规划数学(运筹学)第三版课后习题答案 习 题 1(1)
运筹学版熊伟编著习题答案
运筹学（第3版）习题答案P36 P74 P88 P105 P142 P173 P195 P218 P248 P277 P304 品P343 P371全书420页第1章 线性规划工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．产品 资源 A B C 资源限量 材料(kg) 4 2500 设备(台时) 3 1400 利润(元/件)101412310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：型号A 型号B 每套窗架需要材料长度（m ） 数量(根)长度(m) 数量(根)A 1：2 2B 1： 2 A 2：3 B 2：23需要量（套）300400问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少． 【解 方案 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 需要量 B1 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 800 B2 2 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 1200 A1 2 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 600 A2120 2 3 900 余料(m) 0 1 1 1 01设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。
运筹学课后习题解答_1.(DOC)
运筹学部分课后习题解答P47 1.1 用图解法求解线性规划问题min z=2x1 3x2a4x1 6x2 6 ）2x2 4 st.. 4x1x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集 MABCN，且可知线段 BA上的点都为最优解，即该问题有无量多最优解，这时的最优值为3z min =23 0 3 2P47 1.3 用图解法和纯真形法求解线性规划问题max z=10x1 5x 2a ）3x1 4x2 95x1 2x2 8st..x1, x2 0解：由图 1 可知，该问题的可行域为凸集OABCO，且可知 B 点为最优值点，3x1 4x2x1 1 T 9 3，即最优解为x*1,3即2x2 8x2 2 5x1 2这时的最优值为 z max =10 1 5 3 35 2 2纯真形法：原问题化成标准型为max z=10x15x23x1 4 x2x39st.. 5x12x2x48x1 , x2 , x3 ,x4 010 5 0 0c jC B X B b x1 x2 x3 x49 3 4 1 0x38 [5] 2 0 1x410 5 0 0C j Z j21/5 0 [14/5] 1 -3/5 x38/5 1 2/5 0 1/5 10x10 1 0 -2C j Z j53/2 0 1 5/14 -3/14 x21 1 0 -1/7 2/7 10x10 0 -5/14 -25/14C j Z j1,3 T1015335因此有 x*, zmax2 2 2P78 2.4 已知线性规划问题：max z 2 x1 4x2 x3 x4x1 3x2 x4 82x1 x2 6x2 x3 x4 6x1 x2 x3 9x1 , x2 , x3,x4 0求: (1) 写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X* (2,2,4,0) ，试依据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：min w 8 y1 6 y2 6 y3 9 y4y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1y1 y3 1y1, y2 , y3 ,y4 0（2）由原问题最优解为X* ( 2,2,4,0) ，依据互补废弛性得：y1 2 y2 y4 23y1 y2 y3 y4 4y3 y4 1把 X * (2,2,4,0) 代入原线性规划问题的拘束中得第四个拘束取严格不等号，即 2 2 4 8 9 y4 0y1 2 y2 2进而有3y1 y2 y3 4y3 1得 y 4 , y2 3, y31, y 01 5 5 4( 4,3,1,0)T，最优值为w min16因此对偶问题的最优解为y*5 5P79 2.7考虑以下线性规划问题：min z 60x140x280x33x12x2x3 24x1x23x3 42x12x22x3 3x1, x2 , x30（ 1）写出其对偶问题；（ 2）用对偶纯真形法求解原问题；解：（ 1）该线性规划问题的对偶问题为：max w 2y1 4 y23y33y1 4 y2 2 y3602 y1 y22y340y13y22y380y1, y2 , y30（2）在原问题加入三个废弛变量x4 , x5 , x6把该线性规划问题化为标准型：max z 60x1 40x2 80x33x1 2x2 x3 x4 24x1 x2 3x3 x5 42 x1 2x2 2x3 x6 3x j 0, j 1, ,6c j-60 -40 -80 0 0 0 C B X B b x1 x2 x3 x4 x5 x6x4-2 -3 -2 -1 1 0 0x5-4 [-4] -1 -3 0 1 0x6-3 -2 -2 -2 0 0 1 C j Z j-60 -40 -80 0 0 0x41 0 -5/4 5/4 1 -1/12 080x11 1 1/4 3/4 0 -1/4 0x6-1 0 [-3/2] -1/2 0 -1/2 1C j Zj0 -25 -35 0 -15 0x411/6 0 0 5/3 1 1/3 -5/680x15/6 1 0 2/3 0 -1/3 1/640x22/3 0 1 1/3 0 1/3 -2/3C j Zj0 0 -80/3 0 -20/3 -50/3x* ( 5 , 2 ,0) T , z max 60 5 40 2 80 0 2306 3 6 3 3P81 2.12某厂生产A、B、C三种产品，其所需劳动力、资料等相关数据见下表。
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
规划数学(运筹学)第三版课后习题答案-习-题-1(1)
