Riccati微分方程特解的向量场分析法

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代数riccati方程卡尔曼 kalman

代数Riccati方程和卡尔曼-布什滤波器（Kalman-Bucy Filter）是控制理论和信号处理中的重要概念。

1. 代数Riccati方程：- 定义：代数Riccati方程是一个关于对称矩阵的线性偏微分方程，它在最优控制、线性二次调节器（LQR）和鲁棒控制等领域有广泛应用。

- 形式：代数Riccati方程通常表示为\dot{P} = -PAP + PBR^{-1}BP - P + S其中$P$ 是一个对称矩阵，$A$ 和$B$ 是系统矩阵，$R$ 是权重矩阵，是代价函数的正定项。

- 解法：求解代数Riccati方程通常使用数值方法，如有限差分法、有限元法等。

此外，对于特定形式的系统矩阵和代价函数，也可以使用解析方法求解。

2. 卡尔曼滤波器：- 定义：卡尔曼滤波器是一种递归滤波器，用于估计状态变量的最优估计值。

它广泛应用于导航、控制系统和信号处理等领域。

- 原理：卡尔曼滤波器基于状态方程和观测方程，通过预测和更新两个步骤来递归估计状态变量的最优值。

它采用最小方差估计方法，使得估计误差的协方差矩阵最小。

- 形式：卡尔曼滤波器的核心是卡尔曼增益矩阵和状态更新方程，分别表示为K = P_k|k-1 H^T / (H P_k|k-1 H^T + R)\hat{x}_k|k = \hat{x}_k|k-1 + K(z_k - H \hat{x}_k|k-1)其中$\hat{x}_k|k$ 和$\hat{x}_k|k-1$ 分别表示状态变量的最优估计值和预测值，$z_k$ 是观测值，$H$ 是观测矩阵，$P_k|k-1$ 和$P_k|k$ 分别表示预测误差的协方差矩阵和更新后的协方差矩阵，$R$ 是观测噪声的协方差矩阵。

- 扩展：卡尔曼滤波器有多种扩展形式，如扩展卡尔曼滤波器（EKF）、无迹卡尔曼滤波器（UKF）和粒子滤波器（Particle Filter）等。

这些扩展形式适用于非线性系统和非高斯噪声系统。

世界著名难题黎卡提(Riccati)方程的解法

世界著名难题黎卡提(Riccati)方程的解法林文业湛江公路工程大队邮编:52400 电话0668-8322239摘要: 对于黎卡提(Riccati)方程)()()(/2x r y x q y x p dx dy ++=,本文先将其化为二阶线性微分方程,再由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得通解。

关键词: 黎卡提(Riccati)方程；通解一. 方程的线性化及求解对于黎卡提(Riccati)方程 )()()(/2x r y x q y x p dx dy ++= (1.1) 其中)(x p 在[]b a ,上一阶可导,且0)(≠x p ,)(x q 、)(x r 在[]b a ,上连续, a 、b 为实数。

设Y x f y )(=，0)(≠x f ，则(1.1)化为)()()()()()()()(2x f x r Y x f x f x f x q Y x f x p Y +'-+=' (1.2) 令)(1)(x p x f =,则(1.2)为 )()()()()()(2x r x p Y x p x p x q x p Y Y +'++=' 设)()()()()(x p x p x q x p x g '+=,)()()(x r x p x h =,则上式变为 )()(2x h Y x g Y Y ++=' (1.3) 设zz Y '-=(0≠z ),则(1.3)化为 z x h z x g z )()(-'='' (1.4) 令j x i z )(=,0)(≠x i ,则(1.4)化为j x i x i x i x h x i x g j x i x i x i x g j )()()()()()()()(2)()(''--'+''-='' (1.5) 令 0)(2)()(='-x i x i x g , (1.6) 则(1.4)化为j x i x i x i x h x i x g j )()()()()()(''--'='' 简记为j x k j )(='' 其中)()()()()()()(x i x i x i x h x i x g x k ''--'=(1.7)解(1.6),得 ⎰=dx x g e x i )(21)( 代入(1.7),得())(21)()(41)(2x g x h x g x k '--= (1.8) 由《关于高阶线性微分方程的一般解法》(2000年《湛江师范学报.增刊》发表)提供的方法,求得微分方程j x k j )(=''的通解为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋯⋯++⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--x a x a x a m x a x a x a x a m x a dx j x k dx dx x x k x k dx x x k x C dx j x k dx dx x k x k dx x k C x j 2)1(2222222222)1(122222221)()()()()()()()()()()())(()())((1)(其中)()()()()()(21)()()()(41)(2x r x p x p x p x q x p x p x p x q x p x k -'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=,[]b a x ,∈, 1C ,2C 为任意常数。

