二阶变系数齐次微分方程
第七节 常系数齐次线性微分方程
(r 1)(r 2 1)2 0,
特征根为 r1 1, r2 r3 j , r4 r5 j , 故所求通解为
y C1e x (C2 C3 x ) cos x (C4 C5 x ) sin x .
四、小结
二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:
r1 j ,
1 x y ( y y ) e cos x, 重新组合 1 1 2 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x, 2j
得齐次方程的通解为
y1 e
( j ) x
,
y2 e
( j ) x
,
y e x (C1 cos x C 2 sin x ).
u ( 2r1 p)u ( r12 pr1 q )u 0,
知 u 0,
rx 则 y xe , 取 u( x ) x , 2
1
得齐次方程的通解为 y (C1 C 2 x )e
r1 x
;
有一对共轭复根 特征根为
( 0)
r2 j ,
令 z ln y
则 z z 0,
特征根 1
x x x x z C e C e y C e C e . 通解 1 2 1 2
y2 e ,
r2 x
r1 x
得齐次方程的通解为 y C1e
C2e ;
r2 x
有两个相等的实根 ( 0)
p r1 x 特征根为 r1 r2 , 一特解为 y1 e , 2
设另一特解为 y2 u( x )e r1 x ,
，y2 代入原方程并化简， 将 y2 ，y2
二阶微分方程的解法及应用【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学二阶微分方程的解法及应用一、选题的背景、意义两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子。
为了精密地制造这些工具，就需要对圆形有精确的认识，在深入地研究圆形的过程中，出现了“无限细分，无限求和”的微积分思想的萌芽。
到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期。
在这段时间中，笛卡尔引进了变数的概念，有了变数，微分和积分也就立刻产生了！17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家的面前，几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来，他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法。
17世纪，当牛顿和莱布尼茨创立了微积分以后，数学家们便开始谋求用微积分这一有力的工具去解决越来越多的物理问题，但他们很快发现不得不去对付一类新的更复杂的问题，这类问题不能通过简单的积分解决，要解决这类问题需要专门的技术，这样，微分方程这门学科就应运而生了。
它和天文学、力学、物理学等许多学科有广泛的联系，在数学领域，它和其它一些分支学科相互渗透，关系密切，为理工科院校数学专业重要的基础课程，理工科其它专业的高等数学课程也将会有越来越多的常微分方程内容。
17世纪到18世纪是常微分方程发展的经典理论阶段，以求通解为主要研究内容；从18世纪下半叶到19世纪，此阶段为常微分方程发展的适定性理论阶段，人们从求通解的热潮转向研究常微分方程问题的适定性理论；19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段，这一阶段的主要成果是微分方程的解析理论，运用幂级数和广义幂级数解法，求出一些重要的二阶线性方程的幂级数解，并得到极其重要的一些特殊函数；19世纪至20世纪是常微分方程的定性理论阶段，以定性与稳定性理论为研究内容。
二、研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的基本内容：本文着重讨论求解各种二阶微分方程的方法。
二阶常系数齐次微分方程
二阶常系数齐次微分方程
一、二阶常系数齐次微分方程
二阶常系数齐次微分方程是指二阶以上的齐次微分方程，由一个系数多项式以及与其相乘的根变量组成，系数多项式是有一定特征的特殊多项式。
二、作用
二阶常系数齐次微分方程在工程学、物理学、数学建模等学科领域都有着广泛的应用，可用来描述动量定律、热力学定律、电路理论、声学定律以及被称为时域范数的微分方程等。
三、特点
二阶常系数齐次微分方程的多项式特殊性，使得它有三个确定性特点：一是存在两个有界的根；二是系数多项式一定为复数；三是它一定有解，而解一定是线性无穷组合形式。
四、解法
二阶常系数齐次微分方程求解可以根据等价变换法。
这种方法通过将常系数微分方程转化为一系列积分方程，再将其解得出，就能够获得解析解。
另外，也可以使用解析法来求解，解析法一般采用拉普拉斯变换的方式，来将微分方程转化为一系列的函数，再对函数进行求解，以得出解析解。
五、总结
二阶常系数齐次微分方程是一种二阶以上的齐次微分方程，由一个系数多项式以及与其相乘的根变量组成，在工程学、物理学、数学建模等学科领域都有着广泛的应用，有三个确定性特点：存在两个有界的根、系数多项式一定为复数，它一定有解，而解一定是线性无穷组合形式。
通常可以采用等价变换法和拉普拉斯变换两种方法来求解常系数微分方程，以获得解析解。
