美国高中数学核心概念图
高中数学课程核心理念
高中数学课程核心理念
高中数学课程的核心理念包括以下几个方面：
1.数学课程面向全体学生，满足学生个性发展的需要。
2.高中数学课程具有基础性、选择性和发展性。
3.高中数学课程强调培养学生的创新意识和实践能力。
4.高中数学课程倡导学生自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。
5.高中数学课程关注学生的情感、态度和价值观的发展。
6.高中数学课程强调培养学生的数学思维和数学素养。
7.高中数学课程注重与其他学科的交叉融合。
8.高中数学课程具有时代性、开放性和国际性。
这些核心理念贯穿于整个高中数学课程中，旨在帮助学生更好地理解数学概念、掌握数学技能、培养数学思维和素养，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
高中数学知识结构图 全部
,
+∞
⎞ ⎠⎟
为减函数．
① 图像是双曲线；
当 k < 0 时，
② 定义域为{x x ∈ R, x ≠ 0} ，
值域为{y y ∈ R, y ≠ 0} ；
③ 奇函数． ④ 没有零点；
在 (−∞,0) 和 (0, +∞) 为增函数
①
值域为
⎡ ⎢ ⎣
4ac − 4a
b2
,
+∞
⎞ ⎟ ⎠
②
在
⎛ ⎜⎝
−∞,
−
顶点坐标是
⎛ ⎜ ⎝
−
b 2a
,
4ac − 4a
b2
⎞ ⎟ ⎠
④ 当 b = 0 时是偶函数；
⑤ 当 Δ > 0 ，有两个零点；当 Δ = 0 ，
有一个零点；当 Δ < 0 ，没有零点．
①
值域为
⎛ ⎜ ⎝
−∞,
4ac − 4a
b2
⎤ ⎥ ⎦
②
在
⎛ ⎜⎝
−∞,
−
b 2a
⎞ ⎟⎠
为增函数，
在
⎛ ⎜⎝
−
b 2a
辑
2．若 p 的充分条件是 q ，则 q ⇒ p ；
用
若 p 的必要条件是 q ，则 p ⇒ q ．
语
原命题 若 p ，则 q
互 否
互逆
逆
逆
否 否
逆命题 若 q ，则 p
互 否
四个命题 的关系
否命题 若 ¬p ，则 ¬q
互逆
逆否命题 若 ¬q ，则 ¬p
1．一个命题为真命题，它的逆命题和否命题不 一定是真命题，但逆否命题必然是真命题． 2．一个命题的逆命题和否命题也互为逆否命题．
9.美国高中Core_PlusMat_省略_ics数学教材编排结构特点及启示_林丹
美国高中Ｃｏｒｅ－Ｐｌｕｓ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ数学教材编排结构特点及启示①林 丹１ 胡典顺!１，２ 王明巧!１（１．华中师范大学数学与统计学学院４３００７９；２．华中师范大学教师教育学院 ４３００７９） 随着课程程改革的进行，对美国数学基础教育课程标准与教材的研究、中美数学比较研究已逐渐成为我国研究者感兴趣的课题．从教材研究的角度看，主要体现在对美国教材的内容选择和结构编排方面，学习美国是如何将他们的课程理念较好地体现在教材编写中．笔者选取的教材是由Ｇｌｅｎｃｏｅ／ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ ２００８年出版（ｃｏｐｙｒｉｇｈｔ２００８ｂｙ ｔｈｅ ＭｃＧｒａｗ－Ｈｉｌｌ Ｃｏｍｐａｎｉｅｓ，Ｉｎｃ，Ａｌｌｒｉｇｈｔｓ ｒｅｓｅｒｖｅｄ）的《现代核心数学》（《Ｃｏｒｅ－ＰｌｕｓＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：Ｃｏｎｔｅｍｐｏｒａｒｙ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｉｎＣｏｎｔｅｘｔｓ》）高中数学教材第二版（以下简称“ＣＰＭ教材”）．ＣＰＭ教材是一套共四册的高中综合式教材，前三册是必修课程，最后一册是选修课程，是微积分的预备学习，专为１０～１２年级的学生设计．本文中笔者根据前三册必修课程进行研究．教材每册均分为四大分支：代数与函数、几何与三角函数、概率和统计、离散数学．它区别于一些教材将代数、几何、三角、概率统计等分科编写，比如美国芝加哥大学研发的ＵＣＳＭＰ教材、美国弗吉尼亚州编写的《天才教育》等．该教材在综合编排、编写理念、呈现方式以及培养学生的创新方面做得比较突出，是美国现用教材中比较好的一版，使用也比较广泛［１］．笔者通过反复研读该套英文原版教材，立足于教材本身，着眼于该套教材的编写理念、教材知识构成、特殊编排方式，从而总结该套教材的特点，以期对我国的数学教材编写提供借鉴．１ 教材的编写理念２０１０年，美国州长协会和美国州首席教育官员理事会联合颁布了首部《共同核心州立数学标准》（Ｃｏｍｍｏｎ Ｃｏｒｅ Ｓｔａｔｅ Ｓｔａｎｄａｒｄｓ ｆｏｒ Ｍａｔｈｅ－ｍａｔｉｃｓ），该标准的高中数学部分旨在解决美国数学不够连贯和重点不够突出的问题，解决美国数学课程内容宽泛但不够深入的问题，力求实现标准的清晰与具体详尽，强调核心内容理解，建立核心内容之间的结构联系．ＣＰＭ教材反映了美国最新的课程、教学理念，给学生提供了一个面向全体学生、具有广泛意义的、有用的核心数学课程，而且该教材的编写也得到了国家科学基金（Ｎａｔｉｏｎ－ａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ，ＮＳＦ）的资助，在美国被称为“改革版教材”，它符合《共同核心州立数学标准》的要求．ＣＰＭ教材是一个基于课程标准的混编式综合教材，四部分的内容混合编写、知识交叉呈现，各块知识内容分散在高中三年课程中，采用螺旋式上升的方式逐一介绍．ＣＰＭ教材的编写理念主要以问题解决、知识应用为主，导入及例题多以问题探究形式呈现，注重学生的合作交流、逻辑推理及知识的意义建构．