长春十一中2018届高三数学理期中考试试题及答案

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2018届吉林省长春十一中高三期中考试理科数学试题及答案精品

长春市十一高中2017-2018学年度高三上学期期中考试数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）１.若集合{}02>-=x x M ，{}1)1(log 2<-=x x N ，则=N M （） A ．{|23}x x <D ．{|12}x x <<2.复数123-i i （i 为虚数单位）的虚部是（）A ．i 51 B ．51 C ． i 51- D ．51-3.已知10log log 212121<<<<c a b ，则（）A ．222b a c >>B ．222a b c >>C ．222c b a >>D ．222c a b >>4.已知512sin =α，则=-)4(cos 2πα（）[来源:学科网]A ．54 B ．53 C ．52 D ．51 5.函数)(x f y =在区间)2,2(-上的图象是连续不断的，且方程0)(=x f 在)2,2(-上仅有一个实根0=x ，则)1()1(f f -的值（）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．与0的大小关系无法确定6.设),(y x P 是函数x xy ln 2+=图象上的点，则y x +的最小值为（）A ．3B ．2C ．2ln 27- D ．2ln 3+7.在等比数列{}n a 中，7a 是98,a a 的等差中项，公比q 满足如下条件：OAB ∆（O 为原点）中，)1,1(=，),2(q =，A ∠为锐角，则公比q 等于（） A ．1B ．1-C ．2-D ．1或2-8.能够把椭圆C :18422=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数)(x f 称为椭圆C 的“亲和函数”，下列函数是椭圆C 的“亲和函数”的是（）A ．23)(x x x f +=B ．5()15xf x nx-=+ C ．x x x f cos sin )(+= D ．x x e e x f -+=)(9.若函数)0,0(1)(>>-=b a e bx f ax 的图象在0x =处的切线与圆122=+y x 相切，则b a +的最大值是（）A ．4B ．22C ．2D ．210.已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞是单调递增的，若dx x S ⎰=2121，dx xS ⎰=2121，dx e S x ⎰=213，则下列不等式中一定成立的是（）A ．123()()()f S f S f S <+x xB ．221>x xC ．1021<<x xD ．2121<+<x x12. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于B A ,两点，记直线BC AC ,的斜率分别为21,k k ，当||ln ||ln 22121k k k k ++最小时，双曲线离心率为（） A. 2 B ．3 C.12+ D.2二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f M 处的切线方程为221+=x y ，则='+)1()1(f f .14.设0>t ，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=t x x t x x f x ,log ,2)(21的值域为M ，若M ∉4，则t 的取值范围是 .15. 在等比数列{}n a 中，若,81510987=+++a a a a 8998-=⋅a a ，则=+++109871111a a a a .16.某学生对函数x x x f cos 2)(=的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数)(x f 在[]0,π-上单调递增，在[]π,0上单调递减； ②点)0,2(π是函数)(x f y =图象的一个对称中心；③函数)(x f y =图象关于直线π=x 对称；④存在常数0>M ，使x M x f ≤)(对一切实数x 均成立．其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号)三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分）17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足：cos (3)cos b C a c B =-.[来源:学科网ZXXK]（1）求B cos ；（2）若4BA BC =⋅，b =a ，c 的值.18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*N n ∈，都有n n n S a a 4)3)(1(=+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和. （1）求证数列{}n a 是等差数列；（2）若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫-142na 的前n 项和为n T 求n T 。

吉林省长春十一中高三数学上学期期中试题理(含解析)新人教A版

吉林省长春市十一中2015届高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，重点考查学生的运算能力，思维能力，运算能力，分析问题解决问题的能力、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：集合，函数方程、复数、、导数、圆锥曲线、立体几何、数列、、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、积分等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份很好的试卷. 【题文】一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）【题文】１.，则=N M （）A ．{|23}x x <D ．{|12}x x <<【知识点】集合及其运算A1【答案解析】A 集合M={x|x-2＞0}={x|x ＞2}，N={x|log2（x-1）＜1} ={x|0＜x-1＜2}={x|1＜x ＜3}，故 M∩N={x|2＜x ＜3}，故选A ．【思路点拨】解对数不等式求出N ，再由两个集合的交集的定义求出 M∩N．【题文】2.（i 为虚数单位）的虚部是（）A ．C ．D【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案解析】B【思路点拨】先化简成最简形式，然后确定虚部。

【题文】3.）A ．222bac>> B ．222abc>> C ．222cba>> D ．222cab>> 【知识点】指数与指数函数对数与对数函数B6 B7【答案解析】b>a>1,0<c<1,所以b>a>c,所以222bac>>，故选A.【思路点拨】先利用指数函数对数函数性质确定大小，再根据指数函数的单调性求出结果。

【题文】4.）A【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式C2【答案解析】B ∵sin2α∴cos2（ααα1+sin2α）故答案为B ．【思路点拨】根据cos2（ααα1+sin2α），计算求得结果．【题文】5.函数)(x f y =在区间)2,2(-上的图象是连续不断的，且方程0)(=x f 在)2,2(-上仅有一个实根0=x ，则)1()1(f f -的值（） A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．与0的大小关系无法确定【知识点】函数与方程B9【答案解析】D 由于函数y=f （x ）在区间（-2，2）上的图象是连续不断的，且方程f （x ）=0在（-2，2）上仅有一个实根x=0，可得图象：因此f （-1）f （1）的值与0的大小关系不正确．故选：D ．【思路点拨】根据函数y=f （x ）在区间（-2，2）上的图象是连续不断的，且方程f （x ）=0在（-2，2）上仅有一个实根x=0，画出图象即可判断出．【题文】6.设),(y x P 是函数图象上的点，则y x +的最小值为（）A ．3B ．2 C．2ln 3+【知识点】导数的应用B12【答案解析】A ∵P （x ，y ）是函数图象上的点，则（x ），（x ＞0）．f′（x ）令f′（x ）＞0，解得x ＞1，此时函数f （x ）单调递增；令f′（x ）＜0，解得0＜x ＜1，此时函数f （x ）单调递减．且f′（1）=0．∴当x=1时，函数f （x ）取得最小值，f （1）=3．故选：A ．【思路点拨】P （x ，y ）是函数图象上的点，则（x ），（x ＞0）．利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【题文】7.在等比数列{}n a 中，7a 是98,a a 的等差中项，公比q 满足如下条件：OAB ∆（O为原点）中，)1,1(=OA ，),2(q OB =，A ∠为锐角，则公比q 等于（） A ．1 B ．1- C ．2- D ．1或2- 【知识点】等差数列等比数列D2 D3【答案解析】C ∵等比数列{an}中，a7是a8，a9的等差中项， ∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=-2，∵△OAB （O 为原点）中，OA =（1，1），OB =（2，q ），∠A 为锐角，∴1×2+q＜0，∴q=-2，故选：C ．【思路点拨】利用等比数列{an}中，a7是a8，a9的等差中项，求出q=1或q=-2，根据△OAB （O 为原点）中，OA =（1，1），OB =（2，q ），∠A 为锐角，确定q 的值．【题文】8.的周长和面积同时分为相等的两部分的函数)(x f 称为椭圆C 的“亲和函数”，下列函数是椭圆C 的“亲和函数”的是（）A ．23)(x x x f +=B C ．x x x f cos sin )(+= D ．xx e e x f -+=)(【知识点】单元综合B14【答案解析】B ∵f （x ）=x3+x2不是奇函数，∴f （x ）=x3+x2的图象不关于原点对称， ∴f （x ）=x3+x2不是椭圆的“亲和函数”；∵f （x ）f （x ）∴f （x ）∵f （x ）=sinx+cosx 不是奇函数，∴f （x ）=sinx+cosx 的图象不关于原点对称， ∴f （x ）=sinx+cosx 不是椭圆的“亲和函数”；∵f （x ）=ex+e-x 不是奇函数，∴f （x ）=ex+e-x 的图象关于原点不对称， ∴f （x ）=ex+e-x 不是椭圆的“亲和函数”．故选：B ．【思路点拨】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可．【题文】9.的图象在0x =处的切线与圆122=+y x 相切，则b a +的最大值是（）A ．4 B．2 D【知识点】导数的应用B12【答案解析】D 求导数，可得令x=0，则f′(0)=f （0），即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1∴a2+b2=1∵a ＞0，b ＞0∴2（a2+b2）≥（a+b ）2a+b故选D ．【思路点拨】求导数，求出切线方程，利用切线与圆x2+y2=1相切，可得a2+b2=1，利用基本不等式，可求a+b 的最大值．【题文】10.已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞是单调递增的，若dxx S ⎰=2121，，dxe S x ⎰=213，则下列不等式中一定成立的是（）A ．123()()()f S f S f S <<B ．321()()()f S f S f S <<C ．213()()()f S f S f S <<D ．312()()()f S f S f S <<【知识点】定积分与微积分基本定理B13【答案解析】D 根据积分公式可知，，∵函数y=f （x ）是R 上的偶函数，且在区间（-∞，0）是单调递增，∴在区间（0，+∞）是单调递减，∵e2-e ln2＞0，∴f （S3）＜f （S1）＜f （S2），故选D ．【思路点拨】利用积分公式求出S1，S2，S3的大小，然后利用函数单调性和奇偶性的性质即可判断大小．【题文】11.的两个根)(,2121x x x x <以下说法正确的是（）A ．221>+x xB ．221>x xC ．1021<<x xD ．2121<+<x x 【知识点】函数与方程B9【答案解析】D 在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg （x+1）的图象，如图：由图可知：0＜x1＜1，1＜x2＜2，所以1＜x1+x2＜2．故选D ．【思路点拨】在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg （x+1）的图象，观察图象可得．【题文】12. 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于B A ,两点，记直线BC AC ,的斜率分别为21,k k ，当）D.2 【知识点】双曲线及其几何性质H6 【答案解析】B 设A （x1，y1），C （x2，y2），由题意知点A ，B∴由双曲线的对称性得A ，B 关于原点对称，∴B （-x1，-y1），∴∵点A ，C 都在双曲线上，， ∴，对于函数，(x ＞0)，由y′=，得x=0（舍）或x=2， x ＞2时，y′=0，0＜x ＜2时，y′=0，∴当x=2时，函数（x ＞0）取得最小值，最小时，，∴B ．【思路点拨】设A （x1，y1），C （x2，y2），由双曲线的对称性得B （-x1，-y1），从而得到，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．【题文】二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）【题文】13.函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f M 处的切线方程则='+)1()1(f f .【知识点】导数的应用B12【答案解析】3 ∵切线方程是，则直线的斜率根据导数的几何意义得：f′（1）3.【思路点拨】利用函数在切点处的导数值是切线的斜率求出f′（1）即可．【题文】14.设0>t ，函数的值域为M ，若M ∉4，则t 的取值范围是 .【知识点】指数与指数函数对数与对数函数B6 B70＜y ＜2t ，或∴值域为：{y|0＜y ＜2t ，或∵域为M ，若4∉M4【思路点拨】根据函数f （x ）0＜y ＜2t ，或由值域为M ，4∉M4，即可解出t 的范围．【题文】15. 在等比数列{}n a 中，若，则【知识点】等比数列及等比数列前n 项和D3【答案解析】+【思路点拨】先进行分组求和，再利用等比中项的性质可知a7a10=a8a9，最后把，【题文】16.某学生对函数x x x f cos 2)(=的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数)(x f 在[]0,π-上单调递增，在[]π,0上单调递减；是函数)(x f y =图象的一个对称中心；③函数)(x f y =图象关于直线π=x 对称；④存在常数0>M ，使对一切实数x 均成立．其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号) 【知识点】函数的单调性与最值函数的奇偶性与周期性B3 B4【答案解析】④ f （x ）=2x•cosx 为奇函数，则函数f （x ）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错．由于f （0）=0，f （π）=-2π，所以②错．再由 f （0）=0，f （2π）=4π，所以③错． |f （x ）|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|，令M=2，则|f （x ）|≤M|x|对一切实数x 均成立，所以④对．故答案为：④．【思路点拨】由函数是奇函数可得函数f （x ）在[-π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错；通过给变量取特殊值，举反例可得②③不正确；令M=2，则|f （x ）|≤M|x|对一切实数x 均成立，所以④对．【题文】三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分）【题文】17.（本小题满分10分）在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足：cos (3)cos b C a c B =-.（1）求B cos ；（2）若4BA BC =⋅，，求边a ，c 的值. 【知识点】解三角形C8【答案解析】（12）26a c =⎧⎨=⎩，或 62a c =⎧⎨=⎩．（1）在△ABC 中，∵bcosC=（3a-c ）cosB ，由正弦定理可得 sinBcosC=（3sinA-sinC ）cosB ，∴3sinA•cosB -sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin（B+C ）=sinA ．∵在△ABC 中，sinA≠0，故（2）由 BC BA ⋅=4，ac=12．…①．再由余弦定理可得 b2=32=a2+c2-2ac•cosB=a2+c2a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，26a c =⎧⎨=⎩，或 62a c =⎧⎨=⎩．【思路点拨】（1）利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦，进而利用两角和公式化简整理求得cosB 的值．（2）由 BC BA ⋅=4 可得 ac=12，再由余弦定理可得 a2+c2=40，由此求得边a ，c 的值．【题文】18.（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*N n ∈，都有n n n S a a 4)3)(1(=+-，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求证数列{}n a 是等差数列；（2的前n 项和为n T 求n T 。

