苏教版数学中考总复习[中考总复习：方程与不等式综合复习--知识点整理及重点题型梳理](提高)
苏教版中考数学总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：方程与不等式综合复习—知识讲解（提高）【考纲要求】1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况；2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集；4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题；5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项. 5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).6.列一元一次方程解应用题(1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.(2)画图分析法：多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释：列方程解应用题的常用公式：(1)行程问题： 距离=速度×时间 时间距离速度= 速度距离时间=； (2)工程问题： 工作量=工效×工时 工时工作量工效=工效工作量工时=； (3)比率问题： 部分=全体×比率 全体部分比率= 比率部分全体=；(4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题： 售价=定价·折·101，利润=售价-成本， %100⨯-=成本成本售价利润率；(6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2，C 长方形=2(a+b)，S 长方形=ab ， C 正方形=4a ，S 正方形=a 2，S 环形=π(R 2-r 2)，V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=31πR 2h.考点二、一元二次方程 1.一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根.（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±.（3）公式法公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：21,240)2b x b ac a-±=-≥ （4）因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆. 5.一元二次方程根与系数的关系如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，a cx x =21.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 要点诠释：一元二次方程的解法中直接开平方法和因式分解法是特殊方法，比较简单，但不是所有的一元二次方程都能用这两种方法去解，配方法和公式法是普通方法，一元二次方程都可以用这两种方法去解.（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.考点三、分式方程1.分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程.2.解分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”.它的一般解法是：①去分母，方程两边都乘以最简公分母；②解所得的整式方程；③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.口诀：“一化二解三检验”.3.分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点四、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.要点诠释：二元一次方程组的解法：消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.（1）代入消元法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.（3）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透．考点五、不等式（组）1.不等式的概念（1）不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式.（2）不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解.对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.求不等式的解集的过程，叫做解不等式.2.不等式基本性质（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.3.一元一次不等式（1）一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式.（2）一元一次不等式的解法解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将x项的系数化为1.4.一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集.求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组.当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集.（2）一元一次不等式组的解法①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.要点诠释：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式.（1）不等式的其他性质：①若a ＞b ，则b ＜a ；②若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ；③若a ≥b ，且b ≥a ，•则a=b ；④若a 2≤0，则a=0；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号. （2）任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b ＞O ⇔a ＞b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b ＜O ⇔a ＜b ．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c .【典型例题】类型一、方程的综合运用1．如图所示，是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象1l 、2l ，设111y k x b =+，222y k x b =+，则方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是( )不等式组 （其中a ＞b ）图示解集口诀x ax b >⎧⎨>⎩ bax a > （同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ b ax b <（同小取小） x ax b <⎧⎨>⎩ bab x a << （大小取中间）x ax b >⎧⎨<⎩ba无解 （空集） （大大、小小找不到）A ．