二阶变系数线性微分方程的特解

二阶变系数线性微分方程的特解张金战( 陇南师范高等专科学校, 甘肃成县 742500)摘要: 在已知二阶变系数齐次微分方程的一个非零特解的条件下, 可以得到该齐次微分方程和与它对应的非齐次微分方程的通解, 本文给出了在二阶变系数齐次微分方程的系数满足一定条件下的特解形式.关键词: 线性微分方程; 特解; 通解中图分类号: O 175.1 文献标识码: A 文章编号: 1008- 9020( 2007) 02- 014- 02 1 、引言对于方程( 2) 的特解的确定, 有以下结论: 2二阶变系数线性微分方程是指定理 1 若存在实数 a,使 a+ap(x)+q(x)=0, 则方程( 2) 有特 ax解 y=e. 1y"+p(x)y'+q(x)y=f(x) ( 1) 2axax2ax 证明 : 设 a+ap(x)+q(x)=0, 将 y=e,y'=ae, y"=ae代入方 111y"+p(x)y'+q(x)y=0 ( 2) 2axaxaxax 2程( 2) 的左端得 : ae+aep (x)+eq (x)=e[a+ap (x)+q (x)]=0, 即其中p( x) ,q(x),f(x)都是关于 x 的连续函数, 方程( 1) 称为 ax y=e是方程( 2) 的特解. 1二阶变系数非齐次线性微分方程, 方程( 2) 称为方程( 1) 对应 x推论1 若 q(x)+p(x)+1=0,则方程( 2) 有特解 y=e. 1的齐次微分方程. 在已知方程( 2) 的一个非零特解的条件下, - x推论 2 若 q(x)- p(x)+1=0,则方程( 2) 有特解 y=e. 1文[1]给出了求方程( 2) 的通解的刘维尔公式, 文[2]、文[3]给出推论 3 若 q(x)=0,则方程( 2) 有特解 y=1. 1了方程( 1) 的一个通解公式.这样将求解方程( 1) 和( 2) 的问题 2 定理 2 若 k?1 且 k(k- 1)+kxp(x)+xq(x)=0,则方程( 2) 有特就转化成了找出方程( 2) 的一个非零特解的问题 , 但求方程 k解 y=x. 1( 2) 的特解没有一般方法, 通常用观察法, 多数情况下难以操 2kk- 1证明 : 设 k (k- 1)+kxp (x)+xq (x)=0, 将 y=x,y'=kx,y"=k111作.本文给出在方程( 2) 的系数满足一定条件下的特解形式, k-2 k- 2k-1kk-2 (k- 1)x代入方程( 2) 的左端得 : k(k- 1)x+kxp(x)+xq(x)=x从而解决方程( 1) 和( 2) 在某些条件下的求解问题. 2k [k(k- 1)+kxp(x)+xq(x)]=0,即 y=x是方程( 2) 的特解. 12 、主要结论推论 4 若 p(x)+xq(x)=0,则方程( 2) 有特解 y=x. 1[1] 引理 1若 y(x)是方程( 2) 的一个非零特解 , 则方程( 2) 122推论 5 若 xq(x)+2xp(x)+2=0,则方程( 2) 有特解 y=x. 1的通解为 2定理 3 若[p(x)+q(x)+1]x+kx[p(x)+2]+k(k- 1)=0, 则方程( 2) kx有特解 y=xe. 12kx证明 : 设 [p (x)+q (x)+1]x+kx [p (x)+2]+k (k- 1)=0 将y=xe, 1- p(x)dxkxk- 1xkxk- 1xk- 1xk- 2x !y'=xe+kxe,y"=xe+kxe+kxe+k (k- 1)xe代入方程( 2) 11 e y=cy+cydx1121 ! 2 的左端得: y 1kxk- 1xk-1 xk-2xkxk-1 xkxxe+kxe+kxe+k(k- 1)xe+(xe+kxe)p(x)+xeq(x)k- 2x2其中表示的一个原函数, 是任意常数p(x)dx p(x)c,c.12=xe{[p(x)+q(x)+1]x+kx[p(x)+2]+k(k-1 )}=0 ![2,3] 引理 2若 y(x)是方程( 2) 的一个非零特解, 则方程( 1) 1的通解为- p(x)dx- p(x)dx! ! p(x)dx! k x e e 即 y=x e 是方程( 2) 的特解.1( yf(x)e dx) dx] y=cy+cydx+y[1121 11! !!2 2 yy 11推论 6 若 [p (x)+q (x)+1]x+p( x)+2=0, 则方程( 2) 有特解xy=xe. 1其中表示的一个原函数, 是任意常数p(x)dx p(x)c,c.12 !收稿日期: 2007- 01- 21作者简介: 张金战( 1965— ) , 男, 甘肃礼县人, 陇南师范高等专科学校数学系讲师, 教育硕士。