2018年吉林省长春市市十一中学高三数学文期末试题含解析

2018年吉林省长春市市十一中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知圆x2＋y2=9与圆x2＋y2－4x＋4y－1=0关于直线l对称，则直线l的方程为( ) A．4x－4y＋1=0 B．x－y=0 C．x＋y=0 D．x－y－2=0参考答案：D2. 已知是椭圆的两个焦点，p是椭圆上的任意一点，则的最大值是（）A.、9B.16C.25D.参考答案：C3. 直线在平面内，直线在平面内，下列命题正确的是A． B．C． D．参考答案：D4. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M （M在第一象限），于点N，直线NF交y轴于点D，则（）A. 4B.C. 2D.参考答案：B【分析】设出直线方程，联立抛物线方程，求得点的坐标，即可得点坐标，进而可求得的方程，容易得点的坐标，用两点之间的距离公式即可求得的长度.【详解】根据题意，作图如下：由题可知，点，故直线的方程为，联立抛物线方程可得，解得或因为点在第一象限，故可得.又因为准线方程为，故可得.则直线的方程为，令，解得，即可得.故.故选：B.【点睛】本题考查抛物线中线段长度的求解，关键是要逐步求解出点的坐标即可. 5. 设i为虚数单位，则复数的虚部为(A)1 (B)i (C)-1 (D)-i参考答案：A略6. 如果执行右面的框图，输入N＝2011，则输出的数等于（）A.2010×＋2B.2011×－2C.2010×＋2D.2011×－2参考答案：A7. 如果命题“非或非”是假命题，则在下列各结论中正确的是（）① 命题“且”是真命题；② 命题“且”是假命题；③ 命题“或”是真命题；④ 命题“或”是假命题；A．① ③ B．② ④ C．②③ D．① ④参考答案：A8. 若数列满足，，则称数列为“梦想数列”。