一类riccati方程的可解的条件

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９２４一类Ｒｉｃｃａｔｉ方程的可解的条件一类Ｒｉｃｃａｔｉ方程的可解的条件Һ宋华兵㊀(肇庆学院数学学院ꎬ广东㊀肇庆㊀５２６０６１)㊀㊀ʌ摘要ɔ本文讨论了Ｒｉｃｃａｔｉ方程在特定约束条件下ꎬ转化为可解的微分方程ꎬ得到方程的特解ꎬ并通过变换得到其通解ꎬ从而丰富了Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解方法.ʌ关键词ɔＲｉｃｃａｔｉ方程ꎻ约束条件ꎻ求解方法一㊁引㊀言Ｒｉｃｃａｔｉ方程的一般形式如下ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ２＋Ｑ(ｘ)ｙ＋Ｒ(ｘ)ꎬ(１)其中ꎬＰ(ｘ)ꎬＱ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)为区间[ａꎬｂ]上的连续可微函数ꎬ且Ｐ(ｘ)ʂ０ꎬ１８４１年法国数学家Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ证明此方程没有初等解法ꎬ但如果满足可积的充分条件[６]ꎬ求得Ｒｉｃｃａｔｉ方程的一个特解[２ꎬ３]ꎬ则可以通过变换得到其通解[４ꎬ５]ꎬ由于Ｒｉｃｃａｔｉ方程在控制[６]及非线性方程[７]领域具有重要应用ꎬ对Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解可提高其应用价值.本文介绍了一种新的Ｒｉｃｃａｔｉ方程约束条件ꎬ并得到一类Ｒｉｃｃａｔｉ方程的解.二㊁主要结论及求解过程对式(１)的Ｒｉｃｃａｔｉ方程ꎬ若Ｑ(ｘ)可表示成形如Ｑ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)φ(ｘ)的格式ꎬ其中φ(ｘ)Ｐ(ｘ)为[ａꎬｂ]上的连续可微函数ꎬ则方程(１)便有如下形式:ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ２＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ)ｙ＋Ｒ(ｘ)ꎬ(２)可写成:ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ[ｙ＋φ(ｘ)]＋Ｒ(ｘ).因为ｙ(ｘ)ꎬＰ(ｘ)ꎬφ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)皆为关于ｘ的函数ꎬ若令ｙ＋φ(ｘ)＝１ꎬ(３)则有ｄｙｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｙ＋Ｒ(ｘ)ꎬ有解ｙ~＝ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬ将其代入式(３)得:φ(ｘ)＝１－ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬ(４)Ｑ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)φ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)(１－ｙ~)＝Ｐ(ｘ)－Ｐ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬ(５)其中ꎬＣ为任意常数.