高中数学知识点总结微分方程的二阶常系数齐次方程
高中数学知识点总结微分方程的二阶常系数齐次方程微分方程是数学分析中的一个重要概念，它描述了自变量和相关函数的导数之间的关系。
在高中数学中，我们学习了微分方程的基本概念和解法。
本文将重点总结二阶常系数齐次方程的相关知识点。
一、概念简介二阶常系数齐次方程是指次数为2的微分方程，其中系数为常数，且齐次方程的定义域为全体实数。
一般形式可表示为：\[ a\frac{d^2y}{dx^2} + b\frac{dy}{dx} + cy = 0 \]其中a、b、c为常数。
二、解法步骤解一个二阶常系数齐次方程的一般步骤如下：1. 求特征方程。
将二阶常系数齐次方程中的导数用微分符号表示，并设y=e^(mx)为方程的解，得到特征方程：\[ am^2 + bm + c = 0 \]将特征方程的根记为m1和m2。
2. 求解齐次方程的通解。
对于不同的特征方程的根的情况：- 当m1和m2是不相等的实根时，齐次方程的通解为：\[ y = C_1e^{m_1x} + C_2e^{m_2x} \]其中C1和C2为任意常数。
- 当m1和m2是相等的实根时，齐次方程的通解为：\[ y = (C_1 + C_2x)e^{mx} \]其中C1和C2为任意常数。
- 当m1和m2是共轭复根时，齐次方程的通解为：\[ y = e^{mx}(C_1\cos\omega x + C_2\sin\omega x) \]其中C1和C2为任意常数，m与ω的关系为\(m=\alpha + i\omega\)。
3. 求解特解。
根据已知条件，可以求得齐次方程的特解。
将特解与齐次方程的通解相加，得到原方程的通解。
4. 求解初值问题。
根据给定的初值条件，代入通解中的未知常数，解出具体的初值问题。
三、应用举例下面通过一些例子，更具体地说明二阶常系数齐次方程的解法。
例1：求解方程\[3\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]解：根据方程的系数，特征方程为\[3m^2 - 5m + 2 = 0 \]解得特征方程的根为\(m1=\frac{2}{3}\)和\(m2=1\)。
05 第五节 二阶线性微分方程解的结构
第五节 二阶线性微分方程解的结构分布图示★ 二阶线性微分方程的概念二阶线性微分方程的解的定理★ 定理1 ★ 函数的线性相关与线性无关★ 定理2 ★ 定理3★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例1★ 解线性微分方程的降阶法★ 例2 ★ 常数变易法 ★ 例3★ 线性微分方程的解法小结★ 例4★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题7—5 ★ 返回内容要点一、二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程的一般形式是)()()(22x f y x Q dx dy x P dx y d =++， (5.1) 其中)(x P 、)(x Q 及)(x f 是自变量x 的已知函数，函数)(x f 称为方程(5.1)的自由项. 当0)(=x f 时, 方程(5.1)成为0)()(22=++y x Q dx dy x P dx y d ， (5.2) 这个方程称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程(5.1)称为二阶非齐次线性微分方程.定理1 如果函数)(1x y 与)(2x y 是方程(5.2)的两个解, 则)()(2211x y C x y C y += (5.3)也是方程(5.2)的解，其中21,C C 是任意常数.定理2 如果)(1x y 与)(2x y 是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则)()(2211x y C x y C y +=就是方程(5.2)的通解，其中21,C C 是任意常数.定理3 设*y 是方程(5.1)的一个特解，而Y 是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则 *+=y Y y (5.4)就是二阶非齐次线性微分方程(5.1)的通解.定理4 设*1y 与*2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的特解，则**+21y y 是方程 )()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' (5.5)的特解.定理5 设21iy y +是方程)()()()(21x if x f y x Q y x P y +=+'+'' (5.6)的解，其中)(),(),(),(21x f x f x Q x P 为实值函数，i 为纯虚数. 则1y 与2y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+''与 )()()(2x f y x Q y x P y =+'+''的解.二、二阶变系数线性微分方程的一些解法对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的. 这里我们介绍处理这类方程的两种方法. 