复旦大学数学类基础课程
复旦大学数学系专业必修课介绍
复旦大学数学系专业必修课介绍【实变函数】：主要讲Lebesgue测度和积分，比较难的一门课最重要定理：Lebesgue控制收敛定理、Fubini定理教材:自己印的讲义，不过可以参考夏道行的《实变函数论与泛函分析》上册，这本书内容太多，所以我们学的只是它的真子集= =。
实变函数还是很重要的，最重要的是给你一种测度和积分的观念，让你知道积分是定义在测度上面的，有个测度就可以定义一种积分；此外对后续的概率论的课程也很重要【复变函数】：主要讲复平面上的全纯函数，比实变简单= =。
最重要定理：Cauchy积分公式，以及全纯函数的3个等价定义，至于是哪3个大家学的时候总结吧，书上没有明确写出来教材：《复变函数论》张锦豪、邱维元著我旦本科的复变讲得还是比较简单的，调和函数不讲，解析延拓也不讲，以至于上数理方程课的时候老师抱怨“你们复变老师怎么什么都不讲？”= =。
【拓扑】：主要讲点集拓扑和基本群、覆盖空间最重要定理：万有覆盖定理；请务必把这个定理的证明完整背下来，期末考试已经连续考了两年了= =。
教材：自己印的讲义，以前的老教材，已经不出版了拓扑还是很重要的，相当于现代数学的语言，如果以后想继续做数学一定要搞清楚【数学模型】：水课，不像是数学课，不讲~~总结：大二的专业必修课分布是非常密集的，也很累，不过大家一定要坚持下去，到了大三下，基本就没什么特别耗精力的课了，大四就基本没什么课了大三：【泛函分析】：主要讲无限维线性空间以及其上的有界线性泛函和线性算子，和高代的区别就是一个有限维，一个是无限维；不过无限维的情况可比有限维复杂多了，也有意思多了最重要定理：开映射定理、闭图像定理、共鸣定理；这几个定理是相互等价的教材：自己印的，不过我们学的也是夏道行的《实变函数论与泛函分析》下册的真子集泛函是非常重要的数学基础课程，也有一定难度，要花时间，最好寒假预习一下【概率论】：主要就是讲概率论的；不过概率实际上是一个全有限测度，这也是为什么我说实变要好好学的原因之一，因为从精神上来讲，概率的全部结果，都可以用实分析的方法导出最重要定理：大数定律、中心极限定理教材：应坚刚老师的《概率论》概率论是统计和随机过程的基础，大家以后想学统计的、想做金融数学的，都必须把概率学好；此外本科的概率论实际上是初等概率论，所以也不算太难【微分几何】：主要讲三维欧氏空间中的光滑曲线、光滑曲面的局部几何性质和整体几何性质；事实上本科的微分几何并不是真正意义的微分几何，因为没有引入微分流形和微分流形上的度量的概念，R^3里面的东西也是比较古典的东西~~不过把简单的东西搞明白了也有助于进一步学习更复杂的概念最重要定理：曲线曲面基本定理；以及所谓高斯绝妙定理：曲面的高斯曲率只依赖于第一基本形式教材：自己印的讲义【数理方程】：主要讲波动方程、热传导方程、调和方程3类数学物理方程，也就是偏微分方程；不过这些都是古典的PDE，现代PDE类型和研究方法都有很大不同教材：谷超豪等著《数学物理方程》数理方程本人也正在学，只知道大概的框架，细节不知~~【基础力学】：鸡肋课程= =。
复旦大学课程教学大纲
复旦大学课程教学大纲课程代码 MATH120008.09 编写时间 2011年08月更新课程名称 数学分析（I）英文名称 Mathematical Analysis（I）学分数 5 周学时 6任课教师* 谢锡麟 开课院系**力学与工程科学系预修课程 仅需普通高中相关数学基础；无特别先有基础要求。
课程性质：本课程可谓所有基础科学（包括数学、力学、物理、化学、生物等）、技术科学（包括航空航天、环境、材料、信息等）等专业最为基础和重要的数学基础课程，提供微积分的基本内容。
从知识体系的发展而言，微积分融合线性代数（这点特别反映在《数学分析（Ⅱ）》中）作为核心基础，一方面将为后续复变函数、实分析与泛函分析、常微分方程与偏微分方程、概率统计、微分几何等系统的数学知识体系的发展提供实质性的基础；另一方面，微积分和线性代数亦是理论力学、连续介质力学（包括流体力学、弹性力学）、振动力学、控制力学等力学知识体系的发展的坚实基础。
