云南省中考数学总复习图形的初步认识与三角形第16课时全等三角形课件
图 16-20 A.∠A=∠D C.∠ACB=∠F B.BC=EF D.AC=DF
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4.[2017· 宜昌] 如图 16-21,在△ AEF 中,尺规作图如下:分别以点 E,点 F 为圆心,大于 EF 的长为半径作弧,两弧相
2 1
交于 G,H 两点,作直线 GH,交 EF 于点 O,连接 AO,则下列结论正确的是( C )
2 1
弧,两弧相交于 M,N 两点;②作直线 MN 交 BC 于点 D, 连接 AD.若 AB=BD,AB=6,∠C=30° ,则△ ACD 的面积 为 .
S△ ACD= S△ ABC=9 3,故应填:9 3.
2
1
图 16-16
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2.[2016· 曲靖 8 题] 如图 16-17,C,E 是直线 l 两侧的点,以 C 为圆心,CE 长为半径画弧交 l 于 A,B 两点,又分别以 A,B 为 圆心,大于 AB 的长为半径画弧,两弧交于点 D,连接 CA,CB,
图 16-9
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2.[2018· 昆明 15 题] 如图 16-10,在△ ABC 和△ ADE 中,AB=AD, ∠B=∠D,∠1=∠2. 求证:BC=DE.
证明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE, 则在△ ABC 和△ ADE 中, ∠������ = ∠������, ∵ ������������ = ������������, ∠������������������ = ∠������������������, ∴△ ABC≌△ADE(ASA),
∠BAE=∠DAC.求证:∠C=∠E.
图 16-8
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[方法模型] 1.找“角”相等的途径主要有:对顶角相等;两直线平行,同位角、内错角相等;余角等角代换;角平分 线;平行四边形对角相等等.找“边”相等主要借助中点、平行四边形对边相等来证明. 2.全等三角形常见的有平移型、对称型和旋转型,可根据图形的特点寻找条件,证明两个三角形全等. 平移型 对称型 旋转型
20
.
图 16-18
图 16-19
2.如图 16-19,在四边形 ABCD 中,AB∥CD,连接 BD.请添加一个适当的条件
答案不唯一,如 AB=CD 或
AD∥BC 或∠A=∠C 或∠ADB=∠CBD ,使得△ ABD≌△CDB.(只需写一个即可)
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3.如图 16-20,在△ ABC 和△ DEF 中,∠B=∠DEF,AB=DE,添加下列一个条件后,仍然不能证明△ ABC≌△DEF,这 个条件是( D )
)
图 16-17 A.CD⊥l C.点 C,D 关于直线 l B.点 A,B 关于直线 CD 对称 D.CD 平分∠ACB
∠ACB,所以 D 选项正确;因为 AC 不一定 等于 AD,所以 C 选项错误.故选 C.
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1.如图 16-18,△ ABC≌△DEF,请根据图中提供的信息,写出 x=
图 16-1
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(4)经过一已知点作直线的垂线(如图 16-2);
图 16-2 (5)作已知线段的垂直平分线(如图 16-3).
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对点演练
1.如图 16-4,△ ABC≌△DEF,线段 AD=5,DE=3,则 BD=
2
.
图 16-4 2.如图 16-5,已知 CD=CA,∠1=∠2,要使△ ECD≌△BCA,需添加的条件是 CE=CB(或∠D=∠A 或∠E=∠B) (只写出一质
1.全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做① 全等三角形 . 2.全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边② 相等 ,对应角③ 相等 . 、周长相等、面
(2)全等三角形的对应线段(对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线)④ 相等 积相等.
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考点二 全等三角形的判定
1.全等三角形的判定方法有:SAS、⑤ ASA 、⑥ SSS 、⑦ AAS .
HL
2.两个直角三角形全等的判定方法除了一般的三角形全等的判定方法之外,还有:⑧
.
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考点三 尺规组图
五种基本作图 (1)作一条线段等于已知线段; (2)作一个角等于已知角; (3)作一个角的平分线(如图 16-1);
图 16-22
∴∠B=∠D.
