界（当然达到这个境界的人不多，因为达到了，就是大数学家了）。
下面瞎扯一点基于数学系学生的角度了解的现代数学基础。
数学是什么？我们在中学，学习的数学定义是：数学是研究空间形式和数量关系的科学（也即数学是研究客观规律的科学），其实这个定义是不对的，柯朗就认为数学不能通过语意学定义。
我不认为数学是一种技术（当然可以作为计算工具和计算技术），也不是一门科学（当然可以作为物理学，化学，生物学等等科学的工具存在），数学是独立于所有学科的一个存在（独立于哲学，科学，文学，艺术等等）。
举例来讲，很多学科的基础定理或原则，如果不存在人，可能就不存在，因为依赖于人的参与，甚至物理学也是如此，没有人的观测，物理学的基础可能就不存在，但是数学不同，例如π这个常数，不管是不是有人，甚至是不是有地球，有时间，有宇宙，都是存在的。
所以我认为数学更是一种人类认识世界的思想和一种思维方式。
这种思维方式的特殊性在于他不是实证的，也不是形象类比的，而是基于逻辑的高度抽象，其概念完全可以没有任何现实背景，而仅仅是语义上的概念或凭空定义的概念，完全可以脱离现实而独立存在。
现代数学基础丛书195
现代数学基础丛书195
【原创版】
目录
1.现代数学基础丛书的概述
2.现代数学基础丛书的内容
3.现代数学基础丛书的价值和影响
正文
现代数学基础丛书是由我国著名数学家、教育家陈省身教授主编的一套数学教材。
该丛书自 1959 年开始出版，至今已历经数十年，涵盖了现代数学的各个领域，成为了我国数学教育界的重要教材和参考书。
现代数学基础丛书的内容非常丰富，涵盖了代数、几何、分析、拓扑等现代数学的主要领域。
每一本书都是由该领域的专家编写，保证了内容的专业性和权威性。
例如，《线性代数》由陈景润编写，《微积分》由彭实戈编写，《概率论与数理统计》由陈希孺编写等。
这些教材不仅内容严谨，而且叙述清晰，适合各种层次的读者学习。
现代数学基础丛书的价值和影响不言而喻。
首先，该丛书为我国的数学教育提供了一套系统的教材，使得数学教育更加科学、规范。
其次，该丛书也是广大数学爱好者和研究人员的重要参考书，对于推动我国数学研究的发展起到了积极的作用。
最后，该丛书的出版，也展示了我国数学家的学术水平和精神风貌，对于提高我国数学的国际地位也有着重要的意义。
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军工院校博士生《现代数学基础》教学中的问题与对策
ｄ ｕｎｅ
军工院校博 士生《 现 代数 学基础》 教 学 中的问题 与对策
曹贻鹏 许世蒙
摘要： 从课程 建设和教 学改革 的 目的 出发 ， 结合 多年军工 院校博 士生《 现代数 学基础》 课 程的教学 实践 经验 ， 梳理 了这 门课 程 当前 存在 的若干问题 ， 并对 问题提 出了一 些观 点和 看法。 关键词 ： 现代数 学基础 军工院校 博 士生 中图分类号 ： Ｇ６ ４ ２ ． ３ 文 献标 识 码 ： Ａ ＤＯＩ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ６ ７ ２ — ８ １ ８ １ ． ２ ０ １ ５ ． １ １ ． １ ０ ８
工专业博士生的必修课程。随着技术的进步、 学科的发展和长期 的教学实践 ， 发现《 现代数学基础》 已逐渐不能满足各军工专业博
士生 的实际需求 。尤其是近年来基于信息 系统体 系作 战 ， 联合作 战的背景 ， 也为这 门课程 提出 了具有 鲜明时代特 征的更高 、 更新
要求 。 １ 存 在 的 问 题
军 队博 士生 教育 是 军 队系统 学 历教 育 中 的最 高层 次 的教 育。军工 学历教育 院校 是军 队高质 量军工技术人 才培养 的重要 组成部分 ， 在其 军工专业博士 生的培养 环节 ， 《 现代数 学基础》 以 其独特的基础性 ， 素质性 ， 工具性及其应用 的广泛性 ， 一直是各军
用。
