高考数学一轮复习第九章数列第63课等差、等比数列的综合问题教案

等差、等比数列的综合问题
一、教学目标
1. 掌握等差、等比数列的性质；
2. 能用类比的思想来研究等差、等比数列，体会它们的区别和联系；
3. 理解等差数列前n 项和S n 与二次函数的关系；掌握求等差数列前n 项和最值的基本方法。

二、基础知识回顾与梳理
1、已知{}n a 是公差为d 的等差数列，下列命题是否正确？
①2412,,...a a a 是等差数列 ；②11,,...n n a a a -是等差数列；③12,,...n ca ca ca （c 为常数）是等差数列．
【教学建议】本题选自书本第35页习题，主要复习等差数列的概念，让学生学会用定义判断一个数列是否为等差数列．
2、设{}n a 是等比数列，下列命题正确吗？
①{}2n a 是等比数列； ②{}1n n a a +是等比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是等比数列； ④{}lg n a 是等比数列；
⑤{}1n n a a ++是等比数列．
【教学建议】本题选自课本第60页习题，提问学生：如何判断一个数列是否为等比数列，学会用定义判断一个数列是否为等比数列，第⑤小题学生容易忽略等比数列各项不能为零．
3、下列说法是否正确？
①1与4的等比中项是2； ②等比数列{}n a 中151,4a a ==，则32a =；
【教学建议】本题考察等比中项的概念，学生可能在概念上犯错，教师在讲解时不需要避免学生出错，让学生暴露问题，老师进一步理清概念．
4、数列211,,,...n x x x -的前n 项和_________n S =．
【教学建议】本题选自书本第56页习题，等比数列求和学生使用时很容易忘记讨论1q =，主要让学生加深印象，对等比数列求和一定要考虑1q =的特殊情形，进一步练习：等比数列{}n a 中，333S a =，则公比______q =，说明一些特殊情况下可以回避用求和公式，避免讨论．
三、诊断练习
1、 教学处理：数列小题解法较多，要重视学生自己思路解法。

课前学生自主完成，黑板板演，老师点评 学生思路方法，比较多种解法，比较优劣，归纳总结．
2、诊断练习点评
题1：在等差数列{}n a 中，若1590S =，则8a =______________.
【分析与点评】提出问题：条件1590S =如何使用，引导学生思考用等差数列求和公式的两种表示形式来翻译条件，归纳思路：（1）完全化归为基本量表示，151151415902S a d ⨯=+
=，化简得8176a a d =+=；（2）寻求n S 和n a 的关系，1151515()902
a a S +==，利用性质81152a a a =+，解得86a =． 题2：公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233,,a a a --
成等差数列，若11a =，则4S ＝________. 答案为：20-
【分析与点评】（1）等差等比数列的计算强调基本量的运算：化归为1,()a d q 的计算；（2）本题“递增”是关键，学生容易得到244,12
31=⇒=⇒==q q a a ，代入公式求解；也可以得到
245,423131=⇒=⇒=+=⋅q q a a a a ．
题3：等比数列{}n a 的各项均为正数,且154a a =,则2122232425log log log log log a a a a a ++++= . 第3题答案为：5
题4：：等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =
_______ 第4题答案为：1()(n 1)2n n n a a S n +==+
3、要点归纳
（1）强化等差（比）数列的重要性质，对于下标和相等，等差（比）子数列的性质不同，要注意区别；
（2）等差（比）数列的前n 项和的性质也不同，特别注意有关等差数列前n 项和n S 取最值问题，如“诊断练习”第3题；
（3）要重视等差（比）数列的性质在解题中的运用．
四、范例导析
例1、数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且()
122,n n S S n n n N *-=+≥∈ (1)求n S ；
(2)是否存在等比数列{}n b 满足112339,,b a b a b a ===？若存在，求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，说明理由.
【教学处理】让学生板演，了解学生读题后的第一想法，加以点评总结，同时规范学生的书写
【引导分析与精讲建议】
1、第1问强调等差数列的证明,注意1n =的验证；
2、第2问注重等差等比数列基本量的计算.
解析:(1)因为()
122,n n S S n n n N *-=+≥∈， 所以有12n n S S n --=对2,n n N *≥∈成立.
即2n a n =对2,n n N *≥∈成立，
又1121a S ==⨯，所以2n a n =对n N *∈成立.
所以12n n a a +-=a 对n N *∈成立，
所以{}n a 是等差数列， 所以有21,2n n a a S n n n +=
⋅=+n N *∈. (2)存在.
由(1)知，2n a n =对n N *∈成立，
所以有396,18,a a ==又12a =，
所以有12b =，236,18,b b ==则3212
3b b b b ==， 所以存在以12b =为首项，以3为公比的等比数列{}n b .
练习:（1）已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若10010=S ，10100=S ，求110S ；
（2）已知等比数列}{n a 中，7321=++a a a ，8321=a a a ，求n a 。

