人教A版选修第一章空间向量与立体几何教材解读
2022-2023学年人教A版选择性必修第一册 1-2 空间向量基本定理 课件(44张)
知识点二 空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量_两__两__垂__直_，且长度都为_____1___，那么这个基底 叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk 使 得 a＝xi＋yj＋zk，像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进 行正交分解．
A．x＝y＝z＝12
B．x＝y＝z＝1
C．x＝y＝z＝
2 2
D．x＝y＝z＝2
解析：AC→′＝A→B＋BC→′＝A→B＋BB→′＋B→C＝A→B＋AA→′＋A→D＝12(A→B＋A→D)＋12(A→B＋
AA→′)＋12(AA→′＋A→D)＝12A→C＋12AB→′＋12AD→′＝A→O1＋A→O2＋A→O3，对比AC→′＝xA→O1＋yA→O2
第一章 空间向量与立体几何
1.2 空间向量基本定理
新课程标准
新学法解读
1.了解空间向量基本定理及其正交分解的意义．
1.了解空间向量基 2．了解基底的意义．
本定理及其意义． 3．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向
2．掌握空间向量的 量为基底表示其他向量的方法．
正交分解.
4．运用空间向量基本定理解决简单的立体几何
∴{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底．
[பைடு நூலகம்归纳]
基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共
面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从
同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
高中数学人教A版选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算课件
学习重难点
• 重点：理解空间向量的概念
• 难点：掌握空间向量的运算及其应用
空间向量及其运算
向量
平面向量VS空间向量
左图是一个做滑翔运动员的场景，
可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到
来自不同方向大小各异的力，例如绳索
的拉力，风力，重力等，显然这些力不
在同一个平内。
向量．
另外，利用向量加法的交换律和结合律，还可
以得到:有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其
和不变.
A'
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关系?反过来，
究 与有什么位置关系时，=λ?
类似于平面问量共线的充要条件，对任意两个空间向量, (≠0)， ∥
联想，用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广
到空间向量，从而利用向量研究滑翔运动员呢？
下面我们类比平面向量，研究空间向量，先从空间上的概念和
表示开始。
知识点一 空间向量的概念
思考1
类比平面向量的概念，给出空间向量的概念.
在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。
空间向量的大小叫做向量的长度或模.
―→ ―→ ―→
(2)AA′＋ AB ＋B′C′.
解
→
→
→
→
→
→
AA′ ＋AB ＋B′C′ ＝(AA′ ＋AB )＋B′C′ ＝
→
→
→
→
→
AB′＋B′C′＝AC′.向量AD′、AC′如图所示.
课堂检测
如图，E，F分别是长方体ABCD -A'B'C'D'的棱AB，CD的中点．
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理
2
2
=
1
2
1
1 1
1
)= (c-b-a)=- a- b+ c.
2
2 2
2
=
1
2
=
1
a.
2
1
(
2
+
1
1
)=-a-2b+2c.
+ )
探究三
空间向量基本定理与数量积的综合应用
【例3】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,
∠BCA=90°,棱AA1=2,点N为AA1的中点.
4
=
1
-
1
2
3
3
×
2
2
1
2
=- .
3
2
所以异面直线 OE 与 BF 所成角的余弦值为 .
3
【例4】 如图,在空间四边形OABC中,∠AOB=∠BOC=∠AOC,且
OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OG⊥BC.
分析:先用基底{, , }表示向量 与,再证明 ⊥ .
1
(a+b+c)·
(c-b)
4
1
1
2
2
=4(a·c-a·b+b·c-b +c -b·c)=4(|a|2·cos
∴ ⊥ ,即 OG⊥BC.
θ-|a|2·cos θ-|a|2+|a|2)=0.
反思感悟 用向量法证明空间中垂直关系的步骤
(1)把几何问题转化为向量问题.
(2)选择空间的某个基底表示未知向量.
此基底表示向量=2e1-e2+3e3;若不能,请说明理由.
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 复习课 第1课时 空间向量与立体几何
)
(12)若向量n与直线l的方向向量垂直,A∈l,P∉l,则点P到直线l的距离可以
看成是 在n上的投影向量的长度.(
)
(13)设直线l与平面α所成的角为θ,直线l的方向向量为u,平面α的法向量为
n,则cos θ=|cos<u,n>|. ( × )
专题归纳 核心突破
专题一
空间向量的线性运算
提示:空间向量共线的充要条件:对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充
要条件是存在实数λ,使a=λb.
空间向量共面的充要条件:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b
共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
2.空间向量基本定理与空间向量的坐标表示的内容是什么?
模就越大.(
)
(3)不论λ取什么实数,λa与a一定共线.(
)
(4)若a·b=0,则a,b中至少有一个为0.( × )
(5)若 a·b=k,则
a= 或
b= .
( × )
(6)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组(λ1,λ2,λ3),使
λ1a1+λ2a2+λ3a3=0.( × )
(7)已知 A,B,M,N 是空间四点,若{, , }是空间的一个基底,则
(2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存
在,确定N的位置;若不存在,说明理由.