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6.[2018· 衡阳] 如图 16-23,已知线段 AC,BD 相交于点 E, AE=DE,BE=CE. (1)求证:△ ABE≌△DCE;
图16-7
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探究一 全等三角形的判定与性质
例1 [2018· 南充] 如图 16-8,已知 AB=AD,AC=AE,
证明:∵∠BAE=∠DAC, ∴∠BAE-∠CAE=∠DAC-∠CAE. ∴∠BAC=∠DAE. ������������ = ������������, 在△ ABC 与△ ADE 中, ∠������������������ = ∠������������������, ������������ = ������������, ∴△ ABC≌△ADE(SAS),∴∠C=∠E.
例 2 [2018· 成都] 如图 16-13,已知∠ABC=∠DCB,添加以下 条件,不能判定△ ABC≌△DCB 的是( )
[答案] C [解析] 因为∠ABC=∠DCB,加上题中的 隐含条件 BC=CB,所以可以添加一组角 对应相等或是添加夹角的另一组边对应
图 16-13 A.∠A=∠D B.∠ACB=∠DBC C.AC=DB D.AB=DC
SSS
.
图 16-6
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4.如图 16-7,△ ABC≌△DEF,∠A=50° ,∠C=30° ,则∠E 的度数为( D ) A.30° B.50° C.60° D.100°
5.不能判定两个三角形全等的是( D ) A.三边对应相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 D.三个角对应相等的两个三角形全等
相等,来证明两个三角形全等,故添加 A, B,D 均可以使△ ABC≌△DCB. 故选择 C.
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[方法模型] 求解此类问题时注意挖掘题目中的隐含条件,如公共边、公共角、对顶角等.已知一角一边,可考 虑用 SAS,ASA,AAS 补充条件;已知两边,可考虑用 SAS,SSS,HL 补充条件;已知两角,可考虑用 ASA,AAS 补充 条件.
图 16-11
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4.[2018· 曲靖 17 题] 如图 16-12,在平行四边形 ABCD 的边 AB,CD 上截取 AF,CE,使得 AF=CE,连接 EF,点 M,N 是线段 EF 上的两点, 且 EM=FN,连接 AN,CM. (1)求证:△ AFN≌△CEM. (2)若∠CMF=107° ,∠CEM=72° ,求∠NAF 的度数.
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[答案] C [解析] 利用基本作图可对 A,B 进行判断;利用 CD 垂直平分 AB 可 对 D 进行判断;利用 AC 与 AD 不一定相 等可对 C 进行判断.由作法得 CD 垂直平 分线段 AB,所以 A,B 选项正确;因为 CD 垂直平分 AB,所以 CA=CB,所以 CD 平分
CD,下列结论不一定正确的是(
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针对训练
1.[2018· 云南 16 题] 如图 16-9,已知 AC 平分∠BAD, AB=AD.求证:△ ABC≌△ADC.
证明:∵AC 平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC. ������������ = ������������, 在△ ABC 和△ ADC 中, ∠������������������ = ∠������������������, ������������ = ������������, ∴△ ABC≌△ADC.
图 16-14
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探究三 尺规作图
例 3 [2017· 贵港] 尺规作图(不写作法,保留作图痕迹). 已知线段 a 和∠AOB,点 M 在 OB 上(如图 16-15 所示). (1)在 OA 边上作点 P,使 OP=2a; (2)作∠AOB 的平分线; (3)过点 M 作 OB 的垂线.
图 16-21 A.AO 平分∠EAF C.GH 垂直平分 EF B.AO 垂直平分 EF D.GH 平分 AF
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5.[2016· 云南] 如图 16-22,点 C 是 AE 的中点,∠A=∠ECD, AB=CD. 求证:∠B=∠D.
证明:∵点 C 是 AE 的中点, ∴EC=CA. ������������ = ������������, 在△ CAB 和△ ECD 中, ∠������ = ∠������������������, ������������ = ������������, ∴△ CAB≌△ECD(SAS),
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针对训练
[2015· 云南 16 题] 如图 16-14,∠B=∠D,请添加一个条 件(不得添加辅助线),使得△ ABC≌△ADC,并说明理由.
解:答案不唯一, 如添加条件:∠BAC=∠DAC. 理由:∵在△ ABC 和△ ADC ∠������ = ∠������, 中, ∠������������������ = ∠������������������, ������������ = ������������, ∴△ ABC≌△ADC(AAS).