吉林省长市十一中高三数学上学期期中试题

长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1.已知集合{}0)3(<-=x x x A ，{}21<-=x x B ，则“A x ∈”是“B x ∈”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分条件D.既不充分也不必要条件2．如图，在复平面内，若复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,，则复数i z z z z z ---=2121所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若向量,的夹角为3π12==，则向量与向量2-的夹角为（） A.6π B.3πC.32πD.65π4. n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若12113=+a a ，则=13S （） A ．60 B ．78 C ．156 D ．不确定5．已知2)tan(-=-απ，则=+αα2cos 2cos 1（） A ．3 B. 52C ．25- D. 3-6. 已知关于x 的不等式)0(03422><+-a a ax x 的解集为),(21x x ，则2121x x ax x ++的最小值是（） A.36 B.332 C. 362D.3347. 函数14)625sin(2-+=xx x y π的图象大致为（）8．如图所示程序框图中，输出=S （）A. 1-B. 0C. 1D. 39.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图曲线部分是两个半径为1的圆弧，则这个几何体的体积是（） A. 48π- B. 28π- C. π-8 D. π28-10.由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-≥+1001x y e y x x确定的平面区域为M ，由不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤e y x 010确定的平面区域为N ，在N 内随机的取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为（）A.e 231-B. 231e- C. e 11- D. e 21-11.已知函数x e e x f x 2)(-=，方程01)()(2=-++a x af x f 有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（）A. )1,(2ee +--∞ B. ),(2e -∞ C. )1,1(2e - D. )1,2(22e e -- 12．已知点P 是椭圆181622=+y x 上非顶点的动点，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是21PF F ∠的平分线上一点，且01=⋅MP M F ，的取值范围是（） A ．[)3,0 B ．)22,0( C ．[)3,22 D ．(]4,01212121俯视图侧视图正视图9题图二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．函数)220)(sin(2)(πϕπωϕω<<->+=，x x f 的部分图象如图所示，则=)4(πf .14. 已知点)1,1(-P 在曲线ax x y +=2上，则曲线在点P 处的切线方程为_____________.15.定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)43()43(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，mm f 3)2(-=，则实数m 的取值范围是 .16.给出下列四个命题： ① R ∈∃α，57cos sin =-αα； ② 函数x x x f 2cos 2sin 3)(+=图像的对称中心是)0,62(ππ-k Z k ∈； ③ 函数xxx f cos 3sin )(-=是周期函数， π2是它的一个周期；④ )129)(tan 116(tan )131)(tan 114(tan +︒+︒=+︒+︒ 其中正确命题的序号是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（本小题满分12分）数列{}n a 满足：31=a ，1111=+-++n n a a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设na b n n -=1，求数列{}n b 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，设函数a x b a x f +--=)621sin()()(π⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈35,0πx 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,27.（1）求b a ,的值；（2）若8<+b a ，且1872cos =C ，C 为锐角，求ABC ∆的AB 边上高h 的值．19. （本小题满分12分）如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，AB ∥DC ，AD AB ⊥，2,11====AB AA CD AD ，E 为棱1AA 中点.（1）证明：CE C B ⊥11；（2）求二面角11C CE B --的正弦值20．(本小题满分12分）已知抛物线)0(22>=p px y 上点),3(t T 到焦点F 的距离为4．（1）求p t ,的值；（2）设B A ,是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且5=⋅（其中 O 为坐标原点）．求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标；21.（本小题满分12分）D 1C 1B 1A 1EDCBA设函数ax xxx f -=ln )(. （1）若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，求实数a 的取值范围.22．(本小题满分10分)选修4——1：几何证明选讲如图所示，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线PM ，M 为切点，过PM 的中点N 作割线NAB ，交圆于A 、B 两点，连接PA 并延长，交圆O 于点C ，连接PB 交圆O于点D ，若BC MC =. （1）求证：△APM ∽△ABP ;（2）求证：四边形PMCD 是平行四边形.23．（本小题满分10分）选修4——4：极坐标与参数方程选讲在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为θρsin 4=，22)4cos(=-πθρ．（1）求1C 与2C 的直角坐标方程，并求出1C 与2C 的交点坐标；（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1233t b y a t x （t 为参数，R t ∈），求b a ,的值．C24.（本题满分10分）选修4——5：不等式选讲设函数313)(++-=ax x x f . （1）若1=a ，解不等式4)(≤x f ；（2）若)(x f 有最小值，求实数a 的取值范围. 长春市十一高中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学试题（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ADBBCDBBCACB二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 1 14. 43+=x y 15. 1-<m 或30<<m 16. ①③④ 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.解析：（1）由条件知数列{}1+na 是首项为211=+a ，公差1=d 的等差数列，………3分所以：1121+=-+=+n n a n ，解得：n n a n 22+= ………………6分（2）由111112+-=+=-=n n n n n a b n n ………………9分所以：111111312121121+-=+-++-+-=+++=n n n b b b S n n ΛΛ………………12分 18.解析：（1）由条件当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈35,0πx 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,6621πππx ，所以：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-1,21)621sin(πx ………2分（ⅰ）当b a >时，由条件知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--5)(27)(21a b a a b a ，解得：3,4==b a ………………4分体验探究合作展示（ⅱ）当b a <时，由条件知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+--27)(5)(21a b a a b a ，解得：211,29==b a ………………6分（2）若8<+b a ，由（1）知：3,4==b a ，由1872cos =C ，即：1871cos 22=-C ，所以：65cos =C （C 为锐角）且611sin =C ………………8分由余弦定理：5cos 2222=-+=C ab b a c ，所以5=c ………………10分ch C ab S ABC 21sin 21==∆，5552sin ==c C ab h ………………12分19.解析（1）由已知条件，以A 为原点，AB AA AD ,,1所在直线分别为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，……1分则：)1,2,1(),1,0,1(),2,2,0(),0,2,0(111C C B A ，E 是1AA 中点，则)0,1,0(E …………3分)1,0,1(11-=C B ，)1,1,1(--=CE ………5分所以：010111=++-=⋅CE C B ，故C B ⊥11，即：CE C B ⊥11……………6分（2）由已知条件：111CC C B ⊥结合（1）知⊥11C B 平面1CEC ，故平面1CEC 的一个法向量为)1,0,1(11-=C B …………3分由条件：)1,2,1(1--=B ，)1,1,1(--=，设平面CE B 1的一个法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=--=⋅021z y x n CE z y x B ，取1,2,3-===z y x 得)1,2,3(-=…………10分所以11C CE B --的余弦值722144cos ===θ故二面角11C CE B --的正弦值为721sin =θ…………12分 20．（1）由抛物线定义得，2423=⇒=+p p…………………2分所以抛物线方程为x y 42=，.........3分代入点),3(t T ，可解得32±=t . (5)分（2）设直线AB 的方程为n my x +=，),4(121y y A ，),4(222y y B 联立⎩⎨⎧+==nmy x x y 42消元得：0442=--n my y ，则：m y y 421=+，n y y 421-= (8)分由5=⋅得：516)(21221=+y y y y ，所以：2021-=y y 或421=y y （舍去）即5204=⇒-=-n n ，所以直线AB 的方程为5+=my x ，所以直线AB 过定点)0,5(P ………… 12分 21.解析：（1）函数定义域为：{}1,0≠>x x x 且，对函数)(x f 求导：a xx x f --='2ln 1ln )(，若函数)(x f 在),1(+∞上为减函数，则0ln 1ln )(2≤--='a xx x f 在),1(+∞恒成立所以：0)(max≤'x f ………2分由a x a xx x f -+--=--='41)21ln 1(ln 1ln )(22，故当21ln 1=x ，即2e x =时，041)(max≤-='a x f 所以： 41≥a ，所以a 的最小值是41………………5分（2）若存在[]221,,e e x x ∈，使a x f x f +'≤)()(21成立，则问题等价为：当[]221,,e e x x ∈时，a x f x f +'≤)()(maxmin 由（1）知：)(x f '在[]2,e e x ∈的最大值为a -41，所以41)(max =+'a x f 所以问题转化为：41)(min ≤x f ………………7分（ⅰ）当41≥a 时，由（1）知：)(x f 在[]2,e e 是减函数，所以)(x f 的最小值是412)(222≤-=ae e e f ，解得：24121ea -≥ （ⅱ）当41<a 时，a x x f -+--='41)21ln 1()(2在[]2,e e 的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a a 41,①当0≥-a ，即0≤a 时， )(x f 在[]2,e e 是增函数，于是：41)()(min >≥-==e ae e e f x f ，矛盾 ②当0<-a ，即410<<a 时，由)(x f '的单调性和值域知：存在唯一的[]20.e e x ∈，使得0)(0='x f且当()0,x e x ∈时，0)(<'x f ，)(x f 为减函数；当()20,e x x ∈时，0)(>'x f ，)(x f 为增函数所以：)(x f 的最小值为41ln )(0000≤-=ax x x x f ，即：41412141ln 141ln 1200>-=->-≥e e e x x a ，矛盾综上有：24121ea -≥22. 证明：（1）∵PM 是圆O 的切线， NAB 是圆O 的割线， N 是PM 的中点，∴NB NA PN MN ⋅==22， ∴PNNABN PN =，又∵BNP PNA ∠=∠， ∴△PNA ∽△BNP ， ∴PBN APN ∠=∠，即PBA APM ∠=∠.∵BC MC =， ∴BAC MAC ∠=∠， ∴PAB MAP ∠=∠， ∴△APM ∽△ABP . ………5分（2）∵PBN ACD ∠=∠，∴APN PBN ACD ∠=∠=∠，即CPM PCD ∠=∠， ∴CD PM //， ∵△APM ∽△ABP ，∴BPA PMA ∠=∠， ∵PM 是圆O 的切线，∴MCP PMA ∠=∠，∴BPA PMA ∠=∠MCP ∠=，即MCP DPC ∠=∠， ∴PD MC //， ∴四边形PMCD 是平行四边形. ………10分C23.解析：（1）由极直互化公式得：4)2(:221=-+y x C 04:2=-+y x C ………4分联立方程解得交点坐标为)2,2(),4,0( ………5分（2）由（1）知：)2,0(P ，)3,1(Q 所以直线PQ ：02=+-y x ，化参数方程为普通方程：122+-=ab x b y ，对比系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=22112ab b，2,1=-=b a ………10分24.解析（1）1=a ，4313)(≤++-=x x x f ，即：x x -≤-113x x x -≤-≤-1131，解得：210≤≤x ，所以解集为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 ………5分（2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥++=31,4)3(31,2)3()(x x a x x a x f ，)(x f 有最小值的充要条件为：⎩⎨⎧≤-≥+0303a a ，即：33≤≤-a ………10分。

吉林省长春市2018届高三上学期期中数学试卷(理科)版含解析(20201103191223)

1．已知复数 z=
，则 z 的共轭复数 | |= （）
A． 5 B． 1 C．
D．
【考点】 A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．
【解答】解：∵ z=
=
，
∴ ，则 | |=|i|=1 ．故选： B．
2．已知集合 A={x||x| ＞ 1} ， B={x|x 2﹣ 2x﹣ 3≤ 0} ，则 A∩ B=（
21．已知函数 f （x） =alnx+
．
（ 1）讨论 f （ x）的单调性；
（ 2）当 f （ x）有两个极值点 x1， x2，且
＜m恒成立时，求 m的取值范围．
22．已知曲线 C1 的参数方程为
，以原点 O为极点，以 x 轴的非负
半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 msin θ﹣ cos θ = ．
A．（﹣ 1， 1） B． R C．（ 1， 3] D．（﹣ 1， 3]
3．已知向量
（）
A．
B．
C．
D．
4．“
”是“ f （ x） =Asin （ ω x+?）是偶函数”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
5．已知命题 p“函数 f （ x） =log 2（x2﹣ 2x﹣ 3）在（ 1， +∞）上单调递增”，命题
一次性从箱中摸球三个，若有一个红球，奖金
5 元，两个红球奖金 10 元，三个全为红球奖金
100 元．
（ 1）求参与者中奖的概率；
（ 2）若有 200 个爱心人士参加此项活动，求此次募捐所得善款的期望值．

吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷

长春市普通高中 届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 小题，每小题分，共 分）   ✌        ✌          简答与提示： 【命题意图】本题考查集合的运算【试题解析】 {|11},{|03},(1,3)A x x B x x A B =-<<=<<=- 故选 【命题意图】本题考查复数【试题解析】✌ ,||1z i z == 故选✌ 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题【试题解析】由算筹含义故选  【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质【试题解析】由函数是偶函数，排除✌，，当(0,)2x π∈，tan 0x > 故选 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识【试题解析】由题意知，,12a k k ππ=-+∈Z 故选 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识【试题解析】根据程序框图故选 【命题意图】本题考查计数原理的应用【试题解析】✌ 由题意知23223224A A A = 故选✌ 【命题意图】本题主要考查三视图问题【试题解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=故选 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识【试题解析】由题意知60B =︒，由余弦定理，224ac a c =+-，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选   【命题意图】本题主要考查球的相关问题【试题解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，5π 故选  【命题意图】本题考查双曲线的相关知识【试题解析】由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而e = 故选  【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用【试题解析】令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而0|31|2x<-<，解得1,<x 且0≠x 故选  二、填空题（本大题共小题，每小题分，共 分） 9  1.7 (,1][4,)-∞-+∞  48-简答与提示： 【命题意图】本题考查线性规划问题【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9  【命题意图】本题考查回归方程的相关知识【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到 后m 的值约1.7  【命题意图】本题考查分段函数的相关知识【试题解析】当10,()2,12x x x ≤≥≤-，当20,log 2,4x x x >≥≥，故(,1][4,)-∞-+∞【命题意图】本题考查平面向量的相关知识【试题解析】由题意可知其最小值为48- 三、解答题 ☎本小题满分 分✆【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和【试题解析】解：（）2n S n n =-，∴令1n =，10a =()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥∴()21n a n =- 又数列{}n b 为等比，222b a ==，458b a ==∴2424b q b ==，又各项均为正∴2q =，∴12n n b -= （）由（）得：()12nn c n =-⋅ ∴()()()23021231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅()23122212n n =⋅+⋅++-⋅()()341212222212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅()2341222212n n n T n +-=++++--⋅()()2112121212n n n -+-=--⋅-()112124n n n ++=--⋅-∴()1224n n T n +=-⋅+ ☎本小题满分 分✆【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识【试题解析】解：（）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（）第，，组的人数分别为 人， 人， 人，从第，，组中用分层抽样的方法抽取 人，则第，，组抽取的人数分别为人，人，人设从 人中随机抽取人，第组已被抽到人为事件A ，第组抽到人为事件B ，则()()1227312122121021031221|.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+ （）从所有参与调查的人中任意选出人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为，，， ()033410(1)5125P X C ∴==-=，()112344121()(1)55125P X C ==-= ()221344482()(1)55125P X C ==-=，()3334643()5125P X C ===4~(3,)5X B ，()4123.55E X np ==⨯= ☎本小题满分 分✆【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力【试题解析】答案：（）取PC 中点M ，连接MF DM ,F M , 分别是PB PC ,中点， CB MF CB MF 21,//=∴， E 为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//，∴四边形DEFM 为平行四边形⊄∴EF DM EF ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC（）⊥PA 平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D 111(0,0,),(,,0)222E F设平面EFC 法向量为1(,,)n x y z =，111(,,)222EF =-，11(,,1)22FC =-则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+021210z y x z y x ，取()2,1,31-=n 则设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =，(1,0,1)PD =-，(1,1,1)PC =-则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022n n ，即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ，取()1,0,12=n121212311021cos ,14||||n n n n n n ⨯+-⨯+⨯⋅<>===⋅∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475  ☎本小题满分 分✆【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力【试题解析】解：☎✆设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠- （）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++则2212(1)||34m AB m +==+，点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积22112(1)234m S m +=⨯=+ 令1t t ≥，有224241313t S t t t==++，函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6 ☎本小题满分 分✆【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力【试题解析】解：（）()f x 的定义域为x R ∈且单调递增，∴在x R ∈上，()240x af x x e'=-+≥恒成立，即：(42)x a x e ≥- ∴设()(42)x h x x e =- x R ∈ ，∴()(22)xh x x e '=-，∴当(,1)x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时()0h x '≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数， ∴max ()(1)2h x h e == max [(42)]x a x e ≥-，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞ （）()()()245x x g x e f x x x e a ==-+-()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+∴设()()245x x x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=，∴()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，()0,x ∈+∞ ∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+----0x >∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥∴()0F x '≥，()F x 在()0,x ∈+∞上递增，∴()()()02F x F m ϕ>=， ∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞，令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+> 又12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ->1x m <，2x m >∴12m x m ->，()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<，得证  ☎本小题满分 分✆【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求【试题解析】（）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤ ，6πθ=， 32=ρ交点坐标)6π （）设()θρ,P ，()00,θρQ 且.cos 400θρ=0[0,)2πθ∈，由已知,32=得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为10cos ,[0,)2πρθθ=∈  ☎本小题满分 分✆【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容本小题重点考查化归与转化思想【试题解析】（）当2m =-时，()41(0)32232=1(0)2345()2x x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=++--⎨⎪⎪--≤-⎪⎩＜＜当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1[2]2-， ()43+(0)3223=3(0)2343()2x m x f x x x m m x x m x ⎧+≥⎪⎪⎪=++++-⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩（2）＜＜当(,0)x ∈-∞时，()33(0)2223=343()2m x f x x x m x m x ⎧+-⎪⎪=+++⎨⎪--+≤-⎪⎩＜＜当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，♐☎⌧✆的最小值为 ❍，设()()20g x x x x =+<当20,x x x ->-+≥-，当且仅当2=x x --时，取等号2x x∴+≤即x ♑☎⌧✆取得最大值要使()2f x x x ≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-。

吉林省长春市普通高中2018届高三质量检测(三)数学(理)试卷(扫描版)

长春市普通高中2018届高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. A3. C4. D5.C6. D7. A8. B9. B 10. D 11. B 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合的运算. 【试题解析】C {|11},{|03},(1,3)A x x B x x A B =-<<=<<=-U .故选C.2. 【命题意图】本题考查复数.【试题解析】A ,||1z i z ==.故选A.3. 【命题意图】本题考查中华传统文化中的数学问题.【试题解析】C 由算筹含义. 故选C.4. 【命题意图】本题主要考查函数的图象及性质.【试题解析】D 由函数是偶函数，排除A ，C ，当(0,)2x π∈，tan 0x >.故选D.5. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意知，,12a k k ππ=-+∈Z .故选C.6. 【命题意图】本题主要考查算法的相关知识.【试题解析】D 根据程序框图.故选 D 7. 【命题意图】本题考查计数原理的应用.【试题解析】A 由题意知23223224A A A =.故选A.8. 【命题意图】本题主要考查三视图问题.【试题解析】B 由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，123V =⋅=故选B.9. 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】B 由题意知60B =︒，由余弦定理，224ac a c =+-，故22424ac a c ac =+-≥-，有4ac ≤，故1sin 2ABC S ac B ∆=≤故选B. 10. 【命题意图】本题主要考查球的相关问题.【试题解析】D 折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，5π.故选D. 11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】B 由双曲线可知122213,4PF F S m m ∆=-==，从而2e =.故选B.12. 【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】B 令()()2=+F x f x x ，有()()20''=+>F x f x ，所以()F x 在定义域内单调递增，由1)1(=f ，得(1)(1)23=+=F f ，因为2(log |31|)3|31|-<--x x f 等价于22(log |31|)2log |31|3-+-<x x f ，令2log |31|=-x t ，有()23+<f t t ，则有1<t ，即2log |31|1-<x ，从而0|31|2x<-<，解得1,<x 且0≠x . 故选B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 9 14. 1.7 15. (,1][4,)-∞-+∞U16. 48-简答与提示：13. 【命题意图】本题考查线性规划问题.【试题解析】由可行域可确定目标函数在(1,4)处取最大值9. 14. 【命题意图】本题考查回归方程的相关知识.【试题解析】将 3.2x =代入回归方程为ˆ1yx =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得 1.675m =，即精确到0.1后m 的值约1.7.15. 【命题意图】本题考查分段函数的相关知识.【试题解析】当10,()2,12x x x ≤≥≤-，当20,log 2,4x x x >≥≥，故(,1][4,)-∞-+∞U .16. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识. 【试题解析】由题意可知其最小值为48-三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的基本方法及数列求和. 【试题解析】解：（1）Q 2n S n n =-，∴令1n =，10a =()121n n n a S S n -=-=-，()2n ≥∴()21n a n =- 又Q 数列{}n b 为等比，222b a ==，458b a == ∴2424bq b ==，又各项均为正∴2q =，∴12n n b -= （2）由（1）得：()12nn c n =-⋅∴()()()23021231212n n T n =+-⋅+-⋅++-⋅L ()23122212n n =⋅+⋅++-⋅L()()341212222212n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+-⋅L()2341222212n n n T n +-=++++--⋅L()()2112121212n n n -+-=--⋅-()112124n n n ++=--⋅-∴()1224n n T n +=-⋅+18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对频率分布直方图的理解以及分布列的相关知识.【试题解析】解：（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =，（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A ，第3组抽到2人为事件B ，则()()1227312122121021031221|.()50C C P AB C P B A C C C C P A C ===+（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的概率为4,5P =X 的可能取值为0，1，2，3. ()033410(1)5125P X C ∴==-=，()112344121()(1)55125P X C ==-=()221344482()(1)55125P X C ==-=，()3334643()5125P X C ===~(3,)5X B Q ，()3.55E X np ==⨯=19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】答案：（1）取PC 中点M ，连接MF DM , F M ,Θ分别是PB PC ,中点， CB MF CB MF 21,//=∴，E Θ为DA 中点，ABCD 为矩形，CB DE CB DE 21,//=∴，DE MF DE MF =∴,//，∴四边形DEFM 为平行四边形⊄∴EF DM EF Θ,//平面PDC ，⊂DM 平面PDC ，//EF ∴平面RDC（2）⊥PA Θ平面ABC ，且四边形ABCD 是正方形，AP AB AD ,,∴两两垂直，以A 为原点，AP ，AB ，AD 所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系xyz A -则(),0,0,1P ()(),1,1,0,1,0,0C D 111(0,0,),(,,0)222E F设平面EFC 法向量为1(,,)n x y z =u r ，111(,,)222EF =-u u u r ，11(,,1)22FC =-u u u r则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n FC n EF ，即⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+021210z y x z y x ，取()2,1,31-=n 则设平面PDC 法向量为2(,,)n x y z =u u r ，(1,0,1)PD =-u u u r ，(1,1,1)PC =-uu u r则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n ，即⎩⎨⎧=++-=+-00z y x z x ，取()1,0,12=n 121212311021cos ,14||||n n n n n n ⨯+-⨯+⨯⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r .∴平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值为1475. 20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1)设动圆C 的半径为r ，由题意知12||3,||1CC r CC r =-=+从而有12||||4CC CC +=，故轨迹E 为以12,C C 为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(2,0)-，从而轨迹E 的方程为221(2)43x y x +=≠-. （2）设l 的方程为1x my =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 得22(34)690m y mx ++-=，设点1122(,),(,)A x y B x y ，有12122269,,3434m y y y y m m --+==++则2212(1)||34m AB m +==+，点(2,0)P -到直线l(2,0)Q 到直线l从而四边形APBQ的面积222112(1)23434m S m m +=⨯=++令1t t =≥，有224241313t S t t t==++，函数13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，有134t t +≥，故2242461313t S t t t==≤++，即四边形APBQ 面积的最大值为6.21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：（1）Q ()f x 的定义域为x R ∈且单调递增，∴在x R ∈上，()240x af x x e'=-+≥恒成立，即：(42)x a x e ≥- ∴设()(42)x h x x e =- x R ∈ ，∴()(22)x h x x e '=-，∴当(,1)x ∈-∞时()0h x '>，∴()h x 在(,1)x ∈-∞上为增函数， ∴当[1,)x ∈+∞时()0h x '≤，∴()h x 在[1,)x ∈+∞上为减函数，∴max ()(1)2h x h e == Q max [(42)]x a x e ≥-，∴2a e ≥，即[2,)a e ∈+∞ .（2）Q ()()()245xxg x e f x x x e a ==-+-Q ()()()122g x g x g m += [)1,m ∈+∞，∴()()()12222112245452452x x m x x e a x x e a m m e a -+-+-+-=-+- ∴()()()1222211224545245x x m x x e x x e m m e -++-+=-+∴设()()245x x x x e ϕ=-+ x R ∈，则()()()122x x m ϕϕϕ+=， ∴()()210x x x e ϕ'=-≥ ∴()x ϕ在x R ∈上递增且()10ϕ'=令()1,x m ∈-∞，()2,x m ∈+∞∴设()()()F x m x m x ϕϕ=++-，()0,x ∈+∞∴()()()2211m x m x F x m x e m x e +-'=+----Q 0x > ∴0m x m x e e +->>，()()()22112220m x m x m x +----=-≥∴()0F x '≥，()F x 在()0,x ∈+∞上递增， ∴()()()02F x F m ϕ>=，∴()()()2m x m x m ϕϕϕ++->，()0,x ∈+∞，令1x m x =-∴()()()112m m x m m x m ϕϕϕ+-+-+>即：()()()1122m x x m ϕϕϕ-+>又Q 12()()2()x x m ϕϕϕ+=，∴()()()()12222m x m x m ϕϕϕϕ-+->即：()()122m x x ϕϕ->Q 1x m <，2x m >∴12m x m ->， Q ()x ϕ在x R ∈上递增∴122m x x ->，即：122x x m +<，得证.22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，本小题考查考生的方程思想与数形结合思想，对运算求解能力有一定要求. 【试题解析】（1）联立⎩⎨⎧==θρθρcos 43cos ，23cos ±=θ，20πθ<≤Θ，6πθ=，32=ρ交点坐标)6π.（2）设()θρ,P ，()00,θρQ 且.cos 400θρ=0[0,)2πθ∈，由已知,32QP OQ =得⎪⎩⎪⎨⎧==θθρρ0052θρcos 452=∴，点P 的极坐标方程为10cos ,[0,)2πρθθ=∈.23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）当2m =-时，()41(0)32232=1(0)2345()2x x f x x x x x x ⎧+≥⎪⎪⎪=++--⎨⎪⎪--≤-⎪⎩＜＜当4130x x +≤⎧⎨≥⎩解得12x ≤≤0；当30132x -≤＜＜，恒成立.当45332x x --≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩解得322x -≤≤-，此不等式的解集为1[2]2-，.()43+(0)3223=3(0)2343()2x m x f x x x m m x x m x ⎧+≥⎪⎪⎪=++++-⎨⎪⎪--+≤-⎪⎩（2）＜＜当(,0)x ∈-∞时，()33(0)2223=343()2m x f x x x m x m x ⎧+-⎪⎪=+++⎨⎪--+≤-⎪⎩＜＜当302x -＜＜时，()=3+f x m ，当()3=432x f x x m ≤---+，单调递减，∴f (x )的最小值为3+m ，设()()20g x x x x=+<当20,x x x ->-+≥-2=x x --时，取等号2x x∴+≤即x g(x)取得最大值.要使()2f x x x≥+恒成立，只需3m +≥-m ≥-.。

