方差分析方差分析的意义当试验的处理数目
方差分析
第七章方差分析●了解方差分析的概念和作用；●掌握方差分析的基本原理和步骤；●掌握单向分组资料的方差分析；●掌握两向分组和系统分组资料的方差分析。
能力目标：●学会完全随机试验资料进行方差分析；●学会单向分组资料进行方差分析；●学会两向分组和系统分组资料进行方差分析。
对一个或两个样本进行平均数的假设测验，可以采用u测验或t测验来测定它们之间的差异显著性。
而当试验的样本数k≥3时，上述方法已不宜应用。
其原因是当k≥3时，就要进行k(k-1)/2次测验比较，不仅工作量大，而且精确度降低。
因此，对多个样本平均数的假设测验，需要采用一种更加适宜的统计方法，即方差分析法。
方差分析法是科学研究工作的一个十分重要的工具。
第一节方差分析基本原理方差分析（analysis of variance，ANOV A）就是将试验数据的总变异分解为来源于不同因素的相应变异，并作出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度。
即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因方差比较的标准，以推断其他变因所引起变异量是否真实的一种统计分析方法。
一、自由度与平方和分解方差是平方和除以自由度的商。
要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先将总平方和与总自由度分解为各个变异来源的相应部分。
因此，平方和与自由度的分解是方差分析的第一步骤。
下面以单因素完全随机试验设计的资料为例说起。
假设有k 个处理，每个处理有n 个观察值，则该试验资料共有nk 个观察值，其观察值的组成如表7-1。
表7-1中，i 代表资料中任一样本；j 代表样本中任一观测值；x ij 代表任一样本的任一观测值；T t 代表处理总和；t x 代表处理平均数；T 代表全部观测值总和；x 代表总平均数。
表7-1 每处理具n 个观测值的k 组数据的符号表处理观察值处理总和T t 处理平均t x 12 … j … n 1 x 11 x i 2 … x 1j … x 1n T t1 1t x 2 x 21 x i 2 … x 2j … x 2n T t2 2t x… … … … … … … … …i x i1 x i 2 … x ij … x in T ti ti x… … … … … … … … …kx k 1x k 2… x kj…x k nT tk tk xT =∑xx在表7-1中，总变异是nk 个观测值的变异，故其自由度v =nk -1，而其平方和SS T 则为： =T SS 221()nk ij x x x C -=-∑∑ (7-1)（7-1）式中的C 称为矫正数：22()x T C nknk==∑ (7-2) 产生总变异的原因可从两方面来分析：一是同一处理不同重复观测值的差异是由偶然因素影响造成的，即试验误差，又称组内变异；二是不同处理之间平均数的差异主要是由处理的不同效应所造成，称处理间变异，又称组间变异。
方差分析
二期矽肺 100.67 93.47 74.97 88.06 113.52 101.14 95.10 118.98
三期矽肺 97.58 83.58 103.81 107.10 108.42 82.58 89.01 77.11
方差分析的基本思想
总变异：从例中看出，32个观察值大小参差不 齐，这种个体值与总均数之间的差异称为总变 异。
多个样本均数间的多重比较
多个样本均数间的多重比较：也称为两两 比较，主要用于探索与证实多组均数中， 哪两个总体均数间有差别，哪两个均数间 没有差别。 如果多组均数的比较采用两样本均数比较 的t检验，会加大I型错误。
多个样本均数间的多重比较
LSD-t检验：最小显著差法
容易获得P<0.05，但是假阳性率较高；
完全随机设计资料的方差分析
方差分析结果表 变异来源 总 组间 组内 SS 86.740 45.091 41.649 ν 39 3 36 MS F P <0.05
15.030 12.990 1.157
3.确定P值和作出推断结论：以ν组间=3，ν组内=36， 查F界值表得P<0.05， 按α=0.05水准拒绝H0 ，接受 H1，故可以认为给予不同剂量的三菱莪术液，小鼠瘤 重间差别有统计学意义。
方差分析
主要内容
方差分析的基本思想 完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设 计、交叉设计和析因设计资料方差分析的 基本过程
多个样本均数的比较
两个样本均数的比较：
