第十一章 对策论

1＝(上，中，下） 赢得函数: H1(s11)＝3 H2(s11)＝-3 。
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结 盟 对 策
三、 对 策 的 分 类
静 态 对 策 对 策
两 人 对 策 有 限 对 策
零和对策
√
非零和对策
不 结 盟 对 策
多 人 对 策
动 态 对 策
无 限 对 策
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第二节 矩阵对策

一、矩阵对策定义：

也称为二人有限零和对策，指对策中只 有两个局中人，每个局中人都只有有限 个策略，并且对每一个局势，两个局中 人的赢得之和总是等于零，即一个局中 人的赢得恰是另一局中人的损失。
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2.对策目标

矩阵对策给定后，每个局中人面临的问题：如 何选取对自己最为有利的策略以谋取最大的赢 得（或最少损失）。
例3 设有一矩阵对策G=｛S1,S2;A｝，其中 S1={1,2,3,4},S2 ={1,2,3}，
- 6 3 A 9 - 3
1 2 -1 0
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最少赢得中最 好结果为2，局 中人I以2为选 择对策。
局中人I与II的对策过程(II的对策)
S2 S1 1 2 3 4 选择1时的 最少赢得 1 -6 3 9 -3 选择2时的 最少赢得 2 1 2 -1 0 3 -8 4 -10 6
选择3时的 最少赢得
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局中人I与II的对策过程(II的对策)
*
27

1.混合策略和混合局势
对G ( S1 , S 2 ; A), 记S1 {1 , 2 ,..., m }, S 2 {1 , 2 ,..., n }, A (aij ) mn 局中人I的策略集 : S {x E | xi 0, i 1,2,..., m, xi 1}
a21，a23
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6.矩阵对策的性质

无差别性:
ai1 j1 ai2 j 2
若 ( i1 , j1 )和( i2 , j 2 )是对策G的两个解, 则

可交换性
若 ( i1 , j1 )和( i2 , j 2 )是对策G的两个解, 则 ( i1 , j 2 )和( i2 , j1 )也是解。
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二、矩阵对策的基本理论

1.矩阵对策的数学模型

局中人：两个； 策略：有限；赢得之和： 为零。 有关概念

局中人I: 纯策略m个,
(1 , 2 ,..., m ) S1
其策略集合是 其策略集合是

( 1 , 2 ,..., n ) S2 ( i , j ) 共有mxn个纯局势。 纯局势:

3.赢得函数（支付函数）
局势： 每一个局中人从各自的策略集 中所选定的一个策略形成的策略组。 S=（S1，S2，…，Sn） 赢得函数：局中人的得失是局势的函 数，这个函数称为赢得函数。 Hi（s） -- 第i个局中人 例

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例1 齐王赛马：
局中人：
例1 齐王赛马：
局中人集合Ｉ＝｛1，2｝

局中人I的赢得矩阵(局中人II的支付矩阵)

矩阵对策记为: G={I,II;S1,S2;A} G=(S1,S2;A}
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例1:
齐王赛马中齐王的赢得表
1 上 中 下 3 1 1 -1 1 1 2 上 下 中 1 3 -1 1 1 1 3 中 上 下 1 1 3 1 -1 1 4 中 下 上 1 1 1 3 1 -1 5 下 中 上 1 -1 1 1 3 1 6 下 上 中 -1 1 1 1 1 3
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5.定理：
矩阵对策G={S1,S2;A}在纯策略意义下有 解的充分必要条件是存在纯局势 (i , j ) 使得 aij* ai * j * ai * j i=1,2,…,m,j=1,2,…,n 矩阵对策G有纯策略解的充分必要条件是 G有鞍点。 定理的直观解释及对策意义：

