函数与方程知识点总结
初中数学函数与方程知识点汇总
初中数学函数与方程知识点汇总函数和方程是初中数学中非常关键的概念和知识点。
它们不仅在数学中具有重要的地位，而且也是我们日常生活中常常会遇到的问题的解决方法。
在本文中，我将为您详细介绍初中数学函数与方程的相关知识点。
一、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是两个集合之间的对应关系，每个输入值（自变量）都有唯一对应的输出值（因变量）。
2. 定义域和值域：函数之间定义域为所有可能的输入值的集合，值域为所有可能的输出值的集合。
3. 图像和图像的性质：函数的图像是平面直角坐标系中的点的集合。
图像的上下两半部分关于x轴对称。
4. 增减性和奇偶性：函数在定义域内递增或递减，称为函数的增减性。
如果函数关于y轴对称，称为函数的奇偶性。
5. 函数的表示方法：函数可以用解析式、图象、数据表等不同的方式来表示。
二、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数的图象是一条直线，方程的形式为y = kx + b。
其中k 为斜率，b为截距。
2. 二次函数：二次函数的图象是抛物线，方程的形式为y = ax² + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
3. 反比例函数：反比例函数的图象是一条曲线，方程的形式为y = k/x。
其中k 为常数。
4. 幂函数：幂函数的图象是一条曲线，方程的形式为y = ax^k。
其中a为常数，且a不等于0。
5. 开方函数：开方函数的图象是一条曲线，方程的形式为y = √x。
三、方程的概念和解法1. 方程的定义：方程是含有一个未知数的等式。
2. 一元一次方程：一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a、b是已知数，且a不等于0。
它的解为x = -b/a。
3. 一元二次方程：一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，且a不等于0。
它的解可以通过求解一元二次方程的根公式得到。
4. 系数关系：一元二次方程的解与系数之间有重要的关系，如判别式b²-4ac的值可以判断方程的解的性质。
高考数学方程与函数知识点
高考数学方程与函数知识点一、一次函数一次函数是指函数的最高次数为1的函数，通常表达为y=ax+b 的形式，其中a称为斜率，b称为截距。
1. 斜率：斜率可以用来表示函数图像的增减趋势，斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减。
2. 截距：截距表示函数图像与y轴之间的交点，可以用来确定函数图像的位置。
二、二次函数二次函数是指函数的最高次数为2的函数，通常表达为y=ax^2+bx+c的形式，其中a、b、c均为常数。
1. 抛物线：二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向由a的正负决定。
2. 零点：通过解方程y=0，可以求得二次函数的零点，即方程的根。
3. 非负性：当a>0时，二次函数的值大于等于c，当a<0时，二次函数的值小于等于c。
4. 顶点：二次函数的顶点坐标可以通过求得x=-b/(2a)来确定。
三、指数函数指数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的指数函数。
1. 指数规律：指数函数的数学规律为a^x=a^y，当x=y时，指数函数取相同的值。
2. 增长与衰减：指数函数具有快速增长或衰减的特点，指数函数的指数为正时，函数递增；指数为负时，函数递减。
3. 自然指数函数：自然指数函数是指以常数e≈2.71828为底的指数函数，形式为f(x)=e^x。
四、对数函数对数函数是指函数关系中包含以常数e为底数的对数函数。
1. 对数规律：对数函数的数学规律为a^loga(x)=x，当x>0时，对数函数取正值。
2. 增长与衰减：对数函数具有递增但增长速度逐渐减小的特点。
3. 自然对数函数：自然对数函数是指以常数e≈2.71828为底的对数函数，形式为f(x)=ln(x)。
五、三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，常用于解决与角度相关的问题。
1. 正弦函数：正弦函数表示一个角的对边与斜边的比值，通常表示为sin(x)。
2. 余弦函数：余弦函数表示一个角的邻边与斜边的比值，通常表示为cos(x)。
函数与方程知识点总结资料
函数与方程知识点总结资料函数与方程是数学中的重要概念，是许多其他数学分支的基础。
本文将对函数与方程的知识点做一个总结，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、函数的基本概念1. 函数定义函数是一种特殊的关系，即将一个自变量映射到一个因变量上的过程。
函数的定义方式可以有多种，最常见的定义方式是：f(x)=y\qquad y=f(x)其中，x 是自变量，f 是函数名，y 是因变量。
2. 函数的图像函数的图像是指函数在直角坐标系中的表现形式，即以自变量x 为横坐标，对应的因变量 y 为纵坐标所构成的图形。
函数的图像可以用数学软件绘制，也可以手绘出来。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，是使函数有意义的自变量的集合。
函数的值域是函数在定义域内的所有可能输出值的集合。
函数的定义域和值域可以用数学符号表示，例如：\text{定义域：}D(f)=\{x\mid x\text{ 是实数}\}\text{值域：}R(f)=\{y\mid y\text{ 是实数}\}4. 奇偶性、单调性和周期性函数的奇偶性指函数图像相对于 y 轴的对称性，分为偶函数和奇函数。
偶函数满足 f(-x)=f(x)，奇函数满足 f(-x)=-f(x)。
