一类二阶变系数线性微分方程的算子解法
二阶变系数线性微分方程的解法研究
二阶变系数线性微分方程的解法研究作者：白慧来源：《知识文库》2018年第08期众所周知的是，对与二阶变系数线性微分方程其一般解析式：y"+p（x）y'+q（x）y=f（x）①基于其定义我们可以知道P（x）、G（x）、F（x）是连续的，那么方程的解是存在的。
但是其可积性也只能是三者处于特定的情况下才能存在。
这部分内容比较深奥，在大部分普通高校微积分的教材中虽然没有对其解法的完整体现，但是学生们在自行阅读的时候很可能会阅读到相关方面的文献的时候很可能会看到相关的问题。
因此针对这种情况我们应该积极的寻找其中的相通之处进而找为学生们的更好的理解这些问题的重要途径。
1可积条件首先在方程①，我们通常所使用的方式是采用变量对上述的方程进行替换，并且一般替换的对象是可降价的方程或者是常系数线性方程。
这种方式的制约性就是在选择使用怎样的方式来进行替换的时候必须要看P（x）和Q（x）之间存在怎样的关系来确定。
就是在进行计算的过程中需要受到很多方面的影响，变量的不确定性大大增加了在解方程过程那种的困难性。
接下来我们探讨方程①可积的重要条件：P（x）、G（x）、F（x）≠0以及常数b、c②经过变换我们不难看出当①中的p（x）和q（x）分解为②时，即方程：③经过双变化之后不难看出其常系数线性方程：④之后可以再次经过转化得出：⑤在对方程：⑥双变换完成之后：显然上述的公式是错误的。
上述方程①中是的p（x）和q（x），在进行分解的过程中一般都不会将其分解成②的形式，一般在针对某些简单的情况下，我们可以使用拼凑法的形式；而在比较麻烦的情况下，往往可以使用“分项比较法”的方式来完成实现结题的过程。
基于此，本人认为，对可积方程①的求解，首先是观察方程①是不是能够形式简单并且便于记忆的方程，若不是再进行考虑如②的分解方式，这样可以为自己的结题提供一种比较简单的并且简捷的思路，从而不至于在拼凑的项目中难以找到相应G（x）、F（x）以及b、c 的值。
二阶微分方程解法总结
二阶微分方程解法总结二阶微分方程是数学中的重要内容，特别是在物理学、工程学等领域中经常涉及到，因此掌握其解法十分重要。
本文将围绕二阶微分方程解法进行总结，详细介绍其解法步骤和要点。
一、分类讨论首先，对于二阶微分方程，需要根据其系数是否恒为零来进行分类讨论。
具体而言，二阶微分方程可分为齐次方程和非齐次方程两类。
对于齐次方程，其系数为常数，且自由项恒为零，此时可通过代入试探解法或特征方程解法求解；对于非齐次方程，其系数同样为常数，但自由项非零，因此需要运用常数变易法求解。
二、代入试探解法代入试探解法是求解齐次方程的常用方法。
具体而言，我们先根据已知条件猜测一个特殊的解，然后再通过验证来确定是否正确。
以一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0为例，设其特殊解为y=ce^(λx)，其中c和λ为待定系数。
将这个解代入方程中，得到λ^2+ pλ+ q=0，解出λ1和λ2，即可得到通解y=c1e^(λ1x)+c2e^(λ2x)。
三、特征方程解法特征方程解法也是求解齐次方程的一种方法。
对于一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0，可以通过设y=e^(mx)得到其特征方程m^2+pm+q=0。
解出m1和m2，则通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。
需要注意的是，在特征方程的求解过程中，方程的两个解m1和m2可能相等，此时通解应为y=(c1+c2x)e^(mx)。
因此，在解题时需要特别注意此类情况的处理。
四、常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的基本方法。
具体而言，首先求出其对应的齐次方程的通解，然后特殊解通过试探法求得。
以一般的非齐次二阶微分方程y''+py'+qy=f(x)为例，首先求出其对应的齐次方程的通解y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。
然后，我们猜测特殊解为y*=Ax+B，其中A和B为待定系数。
将y*代入方程中，可得到A=f'/m2，B=[f/(m2^2)]-[(p/m2)A]，从而得到非齐次方程的通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)+y*。
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。
前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。
多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。
因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+， 则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法二阶微分方程是一种重要的数学工具，使用普通方程难以描述的许多自然现象，可以通过二阶微分方程来描述。
二阶微分方程的解法一般通过分离变量、变量代换、常数变易法、常微分方程定理等多种方法来实现。
1.分离变量法对于形如 y''=f(x)y 的二阶微分方程，可以通过分离变量来解决。
首先将方程转化为 y''/y=f(x)，然后对两端同时积分，得到ln|y|=∫f(x)dx+C(常数)，则 y=Ae^（∫f(x)dx）或 y=Be^（-∫f(x)dx）。