图 16-10
∴BC=DE.
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3.[2017· 云南 15 题] 如图 16-11,点 E,C 在线段 BF 上,BE=CF, AB=DE,AC=DF.求证:∠ABC=∠DEF.
证明:∵CF=BE, ∴BE+EC=CF+EC, 即 BC=EF, ������������ = ������������, 在△ ABC 和△ DEF 中, ������������ = ������������, ������������ = ������������, ∴△ ABC≌△DEF(SSS), ∴∠ABC=∠DEF.
中考数学总复习第四章三角形第16讲全等三角形课件
【例1】 已知：
如图，在△ABC中，D是BC的中点，ED⊥DF，求证：BE＋CF＞EF. 【分析】 利用中线加倍延长法结合全等三角形，把 BE，CF，EF 集中 在一个三角形中，利用三角形的两边之和大于第三边来
证明：延长 ED 到 M，使 DM＝ED，连接 CM，FM，
BD＝DC， ∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.在△EDB 与△MDC 中，∠EDB＝∠CDM，
解：如图，连接CD， ∵∠C＝90°，D是AB的中点， ∴CD＝AB＝BD， ∵AC＝BC， ∴CD⊥AB，∠ACD＝∠B＝45°， ∴∠CDF＋∠BDF＝90°， ∵BD⊥DF， ∴∠EDF＝90°， ∴∠EDC＋∠CDF＝90°， ∴∠EDC＝∠BDF， ∴△ECD≌△FBD， ∴DE＝DF
2．(2015·龙东地区)如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连 接AE.将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延 长交直线DC于点F. (1)当点F与点C重合时如图①，易证：DF＋BE＝AF(不需证明)； (2)当点F在DC的延长线上时如图②，当点F在CD的延长线上时如图③， 线段DF，BE，AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种 情况给予证明．(导学号 02052266)
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试题 如图，已知D是△ABC的边BC上的一点，E是AD上的一点，EB＝EC ，∠1＝∠2.求证：∠BAE＝∠CAE. 错解 证明：在△AEB和△AEC中，∵AE＝AE，EB＝EC，∠1＝∠2， ∴△AEB≌△AEC(SSA)，∴∠BAE＝∠CAE. 剖析 先看一个事实，如图，将等腰△ABC的底边BC延 长线上的任一点和顶点A相连，所得的△DAB和△DAC无疑是不全等的，由 此可知，有两边及其一边的对角对应相等的两个三角形(简称“边边角”) 不一定全等．因此，在判定三角形全等时，一定要留心“边边角”，别上 当哟． 正解 证明：∵EB＝EC，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2 ＋∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC.在△AEB和△AEC中，∵EB＝EC ，∠1＝∠2，AB＝AC，∴△AEB≌△AEC(SAS)，∴∠BAE＝∠CAE
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AC=BC
∠BCE=∠DCA
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS)
∴ BE=AD
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6. 如图A、B、C在一直线上，△ABD，△BCE都是等边 三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：BF＝BG。
AB
＝
DB
∠ABE ＝ ∠ DBC
BE＝BC ∴△ABE≌△DBC(SAS)
D
C
2
1
A
B
思路3： 已知一边一角（边与角相邻）：
找夹这个角的另一边
AD=CB （SAS）
找夹这条边的另一角
∠ACD=∠CAB（ASA）
找边的对角
∠D=∠（B AAS）
15
如图，已知∠B= ∠E，要识别△ABC≌ △AED，需 要添加的一个条件是--------------
A
D
C
E
思路4：
找夹边
AB=AE (ASA)
∴ △ADC ≌ △EDB
D
C
∴ AC = EB
在△ABE中，AE < AB+BE＝AB+AC
E
即 2AD < AB+AC
∴ AD 1 (AB AC) 2
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12.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
C A
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE（已知）． ∴点Q在∠AOB的平分线上．（到角的两边的距
离相等的点在角的平分线上）
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2.如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
中考数学复习第16讲-三角形的基本知识及全等三角形
