2020-2021学年四川省成都市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)

2020-2021学年四川省成都市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．命题“0000,ln 1x x x ∃>-”的否定是（ ） A ．0,ln 1x x x ∀><- B ．0,ln 1x x x ∀<- C ．0,ln 1x x x ∀>- D ．0000,ln 1x x x ∃><-【答案】A【分析】利用含有一个量词的命题的否定进行求解即可． 【详解】解：根据存在性命题的否定是全称命题，故命题“00x ∃>，001lnx x -”的否定是“0x ∀>，1lnx x <-”． 故选：A ．2．若双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为y x =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．54 B C ．32D ．2【答案】B【分析】由渐近线得出,a b 关系，再由e 求解即可【详解】由题可知1b a =，e ===故选：B3．在空间直角坐标系Oxyz 中，点(2,1,1)-在xOy 平面上的射影到坐标原点O 的距离为（ ）A B C D【答案】C【分析】先求出给定点在xOy 平面上的射影点，再用空间两点间距离公式即可得解. 【详解】依题意，点(2,1,1)-在xOy 平面上的射影点M 坐标为(2,1,0)-，而原点(0,0,0)O ，由空间两点间距离公式得||OM 故选：C4．如图是2021年至2025年我国5G 宏基站建设投资额预算(单位：亿元)的折线图，则以下结论不正确的是（ ）A ．5年比较，2023年投资额预算达到最大值B ．逐年比较，2022年投资额预算增幅最大C ．2021年至2023年，投资额预算逐年增加D ．2021年至2023年，投资额预算增幅逐年增加 【答案】D【分析】利用频率分布折线图，逐项分析选项中的命题是否正确即可.【详解】对于A ，由频率分布折线图知，5年比较, 2023年投资额预算达到最大值为1400亿元，所以A 正确;对于B ，由频率分布折线图知，逐年比较，2022年投资额预算增幅最大,为1100-670=430 (亿元)，所以B 正确;对于C ，由频率分布折线图知，2021年至2023年投资额预算逐年增加，所以C 正确; 对于D ，由频率分布折线图知，202 1年至2022年投资额增幅为430亿元，2022年至2023年投资额增幅为300亿元，不是逐年增加，所以D 错误. 故选： D5．若圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y =只有一个公共点，则 a 的值为（ ） A ．1 B 3C ．2D ．23【答案】C【分析】根据给定条件可知直线3y =是已知圆的切线，由点到直线距离公式求解即得.【详解】因圆22()1(0)x a y a -+=>与直线3y =只有一个公共点， 则直线30x =与圆22()1x a y -+=切线，圆心(,0)a 到该直线距离为半径1，221||21(3)a =⇔=+-，而0a >，则有2a =，所以a 的值为2.故选：C6．如图是某次文艺比赛中七位评委为其中-位选手所打分数(满分为100分)的茎叶图，在去掉一个最高分和一个最低分后所剩5个分数的方差为（ ）A ．22B ．8C ．15D ．20【答案】B【分析】由题意计算这组数据的平均数和方差即可． 【详解】解：去掉一个最高分95和一个最低分79后， 这组数据的平均数是1(8485868892)875x =⨯++++=，方差是2222221[(8487)(8587)(8687)(8887)(9287)]85s =⨯-+-+-+-+-=． 故选：B ．7．一个不透明盒子里装有标号为1,2,3,4,5的五张标签，现从中随机无放回地抽取两次，每次抽一张，则两次抽取的标签号数均为奇数的概率为（ ）A ．15B ．310C ．825 D ．25【答案】B【分析】先求出无放回抽标签两次的试验的基本事件总数，再求出两次都抽到奇数号标签的事件所含的基本事件数即可得解.【详解】从不透明盒子中无放回随机抽标签两次的试验的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共有20个，它们等可能，其中两次都抽到奇数号标签的事件A 有6个基本事件，63()2010P A ==， 所以两次抽取的标签号数均为奇数的概率为310. 故选：B8．已知两点(3,0)A -，(3,0)B ．若动点M 满足22||||(0)MA MB d d +=>，则“18d ≥”是“动点M 的轨迹是圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【分析】先求出点M 满足的关系式，然后利用圆的方程满足的条件结合充分条件与必要条件的定义进行判断即可. 【详解】两点(3,0)A -，(3,0)B ， 设(),M x y ，则由22||||MA MB d +=， 可得()()222332x x y d ++-+=， 所以2218x y d +=-，当18d =时，220x y +=，故点M 为定点()0,0，不是圆，所以充分性不成立， 当动点M 的轨迹是圆，则18d >，故必要性成立， 所以“18d ≥”是“动点M 的轨迹是圆”的必要不充分条件. 