2,2x y =-⎧⎨=⎩ B ．2,3x y =-⎧⎨=⎩ C ．3,3x y =-⎧⎨=⎩ D ．3,4x y =-⎧⎨=⎩【思路点拨】图象1l 、2l 的交点的坐标就是方程组的解. 【答案】B ；【解析】由图可知图象1l 、2l 的交点的坐标为(-2，3)，所以方程组111222,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解为2,3.x y =-⎧⎨=⎩【总结升华】方程组与函数图象结合体现了数形结合的数学思想，这也是中考所考知识点的综合与相互渗透．2．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份汽油的价格．如图所示．【思路点拨】根据“用150元给汽车加油今年比去年少18.75升”列方程. 【答案与解析】解：设今年5月份汽油价格为x 元/升，则去年5月份的汽油价格为(x-1.8)元/升．根据题意，得15015018.751.8x x-=-，整理，得21.814.40x x --=．解这个方程，得x 1＝4.8，x 2＝-3．经检验两根都为原方程的根，但x 2＝-3不符合实际意义，故舍去． 【总结升华】解题的关键是从对话中挖掘出有效的数学信息，构造数学模型，从而解决问题，让同学们更进一步地体会到数学就在我们身边．类型二、解不等式（组）3．已知A ＝a+2，B ＝a 2-a+5，C ＝a 2+5a-19，其中a ＞2． (1)求证：B-A ＞0，并指出A 与B 的大小关系； (2)指出A 与C 哪个大?说明理由． 【思路点拨】计算B-A 结果和0比大小，从而判断A 与B 的大小；同理计算C-A ，根据结果来比较A 与C 的大小． 【答案与解析】(1)证明：B-A ＝a 2-2a+3＝(a-1)2+2．∵ a ＞2，∴ (a-1)2＞0，∴ (a-1)2+2＞0．∴ a 2-2a+3＞0，即B-A ＞0． 由此可得B ＞A ．(2)解：C-A ＝a 2+4a-21＝(a+7)(a-3)． ∵ a ＞2，∴ a+7＞0．当2＜a ＜3时，a-3＜0， ∴ (a+7)(a-3)＜0．∴ 当2＜a ＜3时，A 比C 大；当a ＝3时，a-3＝0， ∴ (a+7)(a-3)＝0．∴ 当a ＝3时，A 与C 一样大；当a ＞3时，a-3＞0， ∴ (a+7)(a-3)＞0．∴ 当a ＞3时，C 比A 大． 【总结升华】比较大小通常用作差法，结果和0比大小，此时常常用到因式分解或配方法. 本题考查了整式的减法、十字相乘法分解因式，渗透了求差比较大小的思路及分类讨论的思想． 举一反三：【变式1】已知：A=222+-a a ，B=2, C=422+-a a ,其中1>a .(1)求证：A-B>0； (2)试比较A 、B 、C 的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）A-B=222222(21)a a a a a a -+-=-=- ∵1>a ，∴0,210a a >-> ∴A-B>0(2) ∵C-B=22224222(1)10a a a a a -+-=-+=-+> ∴C>B∵A-C=22222242(2)(1)a a a a a a a a -+-+-=+-=+- ∵1>a ，∴20,10a a +>->∴A>C>B【课程名称：方程与不等式综合复习 405277 ：例3】【变式2】如图，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．【答案】解：设n 为正整数，由题意得 ⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n 解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105； 若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101． ∴满足条件的最小正整数x 是21．类型三、方程（组）与不等式（组）的综合应用4．宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班的学生．由于场地、师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名? 【思路点拨】根据招生人数列等式，根据今年招生最多比去年增加100人列不等式. 【答案与解析】设去年招收“宏志班”学生x 名，普通班学生y 名，由条件得550,10%20%100.x y x y +=⎧⎨+≤⎩将y ＝550-x 代入不等式，可解得x ≥100，于是(1+10%)x ≥110． 故今年最少可招收“宏志班”学生110名． 【总结升华】本题属于列方程与不等式组综合题. 举一反三：【变式】为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维持交通秩序，若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人?共有多少个交通路口安排值勤?【答案】设这个学校选派值勤学生x 人，共到y 个交通路口值勤．根据题意得478,48(1)8.x y x y -=⎧⎨≤--<⎩①②由①可得x ＝4y+78，代入②，得4≤78+4y-8(y-1)＜8，解得19.5＜y ≤20.5．根据题意y 取20，这时x 为158，即学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．5．已知关于x 的一元二次方程 2(2)(1)0m x m x m ---+=.（其中m 为实数） （1）若此方程的一个非零实数根为k ， ① 当k = m 时，求m 的值；② 若记1()25m k k k+-+为y ，求y 与m 的关系式；（2）当14＜m ＜2时，判断此方程的实数根的个数并说明理由. 【思路点拨】（1）由于k 为此方程的一个实数根，故把k 代入原方程，即可得到关于k 的一元二次方程，①把k=m 代入关于k 的方程，即可求出m 的值；②由于k 为原方程的非零实数根，故把方程两边同时除以k ，便可得到关于y 与m 的关系式； （2）先求出根的判别式，再根据m 的取值范围讨论△的取值即可． 【答案与解析】（1）∵ k 为2(2)(1)0m x m x m ---+=的实数根，∴ 2(2)(1)0m k m k m ---+=.※① 当k = m 时，∵ k 为非零实数根，∴ m ≠ 0，方程※两边都除以m ，得(2)(1)10m m m ---+=.整理，得 2320m m -+=.解得 11m =，22m =.∵ 2(2)(1)0m x m x m ---+=是关于x 的一元二次方程， ∴ m ≠ 2. ∴ m= 1.② ∵ k 为原方程的非零实数根，∴ 将方程※两边都除以k ，得(2)(1)0mm k m k---+=. 整理，得 1()21m k k m k +-=-.∴ 1()254y m k k m k=+-+=+.（2）解法一：22[(1)]4(2)3613(2)1m m m m m m m ∆=----=-++=--+ .当14＜m ＜2时，m ＞0，2m -＜0.∴ 3(2)m m --＞0，3(2)1m m --+＞1＞0，Δ＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法二：直接分析14＜m ＜2时，函数2(2)(1)y m x m x m =---+的图象，∵ 该函数的图象为抛物线，开口向下，与y 轴正半轴相交，∴ 该抛物线必与x 轴有两个不同交点.