总体而言，本一年制的数学分析课程将结合面对的对象（适用于非数学类的几乎所有的专业），提供系统的微积分知识体系，不仅注重微积分知识体系的核心基础特点，而且注重知识体系的现代化发展，力求学生具有坚实的基础并具有基于其上的自我学习的能力。
在教学的广度与深度上，我们力求课程所授的知识体系具有国内外一流化水平，且切实注重学生的实际接受水平。
本课程《数学分析（I）》将主要提供一元微积分的内容，包括常微分方程最为基础的若干思想及方法。
教学目的：2005年，学校在百年校庆时提出“走以内涵发展的道路”，以及现今所致力于探索和推广的“通识教育、精英教育”的理念，结合力学以及数学间相辅相成、紧密相连的关系，而考虑本门课程的具体教学。
以下反映一些基本的观点，这将指导具体的教学。
✧虽然数学分析是数学课程，但我们学习的是“认识自然的系统的思想和方法”——许多实践和成就表明，数学对于我们认识自然是极其有效的——许多数学机制具有鲜明的力学和物理背景。
数学分析复旦
数学分析复旦
复旦大学的数学分析课程主要包括以下内容：
1. 实数与数列：实数的完备性和有界性，极限的定义和性质，数列的收敛性和发散性，单调数列和子数列等。
2. 函数的连续性：连续函数的定义和性质，间断点的分类和性质，连续函数的运算和复合等。
3. 导数和微分：导数的定义，可导函数的性质，高阶导数和导数的运算，微分中值定理和Taylor公式等。
4. 不定积分：不定积分的定义和运算，定积分的定义和性质，牛顿—莱布尼茨公式，换元积分法和分部积分法等。
5. 定积分的应用：平均值定理，求曲线的弧长和面积，定积分的物理应用，反常积分等。
6. 数列和级数：数列的极限和收敛性，级数的收敛和发散判别法，绝对收敛和条件收敛等。
7. 函数的一致收敛：一致收敛的概念和性质，一致收敛函数列的运算和判别法，幂级数的一致收敛等。
8. Fourier级数：函数的Fourier级数展开，Fourier级数的收敛性和性质，函数的周期性和Fourier级数的应用等。
以上仅为数学分析课程的基本内容，具体的教学安排和课程进度会根据不同学校和教师的要求有所不同。
复旦本科数学培养方案
复旦本科数学培养方案
复旦大学数学系本科培养方案
1. 培养目标
通过培养，学生应具备以下基本能力：
（1）具有坚实的数学基础知识和较强的数学思维能力；
（2）熟练掌握高等数学、数理统计、概率论、实变函数、复变函数等数学学科中的基本理论和基本方法；
（3）掌握一门外语，能阅读数学类英文文献；
（4）具有较强的计算机应用能力和数据处理能力。
2. 课程设置
数学系本科课程设置包括数学及相关基础科学课程、通识课程、艺术体育和实践课程。
其中核心课程如下：
（1）高等数学：微积分学、线性代数、常微分方程、多元统计数据分析等；
（2）数学专业类课程：实变函数、群论与线性代数、复变函数、广义函数与偏微分方程、常微分动力系统、微分几何等；
（3）选修课程：金融与数学、离散数学、数值分析、非线性优化、组合数学、拓扑学、非参数统计、时序分析、推荐系统等。
3. 实践教学
数学系注重实践教学，为学生提供实践课程和实践项目。
实践项目包括本科科研和创新性实践。
学生在实践中能够深入了解和应用所学知识，提高综合素质。
4. 考核评价
考核评价方式包括考试、作业、报告、实验和项目等多种形式。
评价方式旨在检验学生是否掌握了所学知识和能力，同时培养学生的思辨能力和实践能力。
5. 对口升学与就业
数学系本科学生毕业后可以选择深造或就业。
毕业生可以考研读研究
生，获得硕士或博士学位。
毕业生也可就业从事金融、信息技术、科研、教学等相关领域。
复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性空间课件复习资料
4.1.2 线性子空间
