概率论和数理统计_复旦大学_课后题答案6.
6习题六
1.设总体X ~N （60，152），从总体X 中抽取一个容量为100的样本，求样本均值与总体均值之
差的绝对值大于3的概率. 【解】μ=60,σ2=152,n =100
~(0,1)
X Z N =
即 60
~(0,1)15/10
X Z N -=
(|60|3)(||30/15)1(||2)P X P Z P Z ->=>=-<
2[1(2)]2(10.9772)0.0456.=-Φ=-=
2.从正态总体N （4.2，52）中抽取容量为n 的样本，若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n 至少取多大？ 【解】
~(0,1)
X Z N =
(2.2 6.2)P X P Z <<=<<
210.95,=Φ-=
则Φ，故>1.96,
即n >24.01，所以n 至少应取25
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X ~N （1000，σ2）
（单位：小时），随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误，事后失去了此试验的结果，
只记得样本方差为S 2=1002，试求P （X ＞1062）. 【解】μ=1000,n =9，S 2=1002
1000
~(8)
100/3X X t t -=
=
10621000
(1062)()( 1.86)0.05100/3
P X P t P t ->=>
=>=
4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上，求总体的标准差. 【解】~(0,1)
X Z N =，由P (|X -μ|>4)=0.02得
P |Z |>4(σ/n )=0.02,
故210.02σ??
??-Φ=?? ? ???????
,
即0.99.σ??Φ= ? ???
查表得
2.33,σ
=
所以
5.43.2.33
σ=
= 5.设总体X ~N （μ，16），X 1，X 2，…，X 10是来自总体X 的一个容量为10的简单随机样本，
S 2为其样本方差，且P （S 2＞a ）=0.1，求a 之值.
【解】22
22299~(9),()0.11616S a P S a P χχχ?
?=>=> ??
?.= 查表得
914.684,16
a
= 所以 14.68416
26.105.9
a ?==
6.设总体X 服从标准正态分布，X 1，X 2，…，X n 是来自总体X 的一个简单随机样本，试问统计量
Y =
∑∑==-n
i i
i i X
X n 6
25
1
2)15(，n ＞5
服从何种分布？ 【解】
25
2
2
2
2
221
1
~(5),~(5i n
i
i i i X
X X χχχ===
=∑∑)n -且12
χ与22
χ相互独立. 所以
2122/5~(5,5)/5
X Y F X n n =--
7.求总体X ~N （20，3）的容量分别为10，15的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于
0.3的概率. 【解】令X 的容量为10的样本均值，Y 为容量为15的样本均值,则X ~N (20,310),
Y ~N (20,
3
15
)，且X 与Y 相互独立. 则33~0,
(0,0.5),1015X Y N N ??
-+= ???
那么~(0,1)X Y
Z N =, 所以
(||0.3)||2[1(0.424)]P X Y P Z Φ?
->=>=- ?
2(10.6628)0.6744.=-=
8.设总体X ~N （0，σ2
）,X 1,…,X 10,…,X 15为总体的一个样本.则Y =()
2
15
2122112
10
22212X X X X X X ++++++ 服从 分布,参数为 . 【解】
~(0,1),i
X N σ
i =1,2, (15)
那么122
2
10
15
2222
111~(10),~(5)i i i i X X χχχχσσ==????== ? ?????
∑∑
且12χ与22
χ相互独立, 所以
22
2110122
211152/10~(10,5)2()/5
X X X Y F X X X ++==++ 所以Y ~F 分布，参数为（10,5）.
9.设总体X ~N （μ1,σ2）,总体Y ~N (μ2,σ2),X 1,X 2,…,和Y 1n X 1，Y 2，…，分别来自总体X 和Y
的简单随机样本，则
2n X ????
?
?
??????-+-+-∑∑==2()(21121
22
1
n n Y Y X X E n j j n i i = . 【解】令 122
22
1
211
1211(,(11n n i i i j S X X S Y n n ===-=--∑∑),Y - 则
1
2
2
2
211
21
1
((1),((1),n n i
j i j 2
2X
X n S y y n S ==-=--=-∑∑
又2
2
22
221122
1
12
2
2
(1)(1)~(1),~(1)n S n S n n χχχχσσ--=-=
2,-
那么
1
2
22112222121212()()1()22n n i j i j X X Y Y E E n n n n σχσχ==??-+-??