分析:(1)证明向量垂直于平面 PAD 的一个法向量即可;
(2)假设存在点 N,设出其坐标,利用 ⊥ , ⊥ ,
列方程求其坐标即可.
解:以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角
2025版新教材高中数学第1章空间向量与立体几何章末知识梳理课件新人教A版选择性必修第一册
－S→D＝B→A＋D→C＝0，所以 C 正确；又因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方
形
，
SA ＝
SB
＝ SC ＝
SD
＝2
，所
以 S→A ·S→B ＝
2×2×cos
∠ ASB ，
→ SC
·S→D ＝
2×2×cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是S→A·S→B＝S→C·S→D，因此 D 正确．
(2)①因为向量 a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且 a∥b，b⊥c，
AC.
(2)如图，连接 A1B，由(1)易证 A1B＝A1B1，故取 BB1 的中点 F，连接 A1F，
∵AA1 与 BB1 的距离为 2，∴A1F＝2AC＝ 2，AB＝A1B1＝ 5，BC＝ 3. 建立空间直角坐标系 C－xyz 如图所示，
设 AB1 与平面 BCC1B1 所成角为 θ，
则
sin
θ＝cos〈n，A→B1〉＝|nn|·AA→→BB11＝
13 13 .
∴AB1 与平面 BCC1B1 所成角的正弦值为 1133.
又 BM⊄平面 PAD， ∴BM∥平面 PAD.
(2)由(1)知，B→D＝(－1,2,0)，P→B＝(1,0，－2)， 假设平面 PAD 内存在一点 N，使 MN⊥平面 PBD. 设 N(0，y，z)，则M→N＝(－1，y－1，z－1)， 从而 MN⊥BD，MN⊥PB，∴MM→→NN··BP→→DB＝＝00，，
(1)∵Q→M＝(－2，－3,2)，Q→P＝(－4，－2，－2)，
∴Q→M在Q→P上的投影的模＝|Q→M→·Q→P| |QP|
＝－2×－－44＋2＋－－3×22＋－2－＋222×－2
数学 人教A版 选择性必修第一册第一章(空间向量与立体几何)1.1.1-1空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其 线性运算
学习目标
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算．(重点)
导语
你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中， 飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的 拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面 内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向 量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
内容索引
一、空间向量的有关概念 二、空间向量的加减运算 三、空间向量的数乘运算 随堂演练 课时对点练
一 空间向量的有关概念
问题1 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示 平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，空间向量是平面向 量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.
∴四边形ABCD为平行四边形.
1234
4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在 平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若 O→Q＝P→Q ＋xP→C＋yP→A ，则x＝_－__12___，y＝_－__12___.
知识梳理
注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量.
例3 (1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确
的是
√A.m(a－b)＝ma－mb √B.(m－n)a＝ma－na
四
随堂演练
1.(多选)下列命题中，真命题是
新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第一章空间向量与立体几何章整体解读〗
第一章空间向量与立体几何在必修课程学习平面向量的基础上，本章将平面向量推广到空间，学习空间向量及其运算、空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示，并运用空间向量研究立体几何中图形的位置关系和度量关系，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，本章的研究对象是几何图形，所用的研究方法是向量方法．通过本章学习，侧重提升学生的直观想象、数学运算、逻辑推理和数学抽象等数学学科核心素养．一、本章内容安排本章属于《课程标准（2021年版）》中“几何与代数”主线的内容．学生将在必修（第二册）“平面向量”和“立体几何初步”的基础上学习空间向量及其运算、空间向量基本定理，并利用空间向量解决立体几何问题，对于用空间向量解决立体几何问题，教科书“先分散、后集中”，即在学习空间向量及其运算、空间向量基本定理时“随学随用、学以致用”，同时在解决立体几何问题中巩固空间向量的知识．最后再利用空间向量描述空间直线，平面间的平行，垂直关系，用空间向量解决空间距离、夹角问题，让学生进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想和方法．本章共分为四部分：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示、空间向量的应用．“空间向量及其运算”是本章的基础，主要包括空间向量的基本概念和基本运算．由于空间向量的概念和运算与平面向量的概念和运算具有一致性，因此，教科书注意引导学生与平面向量及其运算作类比．让学生经历向量由平面向空间推广的过程．在展开空间向量及其运算内容时，教科书同步安排了利用空间向量解决相关的简单立体几何问题的实例“空间向量基本定理”揭示出空间任何一个向量都可以用三个不共面的向量唯一表示，因此空间中三个不共面的向量就构成了三维空间的一个“基底”．这为几何问题代数化奠定了基础．