结论１㊀对形如(２)式的Ｒｉｃｃａｔｉ方程ꎬ当Ｐ(ｘ)ꎬφ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)满足条件(４)时ꎬ方程(２)有形如ｙ~＝ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)的特解ꎬ其中ꎬＣ为任意常数.此时ꎬ设ｙ(ｘ)＝ｚ(ｘ)＋ｙ~(ｘ)为方程(２)的解ꎬ则有ｄｙｄｘ＝ｄｚｄｘ＋ｄｙ~ｄｘ＝Ｐ(ｘ)(ｚ＋ｙ~)２＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ)(ｚ＋ｙ~)＋Ｒ(ｘ)＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋(２Ｐ(ｘ)ｙ~＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ))ｚ＋Ｐ(ｘ)ｙ~２＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ)ｙ~＋Ｒ(ｘ)ꎬ可得伯努利方程:ｄｚｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋(２Ｐ(ｘ)ｙ~＋Ｐ(ｘ)φ(ｘ))ｚ＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋Ｐ(ｘ)(２ｙ~＋φ(ｘ))ｚ.由式(３)得ｄｚｄｘ＝Ｐ(ｘ)ｚ２＋Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｚ.(６)令ｕ＝ｚ－１ꎬ有ｄｕｄｘ＝－１ｚ２ｄｚｄｘꎬ则ꎬ式(６)可化为ｄｕｄｘ＝－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｕ－Ｐ(ｘ)ꎬ有解ｕ＝ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)ꎬ其中ꎬＣ~为任意常数.ｚ＝１ｕ＝１ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)ꎬｙ＝ｚ＋ｙ~＝１ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)＋ｙ~.(７)结论２㊀如果Ｒｉｃｃａｔｉ方程中的Ｐ(ｘ)ꎬＱ(ｘ)ꎬＲ(ｘ)满足条件(４)ꎬ则方程(２)的通解为:ｙ＝ｚ＋ｙ~＝１ｅʏ－Ｐ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏＰ(ｘ)ｅʏＰ(ｘ)(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)＋ｙ~ꎬ其中ꎬｙ~＝ｅʏＰ(ｘ)ｄｘ(ʏＲ(ｘ)ｅ－ʏＰ(ｘ)ｄｘｄｘ＋Ｃ)ꎬＣꎬＣ~为任意常数.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０１９２４三㊁应用举例例１㊀当Ｐ(ｘ)＝１ꎬＲ(ｘ)＝１时ꎬφ(ｘ)＝２－ｃｅｘꎬ验证ｙ＝ｃｅｘ－１为方程ｄｙｄｘ＝ｙ２＋(２－ｃｅｘ)ｙ＋１的一个特解.证㊀方程左边ꎬｄｙｄｘ＝ｃｅｘꎬ右边＝ｙ２＋(２－ｃｅｘ)ｙ＋１＝(ｃｅｘ－１)２＋(２－ｃｅｘ)(ｃｅｘ－１)＋１＝ｃｅｘꎬ方程两边相等ꎬ证毕.例２㊀求ｄｙｄｘ＝ｘｙ２＋ｘ(１－ｅｘ２２ʏｅ－ｘ２２ｄｘ－ｅｘ２２)ｙ＋１的解.解㊀因为Ｐ(ｘ)＝ｘꎬＲ(ｘ)＝１ꎬＱ(ｘ)＝ｘ１－ｅｘ２２ʏｅ－ｘ２２ｄｘ－ｅｘ２２()满足条件(４)ꎬ由结论１ꎬ原方程有特解:ｙ~＝ｅｘ２２ʏｅ－ｘ２２ｄｘｄｘ＋ｅｘ２２ꎬ由结论２ꎬ原方程的通解为:ｙ＝１ｅʏ－ｘ(ｙ~＋１)ｄｘ(－ʏｘｅʏｘ(ｙ~＋１)ｄｘｄｘ＋Ｃ~)＋ｙ~ꎬ其中ꎬＣ~为任意常数.ʌ参考文献ɔ[１]李天林.黎卡提方程可积的一个充分条件[Ｊ].