??=+??+-+-????
∑∑
2
22
12122
2
1212[()()]
2
[(1)(1)]2
E E n n n n n n σχχσ
σ=
++-=
-+-=+-
10.设总体X ~N （μ,σ2
），X 1，X 2，…，X 2n （n ≥2）是总体X 的一个样本，∑==n
i i X n X 21
21，令
Y =
∑=+-+n
i i n i X X X 1
2
2(，求EY . 【解】令Z i =X i +X n +i , i =1,2,…,n .则
Z i ~N (2μ,2σ2)(1≤i ≤n ),且Z 1,Z 2,…,Z n 相互独立.
令 22
11
, ()/1,n
n
i i i i Z Z S Z Z n ====-∑∑n -
则 21111
222n
n i i
i i X X Z Z n
n =====∑∑ 故 2Z X = 那么
2
21
1
(2)()(n n
i n i i i i Y X X X Z Z n S +===+-=-=-∑∑21),.
所以
22()(1)2(1)E Y n ES n σ=-=-
11. 设总体X 的概率密度为f (x )=x
-e 2
1 (-∞ X 2，…，X n 为总体X 的简单随机样本，其样本方差为S 2，求E (S 2). 解： 由题意，得 1e , 0,2 ()1e ,0,2 x x x f x x -? 于是 22222220()()()() 1()()d e d 021()()d e d e d 22x x x E S D X E X E X E X xf x x x x E X x f x x x x x x +∞+∞--∞-∞+∞+∞+∞---∞-∞ ==-======?????, = 所以 2()2E S =. 第1章随机事件及其概率 （1）排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 （2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 （5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。 Ω为必然事件，?为不可能事件。 不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。 （6）事件的关系与运算①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B A? 如果同时有B A?，A B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B A，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率： ∞ = ∞ = = 1 1i i i i A A B A B A =，B A B A = 4习题四 1.设随机变量X 的分布律为 求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;82842 E X =-? +?+?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 故 ()0.58300.34010.07020.0073E X =? +?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[( )]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432. =-?+-?++-?= 3.设随机变量且已知E （X ）=0.1,E (X )=0.9,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①, 又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-= ……②, 2222 12313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+= ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P === 4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则 (){|}{}N k P A P A X k P X k ===∑ 全概率公式 1{}{} 1().N N k k k P X k kP X k N N n E X N N ===== ===∑∑ 5.设随机变量X 的概率密度为 f （x ）=?? ? ??≤≤-<≤.,0,21,2, 10,其他x x x x 求E （X ），D （X ）. 【解】1 2 2 1 ()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞ -∞ = =+-? ?? 2 1 3 32011 1.33x x x ?? ??=+-=??????? ? 1 2 2 2 3 20 1 7 ()()d d (2)d 6 E X x f x x x x x x x +∞ -∞ ==+-= ? ?? 故 2 2 1()()[()].6 D X E X E X =-= 6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ -4X . 【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++ 25311144.=?+?+= (2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=- ,()()4()Y Z E Y E Z E X - 因独立 1184568.=?-?= 7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D （Y ）=16，求E （3X -2Y ）， D （2X -3Y ）. 