2020高三数学立体几何专项训练文科

2020高三数学立体几何专项训练文科1.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA垂直于平面ABCD，E是PD的点。

Ⅰ) 证明PB平行于平面AEC。

Ⅱ) 设AP=1，AD=3，求三棱锥P-ABD的体积V和A点到平面PBD的距离。

2.在四棱锥P-ABCD中，AB平行于CD且AB等于2CD，E为PB的中点。

1) 证明CE平行于平面PAD。

2) 是否存在一点F在线段AB上，使得平面PAD平行于平面CEF？若存在，证明结论；若不存在，说明理由。

3.在四棱锥P-ABCD中，平面PAC垂直于平面ABCD，且PA垂直于AC且等于AD等于2，四边形ABCD满足BC平行于AD，AB垂直于AD且等于1，点E和F分别为侧棱PB和PC上的点，且PEPF等于λ(λ不等于0)。

1) 证明EF平行于平面PAD。

2) 当λ等于2时，求点D到平面AFB的距离。

4.四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形。

1) 证明平面A1BD平行于平面CD1B1.2) 若平面ABCD与平面B1D1C相交于直线l，证明B1D1平行于l。

5.在平行四边形ABCD外一点P，PC的中点为M，在DM上取一点G，过G与AP作平面交平面BDM于H。

证明AP平行于GH。

6.在四棱锥P-ABCD中，PA垂直于底面ABCD，AB垂直于AD，AC垂直于CD，且∠ABC等于60度，PA等于AB等于BC，E是PC的中点。

证明：1) CD垂直于AE；2) PD垂直于平面ABE。

7.在四棱锥P-ABCD中，平面PAB垂直于平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAB为等边三角形，E是PB的中点，平面AED与棱PC交于点F。

1) 证明AD平行于EF；2) 证明PB垂直于平面AEFD；3) 设四棱锥P-AEFD的体积为V1，四棱锥P-ABCD的体积为V2，求V1和V2的值。

8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a，∠DAB 等于60度的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点。

1) 证明BG垂直于平面PAD；2) 证明AD垂直于PB。

3、在四棱锥P-ABCD中，若E为BC边的中点，则是否存在一点F在棱PC上，使得平面DEF垂直于平面ABCD？请证明您的结论。

9、在四棱锥P-ABCD中，已知PC垂直于平面ABCD，AB平行于DC，DC垂直于AC，AD与BC交于点M。

证明：DC垂直于平面PAC；平面PAB垂直于平面PAC；是否存在点F在棱PB上，使得PA平行于平面CEF？10、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，E在棱PC上且不等于点P或C，平面ABE与棱PD交于点F。

证明：AB平行于EF；若AF垂直于EF，则平面PAD垂直于平面ABCD。

11、在四棱锥P-ABCD中，PA垂直于平面ABCD，PA=AB=BC=3，AD=CD=1，∠ADC=120°，M为AC与BD的交点，N在线段PB上且PN=PB。

证明：MN平行于平面PDC；求直线MN与平面PAC所成角的正弦值。

12、在四棱锥ABCD中，PA垂直于CD，AD平行于BC，AD=BC，∠ADC=∠PAB=90°。

证明：存在点M在平面PAD 内，使得直线CM平行于平面PAB；平面PAB垂直于平面PBD。

13、在直三棱柱ABCA1B1C1中，D和E分别为AB和BC的中点，F在侧棱B1B上，且B1D垂直于A1F，A1C1垂直于A1B1.证明：DE平行于平面A1C1F；平面B1DE垂直于平面A1C1F。

14、在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO垂直于平面BB1C1C。

证明：B1C垂直于AB；若AC垂直于B1A1且∠CBB1=60°，则求该三棱柱的高。

15、在四棱锥P-ABCD中，AD垂直于平面PDC，AD平行于BC，PD垂直于PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2.求异面直线AP与BC所成角的余弦值；证明：PD垂直于平面PBC；求直线AB与平面PBC所成角的正弦值。

16、在三棱台ABCDEF中，平面BCFE垂直于平面ABC，且∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.1) 证明BF垂直于平面ACFD。

2) 求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值。

17、在图中，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C、D的点。

1) 证明平面AMD垂直于平面XXX。

2) 判断在线段AM上是否存在点P，使得MC平行于平面PBD，并说明理由。

118、在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝22°，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点。

将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE。

1) 证明CD垂直于平面A1OC。

2) 当平面A1BE垂直于平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为362，求a的值。

119、在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝AB＝2，E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直，在几何体D－ABC 中：1) 证明BC垂直于平面ACD。

2) 点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F－BCE的体积。

20、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E、F分别在A1B1、D1C1上，过点E、F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH。

