微分方程及其分类
微分方程的通解总结
微分方程的通解总结一、什么是微分方程微分方程是数学中研究函数与其导数之间关系的一种方程。
它描述了函数取值及其导数和之间的关系，常被应用于物理、工程等领域中各种变化的解析描述。
微分方程在数学中占有重要地位，被广泛应用于分析和建模问题。
二、微分方程的定义与分类1. 微分方程的定义微分方程是一个含有未知函数及其导数的方程，通常有如下形式：F(x,y,y′,y″,…,y(n))=0其中，y是未知函数，x是自变量，y′,y″,…,y(n)分别代表y的一阶、二阶、…、n阶导数。
2. 微分方程的分类根据微分方程中未知函数和自变量的个数，微分方程可以分为以下几类：•常微分方程：只涉及一个自变量的微分方程。
•偏微分方程：涉及多个自变量的微分方程。
根据微分方程中导数的阶数，微分方程可以分为以下几类：•一阶微分方程：方程中最高阶导数为一阶。
•二阶微分方程：方程中最高阶导数为二阶。
•高阶微分方程：方程中最高阶导数为高于二阶的阶数。
三、常微分方程的通解求法常微分方程是指只涉及一个自变量的微分方程。
对于常微分方程，我们可以通过以下方法求得其通解：1. 变量可分离法如果微分方程可以写成M(x)dx+N(y)dy=0的形式，其中M(x)只与x有关，N(y)只与y有关，那么可以通过变量分离的方法求解。
具体步骤如下：1.将微分方程写成M(x)dx+N(y)dy=0的形式。
2.将M(x)与x分离，将N(y)与y分离。
3.对两边同时积分，得到F(x)+C1=∫M(x)dx和G(y)+C2=∫N(y)dy，其中C1和C2为常数。
4.化简得到原微分方程的通解F(x)+G(y)=C，其中C=C1+C2。
2. 齐次微分方程齐次微分方程是指可以写成dy/dx=f(y/x)的形式的微分方程。
可以通过以下步骤求解：1.令u=y/x，将原微分方程转化为dy/dx=f(u)。
2.将dy/dx=f(u)变形为du/f(u)=dx/x。
3.对两边同时积分，得到∫du/f(u)=∫dx/x。
微分方程及其分类
其中
均为常数．进一步有如下结论：
1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：
(1).当 (2)若
为方程的解时，则 为方程的解，则
也为方程的解；
也是方程的解；
2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：
微分方程及其分类
(1)若 为非齐次方程的特解， 为齐次方程的通解，则 为非齐次方程的通解；
微分方程及其分类
4.微分方程的解 任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。 （1）微分方 程的通解 如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与
微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解 （2）微分方程的特解 当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解 （3） 微分方程的初始条件
微分方程及其分类
确定通解中的任意常数的附加条件。 5.微分方程解的几何意义
通解的图象: 积分曲线族.
特解的图象: 微分方程的积分曲线.
例3 验证:
y C1 sin2x C2 cos 2x 是
d2y dx2
4y
0
的解, 并求满足初始条件 y x0 0, y x0 1 的特解.
解
d dx y2C1co2xs2C2si2n x,
3.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
微分方程及其分类
例2 判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶 的微分方程？
(1y)x2ysin x (2)xy d(1x x2)d y0
(3)yy0
(4 )y3yx1
(5)x(y)2x21 (6)y33y2x4
解 （1）是，1阶； （2）是，1阶； （3）是，2阶； （4）是，3阶； （5）是，1阶； （6）不是。
数学分析的微分方程
数学分析的微分方程微分方程是数学分析中的一个重要分支，它研究的是含有导数或微分的方程。
微分方程在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的基本概念、分类、解的存在唯一性以及一些常见的微分方程类型。
一、微分方程的基本概念微分方程是关于未知函数及其导数的方程。
一般形式为：\[F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})=0\]其中，$y$是未知函数，$y'$表示$y$的一阶导数，$y''$表示$y$的二阶导数，$y^{(n)}$表示$y$的$n$阶导数。
$F(x,y,y',y'',...,y^{(n)})$是已知的函数。
二、微分方程的分类微分方程分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只含有未知函数的一阶或多阶导数的方程，而偏微分方程则含有多个未知函数的偏导数。
常微分方程又可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程。
一阶常微分方程的一般形式为：\[y'=f(x,y)\]其中，$f(x,y)$是已知的函数。
高阶常微分方程则包括了二阶常微分方程、三阶常微分方程以及更高阶的情况。
三、微分方程的解的存在唯一性对于给定的微分方程，我们希望找到满足方程的函数。
解的存在唯一性指的是在一定的条件下，微分方程存在唯一的解。
对于常微分方程而言，解的存在唯一性定理常用的有皮卡-林德勒夫定理和格朗沃尔不等式等。
这些定理给出了某些条件下，常微分方程存在唯一的解的保证。
对于偏微分方程而言，解的存在唯一性的讨论则更加复杂，常需结合边界条件、初始条件以及问题本身的性质来进行具体的分析。
四、常见的微分方程类型1. 一阶线性常微分方程：一阶线性常微分方程的一般形式为：\[y'+p(x)y=q(x)\]其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数。