在每一册的前言都详细描述了四部分内容的理念和要求，具体内容如下：（１）代数和函数旨在发展学生认识、表示函数，并解决涉及定量和变量关系问题的能力；（２）几何和三角①基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助———数学问题提出与数学教育改革：跨国比较研究（ＣＣＮＵ１３Ｆ０２１）；湖北省教学研究项目———数学师范生拔尖创新人才培养的理论与实践（２０１３０９０）；华中师范大学研究生教学改革研究项目———免费师范生攻读教育硕士培养模式的改革研究与实践（２０１３ＪＧ１８）；华中师范大学教师教育学院研究专项资助（２０１２ＪＳ０７）；湖北省教育科学“十二五”规划２０１３年度立项课题———数学问题提出与数学教育改革：跨国比较研究（２０１３Ｂ０１５）．学的主要目标是开发视觉思维和建模能力，推理、解释及在视觉和物理背景的模式下应用数学模型的能力；（３）统计和概率的主要作用是培养学生快速、准确分析数据、认识测量变量的能力，以及理解以概率情形为基础模式的能力．最终目标是使学生了解当看到一个人口样本时可以得到有关人口的推论；（４）离散数学旨在发展学生使用顶点边缘图、欧拉回路、递归公式的能力，以及用矩阵处理数据，建立模型，优化实际问题，解决算法问题等技能．２ 教材的知识内容ＣＰＭ教材一共是４册，前三册给学生呈现一些具有普遍意义、运用广泛的知识，第４册是微积分的预备学习，是为了学生能更好的进入大学学习的预备课程．教材每册封面的下方都写着：代数与函数、概率和统计、几何与三角函数、离散数学．现按照册名、章名、节名及所属领域统计各部分的内容（结果如表１）．表１ ＣＰＭ教材知识内容第一册章名节名第二册章名节名第三册章名节名单元１变化模式（代函）!因果关系"随时间变化#研究变化模型的工具单元１函数、方程与方程组（代函）!直接变化和逆变化"多变量函数#线性方程组单元１推理和证明（离散）!推理策略"几何推理和论证#代数推理和论证④统计推理单元２数据模式（概统）!探索分布"测量差异单元２矩阵方法（离散）!矩阵的建立、分析和操作"矩阵乘法#矩阵和线性方程组单元２不等式和线性规划（代函）!一元不等式"二元一次不等式单元３线性函数（代函）!建立线性关系"线性方程组和不等式#相同表达式单元３坐标法（几三）!平面坐标"坐标转换模型#变换矩阵与动画单元３相似和全等（几三）!相似三角形的判定"全等三角形的判定单元４顶点边缘图（离散）!欧拉回路———寻找最佳路径"顶点着色———避免冲突单元４回归和相关（概统）!二元关系"最小二乘回归和相关性单元４样本和变量（概统）!正态分布"二项分布#统计过程控制单元５指数函数（代函）!指数式增长"指数式衰减单元５非线性函数和方程（代函）!二次函数表达式及其方程"非线性方程#常用对数和指数方程单元５多项式函数和有理函数（代函）!多项式表达式和函数"二项式#有理函数及其表达单元６图形模式（几三）!平面图形"多边形及其属性#立体图形单元６网络优化（离散）!跨越网络最佳路线"使用关键路径调度项目单元６圆和圆的方程（几三）!圆的性质"圆周运动和周期函数单元７二次函数（代函）!二次函数"二次函数的相同表达式#解二次方程单元７三角法（几三）!三角函数"任意三角形中的三角函数单元７递归和迭代（离散）!使用递归和迭代判断数列变化模型"递归函数#迭代函数单元８机会模式（概统）!计算概率"建立概率模型单元８概率分布（概统）!概率模型"预期值#Ｗａｉｔｉｎｇ－Ｔｉｍｅ分布单元８反函数（代函）!什么是反函数"常见对数函数及其性质#反三角函数 （表１注：为了方便书写，代数与函数简写为“代函”，概率与统计简写为“概统”，几何与三角函数简写为“几三”，离散数学简写为“离散”．） 由表２可知，ＣＰＭ教材这四部分内容在必修教材中共２４章８７节，每章后面均有一节内容回顾复习本章所学的知识，其中代数与函数内容共９章，概率与统计共５章，几何与三角函数共５章，离散数学共５章，其比例依次为３７．５１％，２０．８３％，２０．８３％，２０．８３％．由此可见，代数与函数的内容所占比例是最大的．而且每册分布也比较均匀，第一册共４章，第二册共３章，第三册共３章，但重点是在第一册．其他三部分的比例相差不大，三部分每册的分布都是一章或者两章，分布也非常均匀．在编排方式上，ＣＰＭ教材把四部分的内容综合编排，知识由浅到深，螺旋式上升．从内容来看，代数与函数部分内容主要涉及线性函数、指数函数、二次函数、反函数、方程等，其中有一半的内容是中国初中阶段的内容，比如二次函数、线性函数、函数与方程等，相对来说，该教材知识点少，较注重函数模型的实际应用；统计和概率部分涉及面较广，具体涉及散点图、概率模型、概率计算、正态分布、盒状图、强正相关、中心极限定理等知识点，内容比中国教材更丰富，而且在知识呈现方式上，把统计知识和概率知识交叉进行，利于学生更透彻的理解概率统计知识；几何与三角函数内容包括平面图形、立体图形、相似三角形和全等三角形的判定、圆与圆的方程等；离散数学这部分的内容具有较强的实际意义，主要包括用顶点边缘图、欧拉回路、顶点着色问题、回归、相关性、网络优化问题等，其中大部分内容，中国教材中都未呈现．另外，对于这四部分的内容都特别强调用计算机软件等信息技术辅助完成，基本上每个小节都需要使用ＣＰＭＰ软件．３ 教材的编排结构教材的编排结构是指教材内容的展开顺序及表现形式，教材的结构制约着学习活动的开展形式，影响着学生的思维方式和学习方法，优化的教材编排结构有助于激发学生的非智力因素参与学习，充分发挥教材的功能．下面我将根据图１来详细呈现ＣＰＭ教材的编排结构．ＣＰＭ教材先由单元引言说明学生在本单元中需要学习的知识和技能，然后列出此单元中所包含的各小节内容，并用简短精炼的句子概括每节课的主要内容以及学习目标．具体每节课包括图１ ＣＰＭ教材结构图２～５个数学探究（Ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ），每个探究都先以一小段文字引出问题，或设置一个问题情景，然后由几道例题组成，值得注意的是，教材上的例题、习题等均没有答案，每道例题下又设有ａ、ｂ、ｃ、ｄ等几个小问．这些小问将一个复杂的问题分解为几步引导学生深入而有序的思考，逐步递进，由易到难，从而得到所需的定理公式．在每个数学探究之后，呈现的是总结环节（Ｓｕｍｍａｒｉｚｅ ｔｈｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ），这个环节并没有直接生硬的呈现本节课的重要内容和方法，而是同样设置了几个问题，让学生自己总结、解释、分享他们的发现和收获，最终目的是梳理探究过程所学的知识和方法，使学生形成系统的知识结构．