1) 证明A1E＝D1F。

2) 判断A1D与平面α的关系。

证明：如图所示，取XXX的中点H，连接EH和DH。

因为E为PB的中点，所以EH∥AB且EH＝AB。

又因为AB∥CD且CD＝AB，所以EH∥CD且EH＝CD。

因此四边形DCEH是一个平行四边形，所以CE∥DH。

又因为DH⊂平面PAD且CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD。

证明：如图所示，取AB的中点F，连接CF和EF。

因为E为PB的中点，所以EF∥BC。

又因为BC∥AD，所以EF∥AD。

又因为EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD。

又因为CD＝AB，所以AF＝CD。

又因为AF∥CD，所以四边形AFCD是一个平行四边形，所以CF∥AD。

又因为CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD。

由(1)可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD。

因此存在AB的中点F满足要求。

证明：如图所示，因为PB＝PC＝λ(λ≠0)，所以EF∥BC。

又因为BC∥AD，所以EF∥AD。

又因为EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD。

又因为λ＝PEPF，所以F是PC的中点。

在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝2，所以PC＝PA2＋AC2＝6.又因为平面PAC⊥平面ABCD，且平面P AC∩平面ABCD＝AC，所以PA⊥平面ABCD。

因此PA⊥BC。

又因为AB⊥AD，BC∥AD，所以BC⊥AB。

又因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB。

因此在Rt△PBC中，BF＝PC＝6/√22.又因为AB＝1，所以S△ABD＝1.设点D到平面AFB的距离为d，在等腰三角形BAF中，BF＝AF＝5/√2.又因为点F到平面ABD的距离为1，所以S△ABF＝11/54.由V F－ABD＝V D－AFB，得1×1＝d×11/54，解得d＝33/4554，即点D到平面AFB的距离为33/4554.证明由题设可知BB1∥DD1且BB1＝DD1，所以四边形BB1D1D是一个平行四边形，所以BD∥B1D1.又因为BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1∥B1C1∥BC且A1D1＝B1C1＝BC，所以四边形A1BCD1是一个平行四边形，所以A1B∥D1C。

又因为A1B⊄平面CD1B1，所以A1B∥平面CD1B1.C ⊂平面 CD，因此 A1B∥平面CD。

又因为BD∩A1B=B，BD,A1B ⊂平面A1BD，所以平面A1BD∥平面CD。

由此可得平面A1BD∥平面CD，又因为平面ABCD∩平面B1D1C1=直线l，平面ABCD∩平面A1BD=直线BD，因此直线l∥直线BD。

在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，因此B1D1∥BD，所以B1D1∥l。

连接AC交BD于点O，连接MO，因为PM=MC，AO=OC，所以PA∥MO。

因为PA⊄平面MBD，MO⊂平面MBD，所以PA∥平面MBD。

因为平面PAHG∩平面MBD=GH，所以AP∥GH。

1) 在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD。

因为AC⊥CD，且PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC。

而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE。

2) 由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得AC=PA。

因为E 就是PC的中点，所以AE⊥PC。

由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD。

而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD。

因为XXX⊥底面ABCD，所以PA⊥AB。

又因为AB⊥AD且PA∩AD=A，所以AB⊥平面PAD。

而PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD。

又因为AB∩AE=A，所以PD⊥平面ABE。

1) 因为ABCD为正方形，所以AD∥BC。

因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC。

因为AD⊂平面AEFD，平面AEFD∩平面PBC=EF，所以AD∥EF。

2) 因为四边形ABCD就是正方形，所以AD⊥AB。

因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面PAB。

因为PB⊂平面PAB，所以AD⊥PB。

因为△PAB为等边三角形，E就是PB中点，所以PB⊥AE。

因为AE⊂平面AEFD，AD⊂平面AEFD，AE∩AD=A，所以PB⊥平面AEFD。

3) 由(1)知，V1=VC-AEFD，VE-ABC=VF-ADC=VC-AEFD=V1.因此，VBC-AEFD=V1，即Vp-ABCD=V1.1.在菱形ABCD中，证明BG垂直于平面PAD。

因为∠DAB=60°，G是AD的中点，所以BG垂直于AD。

又因为平面PAD垂直于平面ABCD，且平面PAD与平面ABCD的交线为AD，所以BG垂直于平面PAD。

2.在图中连接PG，证明AD垂直于PB。

因为△PAD是正三角形，G是AD的中点，所以PG垂直于AD。

由(1)知，BG 垂直于AD，又因为PG与BG相交于点G，所以AD垂直于平面PGB。

因为PB在平面PGB内，所以AD垂直于PB。

3.当F为PC的中点时，证明平面DEF垂直于平面ABCD。