1.画出下列微分方程的向量场和一些积分曲线.
常微分方程的常见解法
# 定义网格密度
arrows=LINE,
# 定义线段类型
axes=NORMAL);
# 定义坐标系类型
在MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y,px,py)
回车后Maple就在1 1 的网格点上画出了向量场
44
的图形，并给出了过点(-2, 2) (-2 ,1) (-2,2) 的三
条积分曲线，见下图
M (x,y)co x s2xye , y
N (x,y)co x s2xye x
M(x,y)N(x,y)
y
x
所以方程为全微分方程。
由公式F (x ,y ) 0M (s ,y )d s 0N (0 ,s )d s
x(yc o ss 2 se y)d sy2 d s
0
0
ysinxx2ey2y
或
x
y
F (x ,y )x 0M (s ,y ) d s y 0N (x 0 ,s ) d
s
例：验证方程
( y c o s x 2 x e y ) d x ( s i n x x 2 e y 2 ) d y 0
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于 M (x ,y ) y c o sx 2 x e yN (x ,y ) s in x x 2 e y 2
dx
令 zy1n,则 dz(1n)yndy
dx
dx
d z (1 n )P (x )z (1 n )Q (x )
d x
求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解。
例 湖泊的污染
设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水 中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊 中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小 时,求该厂排污1年时, 湖泊水中盐酸的含量。 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 x ( t )
Mathematica与常微分方程方向场和积分曲线
Mathematica 与常微分方程—方向场和积分曲线摘要：长期以来，从小学到大学十几年，数学一直是我们学习的一门主课，老师所讲的、学生所练、所考的主要是定义叙述、定理证明、公式推算、计算方法、……，数学给我们的印象是，沿定义→公理→定理→推论→证明这么一条演绎道路进行的、一个十分严格的数学推理王国和一个充满美感的抽象世界。
然而，我们却不知道，也许也没有想过，这些如此严密、完整、美妙的结论是怎么来的？数学家是通过什么样的方式发现它们的？我们从这些可爱结论本身看不到数学家发现它们的艰辛，也体会不到数学家在发现它们之后的一种喜悦。
关键词：Mathematica常微分方程方向场积分曲线简介Mathematica 是美国Wolfram Research公司研制的一种数学软件，集文本编辑、符号计算、数值计算、逻辑分析、图形、动画、声音于一体，与Matlab、Maple 一起被称为目前国际上最流行的三大数学软件。
它以符号计算见长，同时具有强大的图形功能和高精度的数值计算功能。
在Mathematica中可以进行各种符号和数值运算，包括微积分、线性代数、概率论和数理统计等数学各个分支中公式的推演、数值求解非线性方程、最优化问题等，可以绘制各种复杂的二维和三维图形，并能产生动画和声音。
Mathematic系统与常见的高级程序设计语言相似，都是通过大量的函数和命令来实现其功能的。
要灵活使用Mathematica，就必须尽可能熟悉各种内部函数（包括内置函数和软件包函数）。
由于篇幅限制，本附录仅分类介绍Mathematica的基本功能，及与微积分有关的函数（命令）的使用，其他功能请读者自行查阅帮助或有关参考文献。
方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。
实验2--微分方程(基础实验)
实验2--微分方程(基础实验)119 项目四 无穷级数与微分方程实验2 微分方程（基础实验）实验目的 理解常微分方程解的概念以及积分曲线和方向场的概念,掌握利用Mathematica 求微分方程及方程组解的常用命令和方法.基本命令1. 求微分方程的解的命令DSolve对于可以用积分方法求解的微分方程和微分方程组,可用Dsolve 命令来求其通解或特解.例如,求方程023=+'+''y y y 的通解, 输入DSolve[y ''[x]+3y '[x]+2y[x]==0,y[x],x]则输出含有两个任意常数C[1]和C[2]的通解:{}{}]2[C e ]1[C e ]x [y x x 2--+→注:在上述命令中,一阶导数符号 ' 是通过键盘上的单引号 ' 输入的,二阶导数符号 '' 要输入两个单引号,而不能输入一个双引号.又如,求解微分方程的初值问题:,10,6,03400='==+'+''==x x y y y y y输入Dsolve[{y''[x]+4 y'[x]+3y[x]==0,y[0]==6, y'[0]==10},y[x],x](*大括号把方程和初始条件放在一起*)则输出{}{}x 2x 3e 148(e ]x [y +-→-2. 