接着是练习环节（Ｃｈｅｃｋ Ｙｏｕｒ Ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ），通常通过一道习题来检测学生对所学内容的理解与掌握程度．最后，在所有课堂探究之后有一个“自我检测（Ｏｎ Ｙｏｕｒ Ｏｗｎ）”环节，这部分又分为应用（Ａｐ－ｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ），联系（Ｃｏｎｎｅｃｔｉｏｎｓ），反馈（Ｒｅｆｌｅｃ－ｔｉｏｎｓ），扩展（Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ），复习（Ｒｅｖｉｅｗ）五个层次的习题，各个层次习题的难度和目的不同，层次分明、目的明确，有利于学生加深巩固所学的数学知识．通常每单元有三到五小节，最后一小节为回顾，主要是用来梳理整个单元所学到的知识，这个部分通过７～９个例题来巩固所学的知识和方法，最后也有一个“总结”和“练习”两个环节，“总结”环节也是以问题给出，一般一个问题涉及一个知识点，弄懂了这些问题也就掌握了章节所学内容．４ 教材中的数学探究ＣＰＭ教材的每个单元都是围绕一个比较大的问题设计出连续的课程，每个小节的内容包含２～５个数学探究，让学生参与课堂活动的四阶段循环探究：开始、探索、分享、总结．最后就是练习环节．这个循环的目的是让学生在探究过程中理解问题情境，建立重要的数学概念和思想方法、总结和证明数学相关知识的联系，并互相交流他们的研究成果以及学习到的数学思想．其中大部分探究的设计，需要以两到四个学生为小组进行合作完成．通常在探究前每节开头都会给出一个跟本节课内容相关、带有启发性的现实生活问题，接着呈现环节“思考这种情形”，这个环节主要是给出几个更具体的问题，让学生讨论思考．之后就是与中心问题有关的几个探究，下面我们以第三册单元１———推理证明为例进行分析（如表２所示）．该单元一共四小节内容，每节有２～３个探究，每个探究中的例题数从４～９不等，共５４道，例题的素材来源很丰富，比如第４小节探究１从绿豆种子的发芽、小儿麻痹症疫苗实验、安慰效应等让学生探究有效实验设计的三个重要特征及其注意问题．而且该小节的情境引入（“思考这种情形”）也是以一个判断用左手和右手叠硬币结果是否相同的实验引出．每个探究之后都有一个“总结”和“练习”，总结部分也是以几个问题为主，比如第４小节探究３中的问题：什么是随机抽样？在抽样调查、实验调查、观察调查中如何做到随意性？你能从抽样调查、实验调查、观察调查中得到什么结论？思考并分享你的结果．表２ 第１单元———推理证明探究部分探究例题数解释说明推理策略①推理因素４从犯罪现场、游戏、数据、面积的推理介绍数学和非数学情境的推理策略和推理因素②“如果－那么”语句推理７介绍“如果－那么”模式，归纳推理和演绎推理概念及其运用．几何推理及证明 ①相交直线及其角度推理４探究两条相交直线所形成的角之间的关系，并用归纳推理和演绎推理说明．②平行直线及其角度推理８探究平行直线被另外一条直线所截所形成角之间的关系，并用归纳推理和演绎推理说明．续表探究例题数解释说明代数推理及证明 ①代数法９探究用代数方法来证明数据模型和重要的数学性质．②方程法５探究用方程的思想证明重要的代数、几何、三角函数中重要的定理．统计推理①实验设计６主要是介绍如何设计实验、探索有效实验设计的三个条件以及需要注意的问题．②偶然还是必然６主要探索随机测试及其推理步骤，随机测试的作用，统计推理与数学证明的不同．③统计研究４介绍统计研究的三个类型及其特点：抽样调查、实验调查、观察调查．抽样调查中的随意性．５ 教材的习题特色习题作为数学教科书的一个重要组成部分，有着巩固和深化新知、补充与延伸新知、综合运用新知、领悟数学思想方法、诊断反馈补救与育人等功能．习题配置在一定程度上反映了数学教材编者的价值取向和编写风格．ＣＰＭ教材的习题设置具有较强的特色，习题主要呈现在每节后面的“自我检测（Ｏｎ Ｙｏｕｒ Ｏｗｎ）”，此部分习题也常作为学生的家庭作业．以ＣＰＭ教材全三册概率与统计部分的习题为例，对该部分的习题进行统计，统计方法为：ＣＭＰ教材以阿拉伯数字１，２，３……标注习题题号，用小写字母ａ，ｂ，ｃ……表示下设的小问题题号，笔者以小题号为一题．统计结果如表３所示：表３ 概率与统计部分习题应用联系反思拓展复习总计１－２数据模式６５ ３４ ２２ ４９ ６７ ２３７１－８机会模式６２ ２８ ３２ ３４ ６２ ２１８２－４回归与相关５４ ２９ ２３ ３２ ５３ １９１２－８概率分布８１ ５３ ３０ ２７ ７４ ２６５续表应用联系反思拓展复习总计３－１－４统计推理２３ １２ ４ １２ ３１ ８２３－４样本和变量８６ ５３ ３０ ２７ ７４ ２７０总计３７１ ２０９ １４１ １８１ ３６１ １２６３ （表３注：１－２表示第一册单元２，１－８表示第一册单元８，２－２表示第二册单元２，２－８表示第二册单元８，３－４表示第三册单元４，由于第三册单元１第四小节的内容属于概率与统计知识，故表示为３－１－４．）（１）习题配置注重层次性．在编写上，习题共分为５个层次：应用（Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ）、联系（Ｃｏｎ－ｎｅｃｔｉｏｎｓ）、反思（Ｒｅｆｌｅｃｔｉｏｎｓ）、拓展（Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎｓ）、复习（Ｒｅｖｉｅｗ）．每个层次有较强的针对性并且阶梯性强，而且各个层次的习题量和难度也不同，一般是“运用”和“复习”层次题量较大，“反思”和“拓展”层次难度大，能够满足不同水平学生的要求，给学生更大的选择性、自由性．值得一提的是，联系层次是把本节内容与先前所学的相关内容联系起来，从不同方面考察学生对知识的掌握程度；拓展层次是对一些与本节内容相关内容的综合，有利于开阔学生的知识面和见解；回顾层次是对所学内容的整理复习，不仅包含本小节内容的巩固练习，还包括前面所学知识的复习深化，利于学生对教材中的所有内容进行循环复习．