2015年吉林省长春十一中高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)

2014-2015学年吉林省长春十一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x＜1}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜2}2．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．3．（5分）已知b＜a＜0＜＜1，则（）A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b4．（5分）已知sin2α=，则=（）A．B．C．D．5．（5分）函数y=f（x）在区间（﹣2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（﹣2，2）上仅有一个实根x=0，则f（﹣1）f（1）的值（）A．大于0 B．小于0C．等于0 D．与0的大小关系无法确定6．（5分）设P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y的最小值为（）A．3 B．2 C．﹣ln2 D．3+ln27．（5分）在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∠A为锐角，则公比q等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．1或﹣28．（5分）能够把椭圆C：+=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为椭圆C的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是（）A．f（x）=x3+x2 B．f（x）=ln C．f（x）=sinx+cosx D．f（x）=e x+e﹣x 9．（5分）若函数的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．C．2 D．10．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）是单调递增的，若则下列不等式中一定成立的是（）A．f（S1）＜f（S2）＜f（S3）B．f（S3）＜f（S2）＜f（S1）C．f（S2）＜f （S1）＜f（S3）D．f（S3）＜f（S1）＜f（S2）11．（5分）关于方程|log2x|=lg（x+1）的两个根x1，x2（x1＜x2）以下说法正确的是（）A．x1+x2＞2 B．x1x2＞2 C．0＜x1x2＜1 D．1＜x1+x2＜212．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当+ln|k1|+ln|k2|最小时，双曲线离心率为（）A．B．C．+1 D．2二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知定义在R上的连续函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为，则f（1）+f′（1）=．14．（5分）设t＞0，函数f（x）=的值域为M，若4∉M，则t 的取值范围是．15．（5分）在等比数列{a n}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=．16．（5分）某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：①函数f（x）在[﹣π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．其中正确的结论是．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分）17．（10分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．18．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）=ax3e x﹣1+bx3+c在x=1处取得极值2b+c+7，a，b，c 为常数，（1）试确定a，b的值；（2）当x∈[﹣4，+∞）时，讨论函数f（x）的单调区间；（3）若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c2﹣2c﹣1成立，求c的取值范围．21．（12分）设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：=1（a＞1）的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且•的最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．2014-2015学年吉林省长春十一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）若集合M={x|x﹣2＞0}，N={x|log2（x﹣1）＜1}，则M∩N=（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x＜1}C．{x|x＞3}D．{x|1＜x＜2}【解答】解：集合M={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，N={x|log2（x﹣1）＜1}={x|0＜x ﹣1＜2}={x|1＜x＜3}，故M∩N={x|2＜x＜3}，故选：A．2．（5分）复数（i为虚数单位）的虚部是（）A．B．C．D．【解答】解：===﹣故复数（i为虚数单位）的虚部是故选：B．3．（5分）已知b＜a＜0＜＜1，则（）A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b【解答】解：∵b＜a＜0，∴b＞a＞1，又∵＜1，∴0＜c＜1．∴c＜1＜a＜b．则2c＜2a＜2b．故选：A．4．（5分）已知sin2α=，则=（）A．B．C．D．【解答】解：===∵sin2α=，∴==．故选：B．5．（5分）函数y=f（x）在区间（﹣2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（﹣2，2）上仅有一个实根x=0，则f（﹣1）f（1）的值（）A．大于0 B．小于0C．等于0 D．与0的大小关系无法确定【解答】解：由于函数y=f（x）在区间（﹣2，2）上的图象是连续不断的，且方程f（x）=0在（﹣2，2）上仅有一个实根x=0，可得图象：因此f（﹣1）f（1）的值与0的大小关系不正确．故选：D．6．（5分）设P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y的最小值为（）A．3 B．2 C．﹣ln2 D．3+ln2【解答】解：∵P（x，y）是函数y=+lnx图象上的点，则x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．f′（x）=1﹣+=，令f′（x）＞0，解得x＞1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得0＜x ＜1，此时函数f（x）单调递减．且f′（1）=0．∴当x=1时，函数f（x）取得最小值，f（1）=3．故选：A．7．（5分）在等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，公比q满足如下条件：△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∠A为锐角，则公比q等于（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．1或﹣2【解答】解：∵等比数列{a n}中，a7是a8，a9的等差中项，∴2a7=a8+a9，∴2=q+q2，∴q=1或q=﹣2，∵△OAB（O为原点）中，=（1，1），=（2，q），∴=（1，q﹣1），∵∠A为锐角，∴﹣1×1﹣q+1＞0，∴q=﹣2，故选：C．8．（5分）能够把椭圆C：+=1的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f（x）称为椭圆C的“亲和函数”，下列函数是椭圆C的“亲和函数”的是（）A．f（x）=x3+x2 B．f（x）=ln C．f（x）=sinx+cosx D．f（x）=e x+e﹣x【解答】解：∵f（x）=x3+x2不是奇函数，∴f（x）=x3+x2的图象不关于原点对称，∴f（x）=x3+x2不是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=ln是奇函数，∴f（x）=ln的图象关于原点对称，∴f（x）=ln是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=sinx+cosx不是奇函数，∴f（x）=sinx+cosx的图象不关于原点对称，∴f（x）=sinx+cosx不是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=e x+e﹣x不是奇函数，∴f（x）=e x+e﹣x的图象关于原点不对称，∴f（x）=e x+e﹣x不是椭圆的“亲和函数”．故选：B．9．（5分）若函数的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：求导数，可得令x=0，则又f（0）=，则切线方程为，即ax+by+1=0∵切线与圆x2+y2=1相切，∴∴a2+b2=1∵a＞0，b＞0∴a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2∴∴a+b的最大值是故选：D．10．（5分）已知函数y=f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）是单调递增的，若则下列不等式中一定成立的是（）A．f（S1）＜f（S2）＜f（S3）B．f（S3）＜f（S2）＜f（S1）C．f（S2）＜f （S1）＜f（S3）D．f（S3）＜f（S1）＜f（S2）【解答】解：根据积分公式可知，，，∵函数y=f（x）是R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）是单调递增，∴在区间（0，+∞）是单调递减，∵e2﹣e＞＞0，∴f（S3）＜f（S1）＜f（S2），故选：D．11．（5分）关于方程|log2x|=lg（x+1）的两个根x1，x2（x1＜x2）以下说法正确的是（）A．x1+x2＞2 B．x1x2＞2 C．0＜x1x2＜1 D．1＜x1+x2＜2【解答】解：在同一坐标系中作出y=|log2x|与y=lg（x+1）的图象，如图：由图可知：0.5＜x1＜1，1＜x2＜1.5，﹣log2x1=lg（1+x1），log2x2=lg（1+x2），可得log2（x1x2）=lg∈（0，1），即有1＜x1x2＜2，x1+x2=2+2＞2＞2，所以x1+x2＞2．故选：A．12．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当+ln|k1|+ln|k2|最小时，双曲线离心率为（）A．B．C．+1 D．2【解答】解：设A（x1，y1），C（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线﹣=1的交点，∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，∴B（﹣x1，﹣y1），，，∴k1k2==，∵点A，C都在双曲线上，∴，，两式相减，得：，∴k1k2==＞0，∴+ln|k1|+ln|k2|=，对于函数y=，由=0，得x=0（舍）或x=2，x＞2时，＞0，0＜x＜2时，＜0，∴当x=2时，函数y=+lnx（x＞0）取得最小值，∴当+ln|k1|+ln|k2|最小时，，∴e==．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知定义在R上的连续函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程为，则f（1）+f′（1）=1．【解答】解：据题意知f′（1）=f（1）=∴故答案为：114．（5分）设t＞0，函数f（x）=的值域为M，若4∉M，则t 的取值范围是（] ．【解答】解：∵函数f（x）=可得0＜y＜2t，或y≤log，∴值域为：{y|0＜y＜2t，或y≤log}∵域为M，若4∉M，∴2t≤4，且log，＜4，可解得：＜y≤2故答案为：15．（5分）在等比数列{a n}中，若a7+a8+a9+a10=，a8a9=﹣，则+++=﹣．【解答】解：+++=（+）+（+）=+==﹣故答案为﹣16．（5分）某学生对函数f（x）=2x•cosx的性质进行研究，得出如下的结论：①函数f（x）在[﹣π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点是函数y=f（x）图象的一个对称中心；③函数y=f（x）图象关于直线x=π对称；④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立．其中正确的结论是④．【解答】解：f（x）=2x•cosx为奇函数，则函数f（x）在[﹣π，0]，[0，π]上单调性相同，所以①错．由于f（0）=0，f（π）=﹣2π，所以②错．再由f（0）=0，f（2π）=4π，所以③错．|f（x）|=|2x•cosx|=|2x|•|cosx|≤2|x|，令M=2，则|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，所以④对．故答案为：④．三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分）17．（10分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC=（3sinA﹣sinC）cosB，∴3sinA•cosB﹣sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin （B+C）=sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．（2）由•=4，b=4，可得，a•c•cosB=4，即ac=12．…①．再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣，即a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，，或．18．（12分）设数列{a n}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，其中S n为数列{a n}的前n项和．（1）求证数列{a n}是等差数列；（2）若数列{}的前n项和为T n，求T n．【解答】解：（1）∵对任意n∈N*，都有（a n﹣1）（a n+3）=4S n，即．∴当n≥2时，4a n=4（S n﹣S n﹣1）=﹣=﹣2a n﹣1，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵对任意n∈N*，a n＞0．∴a n+a n﹣1＞0．∴a n﹣a n﹣1=2．∴数列{a n}是等差数列，公差为2．（2）由（1），a1=3，d=2，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴=4n（n+1），∴==，n∈N*；∴T n=．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC∥AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣O的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设BD∩OC=F，连接EF，∵E、F分别是PC、OC的中点，则EF∥PO，…（1分）∵CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，∵平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴PO⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，∴AB⊥EF，…（3分）在△ABD中，AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，又EF∩BD=F，∴AB⊥平面BED，又DE⊂平面BED，∴AB⊥DE．…（6分）（Ⅱ）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，连接HE，AE，∵PO⊥平面ABCD，∴POC⊥平面ABCD，平面POC∩平面ABCD=AH，∴AH⊥平面POC，PC⊂平面POC，∴AH⊥PC．在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴AE⊥PC，∴PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．∴∠AEH是二面角A﹣PC﹣O的平面角．…（10分）设PO=AD=2BC=2CD=2，而AE2=AC2﹣EC2，AE=，AH=，则sin∠AEH=，∴二面角A﹣PC﹣O的余弦值为．…（12分）20．（12分）已知函数f（x）=ax3e x﹣1+bx3+c在x=1处取得极值2b+c+7，a，b，c 为常数，（1）试确定a，b的值；（2）当x∈[﹣4，+∞）时，讨论函数f（x）的单调区间；（3）若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c2﹣2c﹣1成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2e x﹣1+ax3e x﹣1+3bx2，∵f（x）=ax3e x﹣1+bx3+c在x=1处取得极值2b+c+7，∴即解得a=3，b=﹣4．（2）由（1）得f（x）=3x3e x﹣1﹣4x3+c，f′（x）=9x2e x﹣1+3x3e x﹣1﹣12x2=3x2[（3+x）e x﹣1﹣4]，∴当﹣4≤x≤1时，f′（x）≤0，当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在[﹣4，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（3）由（2）可知，当x=1时，f（x）min=﹣1+c，∴若存在x＞0，使得不等式f（x）≤c2﹣2c﹣1成立，则有，﹣1+c≤c2﹣2c﹣1，解得c≤0或c≥3．21．（12分）设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：=1（a＞1）的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且•的最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（1）设P（x，y），则=（x+c，y），=（x﹣c，y），∴•=x2+y2﹣c2=x2+1﹣c2，x∈[﹣a，a]，由题意得，1﹣c2=0⇒c=1⇒a2=2，∴椭圆C的方程为；（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程x2+2y2=2中，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）=0，化简得：m2=2k2+1．设d1=|F1M|=，d2=|F2N|=，当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN|×|tanθ|，∴|MN|=•|d1﹣d2|，∴S=••d1﹣d2|•（d1+d2）===，∵m2=2k2+1，∴当k≠0时，|m|＞1，|m|+＞2，∴S＜2．当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，S=2．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（3）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣ay=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=由题意可得k=k，即a=1，…（2分）∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2 …（3分）（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，…（4分）令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤e …（5分）u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上①当u=≤0即t 时，y 最小=t 2﹣t …（6分）②当u=≥e 即t 时，y 最小=e 2+（2t ﹣1）e +t 2﹣t …（7分）③当0＜＜e 即时，y 最小=y=﹣ …（8分）（3）F （x ）=g （x ）+g′（x ）=lnx +，F′（x ）=所以F （x ）在区间（1，+∞）上单调递增 …（9分） ∴当x ≥1时，F （x ）≥F （1）＞0 ①当m ∈（0，1）时，有α=mx 1+（1﹣m ）x 2＞mx 1+（1﹣m ）x 1=x 1， α=mx 1+（1﹣m ）x 2＜mx 2+（1﹣m ）x 2=x 2，得α∈（x 1，x 2），同理β∈（x 1，x 2），…（10分）∴由f （x ）的单调性知 0＜F （x 1）＜F （α）、f （β）＜f （x 2）从而有|F （α）﹣F （β）|＜|F （x 1）﹣F （x 2）|，符合题设．…（11分） ②当m ≤0时，，α=mx 1+（1﹣m ）x 2≥mx 2+（1﹣m ）x 2=x 2， β=mx 2+（1﹣m ）x 1≤mx 1+（1﹣m ）x 1=x 1，由f （x ）的单调性知，F （β）≤F （x 1）＜f （x 2）≤F （α）∴|F （α）﹣F （β）|≥|F （x 1）﹣F （x 2）|，与题设不符 …（12分） ③当m ≥1时，同理可得α≤x 1，β≥x 2，得|F （α）﹣F （β）|≥|F （x 1）﹣F （x 2）|，与题设不符．…（13分） ∴综合①、②、③得 m ∈（0，1）…（14分）说明：各题如有其它解法，按照相应的步骤给分．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质定义域 (0,)+∞值域 R过定点图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x O(1,0)xO (1,0)。