为了突出空间向量基本定理的基础地位，教科书将这一内容单设一节，不仅学习空间向量基本定现，还应用向量方法解决立体几何中的一些问题．这种安排不仅可以突出空间向量基本定理在本章内容中承上启下的作用，而且可以使学生更好地掌握用空间向量解决立体几何问题的基本方法—“基底法”，为后续学习空间向量及其运算的坐标表示奠定坚实基础．“空间向量及其运算的坐标表示”主要包括空间直角坐标系和空间向量运算的坐标表示．其中，空间直角坐标系是空间向量运算坐标表示的基础，对于空间直角坐标系的编排，基于使本章内容逻辑主线更加清晰的考虑，教科书选择了利用空间任意给定的一点和一个单位正交基底建立空间直角坐标系的方法，这与原教科书从立体几何知识出发建立空间直角坐标系相比有较大不同．由于空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示类似，因此，对于空间向量运算的坐标表示的编排，教科书采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程．“空间向量的应用”主要是利用向量方法解决简单的立体几何问题，包括用空间向量描述空间直线、平面间的平行、垂直关系，证明直线、平面位置关系的判定定理，用空间向量解决空间距离、夹角问题等，向量方法是这部分的重点．为了使学生掌握向量方法，教科书注意以典型的立体几何问题为例，让学生体会向量方法在解决立体几何问题中的作用，并引导学生自己归纳用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”，同时，教科书还注意引导学生归纳向量法、综合法与坐标法的特点，根据具体问题的特点选择合适的方法．为了拓展学生的知识面，本章还安排了“阅读与思考向量概念的推广与应用”，把二维、三维向量推广为高维向量，并通过例子说明高维向量的应用．学有余力的学生可以学习这个阅读材料，将空间向量的有关性质推广到，维向量空间，并解决一些简单的实际问题．根据以上分析，本章知识结构如下：空间向量及其运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示和立体几何中的向量方法是本章的重点．用向量方法解决立体几何中的问题，需要综合运用向量知识和其他数学知识，通过建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题，这对学生的直观想象、数学运算、逻辑推理等数学学科核心素养要求较高，是教学的难点．对于立体几何中的向量方法，要让学生在解决具体问题的基础上，归纳概括出用空间向量解决立体几何中的问题的一三步曲”，并在解决立体几何中的问题时不断体会、理解进而掌握向量方法，从而突破难点．二、本章编写思考1．关注内容的联系性和整体性，构建本章的研究框架与必修“平面向量及其应用”一样，本章也是《课程标准（2021年版）》中几何与代数主线的内容．空间向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，是沟通几何与代数的桥梁．本章的内容安排充分考虑空间向量的这种联系性、突出几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合．感情数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，与平面向量一样，空间向量研究的“暗线”也是向量空间理论．空间向量的概念、速度等为背景，抽象空间向量的概念，定义空间向量的加法、数乘等线性运算，并给出线性运算满足的运算性质，这时空间中的向量所组成的集合就构成了一个实数域上的向量空间，进一步地，如果在这个向量空间里定义“数量积”运算并给出其性质，那么这个向量空间就是一个有度量概念的欧氏向量空间，欧氏空间中空间向量的加法、数乘、数量积等运算建立了空间向量与立体几何中的位置关系与度量问题之间的联系．一般地，在构建一个向量空间后，通常会研究这个向量空间的一般规律．具体到空间向量，就是研究空间向量基本定理、根据空间向量基本定理，这个向量空间可以由三个线性无关的向量生成．这为空间向量的运算化归为数的运算奠定了基础．这样，空间任意一个向量都可以表示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，这种表示发挥了“基本”作用．从空间向量基本定理出发，选定空间中的任意一个定点O，并给定一个单位正交基底{i．．}，分别过点O作平行于向量i．．的数轴，就可以建立由{O：i，，}确定的空间直角坐标系．在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”．立体几何中的向量方法表现为如下的“三步曲”：为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线，平面间的平行，垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后再利用向量运算的几何意义，将运算结果“翻译”成相应的几何结论，从而得到几何问题的解决．基于以上分析，教科书构建了“空间向量与立体几何”的如下研究框架：背景一空间向量的概念一空间向量的运算及其性质空间向量基本定理、空间直角坐标系一空间向量及其运算的坐标表示一应用2．类比平面向量研究空间向量的概念及其运算，关注其中维数带来的变化平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系．空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念，运算及其几何意义，坐标表示等方面具有一致性；平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性；利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形，基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论．由于平面向量和空间向量具有相同的线性运算性质．在构建空间向量及其线性运算的结构体系时，我们把空间向量及其线性运算的内容进行了集中处理，相关概念和线性运算性质通过类比平面向量的方式呈现．这样．即使教科书在局部范围内整体性更强，也使知识的纵向联系更加紧密．同样，空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算具有类似的运算法则．因此，教科书通过问题“有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？”引出空间向量运算的坐标表示，空间向量与平面向量的差异主要由其维数引起，对此教科书也给予了充分关注．