第16讲 三角形的基本知识及全等三角形考点1 三角形的概念及其分类⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎩⎩概念：由不在同一直线上的三条线段连接 所得到的图形叫做三角形.角三角形按角分类角三角形角三角形分类不等边三角形底与腰不相等的等腰三角形按边分类等腰三角形三角形①②③④⑤ 考点2 与三角形有关的线段高 ⑥ 三角形的三条高相交于三角形的内部；直角三角形的三条高相交于⑦ ；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部.中线 三角形的三条中线相交于⑧ ，每一条中线都将三角形分成面积⑨ 的两部分.角平分线 三角形的三条角平分线相交于⑩ ，这个点是三角形的⑪ ，这个点到三边的距离⑫ . 三边关系 三角形的两边之和⑬ 第三边，三角形的两边之差⑭ 第三边. 稳定性三角形具有稳定性，四边形没有稳定性.三角形的中位线 定义连接三角形两边⑮ 的线段叫做三角形的中位线.性质三角形的中位线⑯ 第三边，并且等于第三边的○17 .考点3 与三角形有关的角定理 三角形三个内角的和等于○18 . 推论直角三角形的两个锐角○19 . 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的○20 . 考点4 全等三角形的性质与判定性质 全等三角形的对应边○21 ，对应角○22 . 判定判定1：三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS ”)；判定2：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS ”)；判定3：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”);判定4：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)；判定5：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”).【易错提示】“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等.1.判断给定的三条线段能否组成三角形，只需判断两条较短线段的和是否大于最长线段即可.2.“截长法”和“补短法”是证明和差关系的重要方法，无论用哪一种方法都是要将线段的和差关系转化为证明线段相等的问题，因此添加辅助线构造全等三角形是通向结论的桥梁.命题点1 三角形中的线段例1 不一定在三角形内部的线段是( )A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.三角形的中位线【思路点拨】不管是哪种类型的三角形，三角形的角平分线、中线和中位线都在三角形内部，但是锐角三角形的三条高在三角形内部，直角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高与直角边重合，钝角三角形的一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部.方法归纳：解答本题的关键是熟练掌握三角形高、角平分线和中线的画法.1.(2013·温州)下列各组数可能是一个三角形的边长的是( )A.1,2,4B.4,5,9C.4,6,8D.5,5,112.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是( )A.2B.3C.4D.53.三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等的两部分的是( )A.中线B.角平分线C.高D.中位线命题点2 三角形中的角例2 (2013·海南改编)如图，AB∥CD，AE＝AF，CE交AB于点F，∠C＝110°，求∠A的度数.【思路点拨】根据“两直线平行，同位角相等”求出∠EFB的度数，进而求出∠AFE，根据“等边对等角”求出∠E的度数，根据三角形内角和定理求出∠A的度数.【解答】方法归纳：当问题中含有平行线时，可利用平行线的性质将其转化为其他角；当该角是一个三角形的外角或内角时，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行计算.1.(2013·龙岩)如图，AB∥CD，BC与AD相交于点M，N是射线CD上的一点.若∠B＝65°，∠MDN＝135°，则∠AMB＝ .2.(2014·邵阳)如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°,AD平分∠BAC，交BC于D，DE ∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是( )A.45°B.54°C.40°D.50°3.(2014·威海)如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BC与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是( ) A.∠BAC＝70° B.∠DOC＝90° C.∠BDC＝35° D.∠DAC＝55°命题点3 三角形的中位线例3 (2014·湘潭)如图，AB是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C，连接AC、BC，再取它们的中点D、E，测得DE=15米，则AB=( )A.7.5米B.15米C.22.5米D.30米【思路点拨】因为DE是△ABC的中位线，利用中位线定义求AB的长.方法归纳：解答本题的关键是要依据题目条件，活用中位线定理的结论.1.(2014·泸州)如图，等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则∠DEC的度数为( )A.30°B.60°C.120°D.150°2.如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3.E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD 的中点，则四边形EFGH的周长是( )A.7B.9C.10D.113.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若△ABC的周长为12 cm，则△DEF的周长是 cm.命题点4 全等三角形的性质与判定例4 (2014·福州)如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.【思路点拨】∠A与∠D分别在△ABF和△DEC中，直接证明△ABF和△DCE全等即可.【解答】方法归纳：证明两条边或两个角相等时，若两条边或两个角分别在两个三角形当中，通常证明这两条边或两个角所在的三角形全等.1.(2014·南充)如图，AD、BC相交于O，OA=OC,∠OBD=∠ODB.求证：AB=CD.2.(2014·宜宾)如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC.求证：AD=BC.3.