【解】(1) (32)3()2()3323 3. E X Y E X E Y -=-=?-?= (2) 2 2 (23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=?+?= 8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为 统计学原理 (第五版 )》计算题解答 第三章 综合指标 1． 见教材 P404 2． 产量计划完成相对数 解得： 计划为上年的 % 105% 101.94% 103% 即计划规定比上年增长 1.94% 6． 见教材 P405 7． 见教 材 P405 8． 在相同的耕地自然条件下，乙村的单产均高于甲村，故乙村的生产经营管理工作做得好。但由于 甲村的平原地所占比重大，山地所占比重小，乙村则相反，由于权数的作用，使得甲村的总平均 单产高于乙村。 9． (%) 实际为上年的 % (%) 计划为上年的 % 1.85%完成 (%) 实际完成数 (%) (%) 计划完成数 (%) 90% 一季度产品单位成本未完成计划，实际单位成本比计划规定数高 2.22% 实际为上年的 % 105% 5． 计划完成程度指标 (%) 103% 计划为上年的 % 计划为上年的 % 3． 计划完成程度指标 110% 101.85% 108% 劳动生产率计划超额 4． 计划完成程度指 标 92% 102.22% m 675000 18 20 23 25 70 122.86% X 甲 X 乙 xf f 625000 2500 250（千克 / 亩） 平均计划完成程度 X x f 10． 见教材 P406 11． X G 3 0.9574 0.9222 0.963 94.74% 12． f 2 S m 1 M e X L 2 d L f m 600 256 275 2 25 133 275 8.25 283.3(千克/亩) 1 M 0 X L 1 d 0 L 1 2 133 84 275 25 (133 - 84) (133 -119) 275 19.45 294.5(千克 /亩 ) 103.9% f 600 300 22 275 300为中位数所在 概率论与数理统计期末复习题一 一、填空题（每空2分，共20分） 1、设X 为连续型随机变量，则P{X=1}=( 0 ). 2、袋中有50个球,其编号从01到50,从中任取一球,其编号中有数字4的概率为(14/50 或7/25 ). 3、若随机变量X 的分布律为P{X=k}=C(2/3)k ,k=1,2,3,4,则C=( 81/130 ). 4、设X 服从N （1，4）分布，Y 服从P(1)分布，且X 与Y 独立，则 E （XY+1-Y ）=（ 1 ） ，D （2Y-X+1）=（ 17 ）. 5、已知随机变量X ～N(μ,σ2 ),(X-5)/4服从N(0,1),则μ=( 5 );σ=( 4 ). 6 且X 与Y 相互独立。 则A=( 0.35 ),B=( 0.35 ). 7、设X 1,X 2,…,X n 是取自均匀分布U[0,θ]的一个样本，其中θ>0,n x x x ,...,,21是一组观察值，则θ的极大似然估计量为( X (n) ). 二、计算题（每题12分，共48分） 1、钥匙掉了,落在宿舍中的概率为40%,这种情况下找到的概率为0.9; 落在教室里的概率为35%,这种情况下找到的概率为0.3; 落在路上的概率为25%,这种情况下找到的概率为0.1,求(1)找到钥匙的概率;(2)若钥匙已经找到,则该钥匙落在教室里的概率. 解：(1)以A 1,A 2,A 3分别记钥匙落在宿舍中、落在教室里、落在路上，以B 记找到钥匙.则 P(A 1)=0.4,P(A 2)=0.35,P(A 3)=0.25, P(B| A 1)=0.9 ,P(B| A 2)=0.3,P(B| A 3)=0.1 所以,49.01.025.03.035.09.04.0)|()()(3 1 =?+?+?== ∑=i i i A B P A P B P (2)21.049.0/)3.035.0()|(2=?=B A P 2、已知随机变量X 的概率密度为 其中λ>0为已知参数.(1)求常数A; (2)求P{-1＜X ＜1/λ)}; (3)F(1). ?? ?? ?<≥=-0 00)(2x x e A x f x λλ 一、随机事件与概率 二、随机变量及其分布 1、分布函数 ()()(),()()() ()k k x x x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞ ?=?=≤=<≤=-???∑? 概率密度函数 计算概率： 2、离散型随机变量及其分布 3、续型型随机变量及其分布 1 )(=? +∞ ∞ -dx x f ?=≤≤b a dx x f b X a P )()( 一般正态分布的概率计算公式 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系： 4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2, j i i j g x y P Y y p i === =∑ ， 连续型： ①分布函数法， ②公式法()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=?=单调 h(y)是g(x)的反函数 三、多维随机变量及其分布 1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2, i j ij P X x Y y p i j ==== 联合分布函数(,)i i ij x x y y F X Y p ≤≤= ∑∑ 边缘分布律：()i i ij j p P X x p ?===∑ ()j j ij i p P Y y p ?===∑ 条件分布律：(),1,2, ij i j j p P X x Y y i p ?