１ ． ２ － ３ 教学 内容的层次性不 明显 现代 工程 人才 ， 特别是高级军 工人 才所 应具 备的基本数学素 养 之一 ： 以计算机 为载体 ， 用数学 的理 论和方 法解 决实 际问题 。 经过 多年 的教 学实践 ， 调研和 细致 梳理 ， 《 现代数学基 础》 在 军工专业博 士生学 习现代 数学理论 和方法是学 习和掌握 工程技 军工 院校博士生培养环节 ， 主要存在如下几方 面的不足 。 术的基础。过于强调数学理论 的完备性和证 明的严谨性 ， 容易导 １ ． １ 特色不足 致博士生只见树木不见森林 ， 更不利于对数学知识的运用 。凡事 军校 博士生 未来在军 队任职的特殊 需求决定 了其知识结 构 均具两 面性 ， 如 若数学课上 不讲 推理证 明 ， 也是 一件不 可想象 的 事情 。因此 ， 需 要对现代数 学基础 的内容体系划分 层次 ， 理顺关 所具有 的特殊性 ， 在军工 院校博士生 的培 养中要 注意到这种特殊 性 。２ ０ １ ２ 年９ 月， 总参谋部 、 总政 治部 、 总后 勤部联合颁 发的《 关 系 。本着 “ 少、 精、 宽” 的原则 ， 对基础 理论加 以证 明 ， 对实际应用 于深入推进军 队研究生 教育科学发展 的意见》 特别指 出 ， 在 新的 做广泛介绍 。 起点上推进 军 队研究 生教育 内涵发 展 、 协调发展 、 持续 发展的 同 １ ． ２ ． ４ 教 材 特 色 不 鲜 明 时， 要注重特色 发展 。新 时期 ， 军队研究生教 育的特色 主要 体现 军工 院校博 士生 的培养有别 于地方 院校 学术 博士的培养 ， 它 在两个方面 ， 军事特色和实践特色 。军事特色是军队院校博士生 具有鲜 明的军事 和实 践特 色。 《 现代 数学 基础》 公理化 的内容高度 教育 区别于地方 院校 的根本特征 ， 我们仅从《 现代数 学基 础》 这 门 抽象 、 统一 ， 强调 逻辑 的严 密和证明的严谨 ， 它与军工 学科 的联系 不够 紧密 ， 更是缺少必要 的专业背景和工程物理 背景 。不 具有军 课程 的教学实 际着 眼。 《 现代数学基础 》 课程和军工专业结合不够 紧密 ， 没有 很好地体 现军事科技对 现代数学 的要 求 ， 导致军事特 事 和实 践特 色的数 学课程 ， 不 利于 军工专 业博 士生对 数学 的学 色 不 足 。另 一 方 面 ， 《 现 代 数 学基 础 》 的很 多 内容 是 在 计 算 机 还 没 习 、 吸收 、 掌握及 应用。 普及前 的产物 ， 教学 内容相对陈 旧、 起点相对较低 ， 既没有 充分 体 １ ． ３ 教 学模 式上的缺陷 现计算机在数 学上的应 用 ， 也没有充分体现数学在现代工程技 术 军工博 士生应具备 的现代数学 的基本素养 是具有深 厚且宽 广的数学理论基础和应用数学 的能力 ， 了解现代数学的最新进展 上的应用 ， 因此实践特色不足 。 和思想 方法 ， 掌握 已在工程 技术 中广 泛应用 的现 代数学分 支 ， 具 １ ． ２ 课程 上的缺陷 有敏锐 的学术洞察力和应用现代数学 的能力 。然而 ， 现行 的教 学 课程 体系上的缺陷具体表现在如下几个方面 。 体 系与模式存在 的缺陷 ， 不利于 军工博士生数 学素养 的养 成 ， 也 １ ． ２ ． １ 课 程 的 系统 性 有 所 欠 缺 方面 ， 我军博 士生教育 ， 在很 大程度上仍 然是 以课 程教育 不利于现代数学知识 向其 它更 有价值的形式的转变 。 为主 ， 高质量 的教材 是提 高课 程教学质量的关键 。现代数学基础 第一 ， 从教学班的组成上来看 ， 由于军工院校 的实 际特 点 ， 类教材 多以分析 ， 代数 和几何三大分 支为基础 ， 囿于 章节篇幅 的 往往各专业 博士生集 中开课。统一化 的课程设置 ， 无法突出差异 难 以满足各专业博 士生 的实际需求 ， 不利 于形成个性化 的学 限制 ， 内容 的选 择上相对 狭隘和孤立 ， 各 分支间 的联 系与渗透不 性 ， 术格局 。 够 紧密 ， 从 学科角度 上来 看不够完 整和系统 。另一方面 ， 博士 生 第二 ， 从教学手段 上来看 ， 《 现代数学基 础》 的课堂仍 以传统 的教育是建立在完成硕 士研 究生教育的基础之上 ， 因此针对博 士 的 、 单向式 的讲 授为主 ， 形式单调 ， 缺少 互动 ， 现代教学 手段应用 生 的数学教育 不能孤立来看 ， 一定要兼顾硕 士培养 阶段的公共数 的不足 ， 在一 定程 度上影响 了实际教学效果 。 