故选：B9．甲乙两艘轮船都要在某一泊位停靠6小时，假定这两艘轮船在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为（ ） A ．716B ．916C ．116D ．1516【答案】A【分析】设出甲、乙到达的时刻，列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待约束条件，利用线性规划作出平面区域，利用几何概型概率公式求出概率．【详解】解：设甲到达的时刻为x ，乙到达的时刻为y 则所有的基本事件构成的区域024(,)|024x x y y ⎧⎫⎧Ω=⎨⎨⎬⎩⎩⎭这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域024(,)|0246x A x y y x y ⎧⎫⎧⎪⎪⎪=⎨⎨⎬⎪⎪⎪-⎩⎩⎭这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率181871242416S P S Ω⨯==-=⨯阴故选：A ．10．为了解某地区的人口年龄分布情况，某机构从该地区年龄在[]20,80内的居民中随机抽取了100位进行调查，并将年龄按[)20,30，[)30,40，[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80分组，得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法正确的是（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为0.017B ．这100位居民中有50位居民的年龄不低于60岁C ．估计这100位居民的平均年龄为53岁D ．该地区人口年龄分布在[)50,60的人数与分布在[)20,30的人数分别记为,m n ，则9m n =一定成立【答案】C【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解． 【详解】解：对于A ，由频率分布直方图得：(0.0040.0100.0360.006)101a a +++++⨯=，解得0.022a =，故A 错误；对于B ，这100位居民中年龄不低于60岁的有：(0.0220.006)1010028+⨯⨯=位，故B 错误；对于C ，估计这100位居民的平均年龄为：250.04350.10450.22550.36650.22750.0653⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁，故C 正确；对于D ，频率分布图中，人口年龄分布在[50，60)的人数与分布在[20，30)的人数分别记为m ，n ，则0.0361010036m =⨯⨯=，0.004101004n =⨯⨯=，但是利用样本估计总体时会有误差，故9m n =不一定成立，故D 错误． 故选：C ．11．已知椭圆222:1(8x y C a a +=>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上且位于第一象限，12F PF ∠的平分线交x 轴于点M .若122FM MF =，则a 的取值范围为（ ）A ．[3,)+∞B ．C ．(3,)+∞D ．【答案】C【分析】由椭圆的性质，角平分线的性质，可以直接求解．【详解】解：由122FM MF =，则12||2||F M MF =，在三角形12MF F △中， 由角平分线定理可得，1212||:||||:||2:1MF MF PF PF ==⋯①， 又因12||||2PF PF a +=⋯②， 设2||PF m =，由①②联立得23am =， 又因点P 在椭圆C 上且位于第一象限，∴23a a c >-，即13a c < 3a ∴>，故选：C ．12．执行如图所示的程序语句，若输入m的值为306，输出结果为17．则输入n的值可能为（）A．98B．102C．105D．119【答案】D【分析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用辗转相除法求输入的两个数的最大公约数，逐项验证即可得解.【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用辗转相除法求输入的两个数的最大公约数,对于A，m=306，n=98,最大公约数为2，错误;对于B，m=306，n=102，最大公约数为102，错误;对于C，m=306, n=105,最大公约数为3,错误;对于D，m=306, n=119，最大公约数为17，正确.故选：D二、填空题13．一组数据8,7,3,7,6,9的极差为_______________________． 【答案】6【分析】利用极差的定义直接求解．【详解】解：数据8，7，3，7，6，9的极差为936-=． 故答案为：6．14．已知命题p ：若x y <，则22x y <；命题:q m R ∀∈，直线10x my --=与椭圆2212x y +=恒有两个共同点．在命题①p ；②()p q ∨⌝；③()p q ⌝∧中，所有真命题的序号是_______________________． 【答案】③【分析】直接利用不等式的性质，直线和椭圆的关系，真值表的应用判断命题①②③的真假.