许 多 问 题 中, 一 个“大”的 线 性 空 间 的 一 部 分, 关 于 该 线 性 空 间 的 加 法 和 数 乘 还 可形成线性空间, 例如: 几何空间中, 任意一个过原点的平面关于几何向量的加法和 数乘运算也构成线性空间(满足线性空间公理). 显然, 该平面是几何空间的一部分, 且关于几何空间的运算构成线性空间. 为此, 引入子空间的概念. 定 义 4.2. 给定数域F 上的线性空间V , 设 S 是V 的一个非空子集, 同时S 关于 V 上 的运算也构成线性空间, 则称S 为V 的一个线性子空间. 为 了 说 明 线 性 空 间V 的 一 个 子 集S 是 否 为 线 性 空 间, 不 一 定 要 按 线 性 空 间 的 十 条公理一一验证, 仅需检查下列三条是否成立: 定 理 4.1.1. S 是 数 域F 上 线 性 空 间V 的 非 空 子 集, 则 当 且 仅 当S 满 足 封 闭 性 公 理(1)、(2)时, 它是V 的子空间. 证: 必要性显然, 下面证充分性: S 是V 的子集, 因此公理(1)∼(4) 和(7)∼(10) 在S 上自然成立. 由S 非空,则 ∃x ∈ S ,根据封闭性公理 ∀λ ∈ F , λx ∈ S , 取 λ = 0, 则 λx = 0 ∈ S , 因此, 公理(5)满足. ∀x ∈ S , 取 λ = −1, 由封闭性知 (−1)x ∈ S , 且 x + (−1) x = 0 根据性质(5)可知 (−1)x是x的负元, 因此公理(6)满足. 显而易见, 仅包含V 的零向量的集合和V 本身都是线性空间V 的子空间, 称它们为平 凡子空间.
易证代数系统 F2 , ⊕2 , ⊗2 是域, 通常被称作二进制域. 当构成域的集合是有限集时, 也称为有限域.
复旦大学数学学院
复旦大学数学学院学生选课指南选课是大学和中学最大的不同之一，学生在大学学习阶段需要在一定的范围内自己决定学什么课程，这对习惯中小学按学校安排课程学习的学生来说经常会面临选择困境。
从2015年开始，数学学院对教学方案作了较大的调整，主要是增加了学生选课的自由度和灵活度，这自然增加了学生选课的难度，因此学院组织撰写选课指南帮助学生选课，请每个学生在选课之前仔细阅读。
大学数学课程的内容和难度都是中学数学不能比拟的，而且这个内容和难度随着年级的增加以很大的加速度增加，所以除了上课时间外，学生平均需要付出两三倍于上课的时间进一步学习巩固，留有足够多的思考时间对学好数学是非常重要的，不投入相当的时间精力是不可能学好任何一门数学课程的，肤浅地学一门数学是没有什么意义的。
所以我们建议学生一个学期选的数学专业的课程应该在每周15个课时左右（注意是课时，不是学分，课时通常是大于等于学分的），不可超过18个课时。
A．数学学院毕业学分要求：共144学分1. 通识课程：41学分。
2. 大类必修课：18 学分数学分析I，数学分析I，大学物理B（上), 大学物理B (下)。
3. 专业必修课: 24学分数学分析III，高等代数（上), 高等代数(下），解析几何，抽象代数I，拓扑I(内容包括欧氏空间拓扑). 高等数学A(上下)再加数学分析原理可以代替数学分析I,II,III.毕业论文: 4 学分, 按A,B,C,D方式给成绩, 申请A类成绩的学生需教师推荐, 递交论文并答辩.4. 限定必修课：27学分从下面12门课程中选9门(27个学分), 超过9门可以算成专业选修课: 常微分方程，泛函分析, 概率论, 拓扑II, 微分几何，基础力学, 数理方程, 抽象代数II, 复变函数, 实变函数, 数学建模，微分方程数值解.5. 专业选修课: 15 学分, 从培养方案所列选修课程中选(信息与计算专业有课程要求), 通常是5门课程. 包括限定必修课中的课程.6. 任意选修课: 15学分, 可选全校任意课程(包括数学学院专业选修课程). 包括专业选修课中的课程.B．学生选课指导：数学学院的学生需要修的数学课总数大约是：2门大类课程+6门专业必修9门专业限定必修+4门专业选修+4门任意选修+毕业论文，共25门课程加一个毕业论文，平均每个学期3门。
高等数学教材复旦目录