数学通报ꎬ１９９１(５):４０－４１.[２]王明建.Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程特解新求法的研究[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２００６(７):３８２－３８６.[３]保继光.Ｒｉｃｃａｔｉ方程的特解[Ｊ].数学通报ꎬ２０００(１０):４１－４２.[４]张玮玮.一类特殊类型的Ｒｉｃｃａｔｉ方程的求解[Ｊ].安庆师范学院学报(自然科学版)ꎬ２０１５(２):１１０－１１１.[５]贾庆菊ꎬ冯文俊ꎬ武跃祥.某些黎卡蒂(Ｒｉｃｃａｔｉ)方程的解[Ｊ].中央民族大学学报(自然科学版)ꎬ２０１３(１):４８－５１.[６]ＲｏｇｅｒｓＣꎬＳｃｈｉｅｆＷＫ.ＢａｃｋｌｕｎｄａｎｄＤａｒｂｏｕｘＴｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎＧｅｏｍｅｔｒｙａｎｄＭｏｄｅｒｎＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎＳｏｌｉｔｏｎｓＴｈｅｏｒｙ[Ｍ].Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ:ＣａｍｂｒｉｄｇｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓꎬ２００２.[７]ＲｉｃｈａｒｄＤａｖｉｅｓꎬＰｅｎｇｓｈｉａｎｄＲｏｎＷｉｌｔｓｈｉｒｅ.Ｎｅｗｕｐｐｅｒｓｏｌｕｔｉｏｎｂｏｕｎｄｓｆｏｒｐｅｒ－ｔｕｒｂｅｄｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓａｌｇｅｂｒａｉｃＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎｓａｐｐｌｉｅｄｔｏａｕｔｏｍａｔｉｃｃｏｎｔｒｏｌ[Ｊ].ＣｈａｏｓꎬＳｏｌｉｔｏｎｓａｎｄＦｒａｃｔａｌｓꎬ２００７(３２):４８７－４９５.㊀(上接１５页)㊀㊀注意:复合函数求导时ꎬ要由外往里层层应用整体思维进行复合求导ꎬ在此过程中ꎬ把哪个部分看成整体就在右边乘这个整体的导数ꎬ直到最后的那个整体是基本初等函数或简单函数为止.四㊁凑微分法求积分应用整体思维ꎬ可以把积分公式ʏｆ(ｘ)ｄｘ＝Ｆ(ｘ)＋ｃ看成:㊀ʏｆ(Ѳ)ｄѲ＝Ｆ(Ѳ)＋ｃ(这里Ѳ表示一个整体).例６㊀求不定积分ʏｅ２ｘｄｘ.分析㊀把２ｘ看成一个整体ꎬ把微分凑成２ｘꎬ则转化为ʏｅѲｄѲꎬ这是可以直接用积分公式的ꎬ于是有:ʏｅ２ｘｄｘ＝１２ʏｅ２ｘｄ(２ｘ)＝ｅ２ｘ２＋ｃ.例７㊀求不定积分ʏｓｉｎ１ｘｘ２ｄｘ.分析㊀把被积函数看成ｓｉｎ１ｘ和１ｘ２两个部分ꎬ从整体看ꎬ可以把１ｘ２ｄｘ凑成－ｄ１ｘ()ꎬ然后把１ｘ看成一个整体ꎬ可以直接利用积分公式得出结果ꎬ即:ʏｓｉｎ１ｘｘ２ｄｘ＝－ʏｓｉｎ１ｘｄ１ｘ()＝ｃｏｓ１ｘ()＋ｃ.由以上我们可以得出ꎬ利用整体思维解决问题ꎬ一般是三个步骤ꎬ第一步:找准整体对象ꎬ即把哪个部分看成是一个整体ꎻ第二步:进行等值变换ꎬ即把用整体替换后的式子进行等值变换使其与原来的式子相等ꎻ第三步:利用已知的数学结论得出计算结果.ʌ参考文献ɔ[１]柳重堪.高等数学(上册第一分册)[Ｍ].北京:国家开放大学出版社ꎬ１９９９.[２]李林曙ꎬ黎诣远.经济数学基础(微积分)[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２００４.[３]赵坚ꎬ顾静相.微积分初步[Ｍ].北京:中央广播电视大学出版社ꎬ２００６.[４]曾亮.整体概念在高等数学教学中的应用[Ｊ].高等函授学报(自然科学版)ꎬ２０１０(２):４８－５０.。