(2014·泸州)如图正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G，求证：AE=BF.1.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是( )2.(2013·襄阳)如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于( )A.60°B.70°C.80°D.90°3.(2014·枣庄)如图，AB∥CD，AE交CD于C，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D的度数为( )A.17°B.34°C.56°D.124°4.(2013·河池)一个三角形的周长是36 cm，则以这个三角形各边中点为顶点的三角形的周长是( )A.6 cmB.12 cmC.18 cmD.36 cm5.(2014·益阳)如图，平行四边形ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能是( )A.AE=CFB.BE=FDC.BF=DED.∠1=∠26.(2014·广州)△ABC中，已知∠A=60°,∠B=80°,则∠C的外角的度数 .7.(2014·长沙)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，则DF= .8.(2014·温州)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= 度.9.(2013·娄底)如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 .(添加一个条件即可)10.(2014·连云港)如图，AB∥CD，∠1=62°，FG平分∠EFD，则∠2= .11.(2013·威海)将一副直角三角板如图摆放,点C在EF上,AC经过点D,已知∠A=∠EDF=90°,AB=AC,∠E=30°,∠BCE=40°,则∠CDF= .12.(2014·威海)如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 .13.(2014·十堰)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE.求证：∠B=∠C.14.(2014·武汉)如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.求证：DC∥AB.15.(2014·宜昌)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB.(1)求∠CAD的度数；(2)延长AC至E，使CE=AC,求证:DA=DE.16.(2014·杭州)在△ABC中，AB=AC，点E,F分别在AB,AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P，求证：PB=PC，并请直接写出图中其他相等的线段.17.(2014·泰安)如图，∠ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=13CD,过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F.若AB=6，则BF的长为( )A.6B.7C.8D.1018.(2013·达州改编)如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2 014BC和∠A2 014CD的平分线交于点A2 015，则∠A2 015= 度.19.(2014·苏州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D，F分别在AB，AC上，CF=CB.连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE;(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数.20.(2013·佛山)课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实.(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；(2)证明推论AAS.要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据.21.(2014·内江)如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM 交BN于点P.(1)求证：△ABM≌△BCN；(2)求∠APN的度数.参考答案考点解读①首尾顺次 ②锐 ③直 ④钝 ⑤等边 ⑥锐角 ⑦直角顶点 ⑧一点 ⑨相等⑩一点 ⑪内心 ⑫相等 ⑬大于 ⑭小于 ⑮中点 ⑯平行 ○17一半 ○18180° ○19互余 ○20和 ○21相等 ○22相等 各个击破例1 C题组训练 1.C 2.C 3.A例2 ∵AB ∥CD ，∴∠EFB ＝∠C ＝110°，∴∠AFE ＝180°-110°＝70°.又∵AE ＝AF ，∴∠E ＝∠AFE ＝70°，∴∠A ＝180°-∠E-∠AFE ＝180°-2×70°＝40°.题组训练 1.70° 2.C 3.B例3 D题组训练 1.C 2.D 3.6例4 证明：∵BE=CF ，∴BE+EF=CF+EF ，即BF=CE.在△ABF 和△DCE 中，,,AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DCE ，∴∠A=∠D.题组训练 1.证明：∵∠OBD=∠ODB ，∴OB=OD.在△AOB 和△COD 中，,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOB ≌△COD(SAS)，∴AB=CD.2.证明：∵AE=CF ，∴AF=CE.∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C.在△AFD 和△CEB 中，A CB D AF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△AFD ≌△CEB(AAS),∴AD=BC.3.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°.