1次t-test，α=0.05；
三个样本均数的比较：
3次t-test，α=1-（1-0.05）3=0.14；
四个样本均数的比较：
6次t-test，α=1-（1-0.05）6=0.26；
试验的方差分析
结果解释和结论
统计推断
根据方差分析的结果，对自变量对因变量的影响进行统计推断，如 比较不同组间的均值差异、判断组间差异是否显著等。
结果解释
结合实际情境对分析结果进行解释，阐明自变量对因变量的作用机 制。
结论总结
根据分析结果得出结论，提出相应的建议或展望，为实际应用提供 指导。
05 方差分析的局限性
背景
在科学实验、社会科学调查、工业生产等领域，经常需要对 多组数据进行比较，以了解不同条件或处理对结果的影响。 方差分析为此类问题提供了一种有效的解决方案。
方差分析的定义和重要性
定义
方差分析（ANOVA，Analysis of Variance）是一种统计技术，用于比较两个或更多独立样本的均值是否显著不 同。它通过分析数据的方差来检验各组数据的分散程度，判断数据是否受到单一或多个因素的影响。
适合社会科学研究
SPSS在社会科学领域应用广泛，提供了许多针对社会科学研究的统计 方法。
R语言
开放性
R语言是一个开源软件， 用户可以自由获取和使 用源代码，同时也可以 自己编写函数进行数据 分析。
灵活性高
R语言提供了丰富的数 据结构和函数库，可以 灵活地进行各种数据分 析操作。
社区支持强大
R语言拥有庞大的用户 社区，遇到问题可以快 速得到解答和帮助。
样本收集
按照实验设计方案采集样本，确保样本的代表性和随 机性。
数据预处理和模型拟合
数据整理
对收集到的数据进行整理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值 检测与处理等。
数据转换
根据分析需求对数据进行适当的转换，如标准化、对数转换等。
模型拟合
选择合适的方差分析模型，利用样本数据拟合模型，为后续分析提 供依据。
方差分析
第7章方差分析摘要：多组资料均数比较一般采用方差分析的方法，SAS中方差分析的功能非常全面，能实现方差分析功能的过程有ANOV A过程和GLM过程。
对于两个平均数的假设测验，一般采用t测验来完成，对于多个平均数的假设测验，若采用t测验两两进行，不仅非常麻烦，而且容易犯第一类错误。
方差或称均方，即标准差的平方，它是一个表示变异程度的量。
在一项试验或调查中往往存在着许多种影响生物性状变异的因素，这些因素有较重要的，也有较次要的。
方差分析就是将总变异分裂为各个因素的相应变异，作出其数量估计，从而发现各个因素在变异中所占的重要程度；而且除了可控制因素所引起的变异后，其剩余变异又可提供试验误差的准确而无偏的估计，作为统计假设测验的依据。
当试验结果受到多个因素的影响，而且也受到每个因素的各水平的影响时，为从数量上反映各因素以及各因素诸水平对试验结果的影响，可使用方差分析的方法。
SAS系统用于进行方差分析的过程主要有ANOV A过程和GLM过程，对于均衡数据的分析一般采用ANOV A过程，对于非均衡数据的分析一般采用GLM过程。
方差分析和协方差分析在SAS系统中由SAS/STAT模块来完成，其中我们常用的有ANOV A过程和GLM过程。
前者运算速度较快，但功能较为有限；后者运算速度较慢，但功能强大，我们做协方差分析时就要用到GLM过程。
本章将首先介绍方差分析所用数据集的建立技巧，然后重点介绍这两个程序步。
§7.1 方差分析概述一、方差分析的应用场合、基本思想和前提条件1．应用场合当影响因素是定性变量（一般称为分组变量或原因变量），观测结果是定量变量（一般称为结果变量或反应变量），常用的数据处理方法是对均数或均值向量进行假设检验。
若只有一个原因变量，而且其水平数k≤2，一元时常用U检验、t检验、秩和检验，多元时用多元检验（T2检验或wilks’^检验）；若原因变量的水平数k≥3或原因变量的个数≥2，一元时常用下检验，也叫一元方差分析（简写成ANOV A）或非参数检验，多元时用多元方差分析（简写成MANOV A，其中最常用的是Wilks’^检验）。
9方差分析
随机区组设计的多个样本均数的比较可用多
个样本均数比较的两因素方差分析。两因素是指 主要的研究因素和配伍组（区组）因素，研究因 素有k个水平，共有n个区组。
表9－7
A.B.C三种方案处理后大白兔血中白蛋白减少量(g/L))