riccati方程 b. 摇摆方程 c. levine-athans 方程 d. 输出方程

首先，我们需要了解这四个方程各自的定义和特性。

1.Riccati方程：Riccati方程是一个二阶线性微分方程，通常用于控制理论和滤波器设
计。

它的一般形式是：
(y''(t) + a(t)y'(t) + b(t)y(t) = 0)
其中，(a(t)) 和 (b(t)) 是时间 t 的函数。

2.摇摆方程：摇摆方程（也称为摆动方程或振动方程）描述的是一个物理系统在受到
某种力（如重力）作用下的运动。

一个常见的形式是：
(m\frac{d^2y}{dt^2} = -mg\sin y)
其中，m 是质量，g 是重力加速度，y 是位移。

3.Levine-Athans 方程：Levine-Athans 方程是一个用于解决库存问题的数学模型。

它
描述了在一定时间内库存如何变化，通常用于供应链管理和生产计划。

4.输出方程：输出方程通常用于描述一个系统的输出与输入或其他系统参数之间的关
系。

具体的方程形式取决于系统的特性和需求。

综上所述，这四个方程各自描述了不同的物理现象或系统行为，没有一个是另一个的简写或特例。

因此，它们之间没有直接的关系或相似性。

谈几种Riccati方程的特解及解法

谈几种Riccati方程的特解及解法作者：高金萍来源：《中国教育与教学研究》2013年第05期【摘要】本文对于有些Riccati方程，根据其系数函数的特殊内在关系，借助初等变换，讨论了其求解问题。

【关键词】Riccati方程；特解；Bernoulli方程；行列式；初等变换On the Solving methods for some kinds of Riccati equationGao Jin-ping【Abstract】this essay mainly discusses the solving methods some kinds of Riccati equations according to the special inner relations of their coefficient functions and the usage of elementary transformation.【Key words】Riccati Equation； Particular Solution； Bernoulli Equation； Determinant；Elementary Transformation.一、引言由牛顿（Newton，1642-1727）和莱不尼兹（Lenbinz，1646-1716）所创立的微积分，是人类科学史上重大的发现，而微积分的产生与发展，和人们求解微分方程有密切关系。

所谓微分方程，就是联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数的方程。

在物理学、化学、生物学、工程技术和某些社会科学中的大量问题一旦加以精确的数学描述，往往会出现微分方程，这说明，微分方程的确有十分广泛的应用。

一般的微分方程不一定有初等解法，如曾Bessel方程就没有初等解法，对于形式上十分简单的Riccati方程dydx =P（x） y2+Q（x） y+R（x）（1）其中P（x）、 Q（x）、 R（x）∈c[a，b]， P（x）≠0。

连续时间代数riccati方程

连续时间代数riccati方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续时间代数Riccati方程是一类重要的微分代数方程，广泛应用于控制理论、动力系统、信号处理等领域。

它可以描述系统状态随时间演化的动态过程，并在实际应用中发挥着重要作用。

本文将介绍连续时间代数Riccati方程的基本概念、求解方法和应用领域。

一、基本概念连续时间代数Riccati方程是一种特殊的矩阵微分方程，定义如下：\dot{P}(t) = -A^T P(t) - P(t)A - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + QP(t)是一个对称矩阵，称为Riccati方程的解；A、B、R、Q分别是给定的矩阵，分别代表系统的状态矩阵、输入矩阵、状态-输入权重矩阵和状态-状态权重矩阵。

连续时间代数Riccati方程的特点在于，它不仅包含了状态矩阵的演化动态，还考虑了系统输入和权重矩阵对系统状态的影响。

Riccati 方程可以描述系统在连续时间下的状态演化规律，是控制理论中的重要工具。

二、求解方法对于一般的连续时间代数Riccati方程，其解并不容易求解。

针对特定情况下的Riccati方程，可以采用不同的方法进行求解。

常用的求解方法包括：1. Lyapunov方程法：将Riccati方程转化为Lyapunov方程进行求解；2. 反应敏感性法：通过求解线性化的Riccati方程，然后利用反应敏感性理论进行逼近求解；3. 近似法：将Riccati方程展开成级数，通过截断级数求解近似解。