又∵AE ⊥BF ，垂足为G ，∴∠CBF+∠AEB=90°,∴∠BAE=∠CBF.在△ABE 与△BCF 中，,,,BAE CBF AB BC ABE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△BCF(ASA)，∴AE=BF.整合集训1.C2.C3.C4.C5.A6.140°7.68.809.∠C=∠B 或∠AEB=∠ADC 或∠CEB=∠BDC 或AE=AD 或CE=BE10.31° 11.25° 12.1813.证明：在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ABE ≌△ACD(SAS)，∴∠B=∠C.14.证明：∵在△ODC 和△OBA 中，∵,,,OD OB DOC BOA OC OA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ODC ≌△OBA(SAS)，∴∠C=∠A(或者∠D=∠B)(全等三角形对应角相等)，∴DC ∥AB(内错角相等，两直线平行).15.(1)∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠B=90°.又∵∠B=30°，∴∠CAB=60°.∵AD 平分∠CAB,∴∠CAD=12∠CAB,∴∠CAD=30°. (2)证明：∵∠ACB=90°,∴DC ⊥AE.又∵CE=AC ，∴DC 垂直平分AE.∴DA=DE.16.证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.又∵AE ＝AF ，∠A ＝∠A ，∴△ABF ≌△ACE ，∴∠ABF ＝∠ACE ，∴∠PBC ＝∠PCB ，∴PB ＝PC.相等的线段还有BF ＝CE ，PF ＝PE ，BE ＝CF.17.C 18. 2 0152m19.(1)证明：∵CD 绕点C 顺时针方向旋转90°得CE,∴CD=CE,∠DCE=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCD=90°-∠ACD=∠FCE.在△BCD 和△FCE 中，,,,CB CF BCD FCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BCD ≌△FCE.(2)由△BCD ≌△FCE 得∠BDC=∠E.∵EF ∥CD,∴∠E=180°-∠DCE=90°,∴∠BDC=90°.20.(1)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(2)已知：在△ABC 与△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF.求证：△ABC ≌△DEF.证明：在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-∠A-∠B(三角形的内角和等于180°).同理：∠F=180°-∠D-∠E.又∵∠A=∠D ，∠B=∠E ，∴∠C=∠F(等式的性质).在△ABC 与△DEF 中，B E BC EF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，，，∴△ABC ≌△DEF(ASA).21.(1)证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠BCN.在△ABM 和△BCN 中，,,,AB BC ABM BCN BM CN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABM ≌△BCN(SAS).(2)∵△ABM ≌△BCN ，∴∠MBP ＝∠BAP.∵∠MBP ＋∠BMP ＋∠BPM ＝180°，∠BAP ＋∠BMA ＋∠MBA ＝180°，∴∠BPM ＝∠MBA.∵∠BPM ＝∠APN ，∴∠APN ＝∠MBA ＝31805⨯︒＝108°.。
全等三角形判定ppt课件
若两个三角形全等，则它们的周长也 相等。
对应角相等
在全等三角形中，任意两个对应 的角都相等。
若两个三角形全等，则它们的内 角和也相等，且均为180度。
可以通过测量两个三角形的三个 内角来判断它们是否全等。
面积相等
若两个三角形全等，则它们的面积也相等。 可以通过计算两个三角形的面积来判断它们是否全等。
1 2
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
图形语言
若a=a'，∠B=∠B'，b=b'，则⊿ABC≌⊿A'B'C'。
3
符号语言
∵a=a'，∠B=∠B'，b=b'，∴⊿ABC≌⊿A'B'C'（ SAS）。
角边角判定法（ASA）
01
02
03
定义
两角和它们的夹边分别相 等的两个三角形全等。
图形语言
实例1
证明两个三角形全等并求出未知 边长
实例2
利用全等三角形判定方法证明两个 四边形面积相等
实例3
利用全等三角形判定方法解决一个 实际问题，如测量一个不可直接测 量的距离
06
总结与展望
判定全等三角形的方法总结
三边分别相等的两个三角形全等。这是最基本的判定 方法，通过比较三角形的三边长度来确定两个三角形
证明过程
可以通过AAS（角角边）全等条件进行证明，即 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分 别相等，则这两个三角形全等。这也是一种常用 的全等三角形判定方法。
实际应用举例
在实际应用中，角角边判定法常用于解决与角度 和边长有关的问题。例如，在建筑设计中，如果 需要确保两个建筑结构的角度和边长完全相等， 就可以利用角角边判定法来进行验证。
三角形全等的判定ppt课件
知4－讲
1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全 等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
感悟新知
2. 书写格式：如图12 . 2-8， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∠ B= ∠ B′， BC=B′C′， ∠ C= ∠ C′， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA).