====，(),1,2,ij j i i p P Y y X x j p ? === = 联合密度函数 2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：?? ∞-∞ -= x y dudv v u f y x F ),(),( 性质：2(,) (,)1, (,),F x y F f x y x y ?+∞+∞==??((,))(,)G P x y G f x y dxdy ∈=?? ②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：?? ∞-+∞ ∞ -= x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：? +∞ ∞ -= dv v x f x f X ),()( ? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()() ()(' x f x F =? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=) ,(y x f 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ( )()(σ μ -Φ=<=≤a a X P a X P ) ( 1)()(σ μ -Φ-=>=≥a a X P a X P ) ( )( )(σ μ σ μ -Φ--Φ=≤≤a b b X a P 《统计学原理(第五版)》习题计算题答案详解 第二章 统计调查与整理 1． 见教材P402 2． 见教材P402-403 3． 见教材P403-404 第三章 综合指标 1． 见教材P432 2． %86.12270 25 232018=+++= 产量计划完成相对数 3． 所以劳动生产率计划超额%完成。 4． %22.102% 90% 92(%)(%)(%)=== 计划完成数实际完成数计划完成程度指标 一季度产品单位成本，未完成计划，还差%完成计划。 5． %85.011100%8% 110% 1=?++==计划完成数实际完成数计划完成程度指标计划完成数；所以计划完成数实际完成数标因为，计划完成程度指%105%103= = 1.94%%94.101% 103% 105，比去年增长解得：计划完成数==()得出答案）将数值带入公式即可以计算公式， 上的方程，给大家一个很多同学都不理解也可以得出答案，鉴于（根据第三章天）。 个月零天（也即是个月零（月）也就是大约）（上年同季（月）产量达标季（月）产量超出计划完成产量 达标期完成月数计划期月数超计划提前完成时间达标期提前完成时间完成计划的时间万吨。根据公式：提前多出万吨，比计划数万吨产量之和为：季度至第五年第二季度方法二：从第四年第三PPT PPT 6868825.8316-32070 -7354-60--3707320181718=+=+=+==+++()天完成任务。个月零 年第四季度为止提前（天），所以截止第五）（根据题意可设方程：万吨完成任务。天达到五年第二季度提前万吨。根据题意，设第万吨达到原计划，还差万吨产量之和为：季度至第五年第一季度方法一：从第四年第二6866891 -91*20)181718(1916707016918171816=++++=+++x x x 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 概率论与数理统计习题二答案 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只 球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】X 的可能取值为3,4,5，其取不同值的概率为 以X 表示取出的次品个数，求： （1） X 的分布律；（2） X 的分布函数并作图； (3)1 33{},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】X 的可能取值为0,1,2，其取不同值的概率为 （2） 当0x <时，{}()0F x P X x =≤= 当01x ≤<时，{}{}22()035 F x P X x P X =≤=== 当12x ≤<时，{}{}{}34()0135 F x P X x P X P X =≤==+== 当2x ≥时，{}{}{}{}()0121F x P X x P X P X P X =≤==+=+== 故X 的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示3次射击中击中目标的次数.则X 的可能取值为0，1，2，3，显然~(3,0.8)X b 其取不同值的概率为 分布函数 3次射击中至少击中2次的概率为 4.（1） 设随机变量X 的分布律为 {}! k P x k a k λ==， 其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2） 设随机变量X 的分布律为 {}a P x k N == ， k =1，2，…，N ， 试确定常数a . 【解】（1） 由分布律的性质知 故 e a λ -= (2) 由分布律的性质知 即 1a =. 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率;（2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】设X 、Y 分别表示甲、乙投中次数，则~(3,0.6)X b ,~(3,0.7)Y b (1) {}{}{}{}{}0,01,12,23,3P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+== 33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++222233 33C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+ (2) {}{}{}{}1,02,03,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+== 312322 33(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.3++=0.243 6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？ 