分段函数极值问题的研究

１ ［］
， 证明方法完全一样 ．
）若函数ｆ（ （ ） ； 定理 ２ （ 在点ｘ 并且ｘ 的左极大 （ 小） 值点 ， 则ｆ ｉ ｘ） ｘ） ′ ｘ ０（ ０ ≥ ≤ ０ 处左可导 ， ０ 是ｆ －（ ０） ）若函数 ｆ（ ） ； （ 在点 ｘ 并且 ｘ 的右极大 （ 小） 值点 ， 则ｆ ′ ｉ ｉ ｘ） ｘ） ｘ ≤０ （ ≥０ ０ 处右可导 ， ０ 是 ｆ（ ＋（ ０） （ ）若函数 ｆ（ ·ｆ 在点 ｘ 并且 ｘ 的极值点 ， 则ｆ ｉ ｉ ｉ ｘ） ｘ） ′ ｘ ′ ｘ ≤０． ０ 处左右导数都存在 ， ０ 是 ｆ（ ＋（ ０） －（ ０） 这个定理适用于找分段函数的极值点 ， 一个简单的应用是 ｙ ＝｜ ｘ｜ ．这个函数在 ｘ ＝ ０ 处不可导 ， ） · 但左右导数均存在 ．由定理 ２ 的结论 （ 可推得非极值点的一种判断方法 ： 若ｆ 即 ｉ ｉ ｉ ′ ｘ ′ ｘ ｆ ０） ０） ＋ （ － （ ＞０ ， 点ｘ 则ｘ ｘ）的极值点 ． ０ 处的左右导数同号 ， ０ 不是 ｆ（ ］ 文献 ［ 研究了不连续分段函数的极值问题 ， 在这里我们借助单侧极值的概念重新叙述其中的结 ２， ３ ］ 论并作推广 ．利用文献 ［ 中的证明方法可以得到如下定理 ． ２， ３ ）设函数 ｆ（ 定理 ３ （ 在点 ｘ 右） 邻域上有定义 ， 且在点 ｘ 右） 极限存在 ， 则当 ｉ ｘ） ０ 的某左 （ ０ 处的左 （
收稿日期 ］２ ０ １ １ ０ ３ １ ５ ［ － － 基金项目 ］ 温州大学教改项目 《 高等数学 》 课堂教学模式探索研究 （ １ １ ４ ０ Ｂ） ［ ｊ ｇ
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大 学 数 学 第 ２ ９卷
） ， 或 ｆ（ ｘ）＜ ｆ（ ｘ ｘ）＞ ｆ（ ｘ （ ｆ（ ０） ０） ， 那么就称 ｆ（ 是函数 ｆ（ 或右极小值 ） 或右极小值点 ） ｘ ｘ）的一个右极大值 （ ｘ ． ０） ０ 称为右极大值点 （ 函数的左极大值与左极小值统称为左极值 ， 函数的左极大值点与左极小值点统称为左极值点 ， 函数 的右极大值与右极小值统称为右极值 ， 函数的右极大值点与右极小值点统称为右极值点 ， 函数的左极值 与右极值统称为单侧极值 ．单侧极值 的 概 念 在 研 究 分 段 函 数 的 极 值 问 题 时 是 非 常 有 效 的 ．另 一 方 面 ， 在研究闭区间上函数的极值问题时 ， 现行的高等数学教材只在开区间内部给出了极值的概念 ， 并没有在 闭区间的两个端点处给出极值的概念 。 但是函数通常在左 （ 右） 端点处的取值比左 （ 右） 端点的某去心右 （ 左） 邻域内所有点处的取值都要大或都要小 ， 因 此 我 们 有 必 要 引 进 单 侧 极 值 的 概 念 ．根 据 单 侧 极 值 的 概念 ， 容易得到下面极值存在的充分必要条件 ． 定理 １ 设函数 ｆ（ 内有定义 ， 则ｘ 小） 值点等价于 ｘ ｘ）在点 ｘ ｘ ｘ）的极大 （ ０ 的某邻域 Ｕ （ ０） ０ 是 ｆ（ ０ 既是 ｆ（ 小） 值点又是 ｆ（ 小） 值点 ． ｘ）的左极大 （ ｘ）的右极大 （ 这个定理告诉我们 ， 要判断一个点是否 是 极 值 点 关 键 是 判 断 这 个 点 是 否 是 左 右 极 值 点 ．这 在 研 究 分段函数在分段点处的极值问题时是非常有用的 ， 特别是在分段点的左邻 域 和 右 邻 域 分 别 需 要 使 用 不 同的技巧判别分段点的左右极值性时 ， 如果 将 左 右 邻 域 合 在 一 起 研 究 往 往 会 使 问 题 变 得 复 杂 ．