函数的单调性指函数图像在定义域内是否单调递增或单调递减。
如果对于任意 x_1<x_2，都有 f(x_1)<f(x_2)，则称函数 f 在定义域内是单调递增的；如果对于任意 x_1<x_2，都有f(x_1)>f(x_2)，则称函数 f 在定义域内是单调递减的。
函数的周期性指函数在定义域内是否有重复的输出值。
如果存在一个正数 T，使得对于任意 x\in D(f)，都有 f(x+T)=f(x)，则称函数 f 是周期函数，T 称为函数的周期。
5. 复合函数和反函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，并得到新函数的过程。
反函数是指对于一个函数 f，存在一个函数g，使得 g(f(x))=x 在定义域内成立。
初中数学函数与方程知识点归纳
初中数学函数与方程知识点归纳在初中数学学习中，函数与方程是数学中最基础且重要的概念之一。
函数是数学中描述变量之间关系的工具，而方程是用来解决未知数的问题的数学语句。
在本文中，将对初中数学中关于函数与方程的知识点进行归纳总结，以帮助同学们更全面地理解和掌握这一知识。
一、函数的概念与性质函数是一种特殊的关系，它将某个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
最常见的函数形式是y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
1. 定义域与值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
需要注意的是，对于分式函数等有约束的函数，定义域还需满足特定条件。
2. 单调性：函数的单调性指函数在定义域内是否递增或递减。
递增函数是指当自变量增大时，函数值也增大；递减函数则相反。
3. 奇偶性：函数的奇偶性反映了函数图像的对称性。
奇函数是指满足f(-x)=-f(x)的函数，而偶函数是指满足f(-x)=f(x)的函数。
二、常见函数的类型及性质初中数学中常见的函数类型包括线性函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
我们将对每种函数类型进行简要介绍并总结其性质。
1. 线性函数：线性函数的函数图像为一条直线。
一般形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
线性函数图像呈现直线特点，斜率决定了直线的倾斜程度。
2. 二次函数：二次函数的函数图像为抛物线。
一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像可分为开口向上和开口向下两种情况，其开口方向由二次项的系数a决定。
3. 指数函数与对数函数：指数函数的函数图像为递增的曲线，一般形式为y=a^x，其中a为底数。
对数函数是指数函数的逆运算，其函数图像为递增的直线，一般形式为y=logₐx，其中a为底数。
三、方程的基本概念和解法方程是数学中用来求解未知数的数学语句。
在初中数学中，最常见的方程类型为一元一次方程和一元二次方程。
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结函数与方程是数学中重要的概念，在数学学习过程中起着重要的作用。
本文将对函数与方程的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。
一、函数函数是数学中一个非常基础且重要的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
通常情况下，我们将函数表示为f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以以不同的形式和方式进行表示，例如数学公式、图表、表格等。
1. 定义与符号函数的定义可以简单表示为：给定一个自变量x的集合，对于这个集合中的每一个x，都存在这样一个唯一的因变量f(x)与之对应。
函数的符号一般使用小写字母f(x)表示。
2. 函数的性质函数具有以下几个重要的性质：（1）定义域与值域：定义域是自变量x的取值范围，值域是因变量f(x)的取值范围。
（2）奇偶性：函数的奇偶性是指函数关于y轴对称（偶函数）或关于原点对称（奇函数）。
（3）单调性：函数的单调性描述了函数在定义域内的递增或递减特性。
（4）周期性：周期函数是指函数在一定区间内重复出现的函数。
3. 常见函数类型（1）线性函数：线性函数的表达式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
（2）二次函数：二次函数的表达式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
（3）指数函数：指数函数的表达式为f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数。
（4）对数函数：对数函数的表达式为f(x) = loga(x)，其中a为大于1的常数。
二、方程方程是描述等式的数学语句，它通常包含未知数和已知数，并以等号连接。
方程的解是使得方程成立的未知数的值。
1. 一元一次方程一元一次方程是一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过移项和化简，将方程转化为x的形式。
2. 二元一次方程二元一次方程是包含两个未知数和一次方程的方程。
一般形式为ax + by + c = 0，其中a、b、c为已知数，x和y为未知数。
初中数学函数与方程知识点归纳总结
初中数学函数与方程知识点归纳总结函数是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的对应关系，描述了输入和输出之间的关系。
在初中数学中，函数是一个重要的学习内容，它具有广泛的应用背景，例如在几何、代数以及实际应用问题中。