这些方法在实际应用中都有其适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。

三、应用领域连续时间代数Riccati方程在控制理论、动力系统、信号处理等领域有着广泛的应用。

一些典型的应用包括：1. 线性二次型控制：Riccati方程是线性二次型控制理论的核心工具，用于设计最优控制器，实现控制系统的性能优化；2. 动态系统稳定性分析：通过求解Riccati方程，可以分析系统的稳定性和受控性，评估系统的运动特性；3. 鲁棒控制设计：Riccati方程在鲁棒控制设计中起着重要作用，可以设计具有鲁棒性能的控制器。

求一类Riccati微分方程通解的分项组合法

求一类Riccati微分方程通解的分项组合法王桂花;王明建【摘要】讨论了一类Riccati微分方程的通解,得到了它可以使用分项组合法的充要条件,为寻求Riccati微分方程的通解提供了有效的方法,并给出了它的应用.【期刊名称】《西安文理学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(014)002【总页数】3页(P46-48)【关键词】Riccati微分方程;通解;分项组合法;充要条件【作者】王桂花;王明建【作者单位】郑州师范学院数学系,河南郑州450044;郑州师范学院数学系,河南郑州450044【正文语种】中文【中图分类】O177.5(其中 P(x)、Q(x)和 R(x)都是定义域 D上的连续可微函数,且P(x)R(x)≠0)一般没有初等积分解法[1],求通解的途径是:预先知道 (1)的一个特解,再利用初等变换y=z+y0,使之变为 Bernoulli方程再求解.然而求(1)一个特解的难度并不亚于求其通解.本文把分项组合和积分因子两种方法同时应用到(1)上,得到了(1)中一类方程可以使用分项组合法的充要条件,为寻求 Riccati方程的通解提供了有效的方法,并给出了它的一些应用.众所周知,非线性 Riccati微分方程1 主要结果及证明首先给出以下两个引理引理 1[2]如果存在连续可微的函数μ=μ(x,y)≠0,使得为一全微分方程,即存在函数 v=v(x,y),使得则函数μ=μ(x,y)为方程的一个积分因子.引理 2[3]方程 (4)存在积分因子μ=μ(x,y)的充要条件是其中μ=μ(x,y),M=M(x,y),N=N(x,y)都是定义域D上的连续可微函数.使用分项组合法求解微分方程的通解,与明确其积分因子是密不可分的.定理 1 如果方程(1)中的系数函数 P(x)、Q(x)和 R(x)都是定义域D上的非分式函数,那么 (1)有通解为任意常数)的充要条件是:成立(其中2Py+Q≠0).证明必要性易证,只证充分性.由(1)得两边同除以得显然,对于(7)的后一项,考察微分把 (6)的条件代入,即知 (1)有通解(其中2Py+Q≠0).定理 2 如果方程(1)中的系数函数 P(x)、Q(x)和 R(x)都是定义域D上的非分式函数,那么 (1)有通解为任意常数)的充要条件是之一成立.证明只证必要性.(1)变形得两边同除以ex(y±1)2得显然,对于(9)的后一项,考察微分如果(1)有通解(C为任意常数),将(10)式与 (9)式的后一项对比,必有方程组合并统一后即为条件 (8).2 应用举例例 1[4-6] 求 Riccati方程的通解.解因为这里2(PQ′-P′Q)=PQ2-4P2R=-4e3x,所以可作如下的分项组合两边同乘以得即故方程有通解(其中 C为任意常数).例 2[5-6] 求 Riccati方程的通解.解因为这里Q=1-2x=-2x+1=-2R+1,所以可作如下的分项组合两边同乘以得即故方程有通解(其中 C为任意常数).3 结论使用 Riccati方程的分项组合法,首先应满足使用它的条件,如果对应于各定理的条件成立,那么寻找它的积分因子应该是不困难的,从而用分项组合法解(1)也是明确和易行的,尽管某些方程具有多个变量的积分因子.[参考文献][1] 王高雄.常微分方程 (第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006:72.[2] 丁同仁.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1991:44.[3] 都长青.常微分方程 (修订版)[M].北京:高等教育出版社,1991:21.[4] 庄万.常微分方程习题与解答[M].北京:高等教育出版社,1991:156.[5] A·菲利波夫.常微分方程习题集[M].孙广成,张德厚译.上海:上海科学技术出版社,1981:277.[6] 王明建.常微分方程 -内容、思想方法和技巧[M].吉林:吉林大学出版社,2007:27.。