（２）习题数量配置较大，由表４可知，该部分的习题小题总量为１２６３道题，每章的平均题量为２３６道，每节平均题量为９７道（共１３小节），从大题数来看，共３９１道，平均每节配置３０－４０道大题，而且大部分的习题都有３－６问（７２．５％的大题至少有三小问），层层铺垫，逐步推进解题过程，能较好的帮助学生寻找方法解决问题．另外，“运用”和“复习”层次题量各占２９．４％、２８．６％，这两种题型已占总题数的一半以上，“反思”层次题量所占比例最少．除此之外，ＣＰＭ教材习题还有如下特点：（１）知识含量丰富，比如拓展层次是对一些与本节知识相关的综合，回顾层次的题目不仅包含本小节内容的巩固练习，还包括前面所学知识的复习深化；（２）与例题匹配程度高，部分习题是以探究中的例题为背景，题目也与例题相似，直接是对例题的巩固深化、延伸拓展；（３）以培养问题解决和运用数学能力为主．教材的习题设置以关注如何更好的让学生运用数学知识解决生活中的问题为主，给学生提供一个数学实践的机会．６ 启示６．１ 现方式独特，结构编排流畅ＣＰＭ教材的内容非常丰富，它在单册的内容编写方面是逐步提升的，整体上为综合编排、知识交叉呈现，每册都包含四个分支：代数和函数，概率和统计，几何和三角学，离散数学，重要的数学思想和数学思维的培养经常通过各内容之间的整合与分开逐步渗透，按照由易到难顺序，过程中也可以出现回旋和重复，特别是在每节习题中设置了部分与所学内容不同领域的复习题，给学生提供与其他领域相联系的机会，这有利于学生学习和理解其他领域的内容并促使学生建构一个完整、相互联系的数学知识体系．整版教材完美体现了综合编排理念，不过每册的侧重点不同．在知识呈现方面均是以问题解决为中心，按照“目标问题→探究１→总结→练习→探究２→总结→…→”模式展开，环环相扣，新颖独特．教材除去某一些定义、定理、公式直接详细给出之外，其他内容都是以问题的形式出现，且例题、习题等均没有答案，所有的东西都需要通过学生自己探究得出．教学过程的设置以学生的理解为出发点，注重学生自己发现、探究、证明、总结、分享知识．６．２ 视数学应用，强调问题解决美国数学教育以问题解决为中心，强调学生对知识的理解和建构，注重能力的培养．ＣＰＭ教材非常重视数学中的应用，特别是数学在实际生活中的运用，教材更是从多角度、多层次编排了数学应用的内容，几乎所有知识的探究都有一个应用性的背景作为依托，并突出数学应用的思想方法，增强应用的实践性、综合性．而且这些应用与学生的日常生活中的问题密切相关，在每节课之前的“思考这种情形”环节，经常是围绕一个与学生生活息息相关的问题进行展开，“探究”部分所引用的例题均是以学生感兴趣的事物作为知识的生长点，让学生从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，从而使学生积极的参与到整个学习过程中．问题解决也是美国《共同核心州立数学标准》的一个重要课程目标，解决数学问题的能力是具有数学素养的重要标志．ＣＰＭ教材每章都通过创设问题情境引导学生通过探究解决问题，在例题和习题部分贯穿问题解决，在课程中重点安排内容介绍问题解决策略，鼓励应用各种方法解决新的问题情境，用问题解决来培养学生的数学思维．６．３ 注重数学探究，强调数学交流弗莱登塔尔在《作为教育任务的数学》中指出“学习数学的唯一正确方法是实行‘再创造’，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来”［２］．美国高中数学的焦点是推理与意义建构，这指学生在新情境中运用数学工具与方法解决问题的能力，数学问题解决、推理与证明、交流等数学过程的基础．数学探究作为培养学生自主学习、创新能力的重要途径，已成为一个颇受关注的研究问题．ＣＰＭ教材的正文是由一个个探究及一个个问题构成，整个课堂是个大型的探究课，包括探究背景、探究问题、探究过程、探究结论等．习题中也设置了大量的自主探究题，部分还是学生之前没有学习的新知识，主要通过学生动手试验自己学习得出结论，开放性程度高．教材不仅提倡对探究能力的培养，也注重对学生交流能力的培养，比如在每个探究后的总结环节中提出几个问题后，都会要求学生做好向全班同学解释自己方法的准备，在课后习题中也会有总结分享的要求．因此，数学探究和数学交流贯穿在整个教材当中，较好的培养了学生独立思考、动手解决问题、合作探究的能力，更培养了学生的创新能力和全面思考的能力．６．４ 整合信息技术，培养数学能力信息技术与数学课程的整合越来越成为基础教育领域中一个颇受关注的问题，信息技术既能以最有效的方式传递数学教学过程中的各种信息，又能强化教师、学生之间的互动［３］，能较好的改善学生的学习方式和教师的教学方式．对教材文本信息技术内容的分析可知，ＣＰＭ教材与现代信息技术密切相关，在“探究”的例题和“自我检测”题当中，对各个问题的探究都依赖于计算器、计算机、图形计算器、网络浏览器等工具的使用，学生可以使用计算器、计算机重复试验，模拟探究，最终得出结论并与同学分享、交流，使学生能够更深刻地理解数学、应用数学，从而增加学生动手实践、合作互助、主动探索的机会，较好地培养了学生的数学能力，极大地丰富了学生进行数学探索的范围和质量［４］．美国ＣＰＭ教材还配有专门的学习工具软件ＣＰＭＰ，其使用贯穿在整个教学过程中．教材在序言中也强调图形计算器的使用将贯穿整个课程，ＣＰＭＰ工具将为数学学习和问题解决提供强大的辅助功能，信息技术的使用以培养学生数学思维能力和解决问题的能力为核心．这也与《共同核心州立课程标准》中把数学工具（数学技术）的使用（如数学软件等）列为核心的数学思维能力的要求是一致的．参考文献１ Ｍｉｃｈａｅｌ Ｒ．Ｈａｒｗｅｌｌ，Ａｍａｎｕｅｌ Ｍｅｄｈａｎｉｅ．Ｐｒｅｐａｒａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｔｕｄ－ｅｎｔｓ Ｃｏｍｐｌｅｔｉｎｇ ａ Ｃｏｒｅ－Ｐｌｕｓ ｏｒ Ｃｏｍｍｅｒｃｉａｌｌｙ ＤｅｖｅｌｏｐｅｄＨｉｇｈ Ｓｃｈｏｏｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ ｆｏｒ Ｉｎｔｅｎｓｅ ＣｏｌｌｅｇｅＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ Ｃｏｕｒｓｅｗｏｒｋ．Ｔｈｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｅｄｕ－ｃａｔｉｏｎ，２０１２２ 弗赖登塔尔．作为教育任务的数学［Ｍ］．上海：上海教育出版社，１９９５３ 刘晓玫，刘志菡．论信息技木与中学数学课程整合的意义和存在的问题［Ｊ］．课程·教材·教法，２００６，２：６４－６７４ 吴华，马东艳．美国信息技术与数学课程整合的研究与启示［Ｊ］．电化教育研究，２００８，４：７５－７９（上接第３１页）另外，课堂教学不可忽视学生的主体地位，好的教学设计必须考虑学生的参与度，要让学生在整个教学环节中都主动积极参与、探究知识的形成过程；教师也要充分认识学生的心理特征和知识结构，这样才能激发学生的学习兴趣和求知欲，让课堂焕发师生生命的活力，让课堂更精彩．参考文献１ 王海青．“平面向量基本定理”的教学重点及教学建议［Ｊ］．数学通报，２０１３，７２ 陆正海．基于课程理念的平面向量教学［Ｊ］．数学通报，２０１２，８３ 肯尼斯．莫尔．课堂教学技巧［Ｍ］．北京：人民教育出版社，２０１０，１。
高中数学函数的概念课件 课件
高中数学函数的概念课件课件函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
函数的概念是理解函数的基础，也是进一步学习函数性质和应用的前提。
本课件旨在帮助学生理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
通过本课件的学习，学生应能理解函数的基本概念，掌握函数的定义和性质，能够判断一个映射是否为函数，并能够根据函数的定义和性质解决一些基本问题。
函数的定义：我们将介绍函数的定义，包括自变量、因变量和对应关系。
通过举例和反例，帮助学生理解函数的定义。
函数的性质：我们将详细介绍函数的性质，包括奇偶性、单调性、周期性等。
通过图形和实例，帮助学生理解并掌握这些性质。
函数的表示方法：我们还将介绍几种常见的函数表示方法，包括解析法、表格法和图像法。
通过实例和练习，帮助学生掌握这些表示方法。
函数的实际应用：我们将通过一些实际问题，如路程问题、时间问题等，让学生了解函数在实际生活中的应用，进一步加深对函数的理解。
教学重点：函数的定义和性质是本课件的重点内容。
学生需要深入理解并掌握这些内容，才能更好地解决后续的问题。
教学难点：函数的表示方法中的图像法和表格法可能对一些学生来说比较难以理解。
我们将通过实例和练习来帮助学生克服这些难点。
我们将通过一些练习和测试题来评价学生对本课件内容的掌握情况。
对于掌握不够好的学生，我们将提供及时的反馈和辅导，帮助他们更好地理解和掌握函数的概念和性质。
函数是高中数学的重要内容，也是后续学习的基础。
希望通过本课件的学习，学生能够深入理解函数的概念和性质，为后续的学习奠定坚实的基础。
也希望学生能够积极参与课堂活动，主动思考问题，提高自己的数学素养和能力。
高中数学是高中生学习的一门重要课程，而必修一则是高中数学的基础和关键。
在这一章中，我们将为大家提供高中数学必修一课件全册，帮助大家更好地学习高中数学。
集合是数学中一个基本的概念，它是指具有某种特定性质的数学对象组成的集体。
美国高考数学知识点
美国高考数学知识点数学是一门普遍存在于我们生活中的学科，它的基本原理和方法贯穿于各行各业的发展中。
而在美国，高考数学作为考试的一部分，对考生数学能力的评估具有重要意义。
本文将对美国高考数学的知识点进行探讨和介绍，帮助读者了解这一领域的知识内容。
一、代数代数是数学中最重要的一个分支，也是高考数学考试的重点内容之一。
在代数中，我们需要掌握解一元一次方程、二元一次方程以及一次不等式的方法。
此外，还需要了解二次函数、图形的性质和变换等内容。
通过对这些知识点的学习和练习，能够培养我们的逻辑思维和推理能力。
二、几何几何是研究形状、大小、相互位置和变化等问题的学科。
在美国高考数学中，几何也占据了重要的地位。
我们需要掌握平面几何和空间几何的基本理论和方法，如平行线的性质、三角形的性质、面积和体积计算等。
在几何的学习过程中，对于图形的理解和分析能力的培养尤为重要。
三、概率与统计概率与统计是处理随机现象和统计数据的学科。
在美国高考数学中，概率与统计也是必考的内容之一。
我们需要了解概率的计算方法，如事件的发生概率、条件概率等。
同时，还要掌握统计的基本原理和方法，如数据的收集、整理和分析等。
这些内容的学习可以提高我们的数据分析和推测能力。
四、函数函数是数学中的重要概念，也是高考数学考试的重点内容之一。
我们需要掌握函数的定义、性质、图像和应用等方面的知识。
在函数的学习过程中，需要理解函数的概念，能够进行函数的构造和分析，并能够解决与函数相关的实际问题。
函数的学习对于培养我们的综合运用能力非常关键。
综上所述，美国高考数学的知识点主要包括代数、几何、概率与统计以及函数等方面的内容。
通过对这些知识点的学习和掌握，我们能够提高解决实际问题的能力，培养我们的逻辑思维和推理能力，并为未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
在学习高考数学的过程中，我们需要注重理论与实践的结合，理解数学知识的内在规律和实际应用的联系。
通过大量的练习和思考，培养我们的问题解决能力和创新思维。
高中数学学习需要掌握哪些核心概念？
高中数学学习需要掌握哪些核心概念？哎哟喂，说起高中数学，这可是老夫当年头疼的玩意儿！别看现在是教育专家，当年可没少为这门课发愁啊。
现在想想，其实高中数学的核心概念并不复杂，就那么几个，但这几个概念可是“一入江湖深似海”，你想在数学这片海洋里遨游，就得牢牢掌握它们。
我记得当年，我那数学老师，胡子拉碴头发乱糟糟，但讲课特别生动。