一、函数的基本概念函数由定义域、值域和对应关系三个要素组成。
其中，定义域是指函数的自变量取值的范围，值域是函数的因变量取值的范围。
函数可以用集合、图像、公式等多种形式表示。
二、函数的表示方法函数可以通过多种方式表示。
最常见的方式是用函数的公式表示，例如y = f(x)。
另外，还可以用函数的图像、函数的表格等方式表示函数。
三、函数的性质1. 奇偶性：奇函数和偶函数是函数的两个重要性质。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，而偶函数满足f(-x) = f(x)。
2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的增减关系。
可以分为增函数和减函数，增函数满足f(x₁) < f(x₂)，减函数满足f(x₁) >f(x₂)。
3. 周期性：周期函数是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
周期函数可以通过一个周期内的值来表示整个函数。
四、函数的图像和性质函数的图像是函数性质的一种直观表现形式。
在二维坐标系中，通过绘制函数的曲线来表示函数的图像。
函数的图像可以反映函数的奇偶性、单调性以及其他特点。
五、一次函数一次函数也被称为线性函数，它的形式是y = kx + b。
其中，k是斜率，b是直线在y轴上的截距。
一次函数的图像在坐标系中是一条直线。
六、二次函数二次函数是一个非常重要的函数类型，它的形式是y = ax² + bx + c。
其中，a不等于0，a决定了二次函数的开口方向，b决定了二次函数的位置，c决定了二次函数的纵坐标偏移量。
七、指数函数和对数函数指数函数的形式是y = aˣ，其中a是正数且不等于1。
指数函数的图像是一个逐渐增长或逐渐减小的曲线。
对数函数是指数函数的逆运算，它的形式是y = logₐx，其中a是正数且不等于1。
人教版八年级数学知识点梳理函数与方程式
人教版八年级数学知识点梳理函数与方程式函数与方程是数学中的重要概念，是数学建模与解决实际问题的工具。
在人教版八年级数学课程中，函数与方程也是重要的知识点。
本文将对八年级数学课程中的函数与方程进行梳理，旨在帮助学生全面了解和掌握相关知识。
一、函数的概念和性质函数是数学中的基本概念之一，指的是两个集合之间的映射关系。
在八年级数学课程中，学生将学习到函数的定义、表达方式和性质等内容。
1. 函数的定义函数是两个集合A和B之间的映射关系，设A中的元素为x，B中的元素为y，则函数f的定义可以表达为：y = f(x)，其中x∈A，y∈B。
2. 函数的表达方式函数可以通过函数图像、解析式和数据表等方式进行表达。
3. 函数的性质八年级数学课程中涉及的函数性质有：定义域、值域、单调性、奇偶性以及最值等。
二、线性函数与一元一次方程线性函数和一元一次方程是八年级数学中的重要内容，两者之间有着密切的联系。
在学习线性函数时，学生也需要掌握一元一次方程的相关知识。
1. 线性函数的概念和性质线性函数是一个特殊的函数，其解析式可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
学生需要掌握线性函数的图像特征和数学性质，如平行、垂直、斜率等。
2. 一元一次方程的概念和解法一元一次方程是方程的一种，也称为一元线性方程。
其解法包括等式转化、消元法和代入法等。
三、二次函数与一元二次方程二次函数和一元二次方程是八年级数学中的重点内容，涉及到二次函数的图像特征和一元二次方程的解法。
1. 二次函数的概念和性质二次函数的解析式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，a不等于0。
学生需要掌握二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴和最值等性质。
2. 一元二次方程的概念和解法一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为常数，a不等于0。
解一元二次方程可以使用因式分解法、配方法和求根公式等方法。
方程与函数的关系与应用知识点总结
方程与函数的关系与应用知识点总结方程与函数是数学中的重要概念，它们在数学以及其他学科的应用中起到了关键的作用。
本文将对方程与函数的关系进行探讨，并总结其应用的相关知识点。
一、方程与函数的基本概念方程是含有未知数的等式，通常表示为：f(x) = 0，其中f(x)为函数，0为常数。
方程的解即为使等式成立的未知数的值。
函数是一种映射关系，将一个自变量的值映射到一个因变量的值，通常表示为：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
二、方程与函数的关系1. 方程可以看作是函数的特殊形式，即当函数的因变量等于0时，可以表示为方程。
2. 方程与函数可以相互转化。
通过解方程可以得到函数的零点，即函数图像与x轴的交点；而对于已知函数，将其转化为方程可以求解函数的特定值。
三、一元一次方程与一元一次函数1. 一元一次方程是未知数的最高次数为1的方程，形式为ax + b = 0，其中a和b为已知常数，a≠0。
一元一次函数的表达式为y = kx + b，其中k和b为已知常数，k≠0。
2. 一元一次方程与一元一次函数呈现一一对应的关系。
方程的解即为函数的零点，函数的斜率即为方程中x的系数。
四、二元一次方程与二元一次函数1. 二元一次方程是含有两个未知数的最高次数为1的方程，形式为ax + by + c = 0，其中a、b和c为已知常数，a和b不同时为0。
二元一次函数的表达式为z = mx + ny + p，其中m、n和p为已知常数，m和n不同时为0。
2. 二元一次方程与二元一次函数具有一一对应的关系。
方程的解即为函数在二维坐标系上的零点集合，函数的斜率即为方程中x、y的系数比。
五、方程与函数的应用1. 方程与函数广泛应用于科学研究和工程领域，如物理学中的运动方程、化学中的反应速率方程等。