2.变量代换法当二阶微分方程存在某种特殊的变量代换时，我们可以通过代换来解方程。
例如，对于 y''+p(x)y'+q(x)y=0 的方程，如果我们用y=e^(∫p(x)dx)v(x) 进行代换，则方程转化后的 v(x) 满足 v''+(q(x)-p'(x))v(x)=0,可以进一步使用其他的解法来求解。
3.常数变易法常数变易法主要适用于二阶齐次线性微分方程 y''+p(x)y'+q(x)y=0 的特殊情况。
在解此类方程时，我们常常按照 y=e^(mx) 代入方程，然后解出对应的特征方程。
如果特征方程的根是实数或共轭复数对，那么方程的通解可以表示为y=C1e^(αx)+C2e^(βx)，其中 C1，C2 是任意常数，α，β 是特征根；如果特征方程的根是重根，那么方程的通解可以表示为 y=(C1+C2x)e^(mx)。
4.常微分方程定理对于非齐次线性微分方程 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x) 的解法，可以利用常微分方程定理（又称为Lagrange公式）来完成。
该定理指出，非齐次线性微分方程的特解可以表示为y*=u(x)y1+v(x)y2，其中 y1，y2分别为解齐次方程 y''+p(x)y'+q(x)y=0，u(x) 和 v(x) 是待定系数函数。
微分方程的解法
微分方程的解法引言微分方程是数学中的重要概念，用于描述物理、生物、工程等领域中的各种变化规律。
解微分方程是求解这些规律的关键步骤之一。
本文将介绍微分方程的解法及其应用。
常见的微分方程类型微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程只涉及一个自变量，而偏微分方程涉及多个自变量。
常见的微分方程类型包括一阶线性方程、一阶可分离变量方程、一阶齐次线性方程、二阶线性方程等。
一阶线性方程的解法一阶线性方程的一般形式可以表示为 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) 和 Q(x) 是已知函数。
解一阶线性方程可以使用积分法，分两步骤进行：先求齐次方程的通解，然后再找到特解。
一阶可分离变量方程的解法一阶可分离变量方程的一般形式可以表示为 dy/dx = f(x)g(y)，其中 f(x) 和 g(y) 是已知函数。
解一阶可分离变量方程可以通过变量分离法，分离自变量 x 和 y，然后逐步积分求解。
一阶齐次线性方程的解法一阶齐次线性方程的一般形式可以表示为 dy/dx = F(y/x)，其中F(y/x) 是已知函数。
解一阶齐次线性方程可以使用变量替换法，令v = y/x，然后对 v 进行求导和代入原方程进行变换，最终可以得到关于 v 的一阶可分离变量方程。
二阶线性方程的解法二阶线性方程的一般形式可以表示为 d²y/dx² + p(x)dy/dx +q(x)y = 0，其中 p(x) 和 q(x) 是已知函数。
解二阶线性方程可以使用特征根法，先求解其齐次方程的通解，然后根据齐次方程的解和待定系数法找到特解。
微分方程的应用微分方程在物理学、经济学、生物学等领域中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，牛顿第二定律可以用微分方程形式表示；在经济学中，经济增长模型也可以使用微分方程进行描述。
此外，微分方程在天文学、工程学、生态学等领域中也有广泛的应用。
结论微分方程的解法是数学中的重要内容。
一类二阶变系数线性微分方程的新解法
~ ,方程(4)就变为伯努利方程,因而可 解。 即设 z ~ ( x ) 是方程(4)的一个特解,则做变换: ~ z
可将(4)化为:
dz ~ ( x ) p ( x )) z z 2 (2 dx
(5)
①作者简介:张道祥(1979,3—),男,汉,安徽天长人,博士,副教授,研究方向:微分方程理论及其应用。 李亭亭(1992,3—),女,汉,安徽人,本科,在读博士,研究方向:环论与同调代数。
New Method on Solving a kind of Second-order Linear Differential Equations With Variable Coefficients
Zhang Daoxiang Li Tingting
(School of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu Anhui, 241002, China) Abstract: The second order linear differential equation plays an important role in the theory of ordinary differential equations. There have several methods on solving second order linear differential equation with constant coefficients, such as eigenvalue method, comparative coefficient method, Laplace transform method. While it has no normal method to solve second order linear differential equation with variable coefficients. By using the variable substitution method, the general solutions of secondorder linear differential equations with variable coefficients are obtained. Moreover, two examples are given to illustrate the results. Key Words: Second-order linear differential equation with variable coefficients; General solution; Riccati Equation