* *
* 1 m i 1 m
局中人II的策略集 : S { y E | y j 0, j 1,2,..., n, y j 1}
* 2 n n j 1
x S , y S 称为I和II的混合策略.
* 1 * 2
( x, y ) 混合局势
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2.混合扩充
* x S1* , y S 2 称为I和II的混合策略.
* *
*
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例5：
1 2 2 -3
2 3 6 8
3 2 2 1
4 5 4 4
行最小
1 2 3
4 0 1 -5 3 列最大 2 8 2 5 ∴ max min aij= min max aij =2 = a11，a13 ，
i j j I
2 2 -3 -5
该最优策略为(1, 1)， (1, 3)， (2, 1)， (2, 3)。
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思考题
例2 甲、乙两名儿 童玩游戏，双方可分别 出拳头（代表石头）， 手掌（代表布），两个 手指（代表剪刀），规 则是：剪刀赢布，布赢 石头，石头赢剪刀，赢 者得１分。若双方所出 相同，为和局，均不得 分，试列出儿童甲的赢 得矩阵。
石头 布 剪刀 石头 0 1 1 布 1 0 1 剪刀 1 1 0
策略集： 齐王 S1={1, 2 ,…, 6} 田忌 S2={1, 2 ,…, 6} 齐王的任一策略i与田忌的任 一策略i决定了一个局势Sij。 若 1＝(上，中，下）
齐王与田忌
策略：
各有六个策略： 1.（上，中，下） 2.（上，下，中） 3.（中，上，下） 4.（中，下，上） 5.（下，中，上） 6.（下，上，中）
一个平衡局势 ( i , j ) 应具有这样的性质，当局 中人Ⅰ选取了纯策略 i* 后，局中人Ⅱ只能选取纯 略 j * ，否则就可能失得更多；反之，当局中人 Ⅱ 选取了纯策略 j 后，局中人Ⅰ只能选取纯略 i* ， ( 否则就可能赢得更多。双方的竞争在局势 i* , j * j i v2 min max aij
j i
当v1 v2时, G存在纯策略意义下的解.
一般情形中更多的是 v1 < v2，对策不存在纯 策略意义下的解。例：赢得矩阵为 例6： v1 max min aij 7, i * 1

9 A 2
j i 7 v2 min max aij 8, j * 2 j i 8
S2 1 -6 3 9 -3 2 1 2 -1 0 3 -8 4 -10 6
局中人I与II的对策过程
S1 1 2 3 4
选择1时的最少赢得 选择2时的最少赢得
选择3时的最少赢得 选择4时的最少赢得
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局中人I与II的对策过程(I的对策)
S2 S1 1 2 3 4 1 -6 3 9 -3 2 1 2 -1 0 3 -8 4 -10 6
v2 8 7 v1
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混合策略


局中人I和II不存在一个双方均可接受的平衡 局势，矩阵对策 G 不存在纯策略意义下的解。 实际的想法是：在上述双方都不能固定采用任 何一个纯策略下，必须随机地选取自己的各个 纯策略，使双方捉摸不到自己使用的策略。可 否给出一个选取不同策略的概率分布，以求得 自己的期望赢得最大（或期望损失最小）。
i 局中人I的最优策略, j 局中人II的最优策略
* *
例4:
4 -3 A 6 7
-4 -4 7 3
-5 -9 -8 -9
6 由例4， 有 a a a , 1j - 2 i3 i* j * - 9 i 1,2,3,4; 5 j 1,2,3,4.
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局中人II: 纯策略n个,

aij -- 局中人I在纯局势（αi， βj）下的赢得,则:
a11, a12 ,..., a1n a21, a22 ,..., a2 n A ............. a , a ,..., a mn m1 m 2
3 1 这就是说，局中人Ⅰ分别以概率 X ( , ) 选用 1, 2 4 4 1 1 7 * 时，至少赢得 7 ，同理，局中人Ⅱ分别以概率 Y ( , ) 选 4 8 8 1 3 1 1 7 * * 用策略 1, 2， 至多损失 7 。 但当 X ( , ) 或 Y ( , ) 时， 4 4 4 8 8 则会受到更大的损失。
-8 4 - 10 6
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局中人I与II的对策过程
S2 S1 1 2 3 4
1 3

MAXαij？
3
2 -8
1 -6 3 9 -3
2 1 2 -1 0
4 -10 6
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3.对策原则

双方都是理智行为，考虑到对方必然会使自己 所得最少，应从各自出现的最不利的情形中选 择一种最为有利的情形。

若局中人1以概率x选用1，以概率1-x选 用2；局中人2以概率y选1，以概率1-y 选2，则局中人1的期望赢得为：
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9 7 y E ( X , Y ) ( x,1 x) 1 y 2 8
=8xy－6y－x+8 3 1 1 8( x )( y ) 7 4 8 4
S2 S1 1 2 3 4 1 -6 3 9 -3 2 1 2 -1 0 3 -8 4 -10 6
最少赢得中最好结果为2， 局中人II以2为选择对策。
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局中人I与II的对策过程
S2 S1
1
1
2 1 2 -1 0
3 -8 4 -10 6
最优纯策略（2，2）-6
2 3 4
2

2.对策论：