高中数学抛物线大题精选30道（含答案）

抛物线大题30题

1 ．已知抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆224520x y +=的一个焦点相同,

(1)求椭圆的焦点坐标与离心率;

(2)求抛物线方程.

2 ．过抛物线y 2

=4x 的焦点作直线AB 交抛物线于 A ．B,求AB 中点M 的轨迹方程｡

3 ．已知直线l 过定点()0,4A ,且与抛物线2

:2(0)C y

px p = >交于P 、Q 两点,若以PQ 为直径的圆经

过原点O ,求抛物线的方程.

4 ．已知p ：方程

22

12x y m m

+=-表示椭圆；q ：抛物线y =221x mx ++与 x 轴无公共点,若p 是真命题且q 是假命题,求实数m 的取值范围．

5 ．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦

点F 在x 轴上。

（1）求抛物线C 的标准方程；

（2）求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程；

（3）设过点(,0)(0)M m m >的直线交抛物线C 于D ．E 两点，ME=2DM ， 记D 和E 两点间的距离为()f m ，求()f m 关于m 的表达式。

6 ．直线y=2x 与抛物线y=-x 2

-2x+m 相交于不同的两点 A ．B ，求

（1）实数m 的取值范围；（2）∣AB ∣的值(用含m 的代数式表示).

7 ．已知抛物线1C :

24(0)y px p =>,焦点为2F ,其准线与x 轴

交于点1F ;椭圆2C :分别以12F F 、为左、右焦点,其离心率1

2

e =;且抛物线1C 和椭圆2C 的一个交点记为M .

(1)当1p =时,求椭圆2C 的标准方程;

(2)在(1)的条件下,若直线l 经过椭圆2C 的右焦点2F ,且与抛物线1C 相交于,A B 两点,若弦长||AB 等于12MF F ∆的周长,求直线l 的方程.

8 ．如图,已知直线l :2y kx =-与抛物线C :

22(0)x py p =->交于A ,B 两点,O 为坐标原

点,(4,12)OA OB +=--｡

(Ⅰ)求直线l 和抛物线C 的方程; (Ⅱ)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时, 求△ABP 面积最大值.

9．设圆Q 过点P (0,2), 且在x 轴上截得的弦RG 的长为4.

(Ⅰ)求圆心Q 的轨迹E 的方程;

(Ⅱ)过点F (0,1),作轨迹E 的两条互相垂直的弦AB ,CD ,设AB 、CD 的中点分别为M ,N ,试判

断直线MN 是否过定点?并说明理由. 10.已知抛物线2:2C y px =的准线方程1

4

x =-

,C 与直线1

:y x =在第一象限相交于点1P ,过1P 作C

的切线1m ,过1P 作1m 的垂线1g 交x 轴正半轴于点1A ,过1A 作

1的平行线

2交抛物线

C 于第一象限内的

点2P ,过2P 作抛物线1C 的切线2m ,过2P 作2m 的垂线2g 交x 轴正半轴于点2A ,…,依此类推,在x 轴上形成一点列1A ,2A ,3A ,…,(*)n A n N ∈,设点n A 的坐标为(,0).n a

(Ⅰ)试探求1n a +关于n a 的递推关系式; (Ⅱ)求证:1

3

322

n n a -≤⋅-

; (Ⅲ)求证:

()()

1234

211

(23)2(23)6

(23)13321n n n a a a n n n +++

+

≥-

+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅+. 11．已知直线1:++=k kx y l ,抛物线x y C 4:

2=,定点M(1,1)｡

(I)当直线l 经过抛物线焦点F 时,求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标,并判断点N 是否在抛物线C 上;

(II)当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时,设点P(a,1)关于直线l 的对称点为Q(x 0,y 0),求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =;若P 与M 重合时,求0x 的取值范围｡

12．位于函数4

13

3+

=x y 的图象上的一系列点 ),,(,),,(),,(222111n n n y x P y x P y x P ,这一系列点的横坐标构成以2

5

-

为首项,1-为公差的等差数列{}n x . (Ⅰ)求点n P 的坐标;

(Ⅱ)设抛物线 ,,,,,321n C C C C 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴,对于n ∈*

N 第n 条抛物线

n C 的顶点为n P ,抛物线n C 过点)1,0(2+n D n ,且在该点处的切线的斜率为n k ,

求证:

10

1

11113221<

+++-n n k k k k k k . 13．已知抛物线24y x =的焦点为F , A ．B 为抛物线上的两个动点.

(Ⅰ)如果直线AB 过抛物线焦点,判断坐标原点O 与以线段AB 为直径的圆的位置关系, 并给出证明;

(Ⅱ)如果4OA OB ⋅=-(O 为坐标原点),证明直线AB 必过一定点,并求出该定点.

14．已知点F(2 ,0) ,直线:1l x =-,动点N 到点F 距离比到直线l 的距离大1;

(1)求动点N 的轨迹C 的方程; (2)直线2y x =-与轨迹C 交于点A,B,求ABO ∆的面积.

15．(本小题共13分)

已知抛物线C :2y x =,过定点()0,0A x 01()8

x ≥,作直线l 交抛物线于,P Q (点P 在第一象限). (Ⅰ)当点A 是抛物线C 的焦点,且弦长2PQ =时,求直线l 的方程;

(Ⅱ)设点Q 关于x 轴的对称点为M ,直线PM 交x 轴于点B ,且BQ BP ⊥.求证:点B 的坐标是

0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.

16．抛物线()2

:20C y

px p

=上横坐标为3

2

的点到焦点F 的距离为2

（I ）求p 的值；

（II ）过抛物线C 的焦点F.,作相互垂直的两条弦AB 和CD ， 求AB CD +的最小值。

17．在平面直角坐标系x O y 中，已知抛物线2

2y

px =上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设点C 是抛物线上的动点.若以点C 为圆心的圆在y 轴上截得的弦长为4，求证：圆C 过定点.

18．在xoy 平面内，已知定点()3,0P

-，动点,Q R 分别

在,x y 轴上，且0PR RQ ⋅=。若点M 满足条件：

2QM MR =。

(Ⅰ)求点M 的轨迹C 的方程；

(Ⅱ)若直线l ：()0y kx k =>与点M 的轨迹C 所围成区域的面积等于9，求k 的值。

19．已知抛物线2

:C y ax =,直线2y x =+交抛物线C 于

A ．

B 两点,M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线

C 于点N, (1) 证明:抛物线C 在N 点处的切线l 与AB 平行;

(2) 是否存在实数a ,使得0NA NB ⋅=｡若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由｡

20．已知点)0)(0,(>a a F ,直线a x l -=:,点E 是l 上的动点,过点E 垂直于y 轴的直线与线段EF 的垂

直平分线交于点P.

(1)求点P 的轨迹M 的方程;

(2)若曲线M 上在x 轴上方的一点A 的横坐标为a ,过点A 作两条倾斜角互补的直线,与曲线M 的另一个交点分别为 B ．C,求证:直线BC 的斜率为定值.

21．设点P(x ，y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M(

2

1

，0)