例如，在证明空间向量线性运算的结合律时，通过问题“证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？”引导学生思考向量从平面推广到空间时，研究对象维数的变化对运算律的证明带来的影响，这样处理，也使学生在平面向量的基础上进一步深入理解空间向量．3．关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决．因此，我们说空间向量与立体几何间有着天然的联系．“空间向量与立体几何”属于“几何与代数”内容主线，课程标准设计这条主线的一个基点是：让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法．例如，教科书在定义共面向量时，通过画出向量与平面平行的立体图形帮助学生建立概念；在研究如何确定点的坐标和向量的坐标时，注意引导学生借助几何直观进行研究，并根据直线和平面垂直的判定定理解释其中的道理，等等这些安排都凸显教科书在构建向量体系时对立体几何的基本知识的重视．又如，在空间向量的数量积运算后，教科书安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题；在空间向量基本定理后，安排了证明直线与直线垂直或平行以及求两条直线所成角的余弦值等简单立体几何问题；在完成空间向量体系的构建后，安排了运用空间向量研究空间直线、平面的位置关系和距离、夹角等度量的问题，这些安排都体现了“让学生知道如何用代数运算解决几何问题”的设计意图，为学生后续学习打下了基础．4．突出用向量方法解决立体几何问题向量方法是解决几何问题的常用方法．平面几何讨论的是平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系．由于平面向量可以表示平面上直线之间的平行，垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论．类似地，立体几何所讨论的是三维空间中的点、直线、平面等元素，由于它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过空间向量的运算得出几何结论，解决这些问题，主要运用向量方法．。
新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教材解读〖第一章空间向量与立体几何编写意图〗
编写意图1．关注内容的联系性和整体性，构建本章的研究框架与必修“平面向量及其应用”一样，本章也是《课程标准（2021年版）》中几何与代数主线的内容．空间向量既是代数研究的对象，也是几何研究的对象，是沟通几何与代数的桥梁．本章的内容安排充分考虑空间向量的这种联系性、突出几何直观与代数运算之间的融合，通过形与数的结合．感情数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解，与平面向量一样，空间向量研究的“暗线”也是向量空间理论．空间向量的概念、速度等为背景，抽象空间向量的概念，定义空间向量的加法、数乘等线性运算，并给出线性运算满足的运算性质，这时空间中的向量所组成的集合就构成了一个实数域上的向量空间，进一步地，如果在这个向量空间里定义“数量积”运算并给出其性质，那么这个向量空间就是一个有度量概念的欧氏向量空间，欧氏空间中空间向量的加法、数乘、数量积等运算建立了空间向量与立体几何中的位置关系与度量问题之间的联系．一般地，在构建一个向量空间后，通常会研究这个向量空间的一般规律．具体到空间向量，就是研究空间向量基本定理、根据空间向量基本定理，这个向量空间可以由三个线性无关的向量生成．这为空间向量的运算化归为数的运算奠定了基础．这样，空间任意一个向量都可以表示成三个不共面向量的线性运算，在用空间向量解决立体几何问题的过程中，这种表示发挥了“基本”作用．从空间向量基本定理出发，选定空间中的任意一个定点O，并给定一个单位正交基底{i．．}，分别过点O作平行于向量i．．的数轴，就可以建立由{O：i，，}确定的空间直角坐标系．在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”．立体几何中的向量方法表现为如下的“三步曲”：为了用空间向量解决立体几何问题，首先要把点、直线、平面等组成立体图形的要素用向量表示，使其成为可以运算的对象，将几何问题转化为向量问题；进而利用空间向量的运算，研究空间直线，平面间的平行，垂直等位置关系以及距离、夹角等度量问题；最后再利用向量运算的几何意义，将运算结果“翻译”成相应的几何结论，从而得到几何问题的解决．基于以上分析，教科书构建了“空间向量与立体几何”的如下研究框架：背景一空间向量的概念一空间向量的运算及其性质空间向量基本定理、空间直角坐标系一空间向量及其运算的坐标表示一应用2．类比平面向量研究空间向量的概念及其运算，关注其中维数带来的变化平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系．空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念，运算及其几何意义，坐标表示等方面具有一致性；平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性；利用空间向量解决立体几何问题，是利用平面向量解决平面几何问题的发展，主要变化是维数的增加，讨论对象由二维图形变为三维图形，基本方法都是将几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论．由于平面向量和空间向量具有相同的线性运算性质．在构建空间向量及其线性运算的结构体系时，我们把空间向量及其线性运算的内容进行了集中处理，相关概念和线性运算性质通过类比平面向量的方式呈现．这样．即使教科书在局部范围内整体性更强，也使知识的纵向联系更加紧密．同样，空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算具有类似的运算法则．因此，教科书通过问题“有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？”引出空间向量运算的坐标表示，空间向量与平面向量的差异主要由其维数引起，对此教科书也给予了充分关注．例如，在证明空间向量线性运算的结合律时，通过问题“证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？”引导学生思考向量从平面推广到空间时，研究对象维数的变化对运算律的证明带来的影响，这样处理，也使学生在平面向量的基础上进一步深入理解空间向量．3．关注空间向量与立体几何知识间的联系空间向量体系的建立需要立体几何的基本知识，反过来，立体几何中的问题可以用向量方法解决．因此，我们说空间向量与立体几何间有着天然的联系．