学类 教育 。一般 来说 ， 同一所 院校硕 、 博士生数 学课 程 的对接 相 第三 ， 从 教学实施 过程来看 ， 囿于《 现代数学基础》 的学时 ， 教 对 完善 、 系统 ， 由于 院校 间的差异 ， 不 同院校间硕士 、 博士培养 阶 师在实 际授课 中难 以完全 把数学的分支介绍清楚 ， 更 不可能全面 段 的数 学类课程衔接往往不够系统 。 地介绍现代数学最新进展 。 １ ． ２ ． ２ 教 材 的前 沿 性 不 够
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现代数学基础1《代数与编码》（第三版）万哲先编著2《应用偏微分方程讲义》姜孔尚孔德兴陈志浩编著3《实分析》（第二版）程民德邓东皋龙瑞麟编著4《高等概率论及其应用》胡迪鹤著5《线性代数与矩阵论》许以超编著6《矩阵论》詹兴致7《可靠性统计》茆诗松汤银才王玲玲编著8《泛函分析第二教程》（第二版）夏道行严绍宗舒五昌童裕孙编著9《无限维空间上的测度和积分—抽象调和分析》（第二版）夏道行著10《奇异摄动问题中的渐近理论》倪明康林武忠11《整体微分几何初步》（第三版）沈一兵编著12《数论Ⅰ—Ferma的梦想和类域论》加藤和也黑川信重斋藤毅著胥鸣伟印林生译13《数论Ⅱ—岩泽理论和自守形式》加藤和也栗原将人斋藤毅著印林生胥鸣伟译14《微分方程与数学物理问题》[瑞典]Nail H. lbragimov 著卢琦杨凯罗朝俊胡享平译15《有限群表示论》（第二版）曹锡华时俭益16《实变函数论与泛函分析》（上册·第二版修订本）夏道行吴卓人严绍宗舒五昌编著17《实变函数论与泛函分析》（下册·第二版修订本）夏道行吴卓人严绍宗舒五昌编著18《现代极限理论及其在随机结构中的应用》苏淳冯群强刘杰著19《偏微分方程》孔德兴20《几何与拓扑的概念导引》古志鸣编著21《控制论中的矩阵计算》徐树方著22《多项式代数》王东明牟晨琪李晓亮杨静金萌黄艳丽编著23 《矩阵计算六讲》徐树芳钱江著24《变分学讲义》张恭庆编著25《现代极小曲面讲义》Frederico Xavier·潮小李26《群表示论》丘维声编著27《可靠性数学引论》（修订版）曹晋华程侃著28《次正常算子解析理论》夏道行著28《复变函数专题选讲》余家荣路见可主编余家荣柏盛桄肖修治何育赞路见可编30《数论—从同余的观点出发》蔡天新31《多复变函数论》萧荫堂陈志华钟家庆著32《工程数学的新方法》蒋耀林33《现代芬斯勒几何初步》沈一兵沈忠民34《数论基础》潘承洞著展涛刘建亚校35《Toeplitz 系统预处理方法》金小庆著庞宏奎译36《索伯列夫空间》王明新37《伽罗瓦理论—天才的激情》章璞著38《李代数》(第二版) 万哲先编著39《实分析中的反例》汪林40《泛函分析中的反例》汪林著41《拓扑线性空间与算子谱理论》刘培德编著42《旋量代数与李群、李代数》戴建生43《格论导引》方捷著44《李群讲义》项武义侯自新孟道骥著45《古典几何学》项武义王申怀潘养廉著46《黎曼几何初步》伍鸿熙沈纯理虞言林著47《高等线性代数学》黎景辉白正简周国晖编著48《实分析与泛函分析(续论)》(上册) 匡继昌51《阶的估计基础》潘承洞于秀源52《非线性泛函分析》(第三版) 郭大钧著复习题1. 判断下面方程的类型并把它化成标准型：4520.xx xy yy x y u u u u u +++++=证明：因为判别式,0942〉=-=∆ac b 故方程为双曲型。
其特征方程为41,1==dy dx dx dy ，则,41,dx dy dx dy == 求得特征线是2141,c x y c x y =-=-，其中c 1，c 2为任意常数，作变化 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,41,x y x y ηξ可将方程化成双曲型第一标准型：09831=--ηξηu u若再作变换，⎩⎨⎧+=-=,,ηξηξt s方程就可化成双曲型第二标准型0983131=++--t s tt ss u u u u .2. 求初值问题()(),0,1u u y u u x x y x y u xy ∂∂⎧-+-=-⎪∂∂⎨⎪==⎩当时的解.解：证明：由特征方程yx dux u dy u y dx -=-=- 求得两个相互独立的初积分是22221,c u y x c u y x =++=++因此，全特征线都是一些圆的曲线。