变式题：等差数列{}n a 的前m 项和30,m S =前2m 项和2100,m S =求前3m 项和3m S
[点评]：这里变式题起到巩固知识的作用，引导学生用多种思路来求解．
例2：已知数列{}n a 的前n 项和为n S .
(Ⅰ)若数列{}n a 是等比数列,满足231
32a a a =+, 23+a 是2a ,4a 的等差中项,求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)是否存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+?若存在,请求出所有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.
第2题答案为：
解:(Ⅰ)设等比数列{}n a 的首项为1a ,公比为q ,
依题意,有⎩⎨⎧+=+=+).2(2,32342231a a a a a a 即⎩⎨⎧+=+=+)
2(.42)()1(,3)2(2131121q a q q a q a q a 由 )1(得 0232=+-q q ,解得1=q 或2=q .
当1=q
时,不合题意舍; 当2=q 时,代入(2)得21=a ,所以,n n n a 2221=⋅=-
(Ⅱ)假设存在满足条件的数列{}n a ,设此数列的公差为d ,则
211(1)[(1)][]2(1)2
n n a n d a n d n n ++-+=+,得 2
22222111331()()222222
d n a d d n a a d d n n +-+-+=+对*n N ∈恒成立, 则2
2122112,
232,2310,22d a d d a a d d ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-+=⎪⎩
解得12,2,d a =⎧⎨=⎩或1
2,2.d a =-⎧⎨=-⎩此时2n a n =,或2n a n =-. 故存在等差数列{}n a ,使对任意*n N ∈都有22(1)n n a S n n ⋅=+.其中2n a n =,
或2n a n =-
例3、已知等差数列}{n a 的首项11=a ，公差0>d ，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列}{n b 的第2项、第3项、第4项．
(1)求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；
（2）设数列{}n c 对*∈N n 均有12211+=+++n n
n a b c b c b c 成立，求201521c c c +++ ． 备用题：已知数列}{n a 的前n 项和n S 与通项n a 满足1122n n S a =
-. (1)求数列}{n a 的通项公式；
(2)设()()()()312log ,n n f x x b f a f a f a ==++⋅⋅⋅+，12111n n
T b b b =
++⋅⋅⋅+，求2015T ； (3)若()n n n c a f a =⋅，求{}n c 的前n 项和n U . 【教学处理】第（1）题，可由学生自行解答；第（2）题教师可引导学生进行观察和思考，教师点评时要侧重学生解题方法，注意运用函数的思想，注意对1=n 时情况的关注，培养学生严密的思维和严谨的学习态度。

【引导分析与精讲建议】
（1）用方程思想求出首项和公差公比是解决问题的基础；
（2）对于等差等比综合问题学生会有困难，要引导学生抓住关键，注意等比数列证明方法；
（3）用函数的思想是解决第（2）题的关键所在，解题中要注意培养学生思维的严谨性，对表达中字母n 的取值范围加以重视，注意对1=n 时情况的关注。

五、解题反思
解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于1a 和()d q 的方程；②运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）．。