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根.解法三：222[(1)]4(2)3613(1)4m m m m m m ∆=----=-++=--+.结合23(1)4m ∆=--+关于m 的图象可知，（如图）当14＜m ≤1时，3716＜∆≤4； 当1＜m ＜2时，1＜∆＜4.∴ 当14＜m ＜2时，∆＞0.∴ 当14＜m ＜2时，此方程有两个不相等的实数根. 【总结升华】和一元二次方程的根有关的问题往往可以借助于二次函数图象解决，数形结合使问题简化. 举一反三：【变式1】（2014秋•天河区期末）已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k ﹣1的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，求平移后的图象的解析式．【答案】解：（1）∵方程2x 2+4x+k ﹣1=0有实数根，∴△=42﹣4×2×（k ﹣1）≥0，∴k≤3．又∵k 为正整数，∴k=1或2或3．（2）当此方程有两个非零的整数根时，当k=1时，方程为2x 2+4x=0，解得x 1=0，x 2=﹣2；不合题意，舍去．当k=2时，方程为2x 2+4x+1=0，解得x 1=﹣1+，x 2=﹣1﹣；不合题意，舍去． 当k=3时，方程为2x 2+4x+2=0，解得x 1=x 2=﹣1；符合题意．因此y=2x 2+4x+2的图象向右平移1个单位，向下平移2个单位，得出y=2x 2﹣2．【课程名称：方程与不等式综合复习 405277：例5】【变式2】已知：关于x 的方程()0322=-+-+k x k x（1）求证：方程()0322=-+-+k x k x 总有实数根； （2）若方程()0322=-+-+k x k x 有一根大于5且小于7，求k 的整数值； (3)在⑵的条件下，对于一次函数b x y +=1和二次函数2y =()322-+-+k x k x ，当71<<-x 时，有21y y >，求b 的取值范围．【答案】⑴证明：∵△=(k －2)2－4(k －3)=k 2－4k +4－4k +12= k 2－8k +16=(k －4)2≥0∴此方程总有实根。
中考数学苏科版知识点总结
中考数学苏科版知识点总结一、代数1. 代数基础代数运算规则：加法、减法、乘法、除法整式与分式：整式的概念、分式的概念代数式的计算：同类项、合并同类项、分拆因式、化简代数式2. 一元一次方程与不等式一元一次方程的解：解方程的基本步骤、方程的解、检验方程的解一元一次不等式的解：解不等式的基本步骤、不等式的解、解不等式的规律3. 二元一次方程组二元一次方程组的解：解二元一次方程组的基本步骤、二元一次方程组的解、检验方程组的解4. 分式方程分式方程的解：解分式方程的基本步骤、分式方程的解、检验分式方程的解5. 平方根与整式平方根的概念：正数的平方根、负数的平方根、根号的运算规则完全平方公式：完全平方公式的应用、完全平方公式的推导6. 二次函数二次函数的图象：二次函数图象的性质、二次函数的平移二次函数的性质：二次函数的增减性、二次函数的大于零值和小于零值、二次函数的最值二、几何1. 几何基本概念角的概念：角的基本概念、角的种类、角的性质直线和线段的概念：直线和线段的基本概念、平行线及其性质2. 直角三角形直角三角形的性质：直角三角形的特殊角、勾股定理3. 四边形四边形的性质：平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质4. 圆圆的性质：圆的基本概念、圆心角、圆周角、弧、弦、冠、相交弦定理5. 圆的应用圆的应用：切线的性质、切线定理、切线长度定理、切线与半径的关系6. 相似三角形相似三角形的性质：相似三角形的判定、相似三角形的性质、相似三角形的应用三、数据统计与概率1. 统计图与统计量统计图的绘制：直方图、折线图、饼图统计量的计算：平均数、中位数、众数2. 概率基本概率模型：随机事件、概率、事件的概率计算概率分布模型：二项分布、正态分布四、解决实际问题的数学方法1. 实际问题的建立数学模型解决实际问题的步骤：问题的建立、数学模型的建立、模型的求解2. 运用函数解决实际问题用函数解决实际问题：函数的概念、函数的应用3. 运用方程组解决实际问题用方程组解决实际问题：方程组的应用、方程组的解法4. 运用不等式解决实际问题用不等式解决实际问题：不等式的应用、不等式的解法5. 运用统计与概率解决实际问题用统计与概率解决实际问题：统计与概率的应用、统计与概率的计算总结：数学是一门科学而又实用的学科，对于学生来说，学好数学是非常重要的。
苏教版数学中考总复习[中考总复习：方程与不等式综合复习--重点题型巩固练习](基础)
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苏教版中考数学总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：方程与不等式综合复习—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．某城市2010年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2012年底增加 到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意，所列方程正确的是( )A ．300(1+x)＝363B ．300(1+2x)＝363C ．300(1+x)2＝363D ．363(1-x)2＝3002．若方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是35x y =⎧⎨=⎩，则方程111222(2)(1)(2)(1)a x b y c a x b y c -++=⎧⎨-++=⎩的解是（ ） A.35x y =⎧⎨=⎩ B.53x y =⎧⎨=⎩ C.54x y =⎧⎨=⎩ D.16x y =⎧⎨=⎩3．若使代数式312x -的值在-1和2之间，x 可以取的整数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．（2014春•港闸区校级月考）不等式组的最小整数解是（ ）A ．﹣1B ．0C ．2D ．﹣35．如果不等式3x-m ≤0的正整数解是1、2、3，那么实数m 的取值范围是( )A ．3＜m ＜9B ．9＜m ＜12C ．9≤m ＜1D ．9≤m ＜126．两个不相等的实数m 、n 满足m 2-6m ＝4，n 2-6n ＝4，则mn 的值是( )A ．6B ．-6C ．4D ．-4二、填空题7．若方程x 2-m ＝0有整数根，则m 的值可以是________．(只填一个)8．设x 1、x 2是关于x 的方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两个根，则1211b x x c++=________． 9．已知一个一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是________．(只要写出一个即可)10．张欣和李明相约到图书城去买书．请你根据他们的对话内容(如图所示)，求出李明上次所买书籍的原价为________．11. 已知y x ,满足⎩⎨⎧=+=+2176522274y x y x ，则y x -=__________.12．（2014•永嘉县校级模拟）若关于x 的不等式组的整数解只有2，则a 的取值范围为 ．三、解答题13．（2015•宁夏）某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？14. 