习 题 11 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21212121， ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0x ,x 124x 3x 2x 2x 2x 3x maxz )b (21212121⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8x 310x 512010x 6x x x maxz )c (212121⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T); (b)无可行解;(c)唯一解16*,)6,10(*==z X T); (d)无界解）2 用单纯形法求解下列线性规划问题。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=0x ,x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212121221 答案：(a)唯一解5.17*,)5.1,1(*==z X T)，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T; (b)唯一解5.8*,)5.1,5.3(*==z X T），5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0x x x 0x 2x 2x 2x 6x x x 2x x 2x maxz )a (3,2,13231321321 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x x x 3x 2x minz )b (32121321321 答案：(a)无界解；(b)唯一解8*,)0,8.1,8.0(*==z X T)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。
运筹学1至6章习题参考答案
运筹学1至6章习题参考答案第1章 线性规划1.1 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－23所示．310和130.试建立该问题的数学模型,使每月利润最大．【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为123123123123123max 1014121.5 1.2425003 1.6 1.21400150250260310120130,,0Z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎪≥⎪⎩ 1.2 建筑公司需要用5m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－24所示：【解设x j （j =1,2,…，10）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为10112342567368947910min 28002120026002239000,1,2,,10jj j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩∑ （2）余料最少数学模型为2345681012342567368947910min 0.50.50.52800212002*********0,1,2,,10j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧+++≥⎪+++≥⎪⎪+++≥⎨⎪+++≥⎪⎪≥=⎩1.3某企业需要制定1～6月份产品A 的生产与销售计划。
已知产品A 每月底交货，市场需求没有限制，由于仓库容量有限，仓库最多库存产品A1000件，1月初仓库库存200件。
1～6月份产品A 的单件成本与售价如表1－25所示。
（2）当1月初库存量为零并且要求6月底需要库存200件时，模型如何变化。
运筹学教程清华第三版课后答案（第一章,第五章部分）
1. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg维生素。
现有五种饲料可供选用，各种饲料每kg 营养成分含量及单价如表1所示。
表1要求确定既满足动物生长的营养需要，又使费用最省的选用饲料的方案。
解：设总费用为Z 。
i=1,2,3,4,5代表5种饲料。
i x 表示满足动物生长的营养需要时，第i 种饲料所需的数量。
则有：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≥++++≥++++≥++++++++=5,4,3,2,1,01008.022.05.0305.022.05.07008623..8.03.04.07.02.0min 54321543215432154321i x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x Z i2. 某医院护士值班班次、每班工作时间及各班所需护士数如表2所示。
每班护士值班开始时间向病房报道，试决定：（1） 若护士上班后连续工作8h ，该医院最少需要多少名护士，以满足轮班需要； （2） 若除22:00上班的护士连续工作8h 外（取消第6班），其他班次护士由医院排定上1～4班的其中两个班，则该医院又需要多少名护士满足轮班需要。
表2解：（1）设i x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4,5,6⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥++++++=且为整数6,5,4,3,2,1,0302050607060..min 655443322161654321i x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x Z i 解：（2）在题设情况下，可知第五班一定要30个人才能满足轮班需要。
则设设i x 第i 班开始上班的人数，i=1,2,3,4。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++=+++=≥+++++++=4,3,2,1,1002150216021702,160..30min i44434241444443342241143433323133443333223113242322212244233222211214131211114413312211114321j i y x y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y y y y y y x y x y x y x y t s x x x x Z ij 变量，—是，，，第四班约束，，第三班约束，，第二班约束，第一班约束3. 要在长度为l 的一根圆钢上截取不同长度的零件毛坯，毛坯长度有n 种，分别为ja （j=1,2，…n ）。