一种是利用变量替换使方程降阶——降阶法；另一种是在求出对应齐次方程的通解后，通过常数变易的方法来求得非齐次线性方程的通解——常数变易法.对于二阶齐次线性方程, 如果已知其一个非零特解, 作变量替换,1⎰=zdx y y , 就可将其降为一阶齐次线性方程, 从而求得通解. 并有下列刘维尔公式.1)(21211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=⎰-⎰dx e y C C y y dx x P 三、常数变易法在求一阶非齐次线性方程的通解时, 我们曾对其对应的齐次方程的通解, 利用常数变易法求得非齐次方程的通解. 这种方法也可用于二阶非齐次线性方程的求解.设有二阶非齐次线性方程),()()(22x f y x Q dx dy x P dxy d =++ (5.10) 其中)(),(),(x f x Q x P 在某区间上连续, 如果其对应的齐次方程0)()(22=++y x Q dx dy x P dx y d 的通解2211y C y C y +=已经求得, 那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解.设非齐次方程(5.10)具有形如2211*y u y u y += (5.11)的特解, 其中)(),(2211x u u x u u ==是两个待定函数, 将上式代入原方程从而确定出这两个待定函数.例题选讲例 1 已知x x x x x x x e e xe y e xe y e xe y ---+=-=+=23221,,是某二阶非齐次线性微分方程的三个特解：（1）求此方程的通解；（2）写出此微分方程；（3）求此微分方程满足6)0(,7)0(='=y y 的特解.解 (1) 由题设知, ,232y y e x -=21y y e x -=-是相应齐次线方程的两个线性无关的解,且,21x x e xe y +=是非齐次线性方程的一个特解，故所求方程的通解为 y x x x x e C e C e xe -+++=2202x x x e C e C xe -++=221，其中.101C C +=(2) 因y x x x e C e C xe -++=221 ①所以x x x x e C e C xe e y --++='2212②x x x x e C e C xe e y -+++=''22142从这两个式子中消去,,21C C 即所求方程为;22x x xe e y y y -=-'-''(3) 在①, ②代入初始条件,6)0(,7)0(='=y y 得,721=+C C 61221=+-C C ⇒,41=C ,32=C从而所求特解为 .342x x x xe e e y ++=-降阶法例2（E01）已知x x y sin 1=是方程0222=++y dx dy x dxy d 的一个解, 试求方程的通解. 解 作变换⎰=,1zdx y y 则有dx dy ⎰+=,11zdx dx dy z y 22dx y d ⎰++=.221211zdx dx y d z dx dy dx dz y 代入题设方程，并注意到1y 是题设方程的解,有,022111=⎪⎭⎫+ ⎝⎛+z x y dx dy dx dz y 将1y 代入，并整理,得x z dx dz cot 2-=⇒.sin 21xC z = 故所求通解为y ⎰=zdx y 1⎢⎣⎡⎥⎦⎤+=.sin sin 221C dx x C x x )cot (sin 21C x C x x +-=).cos sin (112x C x C x -= 其中21,C C 为任意常数. .Cx dxdy =从而得到对应齐次方程的通解.221C x C y += 为求非齐次方程的一个解,*y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,221u x u y +=*根据常数变易法, 21,u u 满足下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧='⋅+'='⋅+'x u u x u u x 212120201⇒,211='u .2122x u -=' 积分并取其一个原函数得,211x u =.632x u -=于是，题设原方程的一个特解为 *y 1221⋅+=u x u 6233x x -=.33x = 从而题设方程的通解为.33221x C x C y ++=常数变易法例3（E02）求方程x dx dy x dxy d =-122的通解. 解 先求对应的齐次方程的通解.由0122=-dx dy x dx y d dx dy x dx y d 122＝ dx xdx dy d dxdy 11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅ ，||ln ||ln ln C xdxdy += 即 .Cx dx dy = 从而得到对应齐次方程的通解.221C x C y +=为求非齐次方程的一个解,*y 将21,C C 换成待定函数,,21u u 设,221u x u y +=*则根据常数变易法，21,u u 满足下列方程组⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x u u x u u x 212121201.21,21221x u u -='=' 积分并取其一个原函数得 .6,21321x u x u -== 于是，题设原方程得一个特解为.3621333221x x x u x u y =-=⋅+⋅=* 从而题设方程的通解为 .33221x C x C y ++=例4（E03）求方程1111-=--'-+''x y x y x x y 的通解. 