【数学】吉林省长春市第十一高中等五校2018届高三1月联合模拟考数学(理)试题

2018届高三联合模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集）【答案】A故选A2. ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A故选A3. 以下有关命题的说法错误．．的是（）A. ”的逆否命题为“若B.C. 对于命题，均有D. 与至少有一个为真命题【答案】D【解析】对于A.正确：对于B. ”，故“分条件，正确；对于C.正确；对于D.D错误.故选D4. 下列函数中既是偶函数又在）D.【答案】B【解析】对于R,奇函数；故排除A；对于对，是偶函数，但在C；对于 D.故选B5. 我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（）A. 多1斤B. 少1斤C.D.【答案】C则，故选C6. ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B不满足退出循环的条件；不满足退出循环的条件；，满足退出循环的条件；4，故选B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7. 图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，则函数）【答案】D【解析】图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象，则.即函数的图象的一个对称中心是故选D8.其中所有正确命题的序号是（）A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④【答案】D若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；故选D．9. 已知实数）C. -2D. -1【答案】C【解析】由约束条件故选C．10. 下列命题：①在线性回归模型中，表示解释变量的贡献率，越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；0.5个单位；④对分类变量与，它们的随机变量的观测值与的把握程度越大.其中正确命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】对于①，在回归分析模型中，相关指数的贡献率，越接近于1合效果越好，①正确．对于②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；每增加一个单位时，预报变量少0.5个单位；正确；，它们的随机变量握程度越大.故选C11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）【答案】D故选D12. 两点，是坐标原点，且，则双曲线的离心率为（）C.【答案】A【解析】可得：，故选A.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】5，解得∴常数项即答案为514. ．．又圆的半径是2，，所以故答案为．15. 已知数列．【解析】当时，；两式相减得故即答案为16. 已知函数满足若在区间__________．故函数作函数与的图象如下，，，故，故故，的取值范围是【点睛】本题考查了方程的根与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数的最小正周期和单调递减区间；.【解析】试题分析：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得值；可得，结合由余弦定理可得边的长试题解析：的最小正周期所以的单调递减区间是，，又∵∴，的面积为∴18. 为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查（满分100分），被抽取的观众的评分结果如图所示.（Ⅰ）计算：①甲地被抽取的观众评分的中位数；②乙地被抽取的观众评分的极差；（Ⅱ）用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行评分调查，记抽取的4人评分不低于90（Ⅲ）从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被抽取的观众评分低于90分的概率.【答案】(Ⅰ)中位数是83【解析】试题分析：（Ⅰ）直接利用茎叶图求解甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众评分的极差；；（Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90得到分布列，然后求解期望．为“从甲、乙两地分别抽取的8名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于908名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，则90分的概率.试题解析：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲地被抽取的观众评分的中位数是83，乙地被抽取的观众评分的极差（Ⅱ）记“从乙地抽取1人进行评分调查，其评分不低于90的分布列为（Ⅲ）由茎叶图可得，甲地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于90分，乙地被抽取的8名观众中有2名观众评分不低于908名观众中各抽取一人，两人中至少一人评分不低于908名观众中各抽取一人，乙地观众评分低于90分”，所以在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，乙地被抽取的观众评分低于90分的19. 如图，已知，，，..【解析】试题分析：（Ⅰ）证明：设方向为的法向量，可得与平面.试题解析：中点为，∴为平等四边形，∴，方向为，设平面与平面所成角为，则20. 已知椭圆的短轴长为，点的左焦点.最小值.【解析】试题分析：........................试题解析：的方程是斜率为∴∴四边形面积时等号成立，四边形面积的最小值为【点睛】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相切的充要条件，考查四边形面积的最值的求法，注意运用直线的斜率公式和基本不等式，考查化简整理的运算能力．21. 已知函数.【答案】(Ⅰ)【解析】试题分析: ∵函数与函数对称，∴，（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知利用导数研究.，即可求出实数的取值范围.试题解析:∵函数，，则.，所以所以在所以当函数有且仅有一个零点时，，上单调递增，在.，即为所求.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 的方程是（，为极点，.，值范围.【解析】试题分析：（I）直线的方程是，利用可得普通方程，进而化为极坐标方程．（II）将分别带入试题解析：（Ⅰ）∵消参数得∴曲线的极坐标方程是，∴的取值范围是23. 已知函数，.【解析】试题分析：写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得不等式解集，综合可得结论．试题解析：化为时，不等式化为的最小值是【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式的应用.其中灵活应用分类讨论的思想是解题的关键.2018年高考考前猜题卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数z 满足iii z 2|2|++=，则=||z （） A ．3 B ．10 C ．9 D ．102．已知全集R U =，集合}012|{2≥--=x x x M ，}1|{x y x N -==，则=N M C U )(（）A ．}1|{≤x xB ．}121|{≤<-x xC ．}121|{<<-x x D ．}211|{<<-x x3．已知蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点的距离都大于2的区域内的概率P 为（） A ．631π-B ．43C ．63π D ．414．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，过双曲线左焦点1F 且斜率为1的直线与其右支交于点M ，且以1MF 为直径的圆过右焦点2F ，则双曲线的离心率是（） A ．12+ B ．2 C ．3 D ．13+5．一个算法的程序框图如图所示，如果输出y 的值是1，那么输入x 的值是（）A ．2-或2B ．2-或2C ．2-或2D ．2-或2 6．已知函数)2||,0)(3sin()(πϕωπω<>+=x x f 的图象中相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数)(x f y =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么)(x f y =的图象（） A ．关于点)0,12(π对称 B ．关于点)0,12(π-对称C ．关于直线12π=x 对称 D ．关于直线12π-=x 对称7．如下图，网格纸上小正方形的边长为1，图中实线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱的长度为（）A.32 B.43C. 2D. 411 8．已知等差数列}{n a 的第6项是6)2(xx -展开式中的常数项，则=+102a a （）A ．160B ．160-C ．350D ．320- 9．已知函数)0(212)(<-=x x f x与)(log )(2a x x g +=的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．)2,(--∞B ．)2,(-∞C ．)22,(--∞D ．)22,22(- 10．已知正四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面边长分别为22,2，高为2，则其外接球的表面积为（）A ．π16B ．π20C ．π65D ．π465 11．平行四边形ABCD 中，2,3==AD AB ，0120=∠BAD ，P 是平行四边形ABCD 内一点，且1=AP ，若y x +=，则y x 23+的最大值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．设n n n C B A ∆的三边长分别为n n n c b a ,,，n n n C B A ∆的面积为,3,2,1,=n S n …，若n n a a a c b ==++1111,2，2,211nn n n n n a b c a c b +=+=++，则（） A ．}{n S 为递减数列 B ．}{n S 为递增数列C ．}{12-n S 为递增数列，}{2n S 为递减数列D ．}{12-n S 为递减数列，}{2n S 为递增数列二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数x a x a x x f )3()1()(24-+--=的导函数)('x f 是奇函数，则实数=a .14．已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-002043y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .15．已知F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线21,l l ，直线1l 与C 交于B A ,两点，直线2l 与C 交于E D ,两点，则||||DE AB +的最小值为 . 16．在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足ac a b =-22，则BA tan 1tan 1-的取值范围为 . 三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足)(221R m m S n n ∈+=+. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 满足)(log )12(112+⋅+=n n n a a n b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .18．小张举办了一次抽奖活动.顾客花费3元钱可获得一次抽奖机会.每次抽奖时，顾客从装有1个黑球，3个红球和6个白球（除颜色外其他都相同）的不透明的袋子中依次不放回地摸出3个球，根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客中一等奖，二等奖，三等奖，四等奖时分别可领取的奖金为a 元，10元，5元，1元.若经营者小张将顾客摸出的3个球的颜色分成以下五种情况：1:A 个黑球2个红球；3:B 个红球；:c 恰有1个白球；:D 恰有2个白球；3:E 个白球，且小张计划将五种情况按发生的机会从小到大的顺序分别对应中一等奖，中二等奖，中三等奖，中四等奖，不中奖.（1）通过计算写出中一至四等奖分别对应的情况（写出字母即可）；（2）已知顾客摸出的第一个球是红球，求他获得二等奖的概率；（3）设顾客抽一次奖小张获利X 元，求变量X 的分布列；若小张不打算在活动中亏本，求a 的最大值.19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，0160=∠CBB ，1AC AB =.（1）证明：平面⊥C AB 1平面C C BB 11；（2）若C B AB 1⊥，直线AB 与平面C C BB 11所成的角为030，求直线1AB 与平面C B A 11所成角的正弦值.20．如图，圆),(),0,2(),0,2(,4:0022y x D B A y x O -=+为圆O 上任意一点，过D 作圆O 的切线，分别交直线2=x 和2-=x 于F E ,两点，连接BE AF ,，相交于点G ，若点G 的轨迹为曲线C .（1）记直线)0(:≠+=m m x y l 与曲线C 有两个不同的交点Q P ,，与直线2=x 交于点S ，与直线1-=y 交于点T ，求OPQ ∆的面积与OST ∆的面积的比值λ的最大值及取得最大值时m 的值.（注：222r y x =+在点),(00y x D 处的切线方程为200r yy xx =+）21．已知函数x a x g x x f ln )(,21)(2==. （1）若曲线)()(x g x f y -=在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设)()()(x g x f x h +=，若对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若在],1[e 上存在一点0x ，使得)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y t x （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且090=∠AOB . （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于N M ,两点，证明：||||22N C M C ⋅（2C 为圆心）为定值. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数|1||42|)(++-=x x x f . （1）解不等式9)(≤x f ；（2）若不等式a x x f +<2)(的解集为A ，}03|{2<-=x x x B ，且满足A B ⊆，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14．8 15．16 16．)332,1( 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．解：（1）由)(221R m m S n n ∈+=+得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=282422321m S m S m S ，)(R m ∈，从而有4,2233122=-==-=S S a S S a ，所以等比数列}{n a 的公比223==a a q ，首项11=a ，因此数列}{n a 的通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.（2）由（1）可得12)22(log )(log 1212-=⋅=⋅-+n a a n n n n ， ∴)121121(21)12)(12(1+--⨯=-+=n n n n b n ∴)1211215131311(2121+--++-+-⨯=+++=n n b b b T n n 12+=n n. 18．解：（1）4011203)(31023===C C A P ；12011)(310==C B P ，10312036)(3102416===C C C C P ，2112060)(3101426===C C C D P ，6112020)(31036===C C E P∵)()()()()(D P C P E P A P B P <<<<， ∴中一至四等奖分别对应的情况是C E A B ,,,.（2）记事件F 为顾客摸出的第一个球是红球，事件G 为顾客获得二等奖，则181)|(2912==C C F G P .（3）X 的取值为3,2,2,7,3---a ，则分布列为由题意得，若要不亏本，则03212103)2(61)7(401)3(1201≥⨯+⨯+-⨯+-⨯+-⨯a ，解得194≤a ，即a 的最大值为194.19．解：（1）证明：连接1BC ，交C B 1于O ，连接AO ， ∵侧面C C BB 11为菱形，∴11BC C B ⊥ ∵为1BC 的中点，∴1BC AO ⊥ 又O AO C B = 1，∴⊥1BC 平面C AB 1又⊂1BC 平面C C BB 11，∴平面⊥C AB 1平面C C BB 11.（2）由B BO AB C B BO C B AB =⊥⊥ ,,11，得⊥C B 1平面ABO 又⊂AO 平面ABO ，∴C B AO 1⊥，从而1,,OB OB OA 两两互相垂直，以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -∵直线AB 与平面C C BB 11所成角为030，∴030=∠ABO设1=AO ，则3=BO ，∵0160=∠CBB ，∴1CBB ∆是边长为2的等边三角形∴)0,1,0(),0,1,0(),0,0,3(),1,0,0(1-C B B A ，则)1,0,3(),0,2,0(),1,1,0(1111-==-=-=AB B A C B AB 设),,(z y x =是平面C B A 11的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C B n B A n 即⎩⎨⎧=-=-0203y z x ，令1=x ，则)3,0,1(=n设直线1AB 与平面C B A 11所成的角为θ，则46||||||,cos |sin ==><=n AB θ. 20．解：（1）易知过点),(00y x D 的切线方程为400=+y y x x ，其中42020=+y x ，则)24,2(),2,2(000y x F y x E +--， ∴4116416416424424220020000021-=-=--=-⋅-+=y y y x y x y x k k 设),(y x G ，则144122412221=+⇒-=+⋅-⇒-=y x x y x y k k （0≠y ）故曲线C 的方程为1422=+y x （0≠y ）（2）联立⎩⎨⎧=++=4422y x mx y 消去y ，得0448522=-++m mx x ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则544,5822121-=-=+m x x m x x ，由0)44(206422>--=∆m m 得55<<-m 且2,0±≠≠m m∴22221221255245444)58(24)(11||m m m x x x x PQ -=-⨯--⨯=-++=，易得)1,1(),2,2(---+m T m S ， ∴)3(2)3()3(||22m m m ST +=+++=，∴22)3(554||||m m ST PQ S S OSTOPQ +-===∆∆λ，令)53,53(,3+-∈=+t t m 且5,3,1≠t ，则45)431(4544654222+--⨯=-+-=t t t t λ，当431=t ，即43=t 时，λ取得最大值552，此时35-=m . 21．解：（1）xax y x a x x g x f y -=-=-=',ln 21)()(2 由题意得322=-a，解得2-=a （2）)()()(x g x f x h +=x a x ln 212+=对任意两个不等的正数21,x x ，2)()(2121>--x x x h x h 恒成立，令21x x >，则)(2)()(2121x x x h x h ->-，即2211)(2)(x x h x x h ->-恒成立则问题等价于x x a x x F 2ln 21)(2-+=在),0(+∞上为增函数 2)('-+=xax x F ，则问题转化为0)('≥x F 在),0(+∞上恒成立，即22x x a -≥在),0(+∞上恒成立，所以1)2(max 2=-≥x x a ，即实数a 的取值范围是),1[+∞. （3）不等式)(')()('1)('0000x g x g x f x f -<+等价于0000ln 1x ax a x x -<+，整理得01ln 000<++-x ax a x ，构造函数x a x a x x m ++-=1ln )(，由题意知，在],1[e 上存在一点0x ，使得0)(0<x m2222)1)(1()1(11)('x x a x x a ax x x a x a x m +--=+--=+--=因为0>x ，所以01>+x ，令0)('=x m ，得a x +=1①当11≤+a ，即0≤a 时，)(x m 在],1[e 上单调递增，只需02)1(<+=a m ，解得2-<a ； ②当e a ≤+<11，即10-≤<e a 时，)(x m 在a x +=1处取得最小值.令01)1ln(1)1(<++-+=+a a a a m ，即)1l n (11+<++a a a ，可得)1ln(11+<++a aa （*）令1+=a t ，则e t ≤<1，不等式（*）可化为t t t ln 11<-+ 因为e t ≤<1，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立. ③当e a >+1，即1->e a 时，)(x m 在],1[e 上单调递减，只需01)(<++-=eaa e e m 解得112-+>e e a .综上所述，实数a 的取值范围是),11()2,(2+∞-+--∞e e . 22．解：（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，4)2(22=++y x∵090=∠AOB ，∴直线l 过圆2C 的圆心)0,2(2-C ，∴2=b . （2）证明：曲线1C 的普通方程为)0(2>=a ay x ，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty t x 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得04)2222(212=++-t a t ， 04212>+=∆a a 恒成立，设N M ,两点对应的参数分别为21,t t ，则821=t t ， ∴8||||22=N C M C ， ∴||||22N C M C 为定值8.23．解：（1）由9)(≤x f 可得9|1||42|≤++-x x ，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ，故不等式9)(≤x f 的解集为]4,2[-.（2）易知)3,0(=B ，由题意可得a x x x +<++-2|1||42|在)3,0(上恒成立⇒1|42|-+<-a x x 在)3,0(上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在)3,0(上恒成立 3->⇒x a 且53+->x a 在)3,0(上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒50a a 5≥⇒a .。