一元二阶微分方程通解
一元二阶微分方程通解
一元二阶微分方程通解的求解方法有多种，下面以常系数齐次线性微分方程为例进行说明。
一般形式的一元二阶齐次线性微分方程可以写成：
a*d^2y/dx^2 + b*dy/dx + c*y = 0
其中，a、b、c都是常数。
首先，我们需要找到该微分方程的特征方程。
假设y=e^(rx)是方程的解，代入微分方程中，得到特征方程：
a*r^2 + b*r + c = 0
解这个特征方程，可以得到两个根r1和r2。
根据根的情况，分为三种情况：
1. 当特征方程有两个不相等的实根r1和r2时，通解形式为：
y = C1*e^(r1*x) + C2*e^(r2*x)
其中C1和C2为任意常数。
2. 当特征方程有一个重根r时，通解形式为：
y = (C1 + C2*x)*e^(r*x)
其中C1和C2为任意常数。
3. 当特征方程有一对共轭复根α±βi时，通解形式为：
y = e^(α*x)*(C1*cos(β*x) + C2*sin(β*x))
其中C1和C2为任意常数。
需要注意的是，以上是针对齐次线性微分方程的通解形式。
如果是非齐次线性微分方程，还需要加上一个特解。
微分方程计算公式
微分方程计算公式咱来说说微分方程的一些计算公式哈。
一、一阶线性微分方程。
1. 标准形式。
一阶线性微分方程长这样：y'+p(x)y = q(x)。
这里y'就是y对x的导数，p(x)和q(x)都是关于x的函数。
2. 通解公式。
它的通解公式是y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
这个公式看起来有点复杂，咱来拆拆看。
首先呢，e^-∫ p(x)dx就像是一个“调节因子”。
∫ p(x)dx就是对p(x)求不定积分啦。
然后e^∫ p(x)dx和q(x)乘起来再求不定积分∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx，最后再加上个常数C，再乘上前面那个“调节因子”e^-∫p(x)dx就得到通解啦。
二、可分离变量的微分方程。
1. 形式和解法。
如果一个微分方程能写成g(y)dy = f(x)dx的形式，那它就是可分离变量的微分方程。
解法超简单，就是两边分别积分。
对g(y)dy积分得到∫ g(y)dy，对f(x)dx积分得到∫ f(x)dx，然后这两个积分结果相等，就得到方程的解啦，不过别忘了最后可能有个常数C哦。
就好像把x和y的东西分开处理，各算各的积分，然后让它们相等就行。
三、二阶常系数线性齐次微分方程。
1. 标准形式。
二阶常系数线性齐次微分方程是y'' + ay'+by = 0，这里a和b都是常数，y''是y 对x的二阶导数。
2. 特征方程。
我们先写出它的特征方程r^2+ar + b=0。
这个特征方程就像是这个微分方程的“小密码”。
3. 通解的情况。
如果特征方程有两个不同的实根r_1和r_2，那么通解就是y =C_1e^r_1x+C_2e^r_2x，就好像是两个不同的“增长模式”e^r_1x和e^r_2x按照一定比例C_1和C_2加起来。
如果特征方程有重根r，通解就是y=(C_1+C_2x)e^rx，这里多了个x和C_2，就像是在原来e^rx的基础上有点小变化。
二阶变系数线性微分方程的Riccati方程解法
二阶变系数线性微分方程的Riccati 方程解法对于Riccati 微分方程()()()2'y P x y Q x y R x =++ （1） 称系数关系：()()()()()12,'I P x R x I P x P x Q x ==+ 为方程（1）的不变量. 引理 []11 R 氏方程（1）经'()u y P x u=-变换，化为二阶线性方程21'''0.u I u I u -+= 定理 二阶线性方程()2''''0y bG G G y cG y +-+= （b,c 为常数） 经Gudxy e -⎰=变换，化为分离变量方程 2.duGdx u bu c =-+⎰⎰（2）证明 在方程()2''''0y bG G G y cG y +-+=中，取()(),P x G Q x bG ==-(),R x,cG =则不变量满足关系：()()()()212,'I P x R x cG I P x P x ===()Q x +='G.bG -于是，方程()2''''0y bG G G y cG y +-+=可化为Riccati 方程： 2'.u Gu bGu cG =-+ （3）显然，方程（3）为分离变量方程（2）.推论 ()2''''0y bG G G y cG y +-+=可化为分离变量方程 212,duf u Pu P =-+⎰其中u 满足（2）.