高等数学教材复旦目录复旦大学高等数学教材目录第一章函数与极限1.1 实数与数列1.2 数列极限1.3 函数的概念与运算1.4 函数的极限第二章导数与微分2.1 导数的基本概念2.2 导数的运算法则2.3 高阶导数与高阶微分2.4 隐函数与参数方程的导数2.5 复合函数的导数2.6 微分的基本公式2.7 微分中值定理与Taylor公式2.8 函数的增减性与凹凸性第三章微分学应用3.1 高数学函数的近似计算3.2 函数的极值与最优化问题3.3 曲线的几何性质3.4 反常积分第四章不定积分4.1 原函数与不定积分4.2 不定积分的基本性质与运算法则4.3 无穷小代换4.4 有理函数的积分4.5 分部积分法4.6 三角函数的积分4.7 特殊函数的积分4.8 定积分的概念与性质4.9 定积分的计算方法第五章微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 可分离变量的微分方程5.3 齐次方程与一阶线性非齐次方程5.4 二阶线性非齐次常系数微分方程5.5 线性微分方程组第六章无穷级数6.1 数项级数的概念与性质6.2 正项级数6.3 幂级数与Taylor级数6.4 函数项级数与幂级数展开第七章多元函数微分学7.1 函数的极限与连续性7.2 偏导数的概念与计算方法7.3 全微分与微分近似7.4 多元函数的极值与最优化问题7.5 隐函数与参数方程的微分7.6 多元复合函数的导数第八章多重积分学8.1 二重积分的概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 三重积分的概念与性质8.4 三重积分的计算方法8.5 曲线、曲面积分与物理应用第九章曲线与曲面积分9.1 第一型曲线积分9.2 第二型曲线积分9.3 曲面的参数方程及曲面积分9.4 曲面积分与高斯公式9.5 斯托克斯公式与高斯-斯托克斯公式第十章偏微分方程10.1 常见偏微分方程的基本概念10.2 一阶偏微分方程10.3 二阶线性偏微分方程10.4 椭圆型偏微分方程10.5 抛物型偏微分方程10.6 双曲型偏微分方程以上是复旦大学高等数学教材的目录，涵盖了函数与极限、导数与微分、微分学应用、不定积分、微分方程、无穷级数、多元函数微分学、多重积分学、曲线与曲面积分以及偏微分方程等内容。
复旦大学数学系
复旦大学数学系
复旦大学数学系位于上海市宝山区，是一所享有声誉的
学术机构。
数学系成立于1923年，是中国最早建立的数学系
之一。
该系拥有一流的师资队伍和教学条件，为培养优秀的数学人才提供了良好的环境和机会。
自成立以来，数学系一直致力于数学教育和科学研究。
数学系拥有多个教学团队，涵盖了广泛的数学领域和研究方向。
教师们严谨的治学态度和深厚的学术造诣使得该系在国内外数学界享有较高的声望。
数学系的本科教育旨在培养学生的数学思维能力和创新
能力。
课程设置包括基础数学、高等数学、概率论与数理统计等核心课程，以及数学建模、数学实验等应用课程。
学生在学习过程中，积极参与数学建模和科研活动，锻炼实际问题解决能力。
此外，数学系还设有硕士和博士研究生项目。
研究生培
养方案注重培养学生的研究能力和创新能力。
学生在导师的指导下，深入研究选定的数学领域，并撰写学术论文。
数学系的研究生毕业生在国内外高校、科研机构和企业等各领域具有较高的就业竞争力。
除了教学工作，数学系的教师们积极参与数学科研项目
和学术交流活动。
他们发表了大量的科研论文，并获得了各种学术奖励。
数学系还定期举办学术研讨会、学术讲座等活动，为学生和教师提供了交流和学习的机会。
总的来说，复旦大学数学系以其优秀的教学质量和卓越
的科研成果闻名于世。
数学系将继续致力于培养数学人才和推动数学的发展，为社会和国家的进步做出贡献。
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复旦大学数学类基础课程
《数学分析II》教学大纲
数学分析（I ）学分数5 周学时4+2