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定
感悟新知
知识点 1 基本事实“边边边”或“SSS”
知1－讲
1. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成 “边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后， 其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的 依据.
感悟新知
感悟新知
知5－练
例5 如图12.2-11，AB=AE，∠ 1= ∠ 2，∠ C= ∠ D． 求证：△ ABC ≌△ AED．
感悟新知
思路引导：
知5－练
感悟新知
知5－练
技巧点拨：判定两个三角形全等，可采用执果 索因的方法，即根据结论反推需要的条件. 如本 题还缺少∠ BAC= ∠ EAD，需利用已知条件∠ 1= ∠ 2 进行推导.
感悟新知
知2－练
③以点M′为圆心，以MN 长为半径作弧，在∠ BAC 内 部交②中所画的弧于点N′； ④过点N′作射线DN′交BC 于点E． 若∠ B=52°，∠C=83°，则∠ BDE= ___4_5_°__.
感悟新知
知识点 3 基本事实“边角边”或“SAS”
知3－讲
1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全 等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
感悟新知
解：∵∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＋∠CAD＝∠EAC＋∠CAD， 即∠BAC＝∠EAD.
2021-2022云南省中考数学复习课件：第四章第四节 全等三角形
北师：七下第四章P92～P104、P108～P109.
第四节 全等三角形 考点 1 全等三角形及其性质
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概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
性质
(1)全等三角形的对应边__相__等____，对应角__相__等____； (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，周长 _相__等___，面积_相__等___
第四节 全等三角形
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（3）如图③，添加一个条件（不得添加辅助线），证明△ABF≌△ACE,并写出 证明过程;
解：若添加条件：∠AFB＝∠AEC，
证明：在△ABF和△ACE中，
∠BAF＝∠CAE ， ∠AFB＝∠AEC AB＝AC ∴△ABF≌△ACE(AAS)．
例题图③
【判定依据】 _两__角__及__其__中__一__个__角__的__对__边__分__别__相__等__的__两__个__三__角__形__全__等__；_________ .
数学
目
录
1 点对点“过”考点
2 典例“串”考点
3 云南6年真题“明”考法
思维导图
返回目录
概念 性质
全等三角形 及其性质
全等 三角形
SSS（边边边）
SAS(边角边)
三角形全等 的判定
ASA(角边角) AAS(角角边)
HL
第四节 全等三角形
返回思 维导图
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【课标要求】
点对点“过”考点
◎理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；
所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合 的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意其隐含条件， 即公共边或公共角相等
《全等三角形》ppt课件
《全等三角形》ppt课件•全等三角形基本概念与性质•判定全等三角形方法探讨•辅助线在证明全等过程中作用•相似三角形与全等三角形关系探讨目录•生活中全等三角形应用举例•总结回顾与拓展延伸全等三角形基本概念与性质全等三角形定义及判定方法定义SSS（边边边）SAS（边角边）HL（斜边、直角边）ASA（角边角）AAS（角角边）对应边相等对应角相等对应关系确定030201对应边、对应角关系全等三角形性质总结判定全等三角形方法探讨SSS判定法定义应用举例注意事项应用举例SAS判定法定义在证明两个三角形全等时，若已知两边及夹角相等，则可直接应用SAS判定法。
注意事项ASA判定法定义AAS判定法定义比较分析案例分析01020304ASA和AAS判定法比较与案例分析辅助线在证明全等过程中作用构造辅助线策略与技巧分享观察图形特征在证明全等三角形时，首先要仔细观察图形，分析已知条件和目标结论，从而确定需要构造的辅助线类型。
利用基本图形熟悉并掌握一些基本图形（如角平分线、中线、高线等）的性质，可以帮助我们更快地构造出合适的辅助线。
构造平行线或垂直线根据题目条件，有时需要构造平行线或垂直线来利用相关性质进行证明。