【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则~(200,0.02)X b ，设机场需配备N 条跑 道，根据题意有 即 200 2002001 C (0.02)(0.98) 0.01k k k k N -=+<∑ 利用泊松定理近似计算 查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道. 7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？ 【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001） 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则 故 13 p = 所以 4 451210 (4)C () 33243 P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； 第一章总论 一、单项选择题 1、威廉·配第是（ B ）的代表人物。 A、记述学派 B、政治算术学派 C、社会学派 D、数理统计学派 2、在1749年出版的《近代欧洲各国国势学论》中首先使用了“统计学”这个名词的是（ B ）。 A、约翰.格朗特 B、阿亨瓦尔 C、海门尔.康令 D、克尼斯 3、调查某一企业职工的健康状况，总体是（ B ）。 A、这个企业 B、这个企业的所有的职工 C、每个职工 D、所有的职工的健康状况 4、数量指标表现为（ C ）。 A、相对数 B、平均数 C、绝对数 D、变异数 5、名义级数据可以用来（ A ）。 A、分类 B、比较大小 C、加减运算 D、加减乘除四则运算。 6、间距级数据之间不可以（D）。 A、比较是否相等 B、比较大小 C、进行加减运算 D、进行乘除运算 7、2个大学生的身高分别为165厘米、172厘米，则165、172是（D）。 A、2个变量 B、2个标志 C、2个指标 D、2个数据 8、总体与总体单位的确定（A）。 A、与研究目的有关 B、与研究目的无关 C、与总体范围大小有关 D、与研究方法有关 9、通过有限数量的种子发芽试验结果来估计整批种子的发芽率，这 种统计方法是属于（A）。 A、推断统计学 B、描述统计学 C、数学 D、逻辑学 10、2010年11月1日，我国将举行第六次全国人口普查，在人口普查中，总体单位是（ A ） A.每一个人 B.每一个家庭 C.每一个地区 D.全国总人口 二、多项选择题 1、“统计”一词有三层含义（BCD ） A、统计设计 B、统计工作 C、统计资料 D、统计科学 E、统计图表 2、下面属于推断统计学研究内容的是（BCD ） A、数据收集 B、抽样调查 C、相关分析 D、假设检验 E、指数 3、下面指标属于质量指标的有（ABD） A、合格率 B、价格 C、产量 D、出勤率 E、星球个数 4、下面变量的答案属于比率级数据的有（BDE） A、温度 B、海拔高度 C、考试分数 D、日产量 第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验： （1）在相同条件下可以重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并且能事先明确所有的可能结果； （3）进行试验之前，不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点，也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间，也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中，试验的目的不同时，样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件，简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 （1）包含关系 B A ?，即事件A 发生，导致事件B 发生； （2）相等关系 B A =，即B A ?且A B ?； （3）和事件（也叫并事件） B A C ?=，即事件A 与事件B 至少有一个发生； （4）积事件（也叫交事件） B A AB C ?==，即事件A 与事件B 同时发生； （5）差事件 AB A B A C -=-=，即事件A 发生，同时，事件B 不发生； （6）互斥事件（也叫互不相容事件） A 、 B 满足φ=AB ，即事件A 与事件B 不同时发生； （7）对立事件（也叫逆事件） A A -Ω=，即φ=Ω=?A A A A ,。 1.4 事件的运算律 （1）交换律 BA AB A B B A =?=?,； （2）结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,； （3）分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,； （4）幂等律 A AA A A A ==?, ； （5）差化积 B A AB A B A =-=-； （6）反演律（也叫德·摩根律）B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验，Ω为样本空间，对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数P （A ），称之为A 的概率，P （A ）满足： （1）1)(0≤≤A P ； （2）1)(=ΩP ； （3）若事件 ，，， ，n A A A 21两两互不相容，则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 （1）0)(=φP ； （2）若事件n A A A ，， ， 21两两不互相容，则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ； （3）)(1)(A P A P -=； （4）)()()(AB P B P A B P -=-。 