我们必须选择通过已给曲线：xy=1，u=0的全特征线族，当xy=1时，u=0表明有2221,c y x c y x =+=+，且xy=1，即222221+=++=c xy y x c故所求积分曲面的隐式解为()22222+++=++u y x u y x写成显式形式为yx xyu +-=1 3. 证明卷积定理：若(())()f t F ωℑ=，(())()g t G ωℑ=证明：(()())()()f t g t F G ωωℑ*=，1(()())()()2f t g t F G ωωπℑ=*证明（1）：根据卷积的定义：τττd t g f t g t f )()()()(-=⨯⎰+∞∞-代入傅里叶变换公式dt e t f F t f F t i ωω-+∞∞-⎰==)()()]([可得)()()()()()(])()[(])()([)]()([ωωττωτωτττττττωωωωG F d e f G d e G f d dt e t g f dte d t gf tg t f F t i t i t i t i ===-=-=⨯-∞+∞--∞+∞-∞+∞-∞+∞---+∞∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰∴ )()()(*)(ωωG F t g t f =证明（2）：ωωπωωπωd du u G u F e G F t j ⎰⎰+∞∞-+∞∞--↔])()([)21()(*)(212所以)()()()()21(])()([)21(])()([)21()(*)(2122)(2t g t f due u F dx e x G dxdu x G u F e e dxdu x G u F e G F jut jxtjut jxt t u x j ===↔⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-+∞∞-+∞∞-+πππωωπ∴ )()(21)(*)(ωωπG F t g t f =4. 叙述MRA 的定义。
并解释由MRA 所确定的数字滤波器的特征。
答：MRA 是理解和构造小波的基本框架，也是信号在小波基下进行分解与恢复的基本理论保证，无论是理论分析还是在构造、理解和应用小波方面都起着非常重要的作用。
利用MRA ，可以将一个复杂的函数分解为几个简单的函数分别进行讨论，这时函数由一个粗糙部分和一系列细节部分构成，粗糙部分对应于信号的低频分量，细节部分对应于信号的高频分量。
高频分量时分层的，是在不同分辨率下逐级产生的，由多分辨子空间的Riesz 基推导出尺度基，再由尺度基产生小波基，这就形成了构造小波的框架。
在多分辨分析的意义下，尺度函数和小波函数与信号处理中的低通滤波器和高通滤波器形成对应关系，这就导致了信号分解与恢复的快速算法的实现。
5. 构造SHANNON 与HARR 小波。
并说明与一个尺度函数对应的小波函数是否唯一。
（答案只是构造了harr 小波）解：haar 尺度函数为[])()(1,0t t χφ=，计算可得)1,0(0,2210≠===k h h h k 由于k k k h g --=1)1(，所以)1,0(0,22)1(,22)1(11110100≠==-==-=--k g h g h g k 因此，haar 小波为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤=-=--=-=ψ∑∞-∞=其他,012/1,12/10,1)()()12()2()2(2)(1,5.05.0,0 t t t t t t k t g t k kχχφφφHaar 小波的图形如下所示：6. 用4种颜色制成6颗珠子的项链，可制成多少种？