求微分方程的数值解的命令NDSolve对于不可以用积分方法求解的微分方程初值问题,可以用NDSolve 命令来求其特解.例如要求方程5.0,032=+='=x y x y y的近似解)5.10(≤≤x , 输入NDSolve[{y'[x]==y[x]^2+x^3,y[0]==0.5},y[x],{x,0,1.5}](*命令中的{x,0,1.5}表示相应的区间*)则输出{{y->InterpolatingFunction[{{0.,1.5}},< >]}}注:因为NDSolve 命令得到的输出是解)(x y y =的近似值. 首先在区间[0,1.5]内插入一系 列点n x x x ,,,21Λ, 计算出在这些点上函数的近似值n y y y ,,,21Λ, 再通过插值方法得到 )(x y y =在区间上的近似解.3. 一阶微分方程的方向场一般地,我们可把一阶微分方程写为),(y x f y ='的形式,其中),(y x f 是已知函数. 上述微分方程表明:未知函数y 在点x 处的斜率等于函数120f 在点),(y x 处的函数值. 因此,可在Oxy 平面上的每一点, 作出过该点的以),(y x f 为斜率 的一条很短的直线(即是未知函数y 的切线). 这样得到的一个图形就是微分方程),(y x f y ='的方向场. 为了便于观察, 实际上只要在Oxy 平面上取适当多的点,作出在这些点的函数的 切线. 顺着斜率的走向画出符合初始条件的解,就可以得到方程),(y x f y ='的近似的积分曲 线.例如, 画出0)0(,12=-=y y dxdy 的方向场. 输入<<Graphics`PlotField`g1=PlotVectorField[{1,1-y^2},{x,-3,3},{y,-2,2}, Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];则输出方向场的图形（图2.1）, 从图中可以观察到, 当初始条件为2/10=y 时, 这个微分方程的解介于1-和1之间, 且当x 趋向于-∞或∞时, )(x y 分别趋向于1-与1.-3-2-10123-2-1012 -3-2-10123-2-112下面求解这个微分方程, 并在同一坐标系中画出方程的解与方向场的图解. 输入sol=DSolve[{y'[x]==1-y[x]^2,y[0]==0},y[x],x];g2=Plot[sol[[1,1,2]],{x,-3,3},PlotStyle->{Hue[0.1],Thickness[0.005]}];Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];则输出微分方程的解xxe e x y 2211)(++-=,以及解曲线与方向场的图形（图2.2）. 从图中可以看到, 微分方程的解与方向场的箭头方向相吻合.实验内容用Dsolve 命令求解微分方程例2.1 (教材 例2.1) 求微分方程 22x xe xy y -=+'的通解.输入Clear[x,y];DSolve[y '[x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]或DSolve[D[y[x],x]+2x*y[x]==x*Exp[-x^2],y[x],x]则输出微分方程的通解:121 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+→--]1[C e x e 21]x [y 22x 2x 其中C[1]是任意常数.例2.2 (教材 例2.2) 求微分方程0=-+'x e y y x 在初始条件e y x 21==下的特解. 输入Clear[x,y];DSolve[{x*y ' [x]+y[x]-Exp[x]==0,y[1]==2 E},y[x],x]则输出所求特解:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+→x e e ]x [y x 例2.3 (教材 例2.3) 求微分方程x e y y y x 2cos 52=+'-''的通解.输入DSolve[y ''[x]-2y '[x]+5y[x]==Exp[x]*Cos[2 x],y[x],x]//Simplify则输出所求通解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++→])x 2[Sin ])1[c 4x (2]x 2[Cos ])2[c 81((e 81]x [y x 例2.4 (教材 例2.4) 求解微分方程x e x y +=''2, 并作出其积分曲线.输入g1=Table[Plot[E^x+x^3/3+c1+x*c2,{x,-5,5},DisplayFunction->Identity],{c1,-10,10,5},{c2,-5,5,5}];Show[g1,DisplayFunction->$DisplayFunction]; -4-224-40-20204060图2.3例2.5 (教材 例2.5) 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++02y x dtdy e y x dt dx t 在初始条件0,100====t t y x 下的特解.