解 因为,01111=---+xx x 易见题设方程对应的齐次方程的一特解为,1x e y =由刘维尔公式求出该方程的另一特解2y dx e e e dx x xx x ⎰--⎰=121,x = 从而对应齐次方程的通解为,21x e C x C y +=可设题设方程的一个特解为,11*x e u x u y += 由常数变易法, 21,u u 满足下列方程组⎪⎩⎪⎨⎧-='+'='+'102121x u e u u e u x x x ⇒,11-='u x xe u -='2 积分并取其一个原函数得,1x u -=',2x x e xe u ----=' 于是，题设方程的通解为 .1221---+=x x e C x C y x课堂练习1.下列函数组在其定义域内哪些是线性无关的?).(,)2(;,)1(22b a e e xe e bx ax x x ≠2.给出n 阶线性微分方程的n 个解, 问能否写出这个微分方程及其通解?3.已知x e x y =)(1是齐次方程02=+'-''y y y 的解, 求非齐次方程x e x y y y 12=+'-''的通解.。
二阶常系数齐次线性微分方程解法
二阶常系数齐次线性微分方程解法简谈二阶常系数齐次线性微分方程解法作为一种常见的数学形式，二阶常系数齐次线性微分方程在许多应用场景和互联网环境中产生不可磨灭的影响。
下文将阐明了二阶常系数齐次线性微分方程，并且阐述其解法的若干核心要素。
如前所述，二阶常系数齐次线性微分方程是一种研究应用于许多领域的常用数学形式。
它具有一般形式\begin{align}\frac{d^2y}{dx^2} + p \frac{dy}{dx}+qy = 0\end{align}。
其中，常数P和Q称为系数，取决于系统。
如果存在某种参数让P和Q都为0，那么上述问题将成为一元高次线性微分方程。
在数分课程研习中，这种方程的解方法可用拉普拉斯变换法求解，然后把结果还原回原变量。
该方程的解可以通过拉普拉斯变换法：在研究通用解阶段，求解变换后形式\begin{align}w'(x) + pw(x) + q = 0\end{align} for W(x) 的解，以及\begin{align}m^2-pq\end{align} 求取通解中的系数M，并将结果还原为\begin{align}y=C_1e^{mx}+C_2xe^{mx} \end{align}。
此外，用于求解非齐次方程的某些技术是很有用的，如变分法和Cauchy-Lipschitz条件，这也适用于具有二阶常系数齐次线性微分方程的研究。
变分法的原理是把要求解的问题变为另一个数学问题，该问题的解存在一系列参数。
而Cauchy-Lipschitz条件是一种定义给定解的条件，考虑这些条件会解决很多问题。
从以上内容可以看出，二阶常系数齐次线性微分方程的解法有许多可用方法，其中最流行的方法包括拉普拉斯变换法、变分法和Cauchy-Lipschitz条件。
这些方法在许多不同的领域中，尤其是互联网领域中得以发挥重要作用，具有很强的针对性和可行性，为数学研究提供了有效的支撑。
《常微分方程》知识点
《常微分方程》知识点常微分方程，又称ODE（Ordinary Differential Equation），是研究未知函数的导数与自变量之间的关系的数学学科。
常微分方程在科学和工程领域中有着广泛的应用，涉及到许多重要的数学原理和方法。
下面将介绍常微分方程的一些重要知识点。
1.基本概念-常微分方程的定义：常微分方程是描述未知函数在其中一区域上的导数与自变量之间的关系的方程。
-方程的阶数：常微分方程中最高阶导数的阶数称为方程的阶数。
-解和解集：满足常微分方程的未知函数称为方程的解，所有满足方程的解的集合称为方程的解集。
2.常微分方程的分类-分离变量法：适用于可以通过变量分离的常微分方程，将所有含有未知函数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，然后两边同时积分求解。
-齐次方程：适用于可以化为齐次方程的常微分方程，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
-线性齐次方程：适用于可以化为线性齐次方程的常微分方程，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
-非齐次方程：适用于非齐次方程的常微分方程，可以通过对应的齐次方程的解和特解的叠加，得到非齐次方程的解。
-可降阶的方程：这类方程具有特殊的形式，通过进行变量的代换，可以将高阶常微分方程转化为一阶或者低阶的方程，然后求解。
3.常微分方程的解法-解析解：指通过直接计算得到的解析表达式，能够准确地求得方程的解。
-数值解：指通过数值计算的方法，例如欧拉法、龙格-库塔法等，近似求解方程的解。
4.常用的一阶常微分方程- 可分离变量的方程：形如dy/dx = f(x)g(y)，通过将变量分离，然后积分求解得到解析解。
- 齐次方程：形如dy/dx = f(y/x)，通过进行变量的代换，将方程转化为一个只含有未知函数的项的齐次方程，然后求解。