已知关于x 的方程2x 2-kx+1＝0的一个解与方程2141x x+=-的解相同． (1)求k 的值；(2)求方程2x 2-kx+1＝0的另一个解．15．已知关于x 的方程 2220x ax a b --+=，其中a 、b 为实数.（1）若此方程有一个根为2 a （a ＜0），判断a 与b 的大小关系并说明理由；（2）若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围.16. 某班到毕业时共结余经费1 800元，班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品，其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品．已知每件文化衫比每本相册贵9元，用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册．（1）求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元？（2）有几种购买文化衫和相册的方案？哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足？【答案与解析】一、选择题1.【答案】C ；【解析】平均增长率公式为(1+)n a x b = (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)2.【答案】C ；【解析】由已知可得2315x y -=⎧⎨+=⎩ 解得54x y =⎧⎨=⎩. 3.【答案】B ；【解析】依题意-1＜312x -＜2 得 15-33x ＜＜，x 可以取的整数为0,1. 4.【答案】D ； 【解析】， 解①得：x ＜2，解②得：x ＞﹣4．则不等式组的解集是：﹣4＜x ＜2．则最小整数解是：﹣3．故选D ．5.【答案】D ； 【解析】原不等式的解集为3m x ≤，故343m ≤<，可知9≤m ＜12．6.【答案】D ；【解析】∵ 2640m m --=，2640n n --=，∴ m 、n 是方程x 2-6x-4＝0的两根．∴ mn ＝x 1·x 2＝-4．二、填空题7．【答案】1或4(答案不唯一)；8．【答案】0； 【解析】121212110bx x b b b b b a c x x c x x c c c ca -+++=+=+=-+=. 9．【答案】x 2-1＝0(不唯一)；10．【答案】160元；【解析】设李明上次所买书籍的原价为x 元，根据题意列方程得：()0.82012x x -+= 解方程得：160x =.11．【答案】-5；【解析】方法一：利用加减消元或代入消元解方程组求出,x y 的值，代入y x -求出值；方法二：观察系数的特点，发现两个方程相减即可得到y x -的值.12．【答案】 ﹣3≤a＜0； 【解析】，解①得：x ＜3，解②得：x ＞， 则不等式组的解集是：＜x ＜3， ∵整数解只有2， ∴1≤＜2，解得：﹣3≤a ＜0．故答案是：﹣3≤a＜0．三、解答题13.【答案与解析】解：（1）设原计划买男款书包x 个，则女款书包（60﹣x ）个， 根据题意得：50x+70（60﹣x ）=3400，解得：x=40，60﹣x=60﹣40=20，答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个．（2）设女款书包最多能买y 个，则男款书包（80﹣y ）个， 根据题意得：70y+50（80﹣y ）≤4800，解得：y≤40，∴女款书包最多能买40个．14.【答案与解析】(1)∵2141x x+=-，∴ 2x+1＝4-4x ． ∴ 12x =．经检验12x =是原方程的解． 把12x =代入方程2x 2-kx+1＝0， 解得k ＝3．(2)解2x 2-3x+1＝0，得112x =，x 2＝1． ∴ 方程2x 2-kx+1＝0的另一个解为x ＝1．15.【答案与解析】（1）∵ 方程 2220x ax a b --+=有一个根为2a ， ∴ 224420a a a b --+=. 整理，得 2a b =. ∵ 0a <， ∴ 2a a <，即a b <. （2） 2244(2)448a a b a a b ∆=--+=+-对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴ 对于任何实数a ，都有2448a a b +-≥0 ，即22a a b +-≥0.∴ 对于任何实数a ，都有b ≤22a a +. ∵ 22111()2228a a a +=+- ， 当 12a =-时，22a a +有最小值18-. ∴ b 的取值范围是b ≤18-.16.【答案与解析】（1）设文化衫和相册的价格分别为x 元和y 元，则925200x y x y -=⎧⎨+=⎩解得3526x y =⎧⎨=⎩．答：一件文化衫和一本相册的价格分别为35元和26元．（2）设购买文化衫t 件，则购买相册(50)t -本，则15003526(50)1530t t +-≤≤，解得20023099t ≤≤． ∵t 为正整数，∴t =23，24，25，即有三种方案．第一种方案：购文化衫23件，相册27本，此时余下资金293元；第二种方案：购文化衫24件，相册26本，此时余下资金284元；第三种方案：购文化衫25件，相册25本，此时余下资金275元；所以第一种方案用于购买教师纪念品的资金更充足．。
中考数学第一轮复习方程与不等式知识总结
中考数学第一轮复习方程与不等式知识总结一、方程基础概念方程是数学中用于描述两个数学表达式之间相等关系的一种形式。
它通常由未知数、已知数和运算符号组成。
在中考数学中，方程是解决问题的重要工具之一。
理解方程的定义、解的概念以及方程解的性质是后续学习的基础。
二、一元一次方程解法一元一次方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程。
其一般形式为`ax + b = 0`（其中`a ≠0`）。
解一元一次方程的基本步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
掌握这些步骤，能够高效地求解一元一次方程。
三、二元一次方程组二元一次方程组是由两个或两个以上含有两个未知数的一次方程组成的方程组。
解二元一次方程组的基本思想是通过消元法（代入消元法或加减消元法）将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。
掌握二元一次方程组的解法，对于解决实际问题具有重要意义。
四、一元二次方程公式法一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。
其一般形式为`ax^2 + bx + c = 0`（其中`a ≠0`）。
对于一元二次方程的求解，当判别式`Δ= b^2 - 4ac`大于或等于0时，可以使用公式法求解。
公式法求解一元二次方程的公式为`x = [-b ±√(Δ)] / (2a)`。
掌握公式法，能够准确地求解一元二次方程的根。
五、不等式与解集不等式是表示两个数学表达式之间不等关系的一种形式。
它通常用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号表示。
不等式的解集是指满足不等式的所有未知数的值的集合。
理解不等式的性质，掌握不等式解集的表示方法，是求解不等式的基础。
六、一元一次不等式解法一元一次不等式是只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式。
解一元一次不等式的基本步骤与解一元一次方程类似，包括去分母、去括号、移项、合并同类项等。
但需要注意的是，在解不等式时，当两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向会发生变化。