输入122Clear[x,y,t];DSolve[{x' [t]+x[t]+2 y[t]==Exp[t], y'[t] -x[t]- y[t]==0,x[0]==1,y[0]==0},{x[t],y[t]},t]则输出所求特解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-→→])t [Sin ]t [Cos e (21]t [y ],t [Cos ]t [x t例2.6 验证c y y x =+--)3305(15152是微分方程2)(42-='y x x y 的通解. 输入命令<<Graphics`PlotField`<<Graphics`ImplicitPlot`sol=(-5x^3-30y+3y^5)/15==C;g1=ImplicitPlot[sol/.Table[{C->n},{n,-3,3}],{x,-3,3}];g2=PlotVectorField[{1,x^2/(y^4-2)},{x,-3,3},{y,-3,3},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25}];g=Show[g2,g1,Axes->None,Frame->True];Show[GraphicsArray[{g1,g2,g}]];则分别输出积分曲线如图 2.4(a), 微分方程的方向场如图 2.4(b). 以及在同一坐标系中画出积分曲线和方向场的图形如下图2.4 (c).-3-2-1123-2-112-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123-3-2-10123图2.4从图 2.4(c)中可以看出微分方程的积分曲线与方向场的箭头方向吻合, 且当∞→x 时, 无论初始条件是什么, 所有的解都趋向于一条直线方程.例2.7 (教材 例2.6) 求解微分方程,)1(122/5+=+-x x y dx dy 并作出积分曲线. 输入<<Graphics`PlotField`DSolve[y' [x]-2y[x]/(x+1)==(x+1)^(5/2),y[x],x]则输出所给积分方程的解为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++→]1[C )x 1()x 1(32]x [y 22/7123 下面在同一坐标系中作出这个微分方程的方向场和积分曲线(设),3,2,1,0,1,2,3---=C 输入t=Table[2(1+x)^(7/2)/3+(1+x)^2c,{c,-1,1}];g1=Plot[Evaluate[t],{x,-1,1},PlotRange->{{-1,1},{-2,2}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,-2y/(x+1)+(x+1)^(5/2)},{x,-0.999,1},{y,-4,4},Frame->True,ScaleFunction->(1&), ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出积分曲线的图形（图2.5）.-0.75-0.5-0.2500.250.50.751-1.5-1-0.50.511.52图2.5例2.8 求解微分方程,2)21(22-+='-y x y xy 并作出其积分曲线.输入命令<<Graphics`PlotField`DSolve[1-2*x*y[x]*y' [x]==x^2+(y[x])^2-2,y[x],x]则得到微分方程的解为.)2(323C y x x y ++-+= 我们在33≤≤-C 时作出积分曲线, 输入命令t1=Table[(3+Sqrt[3])Sqrt[3+24x^2-4x^4-4*c*x]/(6*x),{c,-3,3}];t2=Table[(3-Sqrt[3])Sqrt[3+24x^2-4x^4-4*c*x]/(6*x),{c,-3,3}];gg1=Plot[Evaluate[t1],{x,-3,3},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];124gg2=Plot[Evaluate[t2],{x,-3,3},PlotRange->{{-3,3},{-3,3}},PlotStyle->RGBColor[1,0,0],DisplayFunction->Identity];g1=ContourPlot[y-x^3/3-x*(-2+y^2),{x,-3,3},{y,-3,3},PlotRange->{-3,3},Contours->7,ContourShading->False,PlotPoints->50,DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,(x^2+y^2-2)/(1-2*x*y)},{x,-3,3},{y,-3,3},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];Show[gg1,gg2,g2,Axes->None,Frame->True,DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出微分方程的向量场与积分曲线, 并输出等值线的图2.6.