区组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A方案 2.21 2.32 3.15 1.86 2.56 1.98 2.37 2.88 3.05 3.42 10 2.5800 0.2743 B方案 2.91 2.64 3.67 3.29 2.45 2.74 3.15 3.44 2.61 2.86 10 2.9760 0.1581 C方案 4.25 4.56 4.33 3.89 3.78 4.62 4.71 3.56 3.77 4.23 10 4.1700 0.1605
X ij
ni Xi s i2
19 5.8000 18.1867
表9－4 方差分析试验数据示意图
用Xij表示第i个处理组的第j个观察值； 方差分析的目的就是通过分析各个处理组均数之间的差 i=1、2…k; j=1,2,…ni ni第i 个处理组的例数总例数 别，推断它所代表的k个总体均数间是否存在差别。 N =∑ni。第i个处理组的均数用 X i 表示，全部实验结果的 总均数用 X 表示。
9.23 3.93
9.11 10.90 6.55 4.83
9.24 4.86
9.55 10.28 3.88 3.89
9.12 5.38
8.75 4.08
如要进行两两比较的t检验，即10个样本每两个进行，
其比较的次数为： m k k k 1 1010 1 45 2
2 2
表9－3 .45次比较中5次有统计学意义的结果 实验结果表示：若＝0.05，则在45次比较中，发现有5次 有统计学意义，结果见表9－3。从理论上讲10个样本均来自同 样本编号k 1与3 1与6 1与7 1与9 1与10 一正态总体，应当无差别，但我们用两样本比较的t检验时，规 t 2.601 2.329 2.372 2.727 2.918 定＝0.05，其实际犯第一类错误的概率为5/45＝0.11,显然比 p 0.013 0.025 0.023 0.029 0.006 所要控制的0.05要大。 需采用本章介绍的方差分析(ANOVA)
生物统计学-方差分析
： ：
： ：
： ：
： ：
： ：
x1j x1n
x2j
x3j
xij
验方法，是将总变异按照来源分为处理效应和试验
误差，并做出其数量估计。
发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一
种统计分析方法。
二、方差分析的基本原理
总变异分解为组间变异和组内变异。 组内变异是个体差异所致，是抽样误差。 组间变异可能由两种原因所致， 一是抽样误差； 二是处理不同。 在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故 导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因 是否存在，需通过假设检验作出推断
上述模型中，包括两类不同的处理效应。 第一类处理效应称为固定效应(fixed effect)， 它是由固定因素(fixed factor)所引起的效应。 若因素的a个水平是经过特意选择的，则该 因素称为固定因素。例如，几个不同的实验 温度，几个不同的化学药物或一种药物的几
种不同浓度，几个作物品种以及几个不同的
第二类处理效应称为随机效应（random effect），它是由随机因素（random factor）所引起的效应。若因素的a 个水平， 是从该因素全部水平的总体中随机抽出的样 本，则该因素称为随机因素。从随机因素的 a 个水平所得到的结论，可以推广到这个因 素的所有水平上。处理随机因素所用的模型 称为随机效应模型（random effect model）。例2.2 的动物窝别，是从动物所有可 能的窝别中随机选出来的，实验的目的是考 查在窝别之间，出生重是否存在差异，因而 “窝别”是随机因素。
方差分析
第三节 随机区组设计资料的方差分析
一、随机区组设计
1。随机区组设计
随机区组设计又称配伍组设计，是配对设计的扩展。 首先从总体中随机抽样，然后将样本中的所有受试对 象，按条件相同或相近配成若干组（随机区组或配伍 组），再将每组中的几个受试对象随机分配到不同的 处理组中去，这种设计的方法称随机区组设计。
变异程度。计算公式如下：
SS总
2
Xij X
X
2 ij
C
其中：
C X 2 N
用离均差平方和表示总变异大小受样本容量
的影响，样本容量越大，SS越大，所以必须扣 除n的影响，严格的讲是扣除ν的影响。
总变异的自由度：ν 总=N-1
SS总总 称为总变异的均方，用MS总表示。
2。完全随机设计资料的分析方法
完全随机设计资料在进行统计分析时，需根 据数据的分布特征选择方法，对于正态分布且方 差齐的资料，常采用完全随机设计的单因素方差
分析（one-way ANOVA）或两样本t检验（g=2）；