九年级数学中考复习专题——方程与不等式(附答案)
知识点一 一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数为1，这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠．注意：x 前面的系数不为0．2．一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 3．一元一次方程0(0)ax b a +=≠的求解步骤知识点二 二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．知识点三分式方程及其解法1．分式方程：分母中含有的方程叫做分式方程；2．分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程。
（2）解分式方程的一般步骤：第一步：，将分式方程转化为整式方程；第二步：解整式方程；第三步：．（3）增根：在进行分式方程去分母的变形时，有时可能产生使原方程分母为的根，称为方程的增根。
因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为的根是增根应舍去。
（4）产生增根的原因：将分式方程化为整式方程时，在方程两边同乘以使最简公分母为的因式。
知识点四一元二次方程及其解法1．一元二次方程：只含有个未知数（一元），并且未知数最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
苏教版数学中考总复习(知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(基础版)(家教、补习、复习用)
苏教版中考数学总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：实数—知识讲解（基础）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义分类：⎧⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零有理数有限小数或无限循环小数负整数实数正分数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.按性质符号分类：⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零负整数负有理数负实数负分数负无理数 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如nm（m ，n 是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如π是无理数，24ππ、等都是无理数，而不是分数； （2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3…都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.考点二、实数的相关概念 1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a 、b 互为相反数⇔a+b=0. 2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （2)几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a 是实数，则|a|≥0． 要点诠释：若,a a =则0a ≥；-,a a =则0a ≤；-a b 表示的几何意义就是在数轴上表示数a 与数b 的点之间的距离. 3.倒数（1)实数(0)a a ≠的倒数是a1；0没有倒数； （2)乘积是1的两个数互为倒数．a 、b 互为倒数1a b ⇔⋅=. 4.平方根（1)如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a （a ≥0）的平方根记作a ±．（2)一个正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根．a （a ≥0）的算术平方根记作a ． 5.立方根如果x 3=a ，那么x 叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0．考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a 、b ， 若a-b>0⇔a>b ；a-b=0⇔a=b ；a-b<0⇔a<b.4.对于实数a ，b ，c ，若a>b ，b>c ，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a 2>b 2⇔a>b b a >⇔；或利用倒数转化：如比较417-与154-.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算 1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．满足运算律：加法的交换律a+b=b+a ，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba ；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac ． 4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方（1)求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，a n所表示的意义是n 个a 相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数011(0)(0).pp a a aa a-==≠，≠ 要点诠释：加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．考点六、有效数字和科学记数法一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.把一个数用±a ×10n （其中1≤＜10，n 为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a ×10n，其中1≤a ＜10，n 为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a ×10n，其中1≤a ＜10，n 为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.【典型例题】类型一、实数的有关概念1．（1）a 的相反数是15-，则a 的倒数是_______．（2）实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示: =______．0ab（3）（泉州市）去年泉州市林业用地面积约为10200000亩，用科学记数法表示为约____________．【答案】（1）5 ； （2）-a-b ； （3）1.02×107亩. 【解析】（1）注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.（2）此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.