-3-2-10123-2-10123-2-10123-2-1123图2.6用NDSolve 命令求微积分方程的近似解例2.9 (教材 例2.7) 求初值问题:1,0)1()1(2.1=='-++=x y y xy y xy 在区间[1.2,4]上的近似解并作图.输入fl=NDSolve[{(1+x*y[x])*y[x]+(1-x*y[x])*y'[x]==0,y[1.2]==1},y,{x,1.2,4}]则输出为数值近似解(插值函数)的形式:{{y->InterpolatingFunction[{{1.2,4.}},< >]}}用Plot 命令可以把它的图形画出来.不过还需要先使用强制求值命令Evalu-ate, 输入 Plot[Evaluate[y[x]/.fl],{x,1.2,4}]则输出近似解的图形（图2.7）.125 1.5 2.53 3.5410203040图2.7如果要求区间[1.2,4]内某一点的函数的近似值, 例如8.1=x y ,只要输入y[1.8]/.fl则输出所求结果{3.8341}例2.10 (教材 例2.8) 求范德波尔(Van der Pel)方程5.0,0,0)1(002-='==+'-+''==x x y y y y y y在区间[0,20]上的近似解.输入 Clear[x,y];NDSolve[{y''[x]+(y[x]^2-1)*y'[x]+y[x]==0,y[0]==0,y'[0]==-0.5},y,{x,0,20}];Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,20}]可以观察到近似解的图形（图2.8）.5101520-2-112图2.8126 ⎪⎩⎪⎨⎧==+-'1)1(01sin 2y x y x y x 的数值解, 并作出数值解的图形.输入命令<<Graphics`PlotField`sol=NDSolve[{x*y'[x]-x^2*y[x]*Sin[x]+1==0,y[1]==1},y[x],{x,1,4}];f[x_]=Evaluate[y[x]/.sol];g1=Plot[f[x],{x,1,4},PlotRange->All,DisplayFunction->Identity];g2=PlotVectorField[{1,(x^2*y*Sin[x]-1)/x},{x,1,4},{y,-2,9},Frame->True,ScaleFunction->(1&),ScaleFactor->0.16,HeadLength->0.01,PlotPoints->{20,25},DisplayFunction->Identity];g=Show[g1,g2,Axes->None,Frame->True];Show[GraphicsArray[{g1,g}],DisplayFunction->$DisplayFunction];则输出所给微分方程的数值解及数值解的图2.9.1.522.533.544681 1.52 2.53 3.54-22468例2.11 (教材 例2.9) 求出初值问题⎪⎩⎪⎨⎧='==+'+''0)0(,1)0(cos sin 22y y xy x y y的数值解, 并作出数值解的图形.输入NDSolve[{y''[x]+Sin[x]^2*y'[x]+y[x]==Cos[x]^2,y[0]==1,y'[0]==0},y[x],{x,0,10}]127 Plot[Evaluate[y[x]/.%],{x,0,10}];则输出所求微分方程的数值解及数值解的图形（图2.10）.2468100.20.40.60.8图2.10例2.12 (教材 例2.10) 洛伦兹(Lorenz)方程组是由三个一阶微分方程组成的方程组.这三个方程看似简单, 也没有包含复杂的函数, 但它的解却很有趣和耐人寻味. 试求解洛伦兹方程组,0)0(,4)0(,12)0()(4)()()()()(45)()()()(16)(16)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-='-+-='-='z y x t z t y t x t z t y t x t z t x t y t x t y t x 并画出解曲线的图形.输入Clear[eq,x,y,z]eq=Sequence[x'[t]==16*y[t]-16*x[t],y'[t]==-x[t]*z[t]-y[t]+45x[t],z'[t]==x[t]*y[t]-4z[t]];sol1=NDSolve[{eq,x[0]==12,y[0]==4,z[0]==0},{x[t],y[t],z[t]},{t,0,16},MaxSteps->10000];g1=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol1],{t,0,16},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];则输出所求数值解的图形（图2.11(a)）. 从图中可以看出洛伦兹微分方程组具有一个奇异吸引子, 这个吸引子紧紧地把解的图形“吸”在一起. 