“空间向量与立体几何”属于“几何与代数”内容主线，课程标准设计这条主线的一个基点是：让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法．例如，教科书在定义共面向量时，通过画出向量与平面平行的立体图形帮助学生建立概念；在研究如何确定点的坐标和向量的坐标时，注意引导学生借助几何直观进行研究，并根据直线和平面垂直的判定定理解释其中的道理，等等这些安排都凸显教科书在构建向量体系时对立体几何的基本知识的重视．又如，在空间向量的数量积运算后，教科书安排了证明直线与平面垂直的判定定理以及其他一些简单的立体几何问题；在空间向量基本定理后，安排了证明直线与直线垂直或平行以及求两条直线所成角的余弦值等简单立体几何问题；在完成空间向量体系的构建后，安排了运用空间向量研究空间直线、平面的位置关系和距离、夹角等度量的问题，这些安排都体现了“让学生知道如何用代数运算解决几何问题”的设计意图，为学生后续学习打下了基础．4．突出用向量方法解决立体几何问题向量方法是解决几何问题的常用方法．平面几何讨论的是平面上的点、直线等元素，它们可以与平面向量建立联系．由于平面向量可以表示平面上直线之间的平行，垂直关系以及两条直线夹角的大小，因此许多平面几何问题可以转化为平面向量问题，通过平面向量的运算得出几何结论．类似地，立体几何所讨论的是三维空间中的点、直线、平面等元素，由于它们可以与空间向量建立联系，许多立体几何问题可以转化为空间向量问题，通过空间向量的运算得出几何结论，解决这些问题，主要运用向量方法．向量方法有别于综合几何方法，综合几何方法是借助图形直观，从公理，定义和定理等出发，通过逻辑推理解决几何问题；而向量方法则是用向量表示几何元素，通过向量运算得到几何问题的解决．一般地，利用空间向量解决立体几何问题，有如下的“三步曲“：第一步，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题：第三步，把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论．这种利用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”．在解决几何问题时具有程序性、普适性．对于立体几何中的向量方法，教科书采取了先分放后集中的方式，即在学生系统学习空间向量知识的同时，安排利用空间向量解决简单的立体几何问题，渗透向量方法；而在建立空间向量的体系后，则集中围绕“使学生认识向量方法在解决立体几何问题中的作用，体会向量方法的“三步曲””这个中心来设计，结合具体问题明确给出利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，安排用“三步曲”解决空间直线、平面的位置关系以及距离、夹角等度量问题的内容，进一步体会向量方法在解决立体几何问题中的普适作用．5．关注投影向量的意义及其在解决距离问题中的作用空间向量投影是《课程标准（2021年版）》新增加的内容，课程标准对空间向量投影的概念及其应用都有明确的要求，我们在编写教科书时．关注了课程标准的这一变化．向量的投影是高维空间到低维子空间的一种线性变换，得到的投影向量是变换的结果，是低维的空间向量．空间向量投影概念的建立对于学生利用投影向量研究立体几何问题有重要意义，教科书在引入向量数量积后，类比在必修课程中学习过的平面向量投影的概念，利用几何直观给出了空间向量投影的概念，距离是空间中的重要度量．本章涉及的距离问题主要有：两点间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，分析上述距离的内容，可以得到如下认识：（1）除两点间距离外，垂直反映了距离的本质，因此借助勾股定理可以直观地研究距离问题．（2）无论是对于平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式，因此利用法向量可以刻画表示“距离”的线段的方向．法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几何直观，又提供了代数定量刻面，因此利用法向量和向量投影可以研究距离问题．由此可见，投影向量的几何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且还提供了研究距离的方法，在研究距离问题时，参考向量、它的投影向量、三者的差，构成直角三角形．这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解．在本章，教科书注意尽可能地使用投影向量研究立体几何中的距离问题，在“142用空间向量研究距离、夹角问题”中，教科书采取了如下的对“距离”的研究顺序：首先，通过问题“已知直线的单位方向向量为u，A是直线上的定点，P是直线外一点，如何利用这些条件求点P到直线的距离？”引出对点到直线的距离的研究，进而利用投影向量得到求点到直线的距离的公式．这也为下一章利用投影向量，结合坐标法获得解析几何中的点到直线的距离公式进行了铺设．接下来，通过问题“类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？”引导学生自己研究两条平行直线之间的距离．进而，利用投影向量研究点到平面的距离，并渗透利用法向量和投影向量研究距离问题的一般方法：第一步，确定法向量；第二步，选择参考向量（如图，向量即为参考向量）；第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；第四步，利用向量运算求投影向量的长度，最后，结合例题、习题，解决直线到平面、平行平面图问的距离问题（都可转化为点到平面的距离）．6．关注用空间向量研究空间中直线、平面间的夹角问题与距离类似，角度是立体几何中的另一个重要的度量．空间直线、平面间的夹角问题，包括直线与直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面所成的角，而直线、平面又都可以利用它的方向向量或法向量来刻画，因而空间直线、平面间的夹角问题就转化为求直线的方向向量、平面的法向量间的夹角问题，进而可以利用空间向量的数量积运算加以解决．。
人教A版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 空间向量及其线性运算
1.1
1.1.1 空间向量及其线性运算
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
自主预习 新知导学
一、空间向量的概念
1.刘力同学放学后回家,先从学校大门口出发向北行走600米,再向东行走
500米,最后乘电梯上行45米到达住处.你能用示意图表示一下刘力同学放
学回家的总位移吗?