解这类方程常用的方法有常数变易法、一阶线性齐次方程的解法以及一阶齐次方程的通解求解方法。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。
二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。
(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。
(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。
2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。
(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。
3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。
(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。
三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
(3) 通解为齐次通解加上特解。
四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。
2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。
3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。
通过变量代换和积分可以求出其通解。
五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
微分方程通解总结
微分方程通解总结微分方程通解总结微分方程是数学中的一个重要分支，其应用广泛，涉及到物理、化学、工程等多个领域。
微分方程通解是解决微分方程问题的关键，本文将对微分方程通解进行全面详细的总结。
一、概念及分类1. 概念：微分方程通解是指能够满足给定微分方程所有初值条件的函数族。
2. 分类：（1）一阶常系数线性微分方程：dy/dx+ay=f(x)（2）一阶非齐次线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x)（3）二阶常系数线性齐次微分方程：d²y/dx²+ay=0（4）二阶常系数线性非齐次微分方程：d²y/dx²+ay=f(x)二、求解方法1. 一阶常系数线性微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后采用待定系数法求出非齐次线性微分方程的特殊解。
（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的一阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。
2. 一阶非齐次线性微分方程：（1）常数变易法：同上。
（2）待定系数法：根据非齐次项的形式，猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。
3. 二阶常系数线性齐次微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解，最终得到通解。
4. 二阶常系数线性非齐次微分方程：（1）待定系数法：根据非齐次项的形式猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。
（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的二阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。
三、注意事项1. 求解过程中需要注意初始条件和边界条件的使用。
2. 待定系数法需要根据非齐次项猜测特殊解的形式，并且需要保证猜测的特殊解不在齐次方程的通解中。
3. 特征根法需要求出齐次微分方程的特征根和对应的特征向量，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解。
微分方程的分类
微分方程的分类微分方程是数学领域中最重要的基础理论之一，它在不同学科领域中都有着广泛的应用，如物理、化学、天文学等。
微分方程就是研究函数与其导数之间的关系的方程，它可以用于预测各种自然现象，如生物发展、大气环境等。
根据方程中的变量和函数的属性，微分方程可以分为几种类型。
1. 常微分方程常微分方程是微积分中一个最基本的分支。
它只包括某一自变量的导数，比如dy/dx=f(x),这是一种典型的一阶常微分方程。
常微分方程可以分为齐次与非齐次方程。
齐次常微分方程有形如y′=F(y/x)、y′=F(y/x,y/x′)的等式，异次方程是指其不是齐次方程，係数和方程的项都是常数。
2. 偏微分方程偏微分方程是包含多个自变量的方程，它的未知函数是多个变量的函数，而且方程中包含这个函数的偏导数。
偏微分方程的求解往往需要一些特殊的技巧和数学工具。
偏微分方程可以分为线性与非线性方程，线性偏微分方程中函数的次数是1，而非线性偏微分方程中函数的次数是2或更高。
3. 非线性微分方程非线性微分方程中，被看作自变量的函数被放在一个非线性函数中，这会使得方程变得更加复杂、难以求解。
非线性微分方程通常具有难以求解解析解的特性，需要借助计算机算法或者寻求各种近似解来解决。
4. 常微分方程组常微分方程组由两个或多个常微分方程联立而成。
常微分方程组具有许多应用，例如在计算机模拟和控制理论中。
常微分方程组可以分为线性与非线性方程组，与线性微分方程类似，线性微分方程组的求解相对简单，但是非线性微分方程组的求解难度更高，需要依靠数值计算和近似法。
总之，微分方程是一门非常重要的数学分支，用来描述自然界中的各种现象。
基于不同的模型，可以将微分方程分为几种类型。
对于研究者来说，选择适合自己的微分方程类型是很关键的，它将决定研究者的求解方法和技巧。
微分方程基本分类
微分方程基本分类微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于自然科学、工程技术和社会科学等领域。
微分方程可以描述变量之间的关系，通过研究微分方程的分类和求解方法，我们能够深入理解各种自然现象和工程问题，为实际应用提供有力的支撑。