特别地，若B A ?，则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-； （5）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?。 概率论 习题四 答案 1.设随机变量X 的分布律为 X -1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E （X ），E （X ），E （2X +3）. 【解】(1) 11111 ()(1)012;8 2842 E X =-?+? +?+?= (2) 22 22211115()(1)012;82844 E X =-?+?+?+?= (3) 1 (23)2()32342 E X E X +=+=?+= 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. X 0 1 2 3 4 5 P 5905100 C 0.583C = 14 1090 5 100 C C 0.340C = 231090 5 100 C C 0.070C = 321090 5 100 C C 0.007C = 4110905100 C C 0C = 510 5 100 C 0C = 故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =?+?+?+?+?+? 0.501,= 5 2 ()[()]i i i D X x E X P == -∑ 222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432. =-?+-?++-?=L 3.设随机变量X -1 0 1 P p 1 p 2 p 3 且已知E （X ）=0.1,E (X 2)=0.9,求123,,p p p . 【解】因1231p p p ++=……①, 又12331()(1)010.1E X p p p p p =-++=-=g g ……②, 222212313()(1)010.9E X p p p p p =-++=+=g g g ……③ 由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.p p p === 第一章练习题参考答案 一.单项选择题 1．B；2．A；3．B；4．C；5．D；6．A；7．C；8．C；9．C；10．A；11．C；12．C。 二.多项选择题 1．ABDE；2．ACD；3．BCD；4．ACD；5．ACDE；6．ACE；7．AD；8．ABC；9．ACD；10．AD；11．BCDE；12．ABCDE；13．AC。 三.判断题 1．×；2．×；3．×；4．×；5．√；6．×；7．×；8．√；9．×；10．√。 第二章练习题参考答案 一.单项选择题 1．C；2．C；3．D；4．B；5．D；6．D；7．B；8．D；9．B；10．B；11．A；12．C；13．D。 二.多项选择题 1．CE；2．ACE；3．CE；4．BCD；5．ABCE；6．BC；7．BCD；8．ABD；9．ABD；10．ACDE；11．ABCE；12．ABE。 三.判断题 1．×；2．√；3．×；4．×；5．×；6．×；7．√；8．×；9．×；10．×。 第三章练习题参考答案 一.单项选择题 1．B；2．C；3．C；4．C；5．D；6．B；7．B；8．B；9．D；10．B；11．A；12．B；13．D；14．A。 二.多项选择题 1．AB；2．AC；3．AB；4．ABC；5．AB；6．ABD；7．ABC；8．ACE；9．BD；10．ABDE。 三.判断题 1．√；2．×；3．×；4．×；5．√；6．×；7．√；8．√；9．×；10．×。 四.计算分析题 1 2 3．解：（1）编制组距式变量数列。 （2 直方图（略） 第四章练习题参考答案 一.单项选择题 1．C；2．D；3．B；4．D；5．C；6．A；7．C；8．C；9．B；10．C；11．B；12．D；13．A；14．D；15． 16．B；17．B；18．D；19．C；20．C；21．D；22．B；23．C；24．C；25．B。 二.多项选择题 1．ABC；2．DE；3．ABDE；4．ABCE；5．ABDE；6．CE；7．BCE；8．BDE；9．ACE；10．ACE；11．BDE。 三.计算分析题 2．解：2008年甲产品计划成本160×96%＝153.6 元 实际成本160×94%＝150.4元 单位产品成本计划完成程度＝150.4÷153.6＝97.9% 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A ，B ，C 都发生； （3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生； （5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生； 【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1） 在什么条件下P （AB （2） 在什么条件下P （AB 【解】（1） 当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2） 当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】 因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0， 由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34 第一章总论 一、判断题 1．