总学时96
（讲课64，习题课32）
数学分析（II ）学分数5 周学时4+2
总学时96
（讲课64，习题32）
数学分析（III ）学分数4 周学时3+2
总学时80
（讲课48，习题32）
课程性质与基本要求
课程性质：数学分析是数学系最重要的一门基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，计算方法，概率论与数理统计等课程必备的基础，是数学系本科一、二年级学生的必修课。
本课程总学时为272学时，其中讲课为176学时，习题课为96学时，共分三学期完成，分别为数学分析（I ），数学分析（II ），数学分析（III ）。
基本要求：通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
教学方式与指导思想
教学方式：以课堂教学为主，充分利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。
指导思想：微积分理论的产生离不开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系，强调应用背景，充实理论的应用性内容。
数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。
教学内容，教学要求与学时分配
学时（含习题课）数学分析（II ）
第七章定积分（§4 —§6） 15 §4.定积分在几何中的应用
§5.微积分实际应用举例
§6.定积分的数值计算
本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。
第八章反常积分 9 §1.反常积分的概念和计算
§2.反常积分的收敛判别法
本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。
第九章数项级数 21 §1.数项级数的收敛性
§2.上级限与下极限
§3.正项级数
§4.任意项级数
§5.无穷乘积
本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。
第十章函数项级数 21 §1.函数项级数的一致收敛性
§2.一致收敛级数的判别与性质
§3.幂级数
§4.函数的幂级数展开
§5.用多项式逼近连续函数
本章教学要求：掌握函数项级数（函数序列）一致收敛性概念，一致收敛性的判别法与一致收敛级数的性质，掌握幂级数的性质，会熟练展开函数为幂级数，了解函数的幂级数展开的重要应用。
第十一章 Euclid空间上的极限和连续 9 §空间上的基本定理
§2.多元连续函数
§3.连续函数的性质
本章教学要求：了解Euclid空间的拓扑性质，掌握多元函数的极限与连续性的概念，区分它们与一元函数对应概念之间的区别，掌握紧集上连续函数的性质。
第十二章多元函数的微分学（§1—§5） 21 §1.偏导数与全微分
§2. 多元复合函数的求导法则
§公式
§4.隐函数
§5.偏导数在几何中的应用
教材和参考书
教材：《数学分析》（上，下），陈纪修，於崇华，金路编
高等教育出版社（上）1999年9月，（下）2000年4月参考书：
（1）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著
科学出版社（1964）
（2）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954）
（3）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译
高等教育出版社（1958）
（4）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译
高等教育出版社（1979）
（5）《数学分析》，陈传璋等
高等教育出版社（1978）
注:《高等代数》课程的教学队伍：
陈纪修金路。