提示:
答案:C
二、空间向量的线性运算
1.如图,观察正方体中过同一个顶点A的三条棱所表示的向量 , , 1 ,
回答下列问题:
(1)三条棱所表示的向量在同一平面内吗?这三个向量是相等向量吗?
提示:不在同一平面内.这三个向量不是相等向量.
(2) + + 1 能运算吗?为什么?如何运算?
= − =
=
则
1
2
−
1
2
−
1
1
2
x= ,y=- ,z=- .
2
2
3
1
(
2
2
1 ,
3
+ )-( +
2
1 )
3
探究三
向量共线问题
【例 3】 如图,已知四边形 ABCD 是空间四边形,E,H 分别是边 AB,AD 的
中点,F,G 分别是边 CB,CD 上的点,且 =
所以 =
1
(1
2
+
1
1
1
1 )= (b+a+c+a)=a+ b+ c.
2
2
2
反思感悟 用已知向量表示未知向量,是向量线性运算的基础类型,解决
新教材高中数学第一章空间向量与立体几何1-1共线向量与共面向量练习含解析新人教A版选择性必修第一册
第2课时 共线向量与共面向量学习目标 1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握共线向量定理和共面向量定理,会证明空间三点共线、四点共面．知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在实数λ,使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ,我们把与向量a 平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 思考1 对于空间向量a ,b ,c ,若a ∥b 且b ∥c ,是否可以得到a ∥c ? 答案 不能．若b ＝0,则对任意向量a ,c 都有a ∥b 且b ∥c . 思考2 怎样利用向量共线证明A ,B ,C 三点共线？ 答案 只需证明向量AB →,BC →(不唯一)共线即可． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图,如果表示向量a 的有向线段OA →所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b .思考 已知空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,存在有序实数对(x ,y ),满足关系OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →,则点P 与点A ,B ,C 是否共面？答案 共面. 由OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →,可得AP →＝xAB →＋yAC →,所以向量AP →与向量AB →,AC →共面,故点P 与点A ,B ,C 共面．1．向量AB →与向量CD →是共线向量,则点A ,B ,C ,D 必在同一条直线上．( × ) 2．若向量a ,b ,c 共面,则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面．( × ) 3．空间中任意三个向量一定是共面向量．( × )4．若P ,M ,A ,B 共面,则存在唯一的有序实数对(x ,y ),使MP →＝xMA →＋yMB →.( × )一、向量共线的判定及应用例1 如图所示,已知四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF →＝23CB →,CG →＝23CD →.求证：四边形EFGH 是梯形．证明 ∵E ,H 分别是AB ,AD 的中点, ∴AE →＝12AB →,AH →＝12AD →,则EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →＝12(CD →－CB →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32CG →－32CF →＝34(CG →－CF →)＝34FG →,∴EH →∥FG →且|EH →|＝34|FG →|≠|FG →|.又F 不在直线EH 上, ∴四边形EFGH 是梯形．反思感悟 向量共线的判定及应用(1)本题利用向量的共线证明了线线平行,解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． (2)判断或证明两向量a ,b (b ≠0)共线,就是寻找实数λ,使a ＝λb 成立,为此常结合题目图形,运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．(3)判断或证明空间中的三点(如P ,A ,B )共线的方法：是否存在实数λ,使PA →＝λPB →； 跟踪训练1 (1)已知A ,B ,C 三点共线,O 为直线外空间任意一点,若OC →＝mOA →＋nOB →,则m ＋n ＝________. 答案 1解析 由于A ,B ,C 三点共线,所以存在实数λ,使得AC →＝λAB →,即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →), 所以OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →,所以m ＝1－λ,n ＝λ, 所以m ＋n ＝1.(2)如图所示,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,E 在A 1D 1上,且A 1E —→＝2ED 1—→,F 在对角线A 1C 上,且A 1F —→＝23FC →. 求证：E ,F ,B 三点共线．证明 设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1—→＝c , 因为A 1E —→＝2ED 1—→,A 1F —→＝23FC →,所以A 1E —→＝23A 1D 1—→,A 1F —→＝25A 1C —→,所以A 1E —→＝23AD →＝23b ,A 1F —→＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ,所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ,所以EF →＝25EB →,所以E ,F ,B 三点共线．二、向量共面的判定例2 已知A ,B ,C 三点不共线,平面ABC 外一点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →,MB →,MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内． 解 (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →, ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →),∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →, ∴向量MA →,MB →,MC →共面．(2)由(1)知,向量MA →,MB →,MC →共面,而它们有共同的起点M ,且A ,B ,C 三点不共线, ∴M ,A ,B ,C 共面,即M 在平面ABC 内． 反思感悟 解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内,则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1),然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数．(2)证明三个向量共面(或四点共面),需利用共面向量定理,证明过程中要灵活进行向量的分解与合成,将其中一个向量用另外两个向量来表示．