对于非正态或方差不齐的资料，可进行数据变换 或采用秩和检验。
二、完全随机设计方差分析
SS区组 区组
MS区组 MS误差
误差 SS总 SS处理 SS区组 (g 1)(n 1) SS误差 误差
其中：C ( X )2 N
例4-4 某研究者采用随机区组设计进行实验，比较三 种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果，先将15只染有肉瘤 小白鼠按体重大小配成5个区组，每个区组内3只小白鼠 随机接受三种抗癌药物（具体分配结果见例4-3），以 肉瘤的重量为指标，试验结果见表4-9。问三种不同的 药物的抑瘤效果有无差别？
第六章方差分析
2se（ 2 LSD检验）
x
n0
x1 x2
n0
第三节双因素方差分析
1、试验指标：衡量试验结果的标准 2、因素(factor)：也叫因子，是指对试验指标有影响，在研究中加以（控制）考虑的试验
4
条件。 3、可控因子：在试验中可以人为地加以调控的因子浓度、温度等 4、非控因子：不能人为调控的因素（气象、环境等） 5、固定因素：指因素的水平是经过特意选择的 6、随机因素：指因素的水平是从该因素水平总体中随机抽出的样本 7、水平(level)：每个因素的不同状态（从质或量方面分成不同的等级） （因素是一个抽象的概念，水平则是一个较为具体的概念） 8、处理：指对试验对象施以不同的措施（对单因素试验而言，水平和处理是一致的，一个 水平就是一个处理；对多因素试验而言，处理就是指水平与水平的组合） 9、固定效应(fixed effect)：由固定因素所引起的效应。 10、随机效应(random effect)：由随机因素引起的效应。 11、二因素方差分析：是指对试验指标同时受到两个试验因素作用的试验资料的方差分析。 12、固定模型:二因素都是固定因素 13、随机模型:二因素均为随机因素 14、混合模型:一个因素是固定因素，一个因素是随机因素 15、主效应（main effect）：各试验因素的相对独立作用 16、互作（interaction）：某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同。 17、因素间的交互作用显著与否关系到主效应的利用价值 如果交互作用不显著，则各因素的效应可以累加，各因素的最优水平组合起来，即为最优的 处理组合。 如果交互作用显著，则各因素的效应就不能累加，最优处理组合的选定应根据各处理组合的 直接表现选定。有时交互作用相当大，甚至可以忽略主效应。 二因素间是否存在交互作用有专门的统计判断方法，有时也可根据专业知识判断。 （一）无重复观测值的二因素方差分析 依据经验或专业知识，判断二因素无交互作用时，每个处理可只设一个观测值，即假定 A 因素有 a 各水平，B 因素有 b 个水平，每个处理组合只有一个观测值。
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观
处理间变异
察
值
总
处理内变异
变
（误差）
异
SST = SSt+ SSe dfT= dft+ dfe
n
st2
se2
(x x)2 i
SSt
k 1 (x xi )2
k(n 1)
dft
SSe dfe
二、F测验
F=
st2
se2
F测验分析的目的是判断各个处理平均数之
间是否存在显著差异，即可测验:
Ho:1 2 H A:k
不1、相2等、 k
三、多重比较
如果F测验的结果为各处理间的差异不 显著，则分析结束，否则将进行多重比 较。多重比较分析的目的是进一步判断 两两处理平均数之间的差异显著性。
（一）保护性最小显著差数法（protected least significant difference），即 PLSD法。
（三）、多重比较
＝
SSd SSe
SSd SSe
l(m 1) lm(n 1) l(mn 1)
三、随机区组设计资料的方差分析
（一）单因素资料的方差分析
此资料为两向分组资料（交叉分组资料），其行为 处理，列为区组，为 k 行 r 列的两向表，即可看作是试 验因素具有 k 个水平和区组因素具有 r 个水平的两因素 试验。
方法仅有以下三点区别，其余步骤完全相同。
1. 矫正数 C =
T2
ni
2. 处理平方和
SSt
k 1
(Ti2 ) C ni
3.以n0代替n进行平均数差数标准误和平均数标
准误的计算： n0 = 1 ( k 1
ni
ni2 ) ni
第三节 方差分析的数学模型
一、线性可加模型
线性可加模型是指每一个观察值可以划分成若干 个线性组成部分。它是分解平方和与自由度的理论 依据,不同类型资料的线性可加模型是各不相同的。 前述资料观察值的数学模型为：