本文将介绍微分方程的基本分类，包括常微分方程和偏微分方程两大类。
一、常微分方程常微分方程是指只涉及一个独立变量和其导数的微分方程。
常微分方程常用于描述一维系统的动力学行为。
根据方程中的变量类型和阶数，常微分方程又可分为以下几类。
1. 一阶常微分方程一阶常微分方程是指方程中的最高阶导数为一阶的微分方程。
常见的一阶常微分方程有线性微分方程、分离变量型微分方程和恰当微分方程等。
线性微分方程可以表示为dy/dx+f(x)y=g(x)，其中f(x)和g(x)是已知函数。
分离变量型微分方程可以表示为dy/dx=f(x)g(y)，通过将dy/g(y)=f(x)dx两边积分来求解。
恰当微分方程可以化为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的形式，并通过判断M(x,y)和N(x,y)的偏导数是否相等来确定是否是恰当微分方程。
2. 二阶常微分方程二阶常微分方程是指方程中的最高阶导数为二阶的微分方程。
常见的二阶常微分方程有线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程和常系数高阶线性微分方程等。
线性齐次微分方程可以表示为d²y/dx²+p(x)dy/dx+q(x)y=0，其中p(x)和q(x)是已知函数。
线性齐次微分方程的求解可以通过特征方程和特解的叠加原理来实现。
线性非齐次微分方程是在线性齐次微分方程的基础上添加了一个非齐次项，求解时需要先求出齐次解，再找到一个特解来满足方程。
常系数高阶线性微分方程是指方程中的系数是常数，可以通过特征方程的根的性质来求解。
二、偏微分方程偏微分方程是指涉及多个独立变量和它们的偏导数的微分方程。
偏微分方程常用于描述多维系统的动力学行为，应用广泛且复杂。
根据方程中的变量类型和方程性质，偏微分方程可分为以下几类。
微分方程总结归纳
微分方程总结归纳微分方程是数学中的一个重要分支，它研究的是函数之间的关系以及函数的变化规律。
通过微分方程，我们可以描述自然界中的很多现象，例如物体的运动、电路中的电流等等。
本文将围绕微分方程展开，探讨其定义、分类、应用和解法等方面的内容，希望读者能够对微分方程有一个全面的了解。
一、微分方程的定义微分方程是描述函数和其导数之间关系的方程。
一般来说，微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两大类。
常微分方程是描述未知函数的一阶或高阶导数与自变量之间的关系，而偏微分方程是描述未知函数的偏导数与自变量之间的关系。
二、微分方程的分类根据微分方程中未知函数的阶数以及方程中出现的导数的阶数，微分方程可以分为一阶和高阶微分方程。
一阶微分方程是指方程中未知函数的最高阶导数为一阶导数的方程，而高阶微分方程则是指方程中未知函数的最高阶导数高于一阶导数的方程。
三、微分方程的应用微分方程在自然科学和工程技术领域中有着广泛的应用。
在物理学中，微分方程可以用来描述物体的运动、电磁场的分布等现象；在工程学中，微分方程可以用来描述电路中的电流、机械系统中的运动等；在经济学中，微分方程可以用来描述经济模型中的变化规律等等。
四、微分方程的解法对于微分方程的解法，常见的方法包括分离变量法、常数变易法、齐次线性微分方程的求解方法、特殊的非齐次线性微分方程的求解方法等。
通过这些方法，我们可以求解出微分方程的解析解或数值解，从而得到问题的具体解。
五、微分方程的挑战与展望虽然微分方程在数学和应用领域中有着重要的地位，但求解微分方程仍然是一项具有挑战性的任务。
一方面，微分方程的解析解并不总是容易求得，需要借助于各种数学工具和技巧；另一方面，对于一些复杂的微分方程，数值解法可能是唯一可行的方法。
因此，微分方程的研究仍然具有很大的发展空间，人们需要不断地探索新的解法和方法。
总结起来，微分方程作为数学的一个重要分支，具有广泛的应用领域和深远的理论意义。
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一、微分方程的概念
为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：
例1 一曲线通过点 (1, 2)
，且在该曲线上任一点
M ( x, y ) 切线的斜率为 2 x ，求这曲线的方程。
解
设所求曲线为 y y( x )。则有 y 2 x
2 y x C 对上式两边积分有
由于所求曲线通过点 (1, 2) 即 满 足 y
，所以特征曲
(10.3.5)
因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程的判别式 一组共轭复变函数族．其特征方程的解为 ，所以特征曲线是
(10.3.7)
若令
(10.3.8) 作自变量变换，则偏微分方程变为
(10.3.9) 上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
(2) 若 则
3．线性偏微分方程的叠加原理 需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠
加原理，即若
是方程
（其中 L 是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数
收敛，且二阶偏导数存在（其中
为任意常数），则
的解（当然要假定这个方
一定是方程
程右端的级数是收敛的）．
微分方程及其解法
一、 微分方程的概念
二、二阶线性偏微分方程的分类
函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具
，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是
十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接
找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有
时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这
样的关系式就是所谓的微分方程。
确定通解中的任意常数的附加条件。
5.微分方程解的几何意义 通解的图象: 特解的图象: 积分曲线族.