此时，方程()2''''0y bG G y cG y +-+=中，取',G f =1b P =, 2,c P =则方程20r br c ++=可化为分离变量方程 212'.duf dx f u Pu P ==-+⎰⎰ （4）例 解方程()()()23''21'30.xInx y xIn x y x In x y +--=解 将方程化为()()1''2'30.y Inx y Inx y xInx ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭此时，取,2,G Inx b == 3,c =-则方程化为1213,,2341xdu u x Inxdx In C u u u e --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰⎰1u =-+414,1xx C e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1441211Inx Inx dx x xxC e x x y eC C e e ⎛⎫⎪ ⎪-⎪-⎛⎫ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦312x x x x K K e e -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭引理 []22 对于R 氏方程（1），若存在常数,,αβγ及可微()D x （不等于0）和()0y x ，满足拓广不变量关系：()[]()()2102,'I P x L y D I P x P x αγ===()()02Q x y x ++()2P x D D β=+.则方程（1）可化为可积形式2,duDdx u u αβγ=++⎰⎰ 其中[]()()()200000,'.Dy u y L y y P x y Q x y R x Pα=+=-+++定理 二阶线性方程 ()[]00'''/2'0y P P Q y P y PL y y -+++= （5）经()P x udxy e -⎰=变换，化为Riccati 方程()()()2'.u P x u Q x u R x =++推论 二阶线性方程22''''''2''''''''''0''f f y F f y F F F F f wf y f f λλ⎛⎫⎛⎫-++++-+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）经'f udxy e -⎰=变换，化为可积形式 2.duf u u wλ=++⎰（7）例 讨论方程''sin 2'cos 2sin 0V x V x V x +-=的周期性.解 将方程变形为cos ''2'20sin x V V V x +-=.在方程（6）中，取cos 1','sin x F f x c-==（常数0c ≠），20,,w c λ==-则本例方程化为积分形式122,du xc u u c c=+=-⎰ 2/121x ccc c e --+，则2/12112/21()x c dx c e x x c c y ec e c e -⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎰==+ .显然，其解非周期解.参考文献：【1】 张鸿林. 常微分方程手册[M]. 北京：科学出版社，1977.【2】 ZHAOlin-long.The Integrable Conditions of RiccatiDifferential Equation [J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics. 1999,14(3):67-70.。
一阶线性微分方程的解法
一阶线性微分方程的解法在数学中，一阶线性微分方程是指形如$y'+p(x)y=q(x)$的微分方程，其中$p(x)$和$q(x)$是已知的函数，$y$是未知函数。
这种微分方程的解法方法非常多样，这篇文章将会介绍三种较为常见的解法方法。
方法一：分离变量法分离变量法是解一阶微分方程最基础的方法，它的核心思想是将微分方程中的未知函数和自变量分别放到方程两侧，并将所有包含未知函数的项移到一侧，包含自变量的项移到另一侧，然后对方程两侧进行积分即可得到解。
例如，对于微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，我们可以将其改写为$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$，然后将$y$和$q(x)$的项分别移到方程两侧，得到$\frac{dy}{dx}=q(x)-p(x)y$。
然后对两侧同时积分，得到$$y=\frac{1}{p(x)}\left[c+\int p(x)q(x)dx\right]$$ 其中$c$是积分常数。
需要注意的是，上式中$p(x)$不能为零，否则分母为零无法得到有意义的解。
此外，在$y$的通解中，$c$是任意常数，可以通过初始条件来确定。
方法二：常数变易法常数变易法是一种适用于非齐次线性微分方程的解法方法。
它的思想是假设未知函数$y$可以表示为其对应的齐次方程的通解$y_c$和一个特解$y_p$的和，即$y=y_c+y_p$，然后通过对$y_p$的猜测来求解$y_p$，并将其代入原方程。
对于一阶非齐次线性微分方程$y'+p(x)y=q(x)$，对应的齐次方程是$y'+p(x)y=0$，它的通解为$y_c=ce^{-\int p(x)dx}$。
我们假设特解的形式为$y_p=u(x)e^{-\int p(x)dx}$，其中$u(x)$是待求函数。
将$y_p$带入原方程，得到$$u'(x)=q(x)e^{\int p(x)dx}$$ 我们可以通过对$u'(x)$进行积分来求出$u(x)$，从而求出特解$y_p$，最终方程的通解即为$y_c+y_p$。