由图知：0 0 |||| 0 ||().a b a b a b a b a b a b ><<∴+<=+=-+=--，，，，（3）考查科学记数法的概念.【点评】本大题旨在通过几个简单的填空，让学生加强对实数有关概念的理解． 举一反三：【变式】据市旅游局统计，今年“五·一”小长假期间，我市旅游市场走势良好，假期旅游总收入达到8.55亿元，用科学记数法可以表示为（ ）A ．8.55×106B ．8.55×107C ．8.55×108D ．8.55×109【答案】C.类型二、实数的分类与计算2．下列实数227、sin60°、3π、、3.14159、(2- ）个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C.【解析】无理数有sin60°、3π【点评】对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．举一反三：【课程名称： 实数 369214 ：经典例题1】 【变式】在,30cos ,2π,)23(,4,8,14.30 --,45tan ,712,1010010001.0 ,51-13.0%,3 中，哪些是有理数? 哪些是无理数?【答案】03.14,2),-,45tan ,712,51-13.0%,3 都是有理数； π,cos30,2-0.1010010001,都是无理数.3．（2015•梅州）计算：+|2﹣3|﹣（）﹣1﹣（2015+）0．【答案与解析】解：原式=2+3﹣2﹣3﹣1=﹣1．【点评】该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂等．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．举一反三：【课程名称：实数 369214 ：经典例题8-9】【变式1】计算：（2015•甘南州）计算：|﹣1|+20120﹣（﹣）﹣1﹣3tan30°．【答案】解：原式=﹣1+1﹣（﹣3）﹣3×=+3﹣=3．【变式2】计算：12004200320022001+⨯⨯⨯ 【答案】设n=2001，则原式=1)3)(2)(1(++++n n n n1)23)(3(22++++=n n n n （把n 2+3n 看作一个整体）=1)3(2)3(222++++n n n n =n 2+3n+1=n(n+3)+1 =2001×2004+1 =4010005.类型三、实数大小的比较4．比较下列每组数的大小：（1）417-与154- （2）a 与a1（a ≠0） 【答案与解析】（140=>，40=>，4+与4+440>+>，44-<- （2）当a<-1或O<a<1时，a<a1；当-1<a<0或a>1时，a>a1； 当a=1±时，a=a1.【点评】（1）有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；（2）这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把a1的值看成是关于a 的反比例函数，把a 的值看成是关于a 的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.举一反三：【变式】比较下列每组数的大小： （1）817-和511- （2）52+和23+【答案】（1）将其通分，转化成同分母分数比较大小，1785840= ，1188540=， 171185<，所以171185->-.（2）277+=+=+)2277+=+=+<2+<+.类型四、平方根的应用5．已知：x ，y 2690y y +-+=，若axy-3x=y ，则实数a 的值是_______.【答案】14.2690y y -+=2(3)0y +-=两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时为0，0=，(y-3)2=0， ∴ x=43-， y=3又∵axy-3x=y，∴ a=43()33134433x yxy⨯-++==-⨯.【点评】此题考查的是非负数的性质.类型五、实数运算中的规律探索6．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题21222312,213,214,2SSS+==+==+==1A2AA（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+ S22+ S32+…+ S102的值.【答案与解析】（1）由题意可知，图形满足勾股定理，()2,112nSnn n=+=+（2）因为OA1=1，OA2=2，OA3=3…，所以OA10=10（3）S12+ S22+ S32+…+ S102=2222)210()23()22()21(++++=)10321(41++++=455.【点评】近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.举一反三：【变式】图中是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个，第三行有4个，•第四行有8个，……你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第十行有______个苹果．【答案】29（512）.苏教版中考数学总复习重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习中考总复习：实数—巩固练习 （基础）【巩固练习】 一、选择题1. 在实数－23，0，－3.1415，2－0.1010010001…（每两个1之间依次多1个0），sin30° 这8个实数中，无理数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人．将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ） A ．66.6×107B ．6.66×108C ．0.666×108D ．6.66×1073．（2015•杭州）若k ＜＜k+1（k 是整数），则k=（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．94．在三个数0.5、、中，最大的数是( )A ．0.5B ．C ．D ．不能确定5．用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（ ） A ．0.1（精确到0.1）B ．0.05（精确到百分位）C ．0.050（精确到0.001）D ．0.05（精确到千分位）6．我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P 处所对应的点图是( )二、填空题7． ()0201112=-++y x 则x y= .8． （2014•辽阳）5﹣的小数部分是 ．9．若22+-b a 与互为相反数，则a+b 的值为________． 10．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的绝对值是1，则2m cd mba +-+的值为________．11．已知：22222233445522 33 44 55338815152424+=⨯+=⨯+=⨯+=⨯，，，，，若21010b ba a+=⨯符合前面式子的规律，则a+b=________．12．将正偶数按下表排列：第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 2第2行 4 6第3行 8 10 12第4行 14 16 18 20 ……根据上面的规律，则2006所在行、列分别是________．三、解答题13． 计算：（1）2012201280.125⨯ （2）222121⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+e e e e14．若333)43(,)43(,)43(--=-=-=c b a ，比较a 、b 、c 的大小。