他最喜欢拿日常生活里的例子来解释数学概念，比如：我们班的小明，他喜欢吃油条，每次都买两根。
一天他去买油条，发现油条涨价了，一根涨了1块钱，小明手头只有一张10块钱的钞票，那他还能买几根油条呢？你看，这就是典型的“一次函数”的概念，用公式表示就是：y=2x+b，其中y代表小明能买的油条数量，x代表油条的价格，b代表小明口袋里的钱。
通过这个例子，老师就生动地解释了“一次函数”的概念，并且还把“自变量”、“因变量”、“常数项”等概念都穿插进去了。
当然，除了“一次函数”之外，还有好多重要的概念，比如“二次函数”、“概率”、“三角函数”、“数列”等等，这些概念都是数学学习的基石，你要想学好高中数学，就得在这些概念上下功夫。
比如，“二次函数”的概念，它就像一把万能钥匙，可以用来解决各种各样的问题，比如求解方程、求函数最值等等。
我还记得，当年我考试的时候，遇到一道关于抛物线的题目，就是用“二次函数”的知识解开的。
当时考试的时候，我心里一直在想，这道题怎么这么眼熟呢？后来我才想起来，老师在课堂上讲过一个例子，就是用二次函数来计算抛物线的高度。
还有“概率”的概念，这个概念就更实用啦！比如，你去看电影，电影院里有10个座位，其中有5个是空位，那你随机选一个座位，坐到空位的概率是多少呢？这就是典型的“概率”问题，通过计算，你就能得出答案。
高中数学学习，其实就是从这些基础的概念出发，层层递进，去理解更复杂的数学原理和知识。
所以，想要学好高中数学，就要打好基础，把这些核心概念掌握牢固，这样才能在数学的海洋里畅游无阻。
美国高一数学知识点归纳
美国高一数学知识点归纳数学作为一门科学学科，无论在哪个国家的教育体系中都占据着重要的地位。
在美国的高中阶段，学生接触到的数学知识点更为深入和广泛。
本文将对美国高一数学的知识点进行归纳和总结，帮助读者更好地了解和掌握这些内容。
一、代数与函数代数与函数是高中数学的基础。
高一学生将深入学习到一元一次方程与不等式、一元二次方程与不等式、简单的幂函数、指数函数和对数函数等知识点。
它们是解决实际问题的强大工具，也是高中数学的切入点。
在一元一次方程与不等式的学习中，高中生将学习如何用代数的方法解题，包括方程组和不等式组的解法等。
而在一元二次方程与不等式的学习中，将重点关注求解根和判别式等内容。
简单的幂函数、指数函数和对数函数的学习中，高中生将对其图像、性质和公式进行掌握。
这些函数的应用广泛，涉及到增长与衰减问题、金融领域中的复利计算、生物学中的生长模型等。
二、几何与空间高中几何与空间的学习将进一步扩展和深化对几何概念和性质的理解。
学生将学习平面几何和立体几何的理论和技巧，并将其应用于解决实际问题。
在平面几何的学习中，高中生将进一步研究图形的性质及其相互关系。
包括直角三角形、相似和全等三角形、多边形等的研究，以及平面向量的运算与性质。
立体几何的学习将学生的思维从二维世界拓展到三维空间。
学生将学会在三维空间中描述点、直线、平面与体等几何要素的性质与关系。
此外，学生还会掌握球体、圆锥体、圆柱体和圆盘体等的计算公式和应用。
三、数据分析与概率数据分析与统计是高中数学中的重要一环。
高中生将学习如何收集和处理数据，以及如何通过统计学知识对现象进行描述与分析。
数据分析的学习将包括数据的整理和展示，以及通过描述统计量和图表来分析数据。
同时，高中生还将学习如何利用统计方法对数据进行推断，如自由度、显著性水平、样本容量等。
概率是研究随机事件发生可能性的数学分支。
高中生将学习如何计算事件发生的概率，并掌握概率模型的基本概念和方法。
在此基础上，他们还会学习如何用概率模型解决实际问题，如排列组合问题、生日问题等。
与图形与几何有关的核心素养及思想方法
图形中高的概念的建立
1.生活中的高 2.平行四边形的高、梯形的高 3.三角形的高 4.长方体了学科教育的一种思想和
理念，从世界一些发达国家各学科的核心素养中可以看出他 们的理念和丰富内涵。
德国数学学科核心素养为：数学证明、数学的解决问题、 数学建模、运用数学表达、运用数学符号、公式和技巧、数 学交流。
美国数学教育强调问题解决、推理与证明、交流、关联、 表征。
韩国高中数学核心素养为：问题解决、推理、创新·融合、 思想沟通、信息处理、态度和实践。
为什么数学认知结构是核心素养的基础，而不是数学知识结构？ 因为数学知识结构是属于数学的，数学认知结构是属于学生的。
学习除法认识了一棵杨树
学习分数认识了一棵柳树
学习比认识了一棵梧桐树
都学习了要看到一片森林！a÷b= a = a : b(b≠0) b
abba a:b(b0)
分数的基本性质 类推 分式的基本性质
数学概念：概念是关系、规律、思想方法的基础。
有研究表明：对数学概念的表征水平与数学成绩呈正相关。 表征（representation）是信息在头脑中的呈现方式。 也可以用“表示”，更容易理解。
多元表征是加强学生理解知识的有效方式。 有研究表明，高中生对数学概念的表征（理解）水平，多数
通过具体例子、画图（像）和描述性语言表征，如单调增函数 的概念，有52.63%的学生通过画函数图像、28.42%的学生通过 描述性语言表征；只有3.16%的学生能够用定义表征。
我们先从中国学生发展核心素养（如下）开始分析，从中可 以发现，如果每个学科都从自己学科内部角度界定本学科核心素 养，那么各学科核心素养主要集中在文化修习这个维度，其他两 个维度中的责任担当、学会学习、健康生活的一部分等，可能会 成为少人问津的真空地带，即各学科核心素养的交集为0（如下左 图）。也就是说，各学科在制定本学科的核心素养时，不能完全 从学科本位的角度考虑、不能只扫门前雪，应该站在中国学生发 展核心素养的高境界思考问题，即每个学科承担更多的公共责任 和义务。这样的学科核心素养才是有境界的、有内涵的、有担当 的，否则各学科还有可能重蹈覆辙，在各自的小圈子里搞应试教 育。
高中数学核心素养的教学与评价ppt课件
d A ,B d A ,C d C ,B
② 从上述距离的定义出发，给出“点到直线的距离”的定义， 并计算已知点到已知直线的距离.