要求有具体的轨道分析过程.7. 证明自然数集合的势等于有理数集合的势8. 依据实参数，确定方程的类型；(2)将上述方程化为标准形式；(3)求这个方程的通解解：（1）043222≥=+=∆ααα 当0=α时，为抛物型； 当0≠α时，为双曲型；（2）当0=α时，原方程化为：022=∂∂+∂∂xux u 当0≠α时，特征方程为032)(22=-+ααdx dy dx dy ))(3(αα-+dxdydx dy=0 α0322=++--x y yy xy xx u u u u u ααα即有α3-=dxdy或α=dx dy 13C y x =+α 2C y x =+-α假设y x +=αξ3，y x +-=αηηαξα∂∂-∂∂=∂∂u u x u 3 ηξ∂∂+∂∂=∂∂uu y u 222222222269ηαηξαξα∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u x u 22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂uu u y u 22222223ηαηξαξα∂∂-∂∂∂+∂∂=∂∂∂u u u y x u 将其分别代入322=++--x y yy xy xx u u u u u ααα03)()2(3)23(2692222222222222222222=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂-∂∂-∂∂∂+∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂ηαξαηξαηηξξαηαηξαξααηαηξαξαu u u u u u u u u u u u u化为：042=∂∂-∂∂∂ξηξαuu （3）当0≠α时，由042=∂∂-∂∂∂ξηξαuu 得到：两边对ξ取积分，则有)(4ηαηC u u =+，再对η取积分且对ηξ,的表达式作转换，得到)()3(),(4x y G ex y F y x u x y αααα-++=-当0=α时，方程通解为)()(y F e y G u x +=-9. 举出这样的函数的例子：它们使得定解问题 )(,2R C ∈ψϕ(a). 有解，这解是否唯一？ (b). 无解。
解：0613625>=+=∆，为双曲型方程 特征方程为：06)(5)(2=--dx dydx dy 0)1)(6(=+-dx dydx dy 6=dx dy 或 1-=dxdy 16C y x =+- 2C y x =+假设:⎩⎨⎧+=+-=y x yx ηξ6 化简得到02=∂∂∂ηξu)()6()()(),(y x g y x f g f u +++-=+=ηξηξ其中，)(ξf 、)(ηg 为任意函数。
方程的通解为：)()6(),(y x g y x f y x u +++-=代入边界条件)()7()0(6x x g f u xy ϕ=+==)()7(7)7()0(6x x g x g f yu xy ψ='='+'=∂∂=由于⎩⎨⎧⎰=+=)()7()()7(710x x g C dt t x g x ϕψ得到：c x dt t x g x+==⎰)()(7)7(0ϕψ⎪⎩⎪⎨⎧===-+==)(),(06566x u x u u u u x y y xy yy xy xx ψϕ若有解，则上述等式成立，可假设2)(x x =ϕ，解得x x 2)(=ψ，有一个解。
若无解，则上述等式不成立，令2)(x x =ϕ，x x 2)(=ψ10. 设G 是一个12阶循环群，其生成元为a ，问G 有几个循环子群，各是多少阶，各子群的生成元是哪个元素？11. 在3R 中，E }1|),{(22<+=y x y x ，则E 的聚点的全体= ，内点的全体= ；在2R 中，E }1|),{(22<+=y x y x ，则E 的内点的全体= ；12. C[b a ,]空间中元素()x t 的范数为||x ||= ；2L (E ) 空间中元素的内积为><g f ,= ；2L (E ) 空间中元素()x t 的范数为||x ||= 。