这 在 本 文后面的例子中可以体现出来 ．由定理 １ 立刻可以得到以下判断非极值点的推论 ． 推论 １ 设函数 ｆ（ 内有定义 ， 只要以下条件之一成立 ， ｘ）在点 ｘ ｘ ｘ ｘ） ０ 的某邻域 Ｕ （ ０） ０ 就不是 ｆ（ 的极值点 ： （ ） ｉ ｘ ｘ）的左极值点 ； ０ 不是 ｆ（ ） （ ）的右极值点 ； （ ｉ ｉｘ ０ 不是 ｆ ｘ （ ） 又是 ｆ（ ｉ ｉ ｉ ｘ ｘ）的左极大值点 ， ｘ）的右极小值点 ； ０ 既是 ｆ（ （ ） 又是 ｆ（ ｉ ｖ ｘ ｘ）的左极小值点 ， ｘ）的右极大值点 ． ０ 既是 ｆ（ 下面先推广现行高等数学教材中可导函数取得极值的必要条件
第２ ９ 卷第 ３ 期 ２ ０ １ ３年６月
大 学 数 学
Ｃ Ｏ Ｌ Ｌ Ｅ Ｇ Ｅ ＭＡＴＨＥＭＡＴ Ｉ Ｃ Ｓ
Ｖ ｏ ｌ ． ２ ９， №． ３ Ｊ ｕ ｎ． ２ ０ １ ３
分段函数极值问题的研究
黄学海１， 王文庆２
（ ） 温州大学 数学与信息科学学院 ， 浙江 温州 ３ 浙江 温州 ３ １． ２ ５ ０ ３ ５； ２ ５ ０ ３ ５ ２．温州大学 城市学院 ， 摘 要 ］ 通过引进单侧极值的概念 ， 给出了极值存在的充分必要条件 ， 并进一步分析了分段函数单侧极 ［ 值存在的充分条件 ．借助符号函数 ， 证明了适用于振荡函数极值存在问题 的 充 分 必 要 条 件 ．对 于 求 导 比 较 复 杂或导函数在去心左 （ 右） 邻域内变号的极值问题 ， 提 出 了 极 值 存 在 的 一 种 充 分 条 件 ．最 后 ， 通过一些有代表 性的例子说明了这些方法的有效性 ． ［ 关键词 ］ 分段函数 ；单侧极值 ；振荡函数 ［ （ ） 中图分类号 ］Ｏ 文献标识码 ］Ｃ ［ 文章编号 ］１ １ ７ ２． １ ［ ６ ７ ２ １ ４ ５ ４ ２ ０ １ ３ ０ ３ ０ １ ３ １ ０ ５ － － －
２ 极值问题的一些充分和必要条件
为了便于后面分段函数极值问题的研究 ， 类似于分段函数单侧极限和单侧导数的概念 ， 定义如下单 侧极值的概念 ． ， ）上 有 定 义 ， 定义 １ 设函数 ｆ（ 如果对于去心左邻域 ｘ）在点 ｘ ｘ ｘ δ＞０ ０ 的某左邻域 （ ０ －δ ０ ］（ （ 内的任一 ｘ ， 有 ｘ ｘ δ， ０－ ０） ） ， 或 ｆ（ ｘ）＜ ｆ（ ｘ ｘ）＞ ｆ（ ｘ （ ｆ（ ０） ０） ， 那么就称 ｆ（ 是函数 ｆ（ 或左极小值 ） 或左极小值点 ） ｘ ｘ）的一个左极大值 （ ｘ ． ０） ０ 称为左极大值点 （ ）（ ）上 有 定 义 ， 定义 ２ 设函数 ｆ（ 如果对于去心右邻域 ｘ）在点 ｘ ｘ ｘ δ＞０ ０ 的某右邻域 ［ ０， ０ ＋δ （ 有 ｘ ｘ δ）内的任一 ｘ ， ０， ０＋
第 ３ 期 黄学海 ， 等： 分段函数极值问题的研究
１ ３ ３
）设函数 ｆ（ 定理 ４ （ 则ｘ 小） 值点等价于 ｉ ｘ）在点 ｘ ｘ）的左极大 （ ０ 的某左邻域上有定义 ， ０ 是 ｆ（ ［ ］＝－１ （ ； ｌ ｉ ｍｓ ｎ ｘ） ｘ －ｆ（ ＝ １） ｇ ｆ（ ０） －
＋ － ＋ （ ） （ ） 时， 的左 （ 右） 极大值点 ； 当 ｆ（ ｘ ） ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ） ｘ ｘ ｘ ｘ ＜ｆ（ ＜ｆ（ ＞ｆ（ ＞ｆ（ ｆ（ ｆ（ ｆ（ ０） ０ ） ０） ０ 是 ｆ（ ０ ） ０） ０ ） ０） 时， 右） 极小值点 ． ｘ ｘ）的左 （ ０ 是 ｆ（ － ０