已知特解的Riccati方程解法的教学探究

＝
Ｐ（ｘ）ｙ＋Ｑ（ｘ）ｙ＋Ｒ（ｘ）
（２）
ｄＸ
进一步假设Ｒｉｃｃａｔｉ方程（１）方程的通解为ｙ＝ｙ＋ｕ，ＩＩ为未知函数，代人Ｒｉｃｃａｔｉ方程知：
ｕｄ
＋
：
ｃａｔｉ方程可化为Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ方程求解。即知道一个或ｎ个特解的情形下可以求出Ｒｉｃｃａｔｉ方程的解。加上柯西初值问题的提出，常微分方程从求通解转向求定解时代１２］。尽管求一般的Ｒｉｃｃａｔｉ方程的通解比较困难，但对
限次代数运算而得到，但是他证明了特殊类型的Ｒｉｃ —
ｙ＝ｙ＋—————————— ———————一
一
ｆＰ（ｘ）ｅ ‘
。 ‘ ’ ＋Ｃ
其中Ｃ为任意常数。证明：假设ｙ是Ｒｉｃｅａｔｉ方程的一个已知特解，则有：
４０１３３１）
摘要：通过求已知特解的Ｐｄｃｃａｌｒ方程的通解使学生了解常微分方程历史，增强学生学习兴趣，巩固学生所
学知识。
关键词：Ｒｉｃｃａｔｉ方程；Ｂｅｎｏｒｕｌｌｉ方程中图分类号：Ｇ６４２．４
ｆ（２ｙＰ（ｘ）＋Ｑ（ｘ））ｄｘ
ｅ
的有关常数变异法的相关知识。该方程由意大利学者Ｒｉｃｃａｔｉ提出来，虽然Ｒｉｃｃａｔｉ方程（见下面方程（１））看起来形式非常简单，但曾被邀请去彼得堡任科学院院长的Ｒｉｃｃａｔｉ也仅仅讨论过该方程的一些特例，并未给出解法，这些特例后来被Ｂｅｎｏｒｕｌｌｉ兄弟成功解出，且在这个过程中ＪａｍｅｓＢｅｒｎｏｕｌｌｉ还推导出跟踪曲线方程并提出Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ方程。１８４１年法国数学家Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ证明了Ｒｉｃｃａｔｉ方程在一般情形下，他的解不能用初等函数的有限次积分以及有