【详解】对于命题p :若0<x <y ，则x 2<y 2；故命题p 为假命题;对于命题:q m R ∀∈, 直线10x my --=恒过点(1, 0)，由于点(1, 0)在椭圆2212x y +=内,所以直线与椭圆恒有两个公共点，故该命题q 为真命题; ①为假命题；②()p q ∨⌝为假命题；③()p q ⌝∧为真命题; 故答案为：③15．某公司从,,,A B C D 四个女孩中选两位担任该公司的两个秘书职位.假定每个女孩是否被选中是等可能的，则事件“女孩A 或女孩B 被选中”的概率为_______________________． 【答案】56【分析】这是一个古典概型，先列举出从,,,A B C D 四个女孩中选两位担任该公司的两个秘书职位的所以选法，再找出女孩A 或女孩B 被选中的选法，代入公式求解. 【详解】从,,,A B C D 四个女孩中选两位担任该公司的两个秘书职位共有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 6种选法，女孩A 或女孩B 被选中有AB ，AC ，AD ，BC ，BD 5种选法， 所以事件“女孩A 或女孩B 被选中”的概率为56p =， 故答案为：5616．已知F 为抛物线22y x =的焦点，,,A B C 均为抛物线上的点，直线AB 经过焦点F ，且直线AB 的倾斜角与直线AC 的倾斜角互补．若AB AC ⊥．则点A 的横坐标为_______________________．【答案】32【分析】直线AB 、AC 分别与抛物线联立，然后根据韦达定理建立横坐标之间的关系，再根据1AB BC k k ⋅=-建立等式化简求解即可.【详解】在22y x =中，1(,0)2F ，AB BC ⊥，所以,,A B C 为互异的三点，所以,AB AC 的斜率必存在且不为0，又,AB AC 的倾斜角互补，所以两直线的斜率互为相反数， 设1:()2AB y k x =-，:AC y kx b =-+，设112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，而222221()(2)0242y k x k k x k x y x ⎧=-⎪⇒-++=⎨⎪=⎩， 所以21212221,4k x x x x k ++==， 又2222(22)02y kx bk x kb x b y x =-+⎧⇒-++=⎨=⎩， 所以213132222,kb b x x x x k k++==，由1214x x =，2132b x x k =，得23224x b x k =，又1111()2y k x kx b =-=-+，得124b k x k +=，2231312122822k kb x x x x x x x k +++=+++-=. 因为AB BC ⊥，所以1AB BC k k ⋅=-，所以22322322312132228()222111222()k kb k kk b k x x b y y k k k k k kb x x x x x x k k ++⋅--+---⋅=-⇒⋅=-⇒⋅=-++-+-+-， 化简得412k k b=--，即52kb =，所以12342b k x k +==，所以A 点的横坐标为32. 故答案为：32.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是通过韦达定理寻找,,A B C 三点的横坐标之间的关系，二是由AB BC ⊥建立等式从而解出结果.三、解答题17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为())12,F F ，且过点2)M ．（1）求双曲线C 的虚轴长；（2）求与双曲线C 有相同渐近线，且过点(2,4)P -的双曲线的标准方程．【答案】（1）（2）22184y x -=.【分析】（1）由双曲线的定义可知，12||||2MF MF a -=，又222+=a b c ，求得b =可．（2）设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为22(0)2y x λλ-=≠，将点(2,4)P -的坐标代入上述方程得λ即可．【详解】（1）由题意，易知22MF =，12F F =212MF F F ⊥.在21Rt MF F △中，14MF ==.由双曲线的定义可知，122,MF MF a -=22a ∴=，即1a =.∴半焦距c =又222,a b c +=b ∴=故双曲线C 的虚轴长为（2）由（1）知双曲线C 的方程为2212y x -=. 设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为22(0)2y x λλ-=≠.将点()2,4P -的坐标代入上述方程，得4λ=-. 故所求双曲线的标准方程为22184y x -=.18．已知圆E 经过点()()6,0,2,0A B -．且圆心E 在直线y x =-上． （1）求圆E 的一般方程；（2）若圆22:4O x y +=和圆E 相交于点,M N ，求线段MN 的长．【答案】（1）2244120x y x y ++--=；（2）||MN =【分析】（1）由已知条件推知该圆的圆心是直线2x =-与直线y x =-的交点，求得圆心坐标，再由两点间的距离公式求得半径，则圆的方程可求；（2）由方程224x y +=与2244120x y x y ++--=消去二次项得，20x y --=，再求得圆心O 到直线20x y --=的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得线段MN 的长．