苏教版数学中考复习之专题四方程与方程组
实用标准文案中考复习之专题四方程与方程组教学准备一. 教学目标：1.掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义，2.使学生掌握解方程的根本思想、方法、步骤。
并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。
3.列一元一次方程二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。
二 .教学重点与难点1.一元二次方程、分式方程的解法及其运用2.列方程解决生活实际中的问题三 . 知识要点知识点 1、方程〔组〕的解〔整数解〕等概念。
使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解知识点 2、一元一次方程及二元一次方程组的定义只含有一个未知数并且未知数的次数是 1 系数不为0 的方程叫做一元一次方程几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组知识点 3、一元一次方程、二元一次方程组的解法一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程知识点 4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系当为二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x 的值。
从图象上看，这相当于纵坐标，确定横坐标的值。
知识点 5、一元二次方程的定义ax2＋ bx＋c＝0〔a≠0〕，a，b， c 均为常数，尤其a 不为零要切记。
知识点 6、一元二次方程的几种解法如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。
知识点 7、分式方程的解法〔1〕去分母，把分式方程转化为整式方程〔2〕解整式方程〔3〕检验知识点 8、解分式方程要验根的原因解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0 的整式 .文档因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.知识点 9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等根本类型应用题的分析掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。
方程(组)与不等式(组)知识点
中考复习三 方程（组）与不等式（组）【一次方程及方程】一、等式与方程的有关概念1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程 的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系 数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3. 解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1. 二、二元一次方程（组）及解法1．二元一次方程：含有 未知数（元）并且未知数的次数是 的整式方程.2. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组.3．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.4．二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的 ，叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤： 二元一次方程组方程.消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种. 6．易错知识辨析：（1）解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，要注意：①方程两边不能乘 以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏 乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.（2）二元一次方程有无数个解，它的解是一组未知数的值；（3）二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解，是一对确定的数值； （4）利用加减法消元时，一定注意要各项系数的符号.1.（2009年，3分）如图9加入水后，一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15．两根铁棒长度之和为55 cm ，此时木桶中水的深度是 cm ．2.（2010年，2分）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1元纸币为x 张，根据题意，下面所列方程正确的是 A ．48)12(5=-+x x B ．48)12(5=-+x x C ．48)5(12=-+x x D ．48)12(5=-+x x 【一元二次方程及其应用】1.一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项， 右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是21,240)x b ac =-≥.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=2,1x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .5．列一元二次方程解应用题的一般步骤：审、找、设、列、解、答六步。
2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第二章方程(组)与不等式(组)第三节分式方程及其应用
耽搁，故李老师骑自行车先行出发，20 min后，张老师乘坐汽车出发，结果
两人同时到达①.已知汽车的平均速度是自行车平均速度的2倍，求李老师骑自
行车的平均速度；
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解：设自行车的平均速度为x km/h，则汽车的平均速度为2x km/h，根据题意，
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第三节
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分式方程及其应用
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分
式
方
程
及
其
应
用
相
关
概
念
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得
－ ＝ ，解得x＝15，
经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意.
答：李老师骑自行车的平均速度为15 km/h.