运筹学习题答案(1)
第一章 线性规划及单纯形法（作业）1.4 分别用图解法和单纯型法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
（1）Max z=2x 1+x 2St.⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0,24261553212121x x x x x x 解：①图解法：由作图知，目标函数等值线越往右上移动，目标函数越大，故c 点为对应的最优解，最优解为直线⎩⎨⎧=+=+242615532121x x x x 的交点，解之得X=(15/4,3/4)T 。
Max z =33/4. ② 单纯形法：将上述问题化成标准形式有： Max z=2x 1+x 2+0x 3+0x 4St. ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++0,,,242615535421421321x x x x x x x x x x其约束条件系数矩阵增广矩阵为：P 1 P 2 P 3 P 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡241026150153 P 3,P 4为单位矩阵，构成一个基，对应变量向，x 3,x 4为基变量，令非基变量x 1,x 2为零，找到T 优解，代入目标函数得Max z=33/4.1.7 分别用单纯形法中的大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属哪一类。
（3）Min z=4x 1+x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 解：这种情况化为标准形式： Max z ＇=-4x 1-x 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=-+=+)4,3,2,1(0426343342132121j xj x x x x x x x x 添加人工变量y1,y2Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4-My 1-My 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x(2) 两阶段法： Min ω=y 1+y 2St.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=≥=++=+-+=++0,).4,3,2,1(04263433214112321121y y j xj x x x y x x x y x x第二阶段，将表中y 1,y 2去掉，目标函数回归到Max z ＇=-4x 1-x 2+0x 3+0x 4第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析（作业）2.7给出线性规划问题：Max z=2x 1+4x 2+x 3+x 4⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤++)4,3,2,1(096628332143221421j x x x x x x x x x x x x j要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
清华版《运筹学》(第三版)课后习题详解、...
解：用决策变量 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 分别表示 2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：
00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。
其数学模型可以表述为： min Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
x1 + x6 >= 3 x1 + x2 >= 9 x2 + x3 >= 12 x3 + x4 >= 5 x4 + x5 >= 18 x5 + x6 >= 4 x1, x2 , x3, x4 , x5 , x6 ≥ 0
3、现要截取 2.9 米、2.1 米和 1.5 米的元钢各 100 根，已知原材料的长度是 7.4 米，问应如 何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。
(0, 0, 0, 5, 2, 6)T ，Z＝5。
初始单纯行表为：
cj
2
-1
1
1
CB
XB
x1
x2
x3
x4
1
x4
-1
1
1
1
0
x5
1
1
0
0
0
0
b
x5
x6
0
0
5
1
0
2
0
x6
2
1
1
0
0
1
6
σj
3
-2
0
0
0
0 z=0
(2)非基变量 x2 , x3 仍然取零， x1 由 0 变为 1,即 x1 ＝1, x2 ＝0, x3 =0,代入约束条件得一个可 行解 X= (1, 0, 0, 6,1, 4)T 。其目标函数值为 Z＝8
解答-运筹学-第一章-线性规划及其单纯形法习题
项目 X1 X2 X3 X4
X5
X4 6 (b) (c) (d) 1 0
X5 1 -1
3 (e) 0 1
Cj-ZJ
(a) -1 2
00
X1 (f) (g) 2 -1 1/2 0
X5 4 (h) (i) 1 1/2 1
Cj-ZJ
0
-7A (j) (k) (l)
25
首先由于x1、x5为基变量，故g=1, h=0, l = 0
检验数j
14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M
A
0
0
18
Cj
-2 -3 -1 0 0 -M -M 比
CB XB
b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 值
-M x6 8 1 4 2 -1 0 1 0 2
-M x7 6 3 2 0 0 -1 0 1 3
检验数j 14M 4M-2 6M-3 2M-1 -M -M 0 0
5 x2 15
s
t
.
