(典型题高考数学二轮复习知识点总结函数与方程思想
函数与方程思想
1．函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概
念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构
造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程的思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．
2．和函数与方程思想密切关联的知识点
(1)函数与不等式的相互转化．对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借
助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十
分重要．
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知
量的表达式，那么问题就能化为未知量的方程来解．
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方
程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
(5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表
达式的方法加以解决.
类型一函数与方程思想在数列中的应用
例1 已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列．
(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{a n}的通项公式a n；
(2)在(1)的条件下，数列{a n}的前n项和为S n，设b n＝
1
Sn＋1
＋
1
Sn＋2
＋…＋
1
S2n
，若对
任意的n∈N*，不等式b n≤k恒成立，求实数k的最小值．解(1)因为a1＝2，a23＝a2·(a4＋1)，
又因为{a n}是正项等差数列，故d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n . (2)因为S n ＝n (n ＋1)，
b n ＝
1Sn ＋1＋1Sn ＋2＋…＋1
S2n
＝1n ＋1
n ＋2
＋
1n ＋2
n ＋3
＋…＋
1
2n
2n ＋1
＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1 ＝
1n ＋1－12n ＋1＝n 2n2＋3n ＋1＝1
2n ＋1
n
＋3
， 令f (x )＝2x ＋1
x
(x ≥1)，
则f ′(x )＝2－1
x2
，当x ≥1时，f ′(x )>0恒成立，
所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，[f (x )]min ＝f (1)＝3， 即当n ＝1时，(b n )max ＝1
6
，
要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立， 则须使k ≥(b n )max ＝1
6，
所以实数k 的最小值为1
6
.
(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组可“知三求二”；
(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式即为相应的解析式，因此在解决数列问题时，应注意用函数的思想求解． 已知数列{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144. (1)求数列{a n }的通项a n ；
(2)设数列{b n }的通项b n ＝1
anan ＋1，记S n 是数列{b n }的前n 项和，若n ≥3时，有S n ≥m
恒成立，求m 的最大值．
解 (1)∵{a n }是等差数列，a 1＝1，a 2＋a 3＋…＋a 10＝144， ∴S 10＝145，∴S 10＝
10
a1＋a10
2
，
∴a 10＝28，∴公差d ＝3. ∴a n ＝3n －2(n ∈N *
)． (2)由(1)知b n ＝
1anan ＋1＝1
3n －23n ＋1
＝13? ??
??13n －2－13n ＋1，
∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13? ?
???1－13n ＋1，
∴S n ＝
n 3n ＋1
. ∵S n ＋1－S n ＝n ＋13n ＋4－n
3n ＋1＝
1
3n ＋4
3n ＋1
>0，
∴数列{S n }是递增数列． 当n ≥3时，(S n )min ＝S 3＝3
10
，
依题意，得m ≤310，∴m 的最大值为3
10.
类型二 函数与方程思想在方程问题中的应用
例2 如果方程cos 2
x －sin x ＋a ＝0在(0，π2
]上有解，求a 的取值范围．
解 方法一 设f (x )＝－cos 2
x ＋sin x (x ∈(0，π2])．
显然当且仅当a 属于f (x )的值域时，a ＝f (x )有解． ∵f (x )＝－(1－sin 2
x )＋sin x ＝(sin x ＋12)2－54，
且由x ∈(0，π
2]知sin x ∈(0,1]．
易求得f (x )的值域为(－1,1]． 故a 的取值范围是(－1,1]．
方法二 令t ＝sin x ，由x ∈(0，π
2]，可得t ∈(0,1]．
将方程变为t 2
＋t －1－a ＝0. 依题意，该方程在(0,1]上有解． 设f (t )＝t 2
＋t －1－a .
其图象是开口向上的抛物线，对称轴t ＝－1
2
，如图所示．
因此f (t )＝0在(0,1]上有解等价于???
??
f
0<0
f 1≥0
，
即?
??
??
