关于常系数线性微分方程组特解的求法
常系数线性微分方程特解复数求法的一点注记
常系数线性微分方程特解复数求法的一点注记高鹏霞;赵临龙【摘要】对于常系数非齐次线性微分方程L[x]]=dnx-dtn+a1(t)dn-1x-dtn-1+…+an-1dx-dt+an(t)x=f(t) (1)若λ=α±βi为(1)的特征方程的k重根时,则方程(1)的特解-x的满足以下结论:结论 1对于方程(1),若L[x]=f(t) =Pm(t)exsinβt(Pm(t)为m次多项式),则特解-x=tkAm(t)e(α+βi)t(Am(t)为m次待定多项式)为复数方程L[x]=f2(t)=-iPm(t)e(α+βt)t所对应特解的实部；若L[x]=f(t)=Pm(t)eαcosβt,则特解-x为方程（2）所对应的特解的虚部.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2012(032)001【总页数】1页(P27)【作者】高鹏霞;赵临龙【作者单位】安康学院数学与应用数学研究所,陕西安康725000;安康学院数学与应用数学研究所,陕西安康725000【正文语种】中文对于常系数非齐次线性微分方程若λ=α±βi为（1）的特征方程的k重根时，则方程（1）的特解的满足以下结论：结论1 对于方程（1），若为m次多项式），则特解为m次待定多项式）为复数方程所对应的实部；若L[x]=Pm (t )eαtcosβt ，则特解x为方程（2）所对应的特解的虚部.结论2 对于方程（1），若为m次多项式），则特解为m次待定多项式）为复数方程所对应特解的实部；若L[x]=f(t)=Pm (t )eαtsinβt ，则特解x为方程（3）所对应的特解的虚部.例 [1] 解方程x′′+9x =tsin3t.解特征方程λ2+9=0有根λ1,2=±3i ，因此，对应的齐次线性微分方程的通解为x=c1cos3t +c2sin3t ，其中：c1，c2为任意常数.对于特解，构造复数方程L[x]=te3it ，由于λ=±3i为单根.根据结论1～2，特解有2种解法.方法1 若将作为的实部，则可构造复数方程x′′+9x =-i te3it ，则经化简得由结论1得特解方法2 若将作为的虚部.由结合结论2得特解综上所述，x′′+9x =tsin3t 的通解为【相关文献】[1] 王高雄，周之铭.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2004。
常系数线性微分方程组解法
dy (1) dx = 3 y 2 z , 例1 解微分方程组 dz = 2 y z . ( 2) dx 解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得 式得
1 dz y = + z ( 3) 2 dx dy 1 d 2 z dz = 2 + , 两边求导得， 两边求导得， dx 2 dx dx
原方程组的通解为
1 y = ( 2C1 + C 2 + 2C 2 x )e x 2 , z = ( C + C x )e x 1 2
d 用 D 表示对自变量 x求导的运算 , dx
例如， 例如， y
(n)
+ a1 y ( n 1 ) + L + a n 1 y ′ + a n y = f ( x )
类似解代数方程组消去一个未知数,消去 类似解代数方程组消去一个未知数 消去 x
(1) ( 2) × D :
x D3 y = et , ( D 4 + D 2 + 1) y = De t .
4 2 t
(３) ３ (４) ４ (５) ５
( 2) ( 3) × D :
即
( D + D + 1) y = e
二、常系数线性微分方程组的解法
步骤: 步骤: １． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程． 微分方程． ２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 解此高阶微分方程, 函数. 函数. ３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数． 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
代入(1)式并化简 把(3), (4)代入 式并化简 得 代入 式并化简,
一类n阶常系数线性微分方程特解的求法
y
( n)
= A
k= 0
Cn ( x =
k
s+ r
)
( k)
(e ) Cn ( x
k
x
( n- k )
, n = 1, 2, (e )
x ( n- k )
n
Ln [ y ]
n- 1
A{
k= 0 s+ k
s+ k
)
( k)
a1
k=0
C n- 1 ( x
x 0
k
)
( k)
(e )
0
x
( r)
C s+ rF ( ) x
( s+ r)
s+ r- 1
+
( s 是非负整数, 且 s < n ) ( 0) ( 1) 的特征 方程是 F ( ) = 0. 若 F ( ) , F ( ) , F
(2)
+
+ + C s+ r F
s+ r
( )x +
( )}
( ),
,F
( s+ r)
( ) 中F
= Ae {[ C n
n
+ a 1 C n- 1
n- 1
+ an- 1 C 1 a +
收稿日期 : 2005- 10- 16 基金项目 : 江西省高等学校教学改革研究 省级立项课题 常微分方程 开放题的设计及其教学 作者简介 : 曾菊华 , 赣南教育学院数学系讲师 , 主要 从事数学专业课程的教学研究 .