长春十一中高三数学上学期期中试题

长春十一中高三数学上学期期中试题大家把实际知识温习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的缺乏，及时学懂，下面是查字典数学网小编为大家整理的长春十一中高三数学上学期期中试题，希望对大家有协助。

一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)
1.假定集合，，那么 ( )
A. B.
C. D.
2.双数 ( 为虚数单位)的虚部是()
A. B. C. D.
3. ，那么()
A. B.
C. D.
4. ，那么 ( )
A. B. C. D.
5.函数在区间上的图象是时断时续的，且方程在上仅有一个实根，那么的值( )
A.大于
B.小于
C.等于
D.与的大小关系无法确定
6.设是函数图象上的点，那么的最小值为( )
A. B. C. D.
7.在等比数列中，是的等差中项，公比满足如下条件：( 为原点)中，，，为锐角，那么公比等于( )
A. B. C. D. 或
8.可以把椭圆 : 的周长和面积同时分为相等的两局部的函数称为椭圆的亲和函数，以下函数是椭圆的亲和函数的是()
A. B.
C. D.
9假定正数满足，直线与圆相切，那么的最大值是( ) A. B. C. D.
设，在约束条件下，目的函数的最大值小于2，那么的取值范围是( )
A. B. C. D.
要多练习，知道自己的缺乏，对大家的学习有所协助，以下是查字典数学网为大家总结的长春十一中高三数学上学期期中试题，希望大家喜欢。

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长春市十一高中2017-2018学年度高三上学期期中考试
数学试题（理）
一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）
１.若集合{}02>-=x x M ，{}
1)1(log 2<-=x x N ，则=N M （）
A ．{|23}x x <
D ．{|12}x x << 2.复数1
23
-i i （i 为虚数单位）的虚部是（） A ． i 51 B ．51 C ． i 5
1- D ．51- 3.已知10log log 21
212
1<<<<c a b ，则（）
A ．222b a c >>
B ．222a b c >>
C ．222c b a >>
D ．222c a b >> 4.已知512sin =
α，则=-)4
(cos 2πα（） A ．54 B ．53 C ．52 D ．51 5.函数)(x f y =在区间)2,2(-上的图象是连续不断的，且方程0)(=x f 在)2,2(-上仅有一个实根0=x ，则)1()1(f f -的值（）
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．与0的大小关系无法确定
6.设),(y x P 是函数x x
y ln 2+=图象上的点，则y x +的最小值为（）
A ．3
B ．2
C ．2ln 2
7- D ．2ln 3+ 7.在等比数列{}n a 中，7a 是98,a a 的等差中项，公比q 满足如下条件：OAB ∆（O 为原点）中，)1,1(=，),2(q =，A ∠为锐角，则公比q 等于（）
A ．1
B ．1-
C ．2-
D ．1或2-
8.能够把椭圆C :18
42
2=+y x 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数)(x f 称为椭圆C 的“亲和函数”，下列函数是椭圆C 的“亲和函数”的是（）
A ．23)(x x x f +=
B ．5()15x f x n x
-=+ C ．x x x f cos sin )(+= D ．x x e e x f -+=)(
9.若函数)0,0(1)(>>-=b a e b
x f ax 的图象在0x =处的切线与圆122=+y x 相切，则b a +的最大值是（）
A ．4
B ．22
C ．2
D ．2
10.已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在区间)0,(-∞是单调递增的，若dx x S ⎰=2
121，
dx x
S ⎰=2
121，dx e S x ⎰=213，则下列不等式中一定成立的是（） A ．123()()()f S f S f S <+x x
B ．221>x x
C ．1021<<x x
D ．2121<+<x x 12. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于B A ,两点，记直线BC AC ,的斜率分别为21,k k ，当||ln ||ln 2212
1k k k k ++最小时，双曲线离心率
为（）
A. 2 B ．3 C.12+ D.2
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）
13.函数)(x f y =的图像在点))1(,1(f M 处的切线方程为221+=x y ，则='+)1()1(f f .
14.设0>t ，函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=t x x t x x f x ,log ,2)(2
1的值域为M ，若M ∉4，则t 的取值范围
是 .
15. 在等比数列{}n a 中，若,8
1510987=+++a a a a 8998-=⋅a a ，则=+++10
9871111a a a a .
16.某学生对函数x x x f cos 2)(=的性质进行研究，得出如下的结论： ①函数)(x f 在[]0,π-上单调递增，在[]π,0上单调递减； ②点)0,2(π
是函数)(x f y =图象的一个对称中心；
③函数)(x f y =图象关于直线π=x 对称；
④存在常数0>M ，使x M x f ≤)(对一切实数x 均成立．
其中正确的结论是__________ .(填写所有你认为正确结论的序号)
三、解答题（本大题共6小题，其中17题10分，18-22各12分，共70分）
17.（本小题满分10分）
在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足： cos (3)cos b C a c B =-.
（1）求B cos ；。