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【分层分析】
第一步：设自行车的平均速度为x km/h；
2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-函数与方程、不等式的关系
2023年中考数学一轮复习专题提优练习函数与方程、不等式的关系一、选择题1．如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，4），则不等式kx+b＞4的解集为（）A．x＞﹣2 B．x＜﹣2 C．x＞4 D．x＜42．如图，一次函数y＝k1x+b1的图象l1与y＝k2x+b2的图象l2交于点P，则方程组的解是（）A ．B ．C ．D ．3．如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y ＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣44．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5 B．﹣5＜t＜3 C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4第1题第2题第3题第4题5．二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图所示，则满足ax2+bx+c＞mx+n 的x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜0 B．x＜﹣3或x＞0C．x＜﹣3 D．0＜x＜3第5题第6题6．如图，直线y＝kx+b与直线y＝mx相交于点A（﹣1，2），与x轴相交于点B（﹣3，0），则关于x的不等式组0＜kx+b＜mx的解集为（）A．x＞﹣3 B．﹣3＜x＜﹣1 C．﹣1＜x＜0 D．﹣3＜x＜07．根据关于x的一元二次方程x2+px+q＝0，可列表如下：则方程x2+px+q＝0的正数解满足（）x0 0.5 1 1.1 1.2 1.3x2+px+q﹣15 ﹣8.75 ﹣2 ﹣0.59 0.84 2.29A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是28．二次函数y1＝x2+bx+c与一次函数y2＝kx﹣9的图象交于点A（2，5）和点B（3，m），要使y1＜y2，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3 B．x＞2 C．x＜3 D．x＜2或x＞3二、填空题9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝．10．如图，在抛物线y1＝ax2（a＞0）和和y2＝mx2+nx（m＜0）中，抛物线y2的顶点在抛物线y1上，且与x轴的交点分别为（0，0）（4，0），则不等式（a﹣m）x2﹣nx＜0的解集是．第9题第10题第11题11．如图，二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx的图象交于点A和原点O，点A的横坐标为﹣4，点A和点B关于抛物线的对称轴对称，点B的横坐标为1，则满足0＜y1＜y2的x的取值范围是．12. 如图，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解是．13. 如图所示，函数y＝ax+b和y＝|x|的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是．14. 若函数y＝kx﹣b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x﹣3）﹣b＞0的解集为第12题第13题第14题15.已知抛物线y＝ax2+bx+c与双曲线y＝有三个交点A（﹣3，m），B（﹣1，n），C（2，p），则不等式ax3+bx2+cx﹣k2＞0的解集为．三、解答题16．在平面直角坐标xOy中，直线y＝kx+2（k≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），与曲线y＝x3交于点B（m，3.52）．（1）求k和m的值；（2）根据函数图象直接写出x3＞kx+2的解集．17.如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）直接写出不等式的解．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点（2，3）和（﹣3，﹣12）．（1）求此二次函数的表达式；（2）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，若锐角∠PCO＝∠ACO，写出此时点P的坐标；（3）若直线l：y＝kx（k≠0）与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由．19.2020年中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）（0≤x≤11）的变化情况，数据如下表：时间x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11（分钟）人数y0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 800 770（人）（1）根据这11分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？20.如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线对应的函数关系式；（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．。
苏教版数学中考知识点总结
苏教版数学中考知识点总结苏教版数学中考学问点总结1函数①位置确实定与平面直角坐标系位置确实定坐标变换平面直角坐标系内点的特征平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置对称问题：P(x,y)→Q(x,- y)关于x轴对称P(x,y)→Q(- x,y)关于y轴对称P(x,y)→Q(- x,-y)关于原点对称变量、自变量、因变量、函数的定义函数自变量、因变量的取值范围(使式子有意义的条件、图象法) 56、函数的图象：变量的改变趋势描述②一次函数与正比例函数一次函数的定义与正比例函数的定义一次函数的图象：直线，画法一次函数的性质(增减性)一次函数y=kx+b(k≠0)中k、b符号与图象位置待定系数法求一次函数的解析式(一设二列三解四回)一次函数的平移问题一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程的关系(图象法)一次函数的实际应用一次函数的综合应用(1)一次函数与方程综合(2)一次函数与其它函数综合(3)一次函数与不等式的综合(4)一次函数与几何综合苏教版数学中考学问点总结2一、代数式1. 概念：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数与字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或字母也是代数式。
2. 代数式的值：用数代替代数式里的字母，根据代数式的运算关系，计算得出的结果。
二、整式单项式和多项式统称为整式。
1. 单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。
单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。
2) 单项式的系数：单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
3) 单项式的次数：一个单项式中，全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
2. 多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
一个多项式有几项就叫做几项式。
2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
3. 多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的挨次排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。