微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解

第二章

习题2-1

1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞

x n =a ,则对任何

自然数k ，有lim n →∞

x n +k =a .

证：由lim n n x a →∞

=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有

n x a ε-<

取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有

n k x a ε+-<

由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞

=.

2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞

x n =a ,则

lim n →∞

∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n

，说明上述结论反之不成立.

证：

lim 0,,.

使当时，有n x n x a

N n N x a εε→∞

=∴∀>∃>-<

而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>

n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<

由数列极限的定义得 lim n n x a →∞

= 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞

不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=， 所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：

(1) lim n →∞222111

(1)

(2)n n n ⎛⎫

+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!

n

n =0. 证：（1）因为

22222

2111112

(1)

(2)n n n n n n n n n n

++≤+++

≤≤=+ 而且 2

1lim

0n n →∞

=，2

lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得

22211

1lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫

+++

= ⎪+⎝

⎭

. （2）因为2222

2240!123

1n n n n n

<=

<-，而且4

lim 0n n →∞=，

所以，由夹逼定理得

2lim 0!

n n n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.

(1) x n =

1

1

n e +，n =1,2,…；

(2) x

1,x n +1n =1,2,…. 证：（1）略。

（2）因为

12x <，不妨设2k x <，则

12k x +=<=

故有对于任意正整数n ，有2n x <，即数列{}n x 有上界，

又 1n n x x +-=，而0n x >,2n x <， 所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>， 即数列是单调递增数列。

综上所述，数列{}n x 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-2

1※. 证明：0

lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均

存在且都等于a .

证：先证充分性：即证若0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==，则0

lim ()x

x

f x a →=. 由0

lim ()x x f x a -→=及0

lim ()x x f x a +→=知：

10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时，有()f x a ε-<，

20δ∃>当020x x δ<-<时，有()f x a ε-<。

取{}12min ,δδδ=，则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就是00x x δ<-<，

于是0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<， 所以 0

lim ()x x

f x a →=.

再证必要性：即若0

lim ()x x

f x a →=，则0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==,

由0

lim ()x x

f x a →=知，0,0εδ∀>∃>，当00x x δ<-<时，有()f x a ε-<，

由00x x δ<-<就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<，于是0,0εδ∀>∃>，当

00x x δ<-<或00x x δ<-<时，有()f x a ε-<.

所以 0

lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==

综上所述，0

lim x x →f (x )=a 的充要条件是f (x )在x 0处的左、右极限均

存在且都等于a .

2. (1) 利用极限的几何意义确定0

lim x → (x 2

+a ),和0lim x -

→1

e x

；

(2) 设f (x )= 12e ,0,,0,x x x a x ⎧

⎪<⎨⎪+≥⎩

，问常数a 为何值时，0lim x →f (x )存在. 解：（1）因为x 无限接近于0时，2x a +的值无限接近于a ，故