有趣的是, 无论把解的曲线画得多长, 这些曲线也不相交.128图2.11改变初值为,10)0(,10)0(,6)0(=-==z y x 输入sol2=NDSolve[{eq,x[0]==6,y[0]==-10,z[0]==10}, {x[t],y[t],z[t]},{t,0,24},MaxSteps->10000];g2=ParametricPlot3D[Evaluate[{x[t],y[t],z[t]}/.sol2],{t,0,24},PlotPoints->14400,Boxed->False,Axes->None];Show[GraphicsArray[{g1,g2}]];则输出所求数值解的图形（图2.11(b)）. 从图中可以看出奇异吸引子又出现了, 它把解“吸”在某个区域内, 使得所有的解好象是有规则地依某种模式缠绕.实验习题1. 求下列微分方程的通解:(1) ;0136=+'+''y y y(2) ();024=+''+y y y(3) ;2sin 52x e y y y x =+'-''(4) .)1(963x e x y y y +=+'-''2. 求下列微分方程的特解:(1) ;15,0,029400='==+'+''==x x y y y y y(2) .1,1,02sin ='==++''==ππx x y yx y y 3. 求微分方程0cos 2)1(2=-+'-x xy y x 在初始条件10==x y 下的特解.分别求精确解和数值解)10(≤≤x 并作图.4. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++t t e y x dt dy e y x dt dx 235的通解.129 5. 求微分方程组⎪⎪⎩⎪⎨⎧==+-==-+==4,081,0300t t y y x dt dyxy x dt dx 的特解. 6. 求欧拉方程组324x y y x y x =-'+''的通解.7. 求方程5,0,011='==+'+''==x x y y y y x y 在区间[0,4]上的近似解.。
常微分方程的几何解释
(2.2)
a x b, y ,
假设函数 f x, y在给定区域上连续且有界.于是
它在这个区域上确定了一个线素场.下面利用线素场
求出经过 x0, y0 的近似积分曲线.把
x0 ,b n 等分,其分点为:
xk x0 kh, k 0,1, , n
h b x0 , n
xn b
常微分方程
绵阳师范学院
先求出 f x0, y0
用经过 x0, y0 斜率为
y
x1
,
y1
x2
,
y2
f x0, y0 的直线段来近
y0
似积分曲线,其方程为
y y0 f x0, y0 x x0
x0 x1 x2
bx
求出直线上横坐标 x1 处的点的纵坐标
y1 y0 f x0, y0 x1 x0 y0 f x0, y0 h
如果 h 很小 x1, y1 就很接近积分曲线上的点 x1, y x1
因 f x, y 连续.于是由点 x1, y1 出发的斜率为
f x1, y1 的直线段又近似于原积分曲线.它的方程为
了线素场.
y k x
易见在点 x, y 的线素与
过原点与该点的射线重合.
常微分方程
绵阳师范学院
定理2.1 L为(2.1)的积分曲线的充要条件是: 在L 上任一点,L 的切线方向与(2.1)所确定的线 素场在该点的线素方向重合;即L在每间点均与 线素场的线素相切.
证明 必要性 设L为(2.1)的积分曲线,其方程为
20
若初值问题
dy dx
f ( x, y),的解是存在,是否唯一?
高数=第十章 向量场地积分
例如，求 E ( M )
解：P ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x, y , z )
3 r的向量线。 4 0 r q
q x ( x2 y 2 z 2 ) y
3 2
4 0 q 4 0 q 4 0
( x2 y 2 z 2 ) z
i 1 i 1
取极限：令 d max {si } ，则力场 F 所作的功为
1 i n
W lim F ( i , i , i ) [siT ( i , i , i )].
d 0 i 1
n
二、第二型曲线积分的定义
设曲线 C 是向量场 A( x , y , z ) 所在空间中一条以 A
C
A ds
C
Ads 。
7．2 第二型曲线积分的计算
定理 设有向光滑曲线弧 C 的参数方程为 x x ( t ), y y ( t ),
z z (t ) ，曲线 C 的起点 A 对应 ，终点 B 对应 ， t t
当 t 单调地由 变到 时，动点 M ( x , y , z ) 描出由点 A 到点 B 的曲线弧 C。
B(0, b)
x
解： （1）椭圆
x2 a
2
y2 b
2
1 的参数方程为
3 x acost ，且起点 A t 0 ，终点 Bt ， 2 y bsint
∴ ⌒ xdy ydx AB 0
C C
{ P[ x ( t ), y ( t )]x ( t ) Q[ x ( t ), y ( t )] y ( t )}dt 。 ②
常微分方程基本概念
注1:称函数y (x, c1,, cn )含有n个独立常数,是指
存在(x, c1,, cn )的某一邻域,使得行列式
c1
(, ',, (n1) )
(c1, c2 ,, cn )
'
c1
(n1)
c1
c2
cn
'
c2
'
cn 0
(n1) (n1)
为了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实 际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.
求满足定解条件的求解问题称为定解问题.