典型辅助线构造方法剖析角平分线法01中线法02高线法03复杂图形中辅助线应用实例在复杂图形中，有时需要综合运用多种辅助线构造方法才能解决问题。
例如，可以先构造角平分线，再利用中线或高线的性质进行证明。
在一些特殊情况下，可能需要构造多条辅助线才能找到解决问题的突破口。
这时需要仔细分析图形特点，灵活运用所学知识进行构造和证明。
通过学习和掌握典型辅助线的构造方法和应用实例，可以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
相似三角形与全等三角形关系探讨性质面积比等于相似比的平方。
定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
周长比等于相似比；010203040506相似三角形定义及性质回顾相似三角形判定方法简介预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形与全等三角形联系和区别联系区别全等三角形的性质在相似三角形中同全等三角形的性质更为严格和具体，而相似三角形的性质相对较为宽松和生活中全等三角形应用举例建筑设计中全等三角形应用稳定性美学效果美术创作中全等三角形构图技巧平衡感动态感其他领域（如工程、测量）中全等三角形应用工程测量机械设计地图制作总结回顾与拓展延伸全等三角形的判定方法熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL等全等三角形的判定方法。
(云南)数学中考总复习：第四单元 图形的初步认识与三角形第16课时 全等三角形(共29张PPT)
考 向 探 究
探究一
例1
全等三角形的判定
[2014·衡阳] 如图16－3，在△ABC中，AB＝AC，BD
＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：△BED≌△CFD.
图16－3
考情分析 考点梳理 考向探究 当堂检测
第16课时 全等三角形
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
“SSA”不能证明三角形全等，即有两边和其中一边的
对角对应相等的两个三角形不一定全等．
考情分析
考点梳理
考向探究
当堂检测
第16课时 全等三角形
探究二 全等三角形开放性问题
例2 [2013·昭通] 如图16－4，AF＝DC，BC∥EF，只需补充
答案不唯一，如EF＝BC或∠E＝∠B等 一个条件______________________________________ ，就得
85 5 cm，则∠OAD＝________ °，AD＝________ cm.
图16－1
考情分析
考点梳理
考向探究
当堂检测
第16课时 全等三角形
【归纳总结】 (1)能够完全重合的两个图形就是________ 全等图形，能够完全 重合的两个三角形就是________ ． 全等三角形 相等 相等 ． (2)全等三角形对应边________ ，对应角________ (3)全等三角形的对应线段(对应边上的中线，对应边上 相等 ，周长相等，面积相等． 的高，对应角的平分线)________
考情分析
考点梳理
考向探究
当堂检测
第16课时 全等三角形
补充条件说明全等问题，首先要分析清楚所给的条件，
再结合全等的判定定理补充条件．已知一角一边(或平行线)
全等三角形的判定PPT课件共34张
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
云南省2022年中考数学总复习课件：第16讲三角形
【变式 1】(2021·宜宾中考)若长度分别是 a，3，5 的三条线段能组成一个三角形，则
a 的值可以是( C )
A．1 B．2 C．4 D．8 【解析】由三角形三边关系定理得：5－3＜a＜5＋3， 即 2＜a＜8， 即符合的只有 4.
【变式 2】已知 a，b，c 是△ ABC 的三边长，a，b 满足|a－7|＋(b－1)2＝0，c 为奇数，
(打“√”或“×”) 1．如图，在△ ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A
等于 80°.( √ )
2．如图，在△ ABC 中，∠A＝90°，∠ABC 的平分线与∠ACB 的平分线交于点 O，
则∠BOC＝135°. ( √ )
云南5年真题
高频考点·疑难突破
【变式 2】(2021·广安中考)一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形的边
数是__8__.
【解析】设多边形的边数是 n，根据题意得， (n－2)·180°＝3×360°， 解得 n＝8，∴这个多边形为八边形．
第十六讲 三角形
知识清单·主干回顾
一、三角形中的三条重要线段 1．中线：三角形的三条中线的交点在三角形的_内__部，这个交点叫做三角形的 _重__心__． 2．角平分线：三角形的三条角平分线的交点在三角形的_内__部． 3．高：_锐__角__三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的 交点是_直__角__顶__点__；_钝__角__三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部． 二、三角形的三边关系 三角形的两边之和_大__于__第三边，三角形的两边之差_小__于__第三边．