跟踪训练2 (1)如图所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点M ,N 分别在对角线BD ,AE 上,且BM ＝13BD ,AN ＝13AE .求证：向量MN →,CD →,DE →共面．证明 因为M 在BD 上,且BM ＝13BD ,所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →.同理AN →＝13AD →＋13DE →.所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13DA →＋13AB →＋BA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13AD →＋13DE →＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线,根据向量共面的充要条件可知MN →,CD →,DE →共面．(2)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点,求证： ①E ,F ,G ,H 四点共面． ②BD ∥平面EFGH . 证明 如图,连接EG ,BG .①因为EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →,由向量共面的充要条件知向量EG →,EF →,EH →共面,即E ,F ,G ,H 四点共面．②因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →,所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH ,所以BD ∥平面EFGH .空间共线向量定理的应用典例 如图所示,已知四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形,且它们所在的平面不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点,求证：CE ∥MN .证明 ∵M ,N 分别是AC ,BF 的中点, 又四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形, ∴MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →,又∵MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →,∴12CA →＋AF →＋12FB →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →, ∴CE →＝CA →＋2AF →＋FB →＝2(MA →＋AF →＋FN →), ∴CE →＝2MN →,∴CE →∥MN →. ∵点C 不在MN 上,∴CE ∥MN .[素养提升] 证明空间图形中的两直线平行,可以转化为证明两直线的方向向量共线问题．这里关键是利用向量的线性运算,从而确定CE →＝λMN →中的λ的值．1．满足下列条件,能说明空间不重合的A ,B ,C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC → D ．|AB →|＝|BC →|答案 C2．若空间中任意四点O ,A ,B ,P 满足OP →＝mOA →＋nOB →,其中m ＋n ＝1,则( ) A ．P ∈直线AB B ．P ∉直线ABC ．点P 可能在直线AB 上,也可能不在直线AB 上D ．以上都不对 答案 A解析 因为m ＋n ＝1,所以m ＝1－n ,所以OP →＝(1－n )·OA →＋nOB →,即OP →－OA →＝n (OB →－OA →),即AP →＝nAB →,所以AP →与AB →共线．又AP →,AB →有公共起点A ,所以P ,A ,B 三点在同一直线上,即P ∈直线AB . 3．下列条件中,使M 与A ,B ,C 一定共面的是( ) A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0 答案 C解析 C 选项中,MA →＝－MB →－MC →, ∴点M ,A ,B ,C 共面．4．已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →,则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →,且M ,A ,B ,C 四点共面, ∴x ＋13＋13＝1,∴x ＝13,故选D.5．已知非零向量e 1,e 2不共线,则使k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线的k 的值是________． 答案 ±1解析 若k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线, 则k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2),所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，λk ＝1.所以k ＝±1.1．知识清单：(1)空间向量共线的充要条件,直线的方向向量． (2)空间向量共面的充要条件． 2．方法归纳 ：转化化归． 3．常见误区：混淆向量共线与线段共线、点共线．1．已知向量a ,b ,且AB →＝a ＋2b ,BC →＝－5a ＋6b ,CD →＝7a －2b ,则一定共线的三点是( ) A ．A ,B ,D B ．A ,B ,C C ．B ,C ,D D ．A ,C ,D答案 A解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →,故AD →∥AB →,又AD →与AB →有公共点A , 所以A ,B ,D 三点共线．2．对于空间的任意三个向量a ,b ,2a －b ,它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量 答案 A3．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,向量D 1A —→,D 1C —→,A 1C 1—→是( ) A ．有相同起点的向量 B ．等长向量 C ．共面向量 D ．不共面向量 答案 C解析 因为D 1C —→－D 1A —→＝AC →,且AC →＝A 1C 1—→, 所以D 1C —→－D 1A —→＝A 1C 1—→, 即D 1C —→＝D 1A —→＋A 1C 1—→. 又D 1A —→与A 1C 1—→不共线,所以D 1C —→,D 1A —→,A 1C 1—→三个向量共面．4．已知P 为空间中任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →,则实数x 的值为( )A.13 B ．－13 C.12 D ．－12 答案 A解析 PA →＝43PB →－xPC →＋16DB →＝43PB →－xPC →＋16(PB →－PD →)＝32PB →－xPC →－16PD →.又∵P 是空间任意一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点均不共线,但四点共面, ∴32－x －16＝1,解得x ＝13. 5．(多选)下列命题中错误的是( )A ．若A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ,b 共线的充要条件 C ．若AB →,CD →共线,则AB ∥CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点A ,B ,C ,若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ,y ,z ∈R ),则P ,A ,B ,C 四点共面答案 BCD 解析 显然A 正确；若a ,b 共线,则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a | －|b ||,故B 错误； 若AB →,CD →共线,则直线AB ,CD 可能重合,故C 错误； 只有当x ＋y ＋z ＝1时,P ,A ,B ,C 四点才共面,故D 错误．