- 线性方程：形如dy/dx + p(x)y = q(x)，通过变量的代换，将方程转化为一个只包含未知函数和其导数的项的线性齐次方程，然后求解。
二阶变系数微分方程的解法讨论
中 图分 类 号 ： ７ ０１ ５
文 献 标 识 码 ： Ａ
文章 编 号 ：６ １ ９ ４ ２ １ ） — ０ １ ０ １ ７ — １ Ｘ（ ０ ２ ０ ０ ３ — ２ ４
在 常微 分 方 程 中 ， 如 形
（ ） （ ＝ ｘ （ ， ｙ ｘ是 方 程 的 解 。 １ 若 ） 一 ｂ ） 则 ＝ （ 若 存 在 常 数 １ 使 得 ｒ。 ０ ） ６ ） ０， ２） ７ １ ， ｎ＋ （ ｍ＋ （ ： 则
＝
二 、 一 阶微 分 若
一 ．
前 系 数 为 ０ 且 有 （ 一 ｂ ， ） ４
ｆｘ ｘ ） ａｄ （ 一 ｘｘ ・ Ｉ ） ｝ ａｄ （ ， ， ｅ 即 ， ， 将 可
（ ＋ （ （ ＋ （ （ ］＝ ）０ ） ）６ ） ）
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- 2 - 毕业论文 题 目二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法 院 系 滨江学院 专 业 信息与计算科学 学生姓名 xxx XX 学 号 xxxXX 指导教师 XXX 职 称 教授
二Ｏ 一二 年 五 月 二十 日 目录 摘要 ...................................................................... 3
引言 ...................................................................... 3
1、 用常数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的解 ...................... 3
1.1已知方程的一个特解求通解 ............................................. 3 2、 化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的解
....... 5
2.1求满足定理1的恰当方程的通解 ......................................... 5
2.2求满足定理2的恰当方程的通解 ......................................... 6
3、 化为RICCAIT方程求二阶变系数齐次线性微分方程的解 ................. 6
3.1若方程系数满足()'()pxqx情况 ....................................... 8
3.2若方程系数满足()()1pxqx情况 ................................... 9
3.3若方程系数满足()()1pxqx情况 .................................... 10
结束语 ................................................................... 11
参考文献 ................................................................ 11 二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法 姓名 xx大学xx专业，南京 210044
摘要：二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是在应用上都占有重要位置。现在对于常系数
的线性微分方程的解法研究已经比较完备。但对于变系数线性微分方程如何求解，却没有通用的方法，因此探求二阶变系数微分方程的解法就很有必要。 本文主要讨论二阶变系数齐次线性微分方程的解法问题，通过利用常数变易法，和系数在满足特定条件下，化为恰当方程和riccati方程来求解二阶变系数齐次微分方程的解法，直接通过具体例题解决具有满足相同条件关系的二阶变系数齐次微分方程的解，从而进一步加深对二阶变系数齐次线性微分方程的解法的理解。 关键词：二阶变系数齐次线性微分方程；常数变易法；降阶法；恰当方程； riccati方程；通解；
引言：尽管由于计算数学和计算技术的迅猛发展,通过电子计算机可以迅速而且比较准确
地处理有关微分方程的求解问题。但是，在实际学习生活中对于一个常微分方程，不论从理论研究的角度，或从实际应用的角度看，都具有十分重要的地位。现在我们对于常系数线性微分方程的解法，已非常完备，但是对于理论比较完整的、有广泛应用的线性变系数微分方程至今却没有一般的求解方法，因此二阶变系数齐次微分方程的求解问题一直是人们感兴趣的研究课题。本文对系数满足特定条件的二阶变系数微分方程，通过观察其形式，巧妙利用常数变易法，化为恰当方程，和化为riccati方程来求解。主要针对不同类型的二阶变系数方程用不同的方法实现解决部分满足一定条件下的方程的解的目的。诣在通过具体例题的解法，解决系数满足特定条件下的二阶变系数齐次线性微分方程求解的问题，从而使我们能更进一步加深对二阶变系数齐次微分方程解法的理解，以便适应在工程技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要。