√ 2. √３.×4．√ 5。× 6。×７．× 8.× 二、单选题 1.Ｃ 2．B ３.D 4．B 5.C 6。Ｃ 7．Ｃ8.A 9。B 10.C １１.A 三、多选题 1。ABCD(题目中的“五个”应去掉） 2.ＡＢE 3。BDE 4。BE 5。AC 6.ＡC 第二章统计调查 一、判断题 1。× 2.×３.× 4。×５。√ ６。× 7．× 8.× 9。×10。√ 1１.× 12．× 13。× 14．√ 15。√ 二、单选题 1.B 2。C ３．Ｃ 4。Ｃ 5。C 6.D 7．D 8.C 9．D 10。D 11．D 12。C 13.A 14．C 15。A 16.B １7.Ａ 18.B 19．Ａ 20.D 三、多选题 1．ABCDＥ 2.ABE 3。ＢDE ４.ABCD 5.ABCDE 第三章统计整理 一、判断题 1.× 2。× 3．×４.√５。√ 6.√ 7.× 8.×9.×１０.× 1１．√ 1２.√ 二、单选题 1。B 2．B 3.B 4。A 5。Ａ 6。C 7。D ８．Ｃ9。B １０。Ｃ11。Ｄ12．B 1３。Ｂ 三、多选题 1.ADＥ 2.ＣＤE 3.ＡＢCD 4。CD 5.ＡCD 6．ABCＤ 7．CDＥ 8.BC ９.BCＥ 四、计算题 1．某班学生英语考试成绩频数分配表 ２.某生产车间工人日加工零件数频数分配表 第４章综合指标 一、判断题 1。√ 2. ×３。× 4. √ 5．√ 6．×7．×8。× 9。×１0. × 11. × 12。 √ 1３. × 14． × 15。 × 三、单选题 1． B ２。 D 3. C ４。 D 5。 Ｃ 6。 D 7. C 8. Ｄ ９。 B １０。 Ａ 11． D 12. Ｂ 四、多项选择题 1。 AC Ｅ 2. ＡBC 3．BD ４． BCD 5。 BC Ｄ 6. AB Ｄ 7。 BCDE 8。 ACE 五、计算题 1。⑴ 企业 200８年 ２007年实际销售 额 2008年销售额为2007年的百分比(％) 计划 实际 完成计 划（％） 销售额 比重 (％） 销售额 比重（％） 甲 １2０0 30 １224 30.91 102 １１00 11１.27 乙 1 .91 102.6 ９0０ 114 丙 3．１８ ９5 164０ １0４。２７ 合计 ４ 00 ９9 ３6４0 1０8.79 ⑵ 略 2． ⑴ 计划完成程度= %108%100100 28 272726=?+++ ⑵ 设在第五年第二季度提前天X 完成，则： ()100919127759123=-?++X X （天）5.45=X 即提前两个季度(6个月）又45天半完成5年计划. 3。 产品单位成本计划完成程度= % 5%100% 9%100--=9５.79％ 计算结果表明,该产品单位成本计划超额4．21%完成. ４。 设计划规定产值X ，去年产值Y 则:Y X %105%103= 西南石油大学《概率论与数理统计》期末考试题及答案 一、填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为 1 9 ，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ； 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为： ,0 ()1/4,020,2 x Ae x x x x ?? 概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- 习 题 一 1.设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算式表示下列事件： （1） A 发生而B 与C 都不发生； （2） A ，B ，C 至少有一个事件发生； （3） A ，B ，C 至少有两个事件发生； （4） A ，B ，C 恰好有两个事件发生； （5） A ，B 至少有一个发生而C 不发生； （6） A ，B ，C 都不发生. 解：（1）A C B 或A -B -C 或A -（B ∪C ）. （2）A ∪B ∪C . （3）（AB ）∪（AC ）∪（BC ）. （4）（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A ）. （5）（A ∪B ）C . （6）C B A 或C B A . 2.对于任意事件A ，B ，C ，证明下列关系式： （1）(A +B ) (A +B )(A + B )(A +B )= ?； （2）AB +A B +A B +A B AB -= AB ； （3）A -(B +C )= (A-B )-C . 证明：略. 3.设A ，B 为两事件，P （A ）=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1，求： （1） A 发生但B 不发生的概率； （2） A ，B 都不发生的概率； （3） 至少有一个事件不发生的概率. 解（1） P （A B ）=P （A -B ）=P （A -AB ）=P （A ）-P （AB ）=0.4； (2) P (B A )=P (B A )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3； (3) P (A ∪B ）=P (AB ）=1-P (AB )=1-0.1=0.9. 4.调查某单位得知。购买空调的占15％，购买电脑占12％，购买DVD 的占20%；其中购买空调与电脑占6%，购买空调与DVD 占10%，购买电脑和DVD 占5％，三种电器都购买占2％。求下列事件的概率。 （1）至少购买一种电器的； （2）至多购买一种电器的； （3）三种电器都没购买的.概率论与数理统计公式表
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