14张金战: 二阶变系数线性微分方程的特解 Vol.12 No.2( 2007) 第 12 卷第 2 期( 2007)2- p(x)dx推论 7 若[p(x)+q(x)+1]x+2x[p(x)+2]+2=0, 则方程( 2) 有特 ! 即 y=e 是方程(2)的特解. 2x1解 y=xe. 13 应用举例 k- 122k-2 k- 2定理4 当 k>1 时, 若 q(x)+kxp(x)+kx+k(k- 1)x=0, 则例 1 求解微分方程(x- 1)y"- 2xy'+4y=1 k x 方程( 2) 有特解 y=e. 1 2x 4 1 2x 解将方程变形为: y"- y'+ y= ,则 p(x)=- , k x- 1 x- 1 x- 1 x- 1 k- 122k-2 k-2 x 证明: 设 k>1,且q(x)+kxp(x)+kx+k(k- 1)x=0, 将 y=e, 1 k k k 4 1 4 4x k-1 x k-2 x 22k-2 x 由于 , 由定q(x)= ,f(x)= .q(x)+2p(x)+4= - +4=0y'=kxe,y"=k(k- 1)xe+kxe代入方程( 2) 的左端得: 11 x- 1 x- 1 x- 1 x- 1 k k k k k-2 x 22k-2 x k-1 x x 2xk(k- 1)xe+kxe+kxep(x)+eq(x) 理 1 知, 方程所对应的齐次方程有非零特解y=e,再由引理 2 1得方程的通解为: k x k- 122k-2 k-2=e[q(x)+kxp(x)+kx+k(k- 1)x]=01 1 1 k 2x2 x 仍记为 y=ce +c(x - x+ )+ . (- cc)122 2即 y=e是方程(2)的特解. 1 2 4 2 2 2x 2推论 8 若 q(x)+2xp(x)+4x+2=0,则方程(2)有特解y=e. 例 2 求解微分方程 xy"+2xy'- 2y=x 1定理 5 若 p(x)cosx+q(x)sinx=sinx, 则方程( 2) 有特解 2 2 1 2 2 解将方程变形为:y"+ , 则 y'- = p(x)= ,q(x)=- ,2 2 y=sinx;若 p(x)sin x-q(x)cosx=- cosx, 则方程( 2) 有特解 y=cos x. x xx x x11证明: 设 p(x)cosx+q(x)sinx=sinx, 将 y=sinx, y'=cosx, 11 1 2 2 由于 , 由推论知, 方程所对应f(x)= .p(x)+xq(x)= - x=04 2 x x xy"=- sinx 代入方程( 2) 的左端得: 1的齐次方程有特解 y =x, 再由引理 2 得方程的通解为: -sinx+p(x)cosx+q(x)sinx=- sinx+sinx= 0.1即 y=sinx 是方程( 2) 的特解. 1c1 2 y=cx+ + xlnx. 12 x3 同理可证第二个结论.- p(x)dx参考文献: ! 定理 6 若 p'(x)- q(x)=0, 则方程( 2) 有特解 y=e . 1[1]东北师范大学数学系.常微分方程[M].北京: 高等教育 - p(x)dx- p(x)dx !!出版社, 1982.132~134. 证明: 设 p'(x)- q(x)=0, 将 y=e , y'=- p(x)e , 11[2]李姝菲, 赵明.二阶线性微分方程解的讨论[J].吉林师范 - p(x)dx- p(x)dx! ! 学院学报,1998.19(1) .2y"=p(x)e - p'(x)e 代入方程(2)的左端得: 1[3]胡劲松等.一种二阶变系数线性微分方程的求解方法 - p(x)dx- p(x)dx- p(x)dx-p(x)dx !!!!22[J].重庆工商大学学报( 自然科学版) ,2005,22(3). p(x)e -p'(x)e - p(x)e +q(x)e- p(x)dx !=- e [p'(x)- q(x)]=0The special Solution to Or der2 Var ious Coefficient LinearDiffer ential EquationZHANG Jin-zhan(Department of Mathematics,Longnan Teachers College,Chengxian,Gansu 742500) Abstr act: On the basis of knowing a special solution of the various coefficient linear differential equation of order 2, We can find the general solution to the homogeneous differential equation and its responding non-homogeneous differential equation.This article gives the special solution at the requirement of certain order of the order 2 various coefficient linear differential eauation. Key wor d: Linear Differential Equation; General Solution; Special Solution.责任编辑: 蒲向明15。