－1－a<0
1－a≥0，∴－1 研究此类含参数的三角、指数、对数函数等复杂方程解的问题，通常有两种 处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决． 当a 为何值时，方程lg(3－x )＋lg(x －1)＝lg(a －x )有两解？一解？无 解？ 解 当??? ?? 3－x>0，x －1>0， 即1 ＋5x －3＝a .(*) 作出函数y ＝－x 2 ＋5x －3 (1 当3 4时，原方程有两解； 当1 4时，原方程有一解； 当a >13 4或a ≤1时，原方程无解． 类型三 函数与方程思想在不等式中的应用 例3 设f (x )＝ln x ＋x －1，证明： (1)当x >1时，f (x )<3 2(x －1)； (2)当1 9 x －1 x ＋5 . 证明 (1)方法一 记g (x )＝ln x ＋x －1－3 2(x －1)， 则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －3 2 <0. 又g (1)＝0，所以有g (x )<0，即f (x )<3 2(x －1)． 方法二 当x >1时，2x 2 . ① 令k (x )＝ln x －x ＋1，则k (1)＝0，k ′(x )＝1 x －1<0， 故k (x )<0，即ln x ② 由①②得，当x >1时，f (x )<3 2 (x －1)． (2)方法一 记h (x )＝f (x )－9x －1 x ＋5， 由(1)得h ′(x )＝1x ＋12x －54 x ＋52 ＝2＋x 2x －54x ＋52 x ＋52 ＝ x ＋53－216x 4x x ＋52 . 令G (x )＝(x ＋5)3 －216x ，则当1 G ′(x )＝3(x ＋5)2－216<0， 因此G (x )在(1,3)内是减函数． 又由G (1)＝0，得G (x )<0，所以h ′(x )<0. 因此h (x )在(1,3)内是减函数． 又h (1)＝0，所以h (x )<0. 于是当1 9 x －1 x ＋5 . 方法二 记h (x )＝(x ＋5)f (x )－9(x －1)， 则当1 由(1)得h ′(x )＝f (x )＋(x ＋5)f ′(x )－9 <32(x －1)＋(x ＋5)·? ????1x ＋12x －9 ＝1 2x [3x (x －1)＋(x ＋5)(2＋x)－18x ] <12x ? ??? ??3x x －1＋x ＋5? ????2＋x 2＋12－18x ＝14x (7x 2 －32x ＋25)<0. 因此h (x )在(1,3)内单调递减． 又h (1)＝0，所以h (x )<0， 即f (x )<9x －1 x ＋5 . 根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，研究该函数的单调性是解决这一类问题的关键，体现了导数的工具性以及函数、方程的数学思想． f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________. 答案 4 解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立； 当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3 －3x ＋1≥0可化为 a ≥3x2－1x3 . 设g (x )＝3x2－1x3，则g ′(x )＝31－2x x4，所以g (x )在区间? ?? ??0，12上单调递增，在区间???? ??12，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ? ?? ??12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时， f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为 a ≤3x2 －1x3 ，g (x )＝3x2－1x3 在区间[－1,0)上单调递增， 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上a ＝4. 类型四 函数与方程思想在解析几何中的应用 例4 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为 2 2 ，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为 22 . (1)求椭圆的方程； (2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围，若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，椭圆方程可设为x2a2＋y2 b2＝1(a >b >0)， 设F (c,0)，直线l ：x －y －c ＝0， 由坐标原点O 到l 的距离为22 ， 得 |0－0－c|2 ＝2 2，解得c ＝1. 又e ＝c a ＝2 2，故a ＝2，b ＝1， ∴所求椭圆方程为x22 ＋y 2 ＝1. (2)假设存在点M (m,0)(0≤m ≤1)满足条件，使得以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形． 因为直线与x 轴不垂直， 所以设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由? ?? ?? x2＋2y2＝2，y ＝k x －1，可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2 －2＝0. 显然Δ>0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k21＋2k2，x 1x 2＝2k2－21＋2k2. 设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 则x 0＝x1＋x22＝2k21＋2k2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k2. ∵以MP 、MQ 为邻边的平行四边形是菱形， ∴MN ⊥PQ ，∴k MN ·k PQ ＝－1. 即－k 1＋2k22k21＋2k2－m ·k ＝－1，∴m ＝k21＋2k2＝12＋1 k2， ∵k 2 >0，∴0 . 本题主要考查直线方程、直线的斜率与倾斜角的关系、椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系、函数与方程思想等知识，多知识点、多章节知识的交汇是综合题的出题方向．要熟练数学思想方法的应用． 已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率为1 2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径 的圆与直线x －y ＋6＝0相切，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于 A 、 B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB → 的取值范围； (3)若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点． (1)解 由题意知e ＝c a ＝1 2， ∴e 2＝c2a2＝a2－b2a2＝14，即a 2 ＝43b 2， 又b ＝ 6 1＋1＝3，∴a 2 ＝4，b 2 ＝3， 故椭圆C 的方程为x24＋y2 3 ＝1. (2)解 由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为 y ＝k (x －4)， 由???? ? y ＝k x －4x24＋y2 3 ＝1得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2 －12＝0， 由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0得k 2<14 . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k24k2＋3，x 1x 2＝64k2－12 4k2＋3，① ∴y 1y 2＝k (x 1－4)k (x 2－4)＝k 2 x 1x 2－4k 2 (x 1＋x 2)＋16k 2 ， ∴OA →·OB → ＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)·64k2－124k2＋3－4k 2·32k24k2＋3＋16k 2 ＝25－874k2＋3， ∵0≤k 2<1 4，∴－873≤－874k2＋3<－874， ∴OA →·OB →∈??? ???－4，134， ∴OA →·OB →的取值范围是? ?????－4，134. (3)证明 ∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)， 直线AE 的方程为y －y 1＝y1＋y2 x1－x2(x －x 1)， 令y ＝0得x ＝x 1－ y1 x1－x2 y1＋y2 ， 又y 1＝k (x 1－4)，y 2＝k (x 2－4)， ∴x ＝2x1x2－4x1＋x2x1＋x2－8， 将①代入上式得x ＝1， ∴直线AE 与x 轴交于定点(1,0)． 1． 在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如 等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者定理列方程或方程组求解需要的量． 2． 当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的 关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想． 3． 借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的 取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解． 4． 许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主 导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量． 1． 若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有 ( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0 D ．x －y ≥0 答案 B 解析 把不等式变形为2x －5－x ≤2－y －5y ，构造函数y ＝2x －5－x ，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y . 2． 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2 ，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M 、N ，则当|MN |达到最小 时t 的值为 ( ) A ．1 B.1 2 C.5 2 D.22 答案 D 解析 可知|MN |＝f (x )－g (x )＝x 2 －ln x . 令F (x )＝x 2 －ln x ，F ′(x )＝2x －1x ＝2x2－1x ， 所以当0 2 时，F ′(x )<0，F (x )单调递减； 当x > 2 2 时，F ′(x )>0，F (x )单调递增， 故当x ＝t ＝ 2 2 时，F (x )有最小值，即|MN |达到最小． 3． 长度都为2的向量OA →，OB →的夹角为60°，点C 在以O 为圆心的圆弧AB (劣弧)上，OC → ＝ m OA →＋n OB → ，则m ＋n 的最大值是________． 答案 23 3 解析 建立平面直角坐标系，设向量OA →＝(2,0)，向量OB →＝(1，3)．设向量OC → ＝(2cos α，2sin α)，0≤α≤π3 . 由OC →＝m OA →＋n OB → ，得(2cos α，2sin α)＝(2m ＋n ，3n )， 即2cos α＝2m ＋n,2sin α＝3n ， 解得m ＝cos α－ 13 sin α，n ＝ 23 sin α. 故m ＋n ＝cos α＋ 13 sin α＝ 233sin ? ????α＋π3≤233. 4． 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2 ＋ax －3.若对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立．实 数a 的取值范围为________． 答案 a ≤4 解析 由题意，得当x ∈(0，＋∞)时， 有2x ln x ≥－x 2 ＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x . 设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1 x2 ，当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0， h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增， 所以h (x )min ＝h (1)＝4. 因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )min ＝4. 5． 已知椭圆G ：x2a2＋y2a2－1 ＝1(a >1)，⊙M ：(x ＋1)2＋y 2 ＝1，P 为椭圆 G 上一点，过P 作⊙M 的两条切线PE 、PF ，E 、F 分别为切点． (1)求t ＝|PM → |的取值范围； (2)把PE →·PF → 表示成t 的函数f (t )，并求出f (t )的最大值、最小值． 解 (1)设P (x 0，y 0)，则x20a2＋y20 a2－1＝1(a >1)， ∴y 20＝(a 2 －1)? ????1－x20a2， ∴t 2＝|PM →|2＝(x 0＋1)2 ＋y 20 ＝(x 0＋1)2＋(a 2 －1)? ?? ??1－x20a2 ＝? ????1a x0＋a 2 ， ∴t ＝???? ??1a x0＋a . ∵－a ≤x 0≤a ， ∴a －1≤t ≤a ＋1(a >1)． (2)∵PE →·PF →＝|PE →||PF → |cos ∠EPF ＝|PE →|2(2cos 2 ∠EPM －1) ＝(|PM →|2 －1)? ??? ??2 |PM →|2－1 |PM|2－1 ＝(t 2 －1)?? ?? ??2t2－1t2－1 ＝t 2 ＋2t2 －3， ∴f (t )＝t 2 ＋2t2 －3(a －1≤t ≤a ＋1)． 对于函数f (t )＝t 2 ＋2t2－3(t >0)，显然在t ∈(0，42]时，f (t )单调递减，在t ∈[42， ＋∞)时，f (t )单调递增． 因此，对于函数f (t )＝t 2 ＋ 2 t2 －3(a －1≤t ≤a ＋1)， 当a >42＋1，即a －1>4 2时， [f (t )]max ＝f (a ＋1)＝a 2 ＋2a －2＋2 a ＋12， [f (t )]min ＝f (a －1)＝a 2－2a －2＋2 a －12 ； 当1＋2≤a ≤4 2＋1时， [f (t )]max ＝f (a ＋1)＝a 2＋2a －2＋2 a ＋12 ， [f (t )]min ＝f (4 2)＝22－3； 当1 [f (t )]max ＝f (a －1)＝a 2－2a －2＋2 a －12 ， [f (t )]min ＝f (4 2)＝22－3.