（ ）设函数 ｆ（ 右） 邻域上有定义 ， 且在点 ｘ 右） 连续 ， 在ｘ 右） ｉ ｉ ｘ）在点 ｘ ０ 的某左 （ ０ 处左 （ ０ 的去心左 （ ， （ ） （ ） （ （ ） ） ， （ ） （ ） 邻域内可导 则当在 ｘ ′ ｘ ＞０ ｆ ′ ｘ ＜０ 时 ｘ ０ 的去心左 右 邻域内 ｆ ０ 是 ｆ ｘ 的左 右 极大值 当在 ｘ 右） 邻域内 ｆ 时， 右） 极小值点 ． 点； ′（ ′（ ｘ）＜ ０ （ ｘ）＞ ０ ） ｘ ｘ）的左 （ ｆ ０ 的去心左 （ ０ 是 ｆ（ 注 １ 由定理 １ 和定理 ３ 立即可以推出文献 ［ 中的所有结论 ， 也可以推出第一判别 法 ．这 说 明 ２， ３］ ］ 定理 １ 和定理 ３ 推广了文献 ［ 中求函数极值问题的相关结论 ．由此可见引进单侧极值概念的必要 １－３ 性 ．单侧极限概念的引进使得极值问题的分析更为简洁全面 ， 也更为深入透彻 ． 对于振荡函数 ， 通常不能用导数的符号 来 判 断 极 值 性 ， 故 此 时 无 法 用 第 一 判 别 法 判 断 ．为 此 ， 我们 引进符号函数 ， 借助符号函数来刻画振荡函数的振荡性质 ．符号函数定义如下 １， ｘ ＞ ０， 烄 ｎ ｘ＝烅 ０， ｘ ＝ ０， ｇ ｙ ＝ｓ －１， ｘ ＜ ０． 烆 根据极值和符号函数的定义可以得到极值存在的又一充分必要条件 ．
１ 问题的提出
函数的极值问题不仅是高等数学学习中的一个重难点 ， 也是人们 生 活 实 际 中 经 常 碰 到 的 一 个 具 有
１］ 应用价值的问题 ．对于连续函数的极值问题 ， 现行高等数学教材 ［ 给出了极值存在的必要条件和第一 、
第二判别法 ．对于不连续的分段函 数 ， 文献［ 详 细 研 究 了 其 极 值 问 题 ．尽 管 如 此 ， 有些函数的极值 ２， ３］ ］ ］ 中提到的结论所解决 ， 比如文献 ［ 中提到的以下函数在分段点处的极值问 问题还是不能用文献 ［ １－３ ３ 题 １ ２ 烄 ｘ ＋２ ｘ ｓ ｉ ｎ ， ｘ ＜ ０， ｘ ｘ）＝ 烅 ｆ（ ０， ｘ ＝ ０， ｘ ＞ ０． 烆 ｘ ＋１， 连续函数也可以看成是一种特殊的分段函数 ， 因此我们往后研究的分段函 数 极 值 问 题 的 结 论 同 样 适 用 ］ 于连续函数 ．本文的目的是推广文献 ［ 中所提到的函数极值问题的有关结论， 并应用于解决文献 １－３ ［ ］ 中的结论所不能解决的函数极值问题 ． １－３
ｘ→ｘ ０－ຫໍສະໝຸດ ｘ→ｘ ０－由极限的定义知 ， 存在δ ＞ ０ 使得 ｆ（ 上有定义 ， 且 ｘ）在点 ｘ ｘ ｘ δ， ＝－１ ， ０ 的左邻域 （ ０－ ０］ １， ［ ］ ） ｎ ｘ） ｘ ｘ ｘ ． ｘ ∈ （ δ， ｜ｓ －ｆ（ －（ －１ ｜＜ ｇ ｆ（ ０） ０－ ０） ２ １ ［ ］ ］ 因此 ， ｓ ｎ ｘ） －ｆ（ ｘ ｘ ｘ ．由符号函数的取值范围可知 ｓ ｎ［ ｘ） －ｆ（ ｘ ＜－ ， ｘ∈ （ δ， ｇ ｇ ｆ（ ｆ（ ０） ０－ ０） ０） ２ ， 也即 ｆ（ 故ｘ 的左极大值点 ． 的左极小值点 ＝－１， ｘ） ｘ ｘ ｘ ｘ） ｘ ｘ） ｘ ∈ （ δ， ０） ０－ ０ ）， ０ 是 ｆ（ ０ 是 ｆ（ ＜ｆ（ 的情形完全类似证明 ． ） ） ， （ ） ） 同理可以证明 （ 的结论以及定理 １ 立即可知 （ 成立 ． ｉ ｉ ．由 （ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ｉ ）设函数 ｆ（ 推论 ２ （ 若 ｉ ｘ）在点 ｘ ０ 的某左邻域上有定义 ． ［ ］＝ ０ 或 ｌ ［ ］ ｌ ｉ ｍｓ ｎ ｘ） ｘ ｉ ｍｓ ｎ ｘ） ｘ －ｆ（ －ｆ（ ｇ ｇ ｆ（ ｆ（ ０） ０） － －