③ 画出到定点O(0, 0) 的距离等于1的点P(x, y)所形成的图形. ④ 画出到定点A(-1, 0)和B(1, 0)距离之和等于4的点P(x, y)的轨
学科价值：数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重 要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学产生、发展、应 用的过程中。数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结 论一般、有序多级的系统。
育人价值（素养）：通过高中数学课程的学习，学生能在情境 中抽象出数学概念、命题、方法和体系（能力），积累从具体 到抽象的活动经验；养成在日常生活和实践中一般性思考问题 的习惯，把握事物的本质，以简驭繁；运用数学抽象的思维方 式思考并解决问题。
心等
空间想像 抽象概括 推理论证 运算求解 数据处理
四能
三用
二、数学核心素养的教学与评价
1. 关于数学核心素养的基本假设
① 数学教学是数学活动的教学； ② 数学素养在特定的、情境化的、综合性的数学
活动中形成与发展、表现与评价； ③ 数学素养离不开数学“四基”的教学； ④ 数学素养是一个阶段性教学目标（单元设计） ⑤ 数学素养之间有较高的相关性，设计综合性、
线杆的底部记为 ），假设把路
灯看作是一个点光源，身高1.5
米的女孩站在离 点5米的 处.请
回答以下问题：
A
1. 如果她绕路灯走一个圆圈，其阴影扫过的面积是多少？ 2. 如果她沿一个边长为10、中心在A点的的正方形走一圈，
那么其阴影扫过的面积是多少？ 3. 如果她绕一个半径为2的圆周走一圈，那么其阴影扫过的
高中数学核心素养的定义和内涵
高中数学核心素养的定义和内涵
高中数学核心素养的定义和内涵
一、定义
高中数学核心素养是指高中学生通过学习数学获得的基本素养
知识，它是数学思维能力、科学观念以及常识性知识的综合体现。
二、内涵
1、数学思维能力
数学思维能力是指学生学习数学活动所需要掌握的思维方法和
技巧，是指学生掌握符号概念、定义、定理、算法、推理论证能力、选用多种解题方法进行解题、学习新内容、进行推理和抽象能力等所有涉及到的思维方法和技巧。
2、科学观念
科学观念是指学生学习数学过程中所需要掌握的基本认识、客观思想、精确思维、理性综合判断等科学精神和思维方式。
3、常识性知识
常识性知识是指学生学习数学要掌握的客观事物的本质和性质、基本现象和规律等内容，这些内容在现实生活中往往是存在的，需要学生进行观察、比较和分析，用数学语言表达出来，才能掌握这些知识。
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美国高中数学核心概念图美国高中数学核心概念图人民教育出版社宋莉莉章建跃（通讯作者）王嵘华东师范大学数学系周丹摘要：数学核心概念的确立、组织和呈现方式反映了一个国家数学课程、教材的主要特点。
从美国数学课程标准中析出高中核心概念集，结合课程标准的解释性文件，以教科书内容结构为线索绘制核心概念图，探讨了美国数学课程、教材在构建核心概念体系上的主要特点，并对我国高中数学课程、教材建设提出建议。
关键词：核心概念，概念图，高中数学，美国目前，数学核心概念在数学课程中的重要性已引起国际数学教育界的关注。
围绕核心概念的研究有三个基本问题：（1）怎样的概念具有“核心”地位；（2）哪些是核心概念；（3）核心概念是如何组织和呈现的。
对于问题（1），国际上已有许多研究成果，人民教育出版社中学数学室牵头的“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题也进行了较深入的探讨。
本文将以美国高中数学课程为例，讨论问题（2）和问题（3）。
美国国家数学教师理事会（NCTM）2000年发布的《学校数学教育的原则和标准》[1]（下文简称《原则和标准》）明确提出了“数与运算”“代数”“几何”“度量”和“数据分析与概率”五个领域的内容标准，旨在设立面向所有学生的课程核心[2]。
2009年，NCTM又出版了《高中数学的焦点：推理和数学意识》（Focus in High School Mathematics : Reasoning and Sense Making[3]），探讨了《原则和标准》中高中阶段内容的焦点，将推理和数学意识作为高中数学课程的核心，希望以此来贯穿高中阶段所有内容的学习和教学。
本文在研究《原则和标准》中9～12年级的内容标准，参考《高中数学的焦点：推理和数学意识》（下文简称《高中焦点》）以及美国芝加哥大学编写的UCSMP（University of Chicago School Mathematics Project）系列教科书（此套教科书体现了《原则和标准》的各项标准和教育理念）的基础上，试图析出一个美国高中数学的“核心概念图”，并探讨美国数学课程、教材在处理核心概念上的特点，以期为我国高中数学的课程设置、教材建设提供有益的参考。
一、美国高中数学核心概念集核心概念集是由核心概念及其生长出的子概念组成的知识体系[4]，为了获得各领域的核心概念及其子概念，我们先对《原则和标准》中9～12年级五个领域的内容标准分别绘制了概念图，以明确概念之间的层次和联系。
概念图（Concept Map）是20世纪60年代美国康奈尔大学的诺瓦克(Joseph D.Novak)教授等根据奥苏贝尔(David P. Ausubel)的有意义学习理论提出的一种教学策略，其基本思路是用节点代表概念，用连线表示概念间的联系。
这样就实现了以科学命题的形式显示概念之间的意义联系，从而把所有的基本概念有机地联系起来（梁竹，2010）。
我们按照下面的步骤绘制概念图：1.列举知识点。
这里选取各领域中的基本知识作为绘制概念图的节点。
（注：这里所说的“基本知识”内容很广泛，包括概念、技能和思想方法等，基本知识的维度也不同，如“复数”与“整数间的关系”两个维度的知识可能同时被析出。
用于描述基本知识的关键词是标准当下界定的具体知识点，如“度量”标准中“应用‘逐次逼近’‘上下界’‘极限’等概念”，说明本学段的重点不在于认识这些概念本身，而是在度量情境中使用它们。
）2.确定知识等级。
根据知识的概括性和包容性确定知识的等级，按照从上位到下位逐渐分化的原则对知识进行分层。
（注：每个知识点在概念图中只能出现一次。
）3.建立层级连接。
用线条将相关概念连接起来，这种连接可以是建立在同一模块间的连接，也可以是建立在不同模块间的交叉连接。
连线类型一般为单向，表示同一模块概念间的上下位从属关系或概念间的相关关系，必要时在连线上用连接词标明概念之间的关系。
在概念图中，我们规定领域名称（如图1中的“代数”）为“根”概念，属于第0层，与根概念直接连接的概念为第1层的概念。