常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初
始条件是指如下的n个条件:
当x
x 0时,
y
y0 ,
dy dx
y (1) 0
,,
d (n1) y dxn1
y (n1) 0
这里x0 , y0 , y0(1) ,, y0(n1)是给定的 n 1个常数.
定义6 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解 称ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程的特解.
例如 y sinx, y cosx都是方程 y" y 0的特解. 可在通解y c1sinx c2cosx中分别取 c1 1, c2 0,得到 : y sinx,
c1 0, c2 1,得到 : y cosx.
3 定解条件
tx
dx dt
3
x
0;
d4x d2x (4) dt4 5 dt2 3x sin t;
都是常微分方程
2.偏微分方程 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两 个以上,称为偏微分方程.
如 (5) z z z ;
x y
第八章 向量值函数的曲线积分与曲面积分(1)
例5求面密度为常数 的均匀抛物面壳 的重心坐标.
解由抛物面 的对称性和均匀性知，重心坐标中 ，下面求坐标 .
抛物面 在xOy平面上的投影区域 为 ，故有
所以
重心坐标为
例6计算 其中 是锥面 被平面 和 所截得的部分的下侧.
解在计算 时， 可分为两块，即前面一块 和后面一块 ， 在yOz平面上的投影为正， 在yOz平面上的投影为负，其投影区域 相同.见图9－22.故图8－22
例3计算 ，其中 为 ，取逆时针方向.
解积分路径如图8－21，利用对称性。将原式分成两部分，即
第一个积分，曲线关于 轴对称，L在上半平面部分的走向与L在下半平面部分的走向相反(前者 ，后者 )，被积函数是y的偶函数。
第二个积分，曲线关于 轴对称，L在右半平面部分的走向与L在左半平面部图8－21
分的走向相反(前者 ，后者 )，被积函数是x的偶函数。所以两个积分均为零.即 ＝0
＝ .（8）
现在，斯托克斯公式可写成向量的形式
，
或
，（9）
其中
为 在 的法向量上的投影，而
为向量 在 的切向量上的投影.
沿有向闭曲线 的曲线积分
叫做向量场 沿有向闭曲面 的环流量.斯托克斯公式（9）现在可叙述为：向量场 沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 的旋度场通过 所张的曲面 的通量,这里 的正向与 的侧应符合右手规则.
一般地，设某向量场由
给出，其中 具有一阶连续偏导数， 是场内的一片有向曲面，n是 在点 处的单位法向量，则 叫做向量场 通过曲面 向着指定侧的通量（或流量），而 叫做向量场 的散度，记作 ，即
高斯公式现在可以写成
，
其中 是空间闭区域 的边界曲面，而
12-6欧拉-柯西近似法
一阶微分方程
积分曲线
y f ( x , y ) (1)
定义1
设 ( 1 ) 中 右 端 的 函 数 f ( x , y ) 在 区 域D 内
有 定 义 ， 那 么 过 D 内 每 一 点 M ( x, y) 作 一 条 以
f ( x, y)为 斜 率 的 直 线 ， 并 把 向 量
过 D 内 任 一 点 M ( x , y ) ,做 一 个 以M 为 起 点 长度等于 的向量
( x , y )
0
1 [ f ( x , y )]
y
2
{ 1, f ( x , y ) }
如图所示, 可形象地表示方向场.
o
x
定义2
方 向 场 中 具 有 同 一 方 向 ( y C ) 的 点
D 上，微分方程
线一定存在．如果 样的积分曲线是唯一的
注意 下面总假定函数
闭区域 D 上连续．
f ( x, y) 及
y
f ( x, y) 在
设方程 ( 1 ) 经过点 M 0 ( x 0 , y 0 ) 的积分曲线为 y ( x )，并设当 的一段积分曲线位于 x 0 H x x 0 H 时，对应 D 内．
2 x0 x0
程初值问题在指定区间
位小数）： 1；按 h 0 . 1 在 [ 0 . 5 , 0 ] 上求
1；按 h 0 . 02 在 [ 0 , 0 . 1 ] 上
求近似解 .
练习题答案
1． x 0 .0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 y 1 . 000 0 . 900 0 . 820 0 . 758 0 . 712 0 . 681 2． x 0 . 00 0 . 02 0 . 04 0 . 06 0 . 08 0 . 10 y 1 . 000 1 . 020 1 . 042 1 . 066 1 . 092 1 . 121