x=
μ
ij
+
τi
+
εij
（二）期望均方（EMS）
Se2的EMS是σe2；
St2的EMS是
2 e
n
2
∴ F=
st2
2 e
n
2
se2
2 e
F测验有效性的保证条件之一是分子均方 s12
的EMS仅比分母均方s
2 2
的EMS多一个分量（线
性组成部分）。
（三）固定模型和随机模型
固定模型是指试验的各处理都抽自其特定的处理
PLSD0.01 x1 x2 PLSD0.05 差异为显著；
x1 x 2 PLSD0.01
差异为极显著；
x1 x 2 PLSD0.05
差异为不显著。
（二）最小显著极差法(least significant ranges) ，
即LSR法。
主要介绍SSR法。SSR法即邓肯氏新复极差法。
步骤：1.根据平均数秩次距k和dfe查出SSRα值。 秩次距是指相比较的两个平均数之间（含这两个平
方差分析的基本特点是：
将全部变量看成一个整体，进行观察值
的变异原因分析，求出各变异原因方差的
估计值 →
进行F测验
，以判断各处理平均数间的差异状况
→ 在此基础上，进行平均数的多重比较， 以明确两两处理之间的差异状况。
表 1 kn个观察值的单向分组资料的模式
处理
观察值 x
总和Ti 平均 xi
1
x11 x12 x13 … … x1n
表 2 各秩次距下的Rα
K
2 3 4 ……
SSR0.05
SSR0.01 R0.05
R0.01
多重比较结果的字母表达：
（1）以小写英文字母表示α=0.05水平下的比 较结果；以大写英文字母表示α=0.01水平下 的比较结果。
（2）以相同字母表示差异不显著的比较结果， 不同字母表示差异显著。
若各处理的重复次数不相等，其分析过程 与上述
N
(0,
2
)
的一组随机样本，因而处理效应
是随机的，随
i
试验的不同而不同。若重复做试验，必然是从总
体 N (中0,随2 )机抽取一组新的样本。其分析的目的
不在于研究处理效应，而是在于研究 的变异 i
度，故推断也不是关于某些供试处理，而是关于
抽出这些处理的整个总体。所以方差分析要测验
的假设是
对H
0：
Байду номын сангаас2
均数）包含的平均数个数。
2.计算平均数标准误：
s x
=
se2 n
3.计算各秩次距下的显著尺度LSRα或Rα值：
LSRα或Rα =
SSR
S x
4.将处理平均数由大到小排序，并依次求
出各处理平均数之间的差值，将各均数差值
与相应秩次距下的显著尺度进行比较，作出
差异显著性判断。同样有：
（1）相应秩次距的 R0.01 > 平均数差值 ≥ 相应 秩次距的R0.05，则两处理平均数间差异为显著； （2）平均数差值 ≥相应秩次距的 R0.01 ，则两处 理平均数间差异为极显著； （3）相应秩次距的R0.05 > 平均数差值 ，则两处 理平均数间差异为不显著。
0
H
A：
2
0
第四节 常用试验设计资料的方差分析
一、完全随机设计资料的方差分析（见前述） 二、巢式设计资料的方差分析
处理间变异（组间变异）
观
察
值
亚组间变异
总
变
异
误差
（一）平方和与自由度分解
按照上述变异原因分解进行各项平方和与自由度 的计算。
（二）F测验
巢式设计的资料属于系统分组资料，应注意在进 行处理间（即组间）差异的F测验时，分母应为亚组 间方差；而进行亚组间差异的F测验时，分母应为误 差方差。当亚组间的差异未达到显著时，则应将亚组 间变异与误差进行合并，求出新的误差量，再对组间 差异进行F测验
T1
x1
2
x21 x22 x 23 … … x2n
T2
x2
┋
┋ x
┋┋
┋
┋
┋┋
k
xk1 xk2 xk3 … … xkn
Tk
xk
Σxij
T
x
注：i = 1，2，3， … … k ; j = 1，2，3， … … n
第二节 方差分析的基本步骤 重点呦！
一、平方和与自由度的分解 分析目的：获得各项变异来源方差的估计值。
步骤：1. 根据 dfe 查出 tα 。 2. 计算平均数差数标准误：
s = x1x2
2S
2 e
n
3. 计算显著尺度PLSDα值：
PLSDα = tα ×
s x1 x2
4. 将处理平均数由大到小排序，并依次求出各处 理平均数之间的差值，将各均数差值均与PLSDα 相比较，作出平均数间差异显著性判断：
总体，这些总体遵循N(μi, σe2)，因而处理效应τi =(μi - μ)是固定的。我们分析的目的就在于研究τi ， 如果重复做试验，处理不变，而所要测验的假设则
是:H0:τi =0或 H0:μi=μ对HA:
不等。1，故 2我，们的k
推断也仅限于供试处理范围之内。
随机模型是试验的各处理皆是随机抽自