6
x1 x1
2 x2 x2
24 5
x 1 , x 2 0
A
10
Cj
10 5 0 0 比
CB XB
b
x1
x2
x3
x4
值
0 x3
9
3
4
1
0 9/3=3
0 x4
8
5
20
1
8/5
检验数j 0 10 5 0 0
0 x3 21/5 0 14/5 1 -3/5 3/2
10 x1 8/5 1 2/5 0 1/5
4
x
2
12
x 1, x 2 0 无可行解
m ax Z x1 x2
运筹学教程(第三版)习题答案(第一章)
x1 0 0 0 0.75
maxZ 3x1 x2 2x3
12x1 3x2 6x3 3x4 9
(1)
st
8x1 3x1
x2 x6
4x3 0
2x5
10
xj 0（ , j 1, ,6）
基可行解
x2
x3
x4
x5
x6
3 0 0 3.5 0
0 1.5 0 8 0
00350
0 0 0 2 2.25
运筹学教程
第一章习题解答
讨论cl.,5d的上值题如(1何)中变，化若，目使标该函问数题变可为行m域ax的Z每=个cx顶1 +点d依x2， 次使目标函数达到最优。
解：得到最终单纯形表如下：
Cj→
c
CB 基 b x1
d x2 3/2 0
c x1 1 1
j
0
d
0
0
x2
x3
x4
1
5/14
-3/4
0
-2/14
X 0是 max Z CX 的最优解，故
CX 0 CX * 0;
X *是 max Z C * X 的最优解，故
C * X * C * X 0 0;
(C * C )( X * X 0 )
C(X 0 X *) C*(X * X 0) 0
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School of Management
C T X ( 2 ) , 所以 X 也是最优解。
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School of Management
运筹学教程
第一章习题解答
1.10 线性规划问题max Z＝CX,AX＝b，X≥0，设 X0为问题的最优解。若目标函数中用C*代替C后，问题 的最优解变为X*，求证
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习 题 11 用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷最优解、无界解还是无可行解。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21212121， ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0x ,x 124x 3x 2x 2x 2x 3x maxz )b (21212121⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=8x 310x 512010x 6x x x maxz )c (212121⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯一解3*,)5.0,75.0(*==z X T); (b)无可行解;(c)唯一解16*,)6,10(*==z X T); (d)无界解）2 用单纯形法求解下列线性规划问题。
⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=0x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21212121 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=0x ,x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212121221 答案：(a)唯一解5.17*,)5.1,1(*==z X T)，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T; (b)唯一解5.8*,)5.1,5.3(*==z X T），5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T3 用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪一类解。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+-≥+++-=0x x x 0x 2x 2x 2x 6x x x 2x x 2x maxz )a (3,2,13231321321 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x xx 3x 2x minz )b (32121321321答案：(a)无界解；(b)唯一解8*,)0,8.1,8.0(*==z X T)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所示）和用单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所示）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。
表1-54 初始单纯形表表1-55 单纯形法迭代后的表表1-55基变量x 1列向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0'1p ，所以g=1,h=0（2）初始表 ,,j p b 某步表j p B b B11,--有已知表查出⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-12/102/11B,341612/102/141=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-f f f b B201112/102/10111=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b b p B5,42312/102/1221==⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-i c i c i p B2,21112/102/11131=-=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-e d e d p B （3）初始表主元行×（-主元检验数/主元）加到检验数行得下一步表的检验数行。
表1-54第一行系数×（-a/b ）+表1-54检验数行=表1-54检验数行即：0,21,2,712=-==+-=--l a k j a a故：0,23,5,3=-===l k j a。
5某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，都分别经A、B两道工序加工。
设A工序可分别在设备A1或A2上完成，有B1、B2、B3三种设备可用于完成B工序。
已知产品Ⅰ可在A、B任何一种设备上加工；产品Ⅱ可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在B1设备上加工；产品Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。
加工单位产品所需工序时间及其他各项数据见下表1-56，试安排最优生产计划，使该厂获利最大。
6 一家糖果商店出售三种不同品牌的果仁糖，每个品牌含有不同比例的杏仁、核桃仁、胡桃仁。