【详解】（1）由圆E 经过点()()6,0,2,0A B -，得圆心E 在直线2x =-上.又圆心E 在直线y x =-上， ∴圆心E 的坐标为() 2,2-.设圆E 的半径为r ，则||r EB ===. 故圆E 的方程为22(2)(2)20x y ++-=. 化成一般方程为2244120x y x y ++--=.（2）圆O 与圆E 的方程联立，得到方程组22224044120,x y x y x y ⎧+-=⎨++--=⎩，①② -①②，得20x y --=，即为直线MN 的方程.原点O 到直线MN 的距离d ===又圆O 的半径为2，∴由勾股定理，得||2MN =故||MN =19．为统计某城市居民用水情况．利用随机抽取的100位居民某年的月均用水量(单位：t )为样本绘制成了如图所示的频率分布直方图．将图中从左至右每个小长方形对应组的中间值(i i x x 为第i 组左右两个边界值的算术平均数，如)100.50.252x +==与高i y 表示的有序数对(),i i x y 作为样本数据，其中1,2,3,,9.i =记Mo 表示i y 取最大值时所对应的ix 的值．（1）根据频率分布直方图求Mo 的值；（2）求程序框图的输出结果i 的值，令1n i =-，记110.75nn k k Me x y +==+-∑．若Me Mo <，则称样本数据符合“左偏分布”；否则不符合“左偏分布”．请问本题的样本数据是否符合“左偏分布”？【答案】（1）2.25；（2）5；本题样本数据符合“左偏分布”.【分析】(1)根据频率分布表找到高y i 最大时的小矩形，求出这个小矩下底边中点值即可得解；(2)执行框图中给定的程序，程序终止时的输出结果即为i 值，由此计算Me 判断并回答. 【详解】（1）由频率分布直方图，得i y 的最大值为50.50y =，这个值所对应小长方形左右两个边界值分别为2和2.5， 则对应组的中间值52 2.52.252x +==，即Mo 的值为2.25； （2）执行程序框图，输入10.08y =，得00.50.080.040.5S =+⨯=≤； 输入20.16y =，得0.040.50.160.120.5S =+⨯=≤； 输入30.30y =，得0.120.50.300.270.5S =+⨯=≤； 输入40.44y =，得0.270.50.440.490.5S =+⨯=≤； 输入50.50y =，得0.490.50.500.740.5S =+⨯=>， 故输出结果i 的值为5，514n =-=，415110.750.750.75 2.250.98 2.02.nn k k k k Me x y x y +===+-=+-=+-=∑∑而 2.25Mo =，即有Me Mo <，所以本题样本数据符合“左偏分布”.20．为做好传染病的防治工作，某部门收集了所辖5个地区一个月中的就诊人数x （单位：人）和参与治疗的医务人员人数y （单位：人），相关数据如下表：（1）研究发现y 与y 之间具有线性相关关系，试根据表中统计数据，求出y 关于x 的线性回归方程=+y bx a ；（2）若该部门将所辖5个地区按参与治疗的医务人员人数不超过5人和超过5人的标准分别划分为“甲类区域”和“乙类区域”．现采用分层抽样的方法在甲乙两类区域参与治疗的所有医务人员中共抽取14人进行培训，求所抽取的“甲类区城”的医务人员来自不同地区的概率 参考数据：()2551150,563.i i i i i x xx y xy ==-=-=∑∑参考公式：1122211()()ˆ()nni i i ii i nniii i x x y y x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．. 【答案】（1） 1.260.7y x =+；（2）35.【分析】（1）求出样本中心坐标，求出回归直线方程的系数，得到回归直线方程． （2）记B 地三名医务人员分别为1B ，2B ，3B ，E 地两名医务人员分别为1E ，2E ．列出所抽两名医务人员所有可能结果，这两名医务人员分别来自不同地区的结果，然后求解概率即可．【详解】（1）由题意，得1(82591)55x =++++=，1(1237112)75y =++++=． 由参考数据()5521150,563.i i i i i x xx y x y ==-=-=∑∑得631.2650b ==. 又5,7,75 1.260.7x y a y bx ==∴=-=-⨯=. 故所求线性回归方程为 1.260.7y x =+.（2）依题意B 地和E 地属于“甲类区域”，两地共计5名医务人员参与治疗， 总共有35位医务人员参与治疗，所以应从“甲类区域”的5名医务人员抽取514232⨯=名. 记B 地三名医务人员分别为123, , , B B B E 地两名医务人员分别为12,E E .则所抽两名医务人员所有可能结果为()12, B B ，()13,B B ，()23,B B ，()11,B E ，()12,B E ，()21,B E ，()22,B E ，()31,B E ，()32,B E ，()12,E E ，共计10种.这两名医务人员分别来自不同地区的结果有()11,B E ，()12,B E ，()21,B E ，()22,B E ，()31,B E ，()32,B E ，共计6种.故所抽取的“甲类区域”的医务人员来自不同地区的概率为35.21．如图，在圆22:4O x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段,PD D 为垂足．