微分方程的积分曲线.
d2y 4y 0 2 dx
y C1 sin2 x C 2 cos2 x 是 验证 : 例3 的解, 并求满足初始条件 y x 0 0 , y x 0 1 的特解.
．所以，方程(10.2.6) 即为
(10.2.4)
或者进一步作变换
于是有
所以
又可以进一步将方程(10.2.11)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型．
2．当判别式
时：这时方程
(10.2.10)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
我们不妨令
从而有
(10.4.2)
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进
一步化简
(10.4.3)
式中
均为常系数．若令
(10.4.4)
则有
(10.4.5)
其中
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
（10.4.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母
均为常系数．
为了化简，不妨令
10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步 化简
如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还
可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还
可进一步化简
注：上式中用小写字母
代表常系数，以便与
大写字母代表某函数区别开来, 例如
．为了化简，
10.2 数学物理方程的分类
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的 偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方 程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解
也表现出各自不同的特点． 我们在解析几何中知道对于二次实曲线
其中
为常数，且设
则当
时，上述二次曲线分别为双
解
dy 2C 1 cos 2 x 2C 2 sin2 x, dx
d2y dx
2
4C1 sin2 x 4C 2 cos 2 x
代入原方程 ，有
4C1 sin2 x 4C 2 cos2 x 4C1 sin2 x 4C 2 cos2 x 0.
故函数 y C1 sin2 x C 2 cos2 x, 是原方程的解。
又因为这个解中含有两个独立的任意常数 C 1 ,C 2 ，
而方程为二阶微分方程，所以
函数 y C1 sin2 x C 2 cos2 x, 是原方程的通解。
把条件y x 0 0 代入 y C1 sin2 x C 2 cos2 x, 得
C2 1
把条件y x 0 1 代入 y 2C1 cos2 x 2C 2 sin2 x, 得
则 C 1. 所求曲线方程为 y x 1 .
2
x 1
2
1.微分方程的定义 凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方 程叫微分方程。
例 y xy ,
y 2 y 3 y e x ,
(t 2 x)dt xdx 0.
2.微分方程的分类
未知函数是一元函数的 微分方程。 常微分方程： 未知函数是多元函数的 微分方程。 偏微分方程：
对于二阶线性偏微分方程
(10.3.1)
若判别式为
线性偏微分方程分为三类：
，则二阶
时，方程称为双曲型;
时，方程称为抛物型;
时，方程称为椭圆型;
1.双曲型偏微分方程
因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，
设特征方程的解为
令
(10.3.2)
进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式
从而有
(10.4.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)
(10.4.8)
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的
为常系数．
为了化简，不妨令
从而有
(10.4.9)
其中
10.5 线性偏微分方程解的特征
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式： 其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数．
定理10.2.1 如果
的一般积分，则
是方程
(10.2.3)
的一个特解． 在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式
1. 当判别式 以求得两个实函数解
时，从方程(10.2.10)可
也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线．于是，令
即可使得
．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定
(10.3.3) 上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量 代换，令
或
则偏微分方程又变为
(10.3.4) 上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如 是两个不同的函数。
与
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． 其特征方程的解为
3.微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
例2
判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶
的微分方程？
(1) y x 2 y sinx
(3) y y 0
2 2 (5) x( y ) x 1
(2) xydx (1 x 2 )dy 0
1 C1 , 2
因此方程满足初始条件的特解为
1 y sin2 x cos 2 x 2
二阶线性偏微分方程的分类
本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方
法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏
微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微
分方程求解是十分有用的.
曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏
微分方程进行分类.
下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行 理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨 论的基本方法是一样的．
两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
（10.2.1） 其中 为 是方程 (10.2.2) 的已知函数．
是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
于是
所以
方程(10普拉斯(Laplace)方程、 泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型． 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只 需讨论判别式
即可.
10.3 二阶线性偏微分方程标准化
由(10.2.4)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
彼此独立，即雅可俾式
即可．这样，方程(10.2.6)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
3. 当判别式 面的讨论，只不过得到的
时：这时，可以重复上 和 是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是 一对共轭复函数族．于是
线性偏微分算符有以下两个基本特征：
其中
均为常数．进一步有如下结论：
1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性： (1).当 为方程的解时，则 为方程的解，则 也为方程的解；
(2)若
也是方程的解；
2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：
(1)若
为非齐次方程的特解， 为非齐次方程的通解；
为齐次方程的通解，则
(4) y 3 y x 1
(6) y 3 y 2 x 4
（2）是，1阶；
3
解 （1）是，1阶； （3）是，2阶；
（5）是，1阶；
（4）是，3阶；
（6）不是。