6．在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD →＝2DB →,CD →＝13CA →＋λCB →,则λ＝________.答案 23解析 CD →＝CB →－DB →＝CB →－13AB →＝CB →－13(CB →－CA →)＝23CB →＋13CA →,又CD →＝13CA →＋λCB →,所以λ＝23.7．设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB →＝e 1＋k e 2,BC →＝5e 1＋4e 2,DC →＝－e 1－2e 2,且A ,B ,D 三点共线,则实数k ＝________. 答案 1解析 ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2, 且AB →与AD →共线,故AD →＝xAB →, 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2, 故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0, 又∵e 1,e 2不共线,∴⎩⎪⎨⎪⎧7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1.8．已知O 为空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任意三点不共线,但四点共面,且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →,则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 由题意知A ,B ,C ,D 共面的充要条件是：对空间任意一点O ,存在实数x 1,y 1,z 1,使得OA →＝x 1OB →＋y 1OC →＋z 1OD →,且x 1＋y 1＋z 1＝1,因此,2x ＋3y ＋4z ＝－1.9.如图,在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是C 1D 1,AB 的中点,E 在AA 1上且AE ＝2EA 1,F 在CC 1上且CF ＝12FC 1,判断ME →与NF →是否共线．解 由题意,得ME →＝MD 1—→＋D 1A 1—→＋A 1E —→＝12BA →＋CB →＋13A 1A —→＝BN →＋CB →＋13C 1C —→ ＝CN →＋FC →＝FN →＝－NF →. 即ME →＝－NF →,∴ME →与NF →共线．10．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,M 为DD 1的中点,点N 在AC 上,且AN ∶NC ＝2∶1,求证：A 1N —→与A 1B —→,A 1M —→共面．证明 ∵A 1B —→＝AB →－AA 1—→,A 1M —→＝A 1D 1—→＋D 1M —→＝AD →－12AA 1—→,AN →＝23AC →＝23(AB →＋AD →),∴A 1N —→＝AN →－AA 1—→＝23(AB →＋AD →)－AA 1—→＝23(AB →－AA 1—→)＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AA 1—→＝23A 1B —→＋23A 1M —→, ∴A 1N —→与A 1B —→,A 1M —→共面．11．若P ,A ,B ,C 为空间四点,且有PA →＝αPB →＋βPC →,则α＋β＝1是A ,B ,C 三点共线的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案 C解析 若α＋β＝1,则PA →－PB →＝β(PC →－PB →),即BA →＝βBC →,显然,A ,B ,C 三点共线；若A ,B ,C 三点共线,则有AB →＝λBC →,故PB →－PA →＝λ(PC →－PB →),整理得PA →＝(1＋λ)PB →－λPC →,令α＝1＋λ,β＝－λ,则α＋β＝1,故选C.12．平面α内有五点A ,B ,C ,D ,E ,其中无三点共线,O 为空间一点,满足OA →＝12OB →＋xOC →＋yOD →,OB→＝2xOC →＋13OD →＋yOE →,则x ＋3y 等于( )A.56B.76C.53D.73 答案 B解析 由点A ,B ,C ,D 共面得x ＋y ＝12,又由点B ,C ,D ,E 共面得2x ＋y ＝23,联立方程组解得x ＝16,y ＝13,所以x ＋3y ＝76.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→,那么M 必( ) A ．在平面BAD 1内 B ．在平面BA 1D 内 C ．在平面BA 1D 1内 D ．在平面AB 1C 1内答案 C解析 PM →＝PB 1—→＋7BA →＋6AA 1—→－4A 1D 1—→＝PB 1—→＋BA →＋6BA 1—→－4A 1D 1—→＝PB 1—→＋B 1A 1—→＋6BA 1—→－4A 1D 1—→＝PA 1—→＋6(PA 1—→－PB →)－4(PD 1—→－PA 1—→)＝11PA 1—→－6PB →－4PD 1—→,于是M ,B ,A 1,D 1四点共面．14．有下列命题：①若AB →∥CD →,则A ,B ,C ,D 四点共线；②若AB →∥AC →,则A ,B ,C 三点共线；③若e 1,e 2为不共线的非零向量,a ＝4e 1－25e 2,b ＝－e 1＋110e 2,则a ∥b ； ④若向量e 1,e 2,e 3是三个不共面的向量,且满足等式k 1e 1＋k 2e 2＋k 3e 3＝0,则k 1＝k 2＝k 3＝0. 其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．答案 ②③④解析 根据共线向量的定义,若AB →∥CD →,则AB ∥CD 或A ,B ,C ,D 四点共线,故①错；因为AB →∥AC →且AB →,AC →有公共点A ,所以②正确；由于a ＝4e 1－25e 2＝－4b ,所以a ∥b .故③正确；易知④也正确．15．已知A ,B ,C 三点不共线,O 是平面ABC 外任意一点,若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ,B ,C 三点共面,则λ＝________.答案 215解析 根据P ,A ,B ,C 四点共面的条件,知存在实数x ,y ,z ,使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →成立,其中x＋y ＋z ＝1,于是15＋23＋λ＝1,所以λ＝215. 16.如图,已知M ,N 分别为四面体A －BCD 的面BCD 与面ACD 的重心,G 为AM 上一点,且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ,G ,N 三点共线．证明 设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c , 则AM →＝AB →＋23×12(BC →＋BD →)＝AB →＋13(BC →＋BD →)＝AB →＋13(AC →－AB →＋AD →－AB →)＝13(AB →＋AC →＋AD →)＝13(a ＋b ＋c ),BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ,BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →,∴BN →∥BG →.又BN ∩BG ＝B ,∴B ,G ,N 三点共线．。