本文主要通过把方程转化为我们所熟悉形式，来讨论二阶变系数齐次微分方程 ''()'()0ypxyqxy （1）
的解，其中(),()pxqx是关于x的连续函数。 1、用常数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的通解 1.1 已知方程一个特解求方程通解 在我们课本上所学的关于求解二阶常系数齐次线性微分方程，我们可以通过特征方程法求其线性无关的特解, 然后再利用微分方程解的相关性质从而求得其通解,对于这个方法我们已经很熟悉了。那对于二阶变系数齐次线性微分方程求解怎么进行？因为二阶变系数齐 - 3 -
线性微分方程由于其系数的变化不同,使用特征方程法就没用,为此我们想到通过常数变易法，来讨论二阶变系数齐次线性微分方程（1）的解，具体思路如下: 若已知1y为方程(1)的一个特解，则知1cy ( C 为任意常数)是方程(1) 的一般解，我们可以通过变易常数，设与方程(1)的解1y线性无关的解为12)(yxcy, 其中)(xc是待定的函数，将其代入方程(1)可以得到:
111111''(2')'(''')0cyypyccypyqy （1.1
已知1y为方程(1)的一个特解,化简可以得到:
111''(2')'0cyypyc （1.2）
观察此方程是一个可降阶的微分方程，则令cu可得： 02111upyyyu ，利用变量分离得：02111ypyyuu （1.3）
积分得：pdxeyu21 则： dxeyxcpdx21 （1.4） 所以， dxeyyydxxp2112 （1.5) 例1 若已知21xey是二阶变系数齐次线性微分方程02442yxyxy的一个特解,求此二阶变系数齐次微分方程的通解。 解: 已知一个特解1y，利用（1.5）的结论,得另一个线性无关的特解为: 222422xxdxxxxedxeeey
所以原方程的通解为：y =(1c+xc2)e2x其中（1c，2c为任意常数）。
例2 求解(1)'''0xyxyy，已知它的一个特解是1yx，求其通解。 解：xy1
，利用常数变易法 ，得到所求通解为：
dxexxydxxx1
22
1
21211cdxexcxydx
x
x - 4 -
xceccdxexdxexexcxcdxeexcxcdxexcxxxxxxxxx21222212)1ln(212)1ln(2111111
一般的若已知二阶齐次线性微分方程的一个特解（对某些方程我们可通过观察法或分析法快速确定），然后利用常数变易法设另外一个特解，代入原方程后就可得到一个可降阶的微分方程，从而很简便的求得二阶变系数齐次微分方程的通解。
2、化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的通解 引入概念 如果二阶变系数齐次微分方程满足以下条件1和条件2中的系数(),()pxqx所限制的条件时，所能得到的方程就称之为恰当方程。
如何化为化为恰当方程通过降阶法求解方程通解？我们的思路就是观察二阶变系数齐次线性微分方程的系数，把系数化成满足恰当方程的系数形式，然后将转化后的的系数形式带入方程，然后利用变量代换，通过降阶法，把方程变为我们所熟悉的一阶方程积分求得方程的通解。
2.1 求满足条件1的恰当方程的通解 条件1 二阶变系数线性常微分方程( 1) , 对于系数(),()pxqx，若满足 ()()()()'()()()pxFxWxqxFxWxFx
（2.1.1）
其中函数(),'(),()FxFxWx都是连续函数,则把此类方程为恰当方程。
例1 求方程2''4'(42)0yxyxy的通解 解： 令 ()2,()2,FxxWxx则 2'()()()42FxWxFxx 系数满足定理1的条件则是恰当方程。将其带入方程（1）就可以得到 ''(()())'('()()())0yFxWxyFxWxFxy (2.1.2)
将上式通过变形得： ['()]'()['()]0yFxyWxyFxy （2.1.3） - 5 -
基于换元法，令 '()uyFxy （2.1.4） 则有： '()0uWxu (2.1.5) 解上面的方程( 2.1.5) 就得到： ()()1[]WxdxWxdxueedxc
（2.1.6） 把式( 2.1.6) 代入式(2.1.4)得 ()()1'()[]WxdxWxdxyFxyeedxc
（2.1.7）
解得：
()()()()12{[]}FxdxWxdxWxdxFxdxyeeedxcedxc
即得方程的通解为： ()[()()]()12{[]}FxdxFxWxdxWxdxyeeedxcdxc （2.1.8）
（其中1,2cc 是任意的常数。） 所以原方程的解为： 2212{[]}xxyeecdxc
即： 22222121142xxxyecexcex （2.1.9） 2.2 求满足条件2的恰当方程的通解 条件2 二阶变系数线性常微分方程( 1) ,对于系数(),()pxqx 若满足
'()()()()'()()()FxWxpxFxWxqxFx
(2.2.1)
其中(),()FxWx为一阶导数连续的函数，则把此类方程称为恰当方程。 例2 求方程 22''(1)'0yyyxx的通解 解： 令22(),()FxxWxx，则可知： 22'()()22()1()FxWxxxpxFxxx
，2'()22()()WxxqxFxxx