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价值，但用的都是代数方法．本文旨在利用向量场的分析法，结合讨论函数的极值、凸凹、拐点和渐近线等性质，逐步逼近Ｒｃａ方程的特解．这种方法比起原有的代数方法，但减少了一些不必的繁杂来ｉｔｃｉ不
计算，而且又有形象直观、易于掌握等优点．
Ｏ引言
法国数学家Ｌｏｖｌｉｉｅ于１４ｕｌ８１年已证明：般地，线性Ｒｃａｉ分方程一非ｉｃｔ微
Ｙ＝Ｐ）＋ｇ）（Ｙ（Ｙ＋ｒ（）（）１
（中ｐｘ、（、（是［，］的连续可微实值函数，ｐ）（ ≠Ｏ一般没有初等积分解其（）ｑ）ｒ） Ⅱ ｂ上且（ｒ））法．但是由于式（）但在理论方面具有很强的重要性，１不而且它还有着许多的实际背景，近几十年来，许多学者对式（）１的求解方法仍然有着新的研究．文［６直接利用公式法，巧用一阶微分系统，２～］或或借助Ｅｌｒ程的形式解求得几类Ｒｃａｉｕｅ方ｉｃｔ方程的特解，者作初等变换再求其特解．方法有一定的实用或
３４
一
西安文理学院学报：自然科学版
第１３卷
ＹＩｌｌｌ立，中是Ｌｐｃｉ常数，么（）在惟一解Ｙ２≤ 一成Ｙ其ｉｓｈｔｚ那３存（，）它在ＩＸ ≤＾上连ｘ— ０Ｊ
续满初条ｙ（）里＝ｉｎ）Ｍ（且足值件。，ｈｍ（薷，。这ｎ，而
１主要结果及证明
引理１如果一阶微分方程为
ｙ＝一
那（有解（＝．么２特ｙ）一署）
引理２４方程（）［１通过初等变换，总可以化为方程
＝（＋（ｐ）ｓ）（）３
的形式，里ｓ）＝ｐ（ｒｘｐ））＋［（ｑ（这（）（）一（ｇ（４２Ｐ））一）（Ｐ（ｑｘ４）ｐ（定理１如果式（）端的函数，）包含点ｘ，ｏ的矩形域Ｒ：一ｌ，Ｙ一ｏ ≤６３右）在，０Ｙ）ｌ ≤０Ｉ１ＹＩ
场的分析方法对其特解进行逼近，最后得到Ｒｃａ方程的特解，ｉｔｃｉ并讨论了特解的周期性和稳定性．关键词：ｉｃｔ微分方程；Ｒｃａｉ向量场；在惟一性；存周期解；稳定性．
中图分类号：１５５Ｏ７．文献标识码：Ａ
Ｏｃ．２０ｔ０１
文章编号：０８５６（０００－０３０１０－４２１）４０３－３５
Ｒｃａ微分方程特解的向量场分析法ｉｔｃｉ
胡博王明建，
（１河南工业大学理学院，．河南郑州４０５；．５０２２郑州师范学院数学系，河南郑州４０４５０４）摘要：对一般的Ｒｃａｉｉｔ微分方程，ｃ首先给出了在初值条件下解的存在惟一性定理，后利用向量然
证明可参考［］１．对（）３的特解用向量场方法逐步进行分析，有
，．ｙ）
定２于程）果ｙＩ，，若 ≥ ，曲ｙ± 上各理对方（如设＝０么０位线＝的３ ≠那当，ｊ｝时于 √
点处都有着斜率相同的斜切向量．证明在（），３中当＝ ≠０时，ｐ）＋（，于实值函数）有且仅有当有（）＝对，， ≥０时，
位曲ｙ± 于线＝√ 上各处有斜相的切量的点都着率同斜向．
同，（解线水切量析有果＝，当著０，于线，± 理于３曲的平向分，如ｙ０ ≤时位曲）对）＝则＝
√／Ｊ的点都着平的量、ｏ各处有水切向．／ｌ上
定理３对于方程（）３的解曲线的极值和拐点，有
① ｐ），＜，线＝的方ｙ一的方函取当（＞ｓ）时曲）上，＝下解数。（。在，且 √ 或 √
得极小值．
② ｐ），＞，线：等的方ｙ一的方函取当（＜ｓ）时曲ｙ亏下，＝亏上解数。（。在 √ 且或 √
上连续，且在其上有Ｉ（（＋：Ｉ并ｐ）ＹＹ） ≤ （为正数）即右端函数关于Ｙ有不等式Ｉ）Ｙ＋Ｙ）ＩＹ，ｐ（（，：，Ｉ
收稿日期：０００ —５２１－２４
基金项目：河南省教育厅 “ 十五 ” 教育科学规划重点课题项目（ｏ３ＫＨＡｌ３２０一Ｊｃ — ６）作者简介：胡博（９Ｏ）女，１８一，河南荥阳人，河南工业大学理学院讲师，硕士．究方向：研常微分方程
第ｌ第４期３卷
２１００年１０月
西安文理学院学报：自然科学版
ＪｕａｏｉｎＵｉｒｔｏｒｏｒｌｆ ’ ｎｖｓｙｆｔＳｉｎｅＮｔｃＥ）ｎＸａｅｉＡｓ＆ｃｃ（ａＳｉｄｅ
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