为了维护商店的质量信誉，每个品牌中所含有的果仁的最大、最小比例是必须满足的，如下表1-57所示：表1-57 每个品牌中所含有的果仁的比例表商店希望确定每周购进杏仁、核桃仁、腰果仁、胡桃仁的数量，使周利润最大。
建立数学模型，帮助该商店管理人员解决果仁混合的问题。
7 写出下列线性规划问题的对偶问题。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+≤++≥++++=无约束321321321321321x 0,x ,x 53x 4x x 33x x 2x24x 3x x 4x 2x 2x minz )a ( ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥+==<=≤=∑∑∑===)n ,,1n j (x )n n ,,1j (0x )m ,,1m i (b x a )m m ,,1i (b x a x c maxz )b (1j1j 1i n 1j j ij 1i n 1j j ij n1j jj 无约束 答案： （a ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++≤++≤++++=ω无约束321321321321321x 0,x ,x 43x 3y 4y 24y y 3y2y 2y y 5y 3y 2y max （b ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=<=≥+==+<=≥++=ω∑∑∑∑∑∑=+==+=+==)m ,,1i (v )n ,,1i (0u )n ,...,1n j (c v a u a )n n ,,1j (c v a u a v b u b min 1i1i 1j m 1i m1m i iij i ij 1j m 1i m 1m i i ij i ij m1m i ii m 1i i i 111111m m 无约束8 已知线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+-≤++-+=0x x x 1x x 2x 2x x x x x maxz 32132132121，，试应用对偶理论证明上述线性规划问题最优解为无界。
答案：显然T (0,0,0)X=为该问题的可行解，其对偶问题为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥+≥--+=0y y 0y y 1y y 12y y y y 2min 2121212121，ω显然第一个约束与变量非负要求矛盾，故对偶问题无可行解。
由无界性该问题最优解为无界。
9 已知线性规划问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≤++≤++≤+≤+++++=)4,,1j (0x )4(9x x x )3(6x x x )2(6x 2x )1(8x 3x x x x 4x 2x maxz j 321432214214321要求：（1）写出其对偶问题；（2）已知原问题最优解为X *=(2,2,4,0)T ，试根据对偶理论求出对偶问题最优解。
答案： 对偶问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥+≥++≥+++≥+++++=)4,,1j (0y (4)1y y (3)1y y (2)4y y y 3y (1)2y 2y y 9y y 66y 8y min j 314343214214321 ω设对偶问题的最优解为),,,(*4*3*2*1*y y y y Y=将X *=(2,2,4,0)T 代入原问题，约束（4）为严格不等式（即x *S1，x *S2，x *S3）0），由互补松弛性，y *4=0。
又因为x *1 =2,x *2 =2,x *3 =4都大于0，由互补松弛性，对偶问题对应（1）--（3）约束为等式，（即y *S1= y *S2 =y *S3=0）故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+(3)1y (2)4y y 3y (1)22y y ****1*2*3321， 解得对偶问题的最优解为)0,1,5/3,5/4(*y Y =。
10 已知线性规划问题：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤+++-=0x ,x ,x 42x x 6x x xx x 2x maxz 32121321321 先用单纯形法求出最优解，再分析在下列条件单独变化的情况最优解的变化。
（1）目标函数变为321x 3x 2x max z ++=； （2）约束右端项由⎥⎦⎤⎢⎣⎡46变为⎥⎦⎤⎢⎣⎡43；（3）增添一个新的约束条件：22x x 31≥+-。
答案：该问题的最优解TX )10,0,0,0,6(*=，最优值1262*=⨯=z 对偶问题的最优解)2,1,3,0,2(*=Y ，最优值1226*=⨯=ω （1）目标函数中非基变量2x 的系数2c 由-1变为3 重新计算2x 的检验数2σ0131)02(3'22>=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=jB pC c σ最优解发生变化，将2x 的检验数12=σ，系数3c 2=代入最终表，用单纯形法求解之，见下表该问题的最优解TX )0,0,0,3/10,3/8(*=，最优值3463103382*=⨯+⨯=z 对偶问题的最优解)3/4,0,0,3/1,3/7(*=Y ,最优值346314376*=⨯+⨯=ω（2）037324331313132'1>⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-b B ，故最优基不变最优解为TX )0,0,0,3/7,3/2(*=，最优值325373322*=⨯+⨯=z（3）最优解TX )10,0,0,0,6(*=不满足新加的约束 将约束化为等式，选松弛变量作为基变量得-2x 2x x 631=+-将其添加到最终表得过渡表，然后将第一行乘-1加到第三行将基变量x 1的系数列向量化为单位向量新的最优解T X )3/22,0,3/8,0,3/10(*=，最优值328332*=+⨯=z11 用分支定界法求解下列整数规划问题：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=，且为整数，0x x 369x 4x 357x 5x 3x 2x maxz 21212121 (2) ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=且为整数,0x ,x 305x 6x 165x 2x x x maxz 2121212112 用隐枚举法求解下列0-1规划问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥-+-≤++≤+++++--+=)5,,1j (10x 35x 3x 6x 11x 83x 4x -3x 7x 4x 2x x x x 3x 2x 5x 2x 3x maxz j 542154315432154321 或 x j =0 或1，j = 1，2，3，4，513 某航运公司承担六个港口城市A 、B 、C 、D 、E 、F 的四条固定航线的物资运输任务已知各条航线的起点、终点城市及每天航班数见表1-59。
假定各条航线使用相同型号的船只，又各城市之间的航程天数见表1-60。
又知每条船只每次装卸货物的时间各需1天，则该航运公司至少应配备多少条船,才能满足所有航线的运货需求? 建立模型并用软件求解。
表1-60 各城市之间的航程天数表14设某公司有五个人可以完成五项工作，每人做每项工作的用时如表1-61所示。