2. 方程与函数也应用于经济学、金融学等社会科学领域，如经济学中的供求关系方程、金融学中的利率计算等。
3. 方程与函数在日常生活中也有许多应用，如计算器的使用、家庭预算的制定等。
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函数与方程知识点总结
1、函数零点的定义
（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点
（3）变号零点与不变号零点
①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么， 函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法
① 代数法：函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）二次函数零点个数确定
0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根；
0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根；
0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根；对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(,)a b 的中点c ;③计算()f c ;
(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈);
(ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);
④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.
【经典例题】
【例1】函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ B ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
【解析】解法1：因为(0)=1+02=1f --，3(1)=2+22=8f -，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x 在(0,1)内连续不断，故()f x 在(0,1)内的零点个数是1.
解法2：设1=2x y ，3
2=2y x -，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确.
42
2
468510
【例2】函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( B )
A 、(－2，－1)
B 、(－1,0)
C 、(0,1)
D 、(1,2)
【解析】∵f (－1)＝2－1＋3×(－1)＝－52
<0，f (0)＝20＋0＝1>0，∴f (－1) f (0)<0. ∴ f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间为(－1,0)．
【例3】下列函数中能用二分法求零点的是 ( C )
【例4】若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是）
，（∞+1. 【解析】 函数)(x f =x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点， 方程0=--a x a x 有两个不相等的实数根，即
两个函数x a y =与a x y +=的图像有两个不同的交点，当10<<a 时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不
合题意；当1>a 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.
【例5】函数223,0()2ln ,0
x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩， 零点个数为 （ B ）
A 、3
B 、2
C 、1
D 、0
【例6】若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为
（ C ） A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.5
【例7】如果二次函数23y x x m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是 （ C ）
A 、11(,)4+∞
B 、11(,)2-∞
C 、11(,)4-∞
D 、11(,)2
+∞ 【例8】方程0lg =-x x 根的个数为 （ D ）
A 、无穷多
B 、3
C 、1
D 、0
【例9】用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(><f f ，，可得其中一个零点
∈0x ，第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( A )
A 、（0，0.5），)25.0(f
B 、（0，1），)25.0(f
C 、（0.5，1），)75.0(f
D 、（0，0.5），)125.0(f
反思：(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有：①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(2)提醒：函数的零点不是点，是方程0)(=x f 的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．。