由于第1层的概念在概括性和包容性上是最高的，我们将其作为该领域的核心概念；与核心概念直接连接的概念，则看成由核心概念生长出的子概念。
表1是完成上述步骤1、2而析出的五个领域的核心概念及其子概念集，我们将其作为美国高中数学核心概念集，它呈现了美国高中数学核心概念的纵向发展脉络。
表1 美国高中数学核心概念集二、美国高中数学核心概念图核心概念的强大生长力和深刻的思想性，决定了它必然具有内容的丰富性、联系的广泛性、表现方式的多样性和育人功能的全面性等特点[4]。
为了进一步了解美国高中数学核心概念的发展脉络和联系通道，我们以《高中焦点》确定的《原则和标准》中的关键元素（key elements）为依据，并以UCSMP系列教科书内容结构为线索，重点探究了三个领域中概念的纵向发展主线和横向联系点，希望从中析出核心概念的关系网络，并绘出三个领域的核心概念图。
由于“数与运算”和“度量”领域的内容不是美国高中数学的重点内容，我们重点对“代数”“几何”和“数据统计与概率”三个领域进行了分析，与此相关的教科书是Advanced Algebra[5]，Geometry [6]和Functions，Statistics，and Trigonometry [7]。
（一）代数领域核心概念图图1是美国高中代数领域的核心概念图。
由图可见，整个代数领域的概念构成了一张纵横交错的网，这张网中有4个明显的节点——“代数符号”“函数”“数学模型”和“各种情境中的变化关系”，其中“函数”处于整张网的核心位置。
由函数生成了4个子概念，这些子概念通过各种通道与其他核心概念及其子概念，以及其他领域产生联系。
具体表现为：1. 关系和函数①这个子概念说明美国高中数学将函数定位为一种特殊的关系，而由其中的“二次关系”出发讨论二次曲线和二次曲线的分类[5]，体现了代数与几何的联系。
2. 函数的各种表征形式②显示函数主要包括三种表征形式——符号、表格和图象，美国课程关注的用显示方式或递归方式定义的函数归纳模式属于函数的符号表征。
而函数的符号表征与代数表达式和方程具有等价形式，这表明了函数与代数符号⑤的联系。
这种等价形式也使得解方程成为“已知函数值求相应的自变量的值”的过程，并且为借助函数图象求解部分方程、方程组和不等式组等成为可能。
函数的图象表征还可以用于理解逼近和变化率等概念，为分析变化关系提供了手段，而各种情境中的变化关系⑥中主要涉及两种变化关系，直接变化和反向变化[5]，它们都是函数关系，其中的反向变化关系是构建逆变化模型[5]的基础。
在函数的各种表征形式②中还特别关注了二次函数的各种表征，其中涉及的二次函数知识被应用于构建二次模型，体现了函数与数学模型⑦的联系。
3. 函数的变换③主要包括算术合成、复合和求逆，函数符号的使用使得这些变换的形式表示成为可能。
例如，函数的四则运算可以表示为f±g，f·g和f /g，从而体现了函数与代数符号⑤的联系。
4. 函数的性质④包括多项式函数、有理函数、对数函数、周期函数、一次函数和指数函数的性质，其中一次函数、周期函数和指数函数的知识分别为构建线性模型和指数模型提供了基础，体现了函数与数学模型⑦的联系。
此外，美国高中阶段代数领域概念的发展中还反映出两条主线：一是“代数表达式→作为关系的函数→作为对象的函数[8]”，这条主线蕴含于用符号代数表征和解释数学关系⑧、关系和函数①、函数的变换③等概念中；二是运算贯穿整个代数领域，算术的运算法则和运算性质也是进行符号运算，以及方程、不等式和函数运算的依据，主要体现于用符号代数表征和解释数学关系⑧，代数不等式、方程、不等式及关系的等价形式和意义⑨，评价和识别符号运算的结果、意义、作用及合理性⑩，解方程、不等式和方程组11，以及函数的变换③等概念中。
在代数符号⑤这个核心概念的子概念中，则体现了代数与几何的一个联系点：评价和识别符号运算的结果、意义、作用及合理性⑩包含了“几何情境代数化，代数情境几何化，利用代数和几何的联系解决问题[3]”的推理。
例如，利用面积模型解方程x2+10x=144[3]。
图1 美国高中代数领域核心概念图（二）几何领域核心概念图图2是美国高中几何领域的核心概念图。
可以发现，美国高中阶段的几何内容具有以“二维和三维几何图形”为对象，通过直观描绘、数学推理、坐标方法、变换等多种手段研究几何对象的特点。
在核心概念的组织上，则呈现出两条明显的主线和三个联系点。
1．几何领域核心概念的发展主线主线1：提出假设①→用演绎支持假设的可靠性②提出假设①的过程是“通过分析平面或空间中的构造和对几何关系进行归纳性推理[3]”，提出的假设包括二维和三维空间中物体的性质和特点，以及不同几何物体之间的关系。
用演绎支持假设的可靠性②指的是“构建和评价关于图形及其性质的推理式命题（正式的和非正式的），帮助理解几何情境”[3]，用演绎推理支持的结论同样包括二维和三维空间中物体的性质和特点以及不同几何物体之间的关系；用演绎支持假设的可靠性②还包含用坐标检验对二维和三维空间中物体的假设③，如推出两点间距离公式、圆的方程、线段中点公式[6]等。
提出假设①包含了归纳推理④过程，用演绎支持假设的可靠性②包含了演绎推理⑤过程，Geometry[6]中还强调公理化体系⑥内的演绎，例如引入欧氏几何中的公设，指出“好的定义”的条件，以及“数学推理的基础是使用定义、公设和定理证明结论”[6]。
因此本条主线中隐含了由归纳推理④到演绎推理⑤再到构建公理化体系⑥的过程。
主线2：用变换⑦理解和证明图形的性质和关系变换包括平移变换、旋转变换、反射变换、伸缩变换和简单变换及其复合，其中平移、反射、旋转和滑动反射（平移和反射的复合）是等距变换。
在美国高中几何课程中，变换被作为理解和证明图形性质和关系的有效手段。
具体表现为以下三个方面：（1）等距变换可以用来定义全等图形——“当且仅当两个图形由等距变换（平移、反射、旋转、滑动反射）联系起来时，它们是全等图形”，证明两个图形全等，还可以用来证明图形的性质，例如可以用反射变换证明线段的垂直平分线的性质[6]。
（2）等距变换可以用来定义对称图形——“当且仅当存在一条直线m使得r m(F)=F时，平面图形F是反射对称图形”，“当且仅当存在一个旋转度数在0°和360°之间的旋转变换R使得R(F)=F时，平面图形F是旋转对称图形”，证明一个图形是对称图形（例如等腰三角形、筝形、等腰梯形、平行四边形），从而推出图形的性质[6]。
（3）伸缩变换和反射变换的组合可以用来定义和证明相似图形。
2．几何领域核心概念与其它领域的联系点从图2可以看到，美国高中几何课程、教材不仅注重数学内部概念之间的联系性，而且注重几何与其它学科、现实世界的联系，具体联系点有如下三个：（1）用坐标检验对二维和三维空间中物体的假设③体现了代数与几何的联系；（2）使用几何模型⑧解决其他数学领域、学科和现实世界的问题体现了几何与数学领域、学科和现实世界的联系；（3）用草图、坐标、向量、函数记号以及矩阵理解和表示⑨平面上物体的变换，体现了变换与坐标、向量、函数和矩阵的联系。