（1）当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程；（2）过点()0,E m 作圆221x y +=的切线l 与动点M 的轨迹相交于,A B 两点，求OAB 面积的最大值．【答案】（1）2214x y +=；（2）1.【分析】（1）设()(),,,p p M x y P x y ，结合M 为PD 的中点，找出,M P 的等量关系，用M 横纵坐标代换P 点横纵坐标，再代入圆的方程求解即可；（2）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，设()()1122,,,A x y B x y ，由直线与圆相切得211k=+，再联立直线与椭圆方程，求出关于x 的一元二次方程，表示出韦达定理，结合弦长公式求出AB ，再由12OAB S AB r =⋅△化简可得2214132k k S +⋅=，由基本不等式可求最值【详解】（1）设()(),,,p p M x y P x y ，则(),0p D x .M 为线段PD 的中点，0,?2PP x x y y =⎧⎪∴⎨+=⎪⎩即,2P P x x y y ==.又点P 在圆22:4O x y +=上，22(2)4x y ∴+=，即2214x y +=.故点M 的轨迹方程为2214x y +=；（2）由题意，可知1m >，且直线l 的斜率一定存在且不为0. 不妨设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，设()()1122,,,.A x y B x y 由直线l 与圆221x y +=1=，即221.m k =+由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ， 得()222148440k x mkx m +++-=.()()()222222(8)414441641480mk k m k m k ∆=-+-=-+=>恒成立. 则2121222844,1414mk m x x x x k k --+==++.||AB ∴==. 将221m k =+代入上式，得||AB =. 又原点O 到直线l 的距离等于圆221x y +=的半径1， OAB ∴面积11122S AB =⨯=(2221 1.14k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=+212k =时等号成立. 此时223112m k =+=>，满足题意. 综上所述，OAB 面积的最大值为1.22．如图，已知直线:1l x =-，点()1,0F .H 为直线l 上任意一点，过点H 且与l 垂直的直线交线段HF 的垂直平分线于点M ，记动点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）E 为x 轴正半轴上的一点，过点E 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，直线,AF BF 分别与曲线C 相交于异于,A B 的,P Q 两点当直线,AB PQ 的斜率都存在时，分别记为12,k k .若212k k =，求点E 的坐标． 【答案】（1）24.y x =；（2）()2,0. 【分析】（1）根据抛物线的定义即可；（2）先设直线:,0AB l x ty m t =+≠与抛物线联立，结合三点共线得4A P y y =-和 4B Q y y =-，再计算出22m k t t==就可以得解. 【详解】（1）根据线段垂直平分线的性质，知.MH MF =∴动点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点，1x =-为准线的抛物线.故曲线C 的方程为24.y x =（2）设点()()()(),,,,,,,,(,0)(0)A A B B P P Q Q A x y B x y P x y Q x y E m m >， 直线:,0.AB l x ty m t =+≠由2,4x ty my x=+⎧⎨=⎩消去x ，得2440y ty m --=. ()20,160t t m ≠∆=+>， 4,4A B A B y y t y y m ∴+==-.又()()1,,1,,P P A A FP x y FA x y =-=-由,,A F P 三点共线，知()()110A P P A y x y x ---=，即2211044P A A P y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.化简，得() 104A P P A y y y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 显然,10, 4A PP A y y y y ≠∴+=即4A P y y =-. 同理可得 4.B Q y y =-22244.4444Q P Q PA B Q Q PQ P A B P B Ay y y y y y mk y x x y y y y t y y y --∴=====-=---+++-又11k t =，由212k k =，有2. 2.m m t t=∴=故点E 的坐标为()2,0.【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是定义的使用，二是计算要准确并且要注意化简的技巧.。