-x
4 xe ( cos x + i sin x ) = 4x e 的 一 个特 解: 4 3 2 F( ) = - 4 + 12 - 16 + 12, F ( 1+ i) = 0, F ( 1+ i) = 8i
常微分方程的特解法
常微分方程的特解法在数学中，常微分方程是研究变量是一个实数的函数的方程。
它在自然科学、工程学、经济学和金融学等各个领域都有广泛的应用。
通常我们研究的是方程的一般解。
但在实际问题中，我们有时需要求解一些特殊情况下的特解，以满足具体问题的需要。
常微分方程的特解法就是为了让我们能够快速有效地求解这些特殊情况下的解。
一、常变系数一阶线性微分方程在常变系数一阶线性微分方程中，我们通常使用变量分离法解方程。
通常情况下，常微分方程的一般形式为：$$y'(x)+p(x)y(x)=q(x)$$其中p(x) 和q(x)都是已知函数。
我们可以将这个方程变形为：$$\frac{dy(x)}{dx}+p(x)y(x)=q(x)$$我们将y(x)单独放在等式左边，将x 和y(x)的导数单独放在右边，即：$$\frac{dy(x)}{y(x)}=q(x)-p(x)dx$$对于等式右边的积分：$$\int q(x)-p(x)dx$$我们可以得到：$$y(x)=Ce^{-\int p(x)dx}+\int q(x)e^{-\int p(x)dx}dx$$其中C是我们特殊情况下的常数。
二、常变系数二阶线性微分方程对于常变系数二阶线性微分方程的求解，我们通常使用特征方程法、变换法和特殊函数法。
这里我们介绍一下特征方程法。
对于形如下面这个方程的常变系数二阶线性微分方程：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=f(x)$$我们先将这个方程变形，得到：$$y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)=0$$然后我们构建特征方程：$$r^2+p(x)r+q(x)=0$$通过求解这个方程的解r，我们可以得到y(x)的一个通解：$$y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$$其中$y_1(x)$和$y_2(x)$是方程$r^2+p(x)r+q(x)=0$ 的两个线性无关解。
消元法求解常系数线性微分方程组
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微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解
微分方程的二阶常系数线性方程与特解求解微分方程是数学中重要的一门分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
其中，二阶常系数线性微分方程是一类常见且重要的微分方程类型。
在本文中，我们将探讨如何求解二阶常系数线性微分方程以及特解的求解方法。
首先，我们来了解一下什么是二阶常系数线性微分方程。
二阶常系数线性微分方程的一般形式为：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = f(x)$$其中，$a$和$b$是常数，$f(x)$是关于自变量$x$的函数。
这个方程中的未知函数是$y(x)$，我们的目标是求解$y(x)$的表达式。
要求解二阶常系数线性微分方程，我们可以先求解其对应的齐次方程，再找到特解，最后将齐次方程的通解与特解相加得到原方程的通解。
齐次方程是指当等号右边的$f(x)$为零时的方程，即：$$\frac{d^2y}{dx^2} + a\frac{dy}{dx} + by = 0$$齐次方程的解可以通过特征方程来求解。
特征方程是将齐次方程中的导数项全部移到左边，并将未知函数$y(x)$表示为指数函数$e^{rx}$的形式得到的方程。
假设$y(x) = e^{rx}$，代入齐次方程中得到：$$r^2e^{rx} + are^{rx} + be^{rx} = 0将$e^{rx}$提取出来得到：$$e^{rx}(r^2 + ar + b) = 0$$由指数函数的性质可知，$e^{rx}$不可能为零，所以我们得到一个关于$r$的二次方程：$$r^2 + ar + b = 0$$解这个二次方程可以得到两个不同的解$r_1$和$r_2$。
这两个解可以是实数或复数。
根据这两个解，我们可以得到齐次方程的通解：$$y_h(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$$其中，$C_1$和$C_2$是常数。
接下来，我们需要找到二阶常系数线性微分方程的特解。
特解是指使得原方程成立的一个特定解。
微分方程常系数与特解
微分方程常系数与特解微分方程是数学中一个重要的概念，它描述了函数之间的关系。
其中，常系数微分方程是一类特殊的微分方程，其系数在整个方程中都是常数。
本文将介绍常系数微分方程的基本概念和求解方法，并讨论特解的概念和求解方法。
一、常系数微分方程的概念常系数微分方程是指方程中的系数都是常数的微分方程。
一般形式可以表示为：\[a_ny^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + a_1y' + a_0y = f(x)\]其中，$y^{(n)}$表示$y$对$x$的$n$阶导数，$a_n, a_{n-1}, \dots , a_1, a_0$都是常数，$f(x)$是已知函数。
二、常系数微分方程的求解对于常系数微分方程，我们可以通过特征方程的方法求解。
首先，我们假设$y=e^{rx}$是方程的一个解，其中$r$是常数。
将$y=e^{rx}$代入微分方程，得到：\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1} e^{rx} + \dots + a_1 re^{rx} + a_0 e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$的指数和系数都是常数，所以可以整理得到：\[(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0) e^{rx} = f(x)\]由于$e^{rx}$是一个非零函数，所以上述方程成立的前提是：\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \dots + a_1 r + a_0 = 0\]这个方程称为特征方程。
解特征方程可以得到一系列的根$r_1, r_2, \dots, r_n$。
接下来，我们可以将这些根代入$y=e^{rx}$，得到方程的一组基本解，即：\[y_1=e^{r_1 x}, y_2 = e^{r_2 x}, \dots , y_n = e^{r_n x}\]这些基本解是方程的通解的一部分。
常系数线性微分方程组的解法
A k ck ,
t c,
k!
k!
而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,
0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E
A)
1
2
1
4
2
6
9
0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E
A)
5
3
5
3
2
6
34
0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在
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y1 ( x) 的预解式为
Q
(1) m+
s1
(
x)
eλx , 但我们可以证明 ,
在一定条件下 ,可以简化为
y1 ( x)
=
xs1
Q
(1) m
(
x)
eλx .
事实上 ,在方程组 (2) 中 , 对各方程依次求 ( n - 1) 次
导数 ,并将所得的 n ( n - 1) 个方程整理成关于 x2 ,
x3 , …, xn 及其导数的方程组 ,可得
Φ- 1 ( x) 时 ,由于 Φ( x) 是函数矩阵 , 故即使在 n = 2
时 ,也将导致十分繁复的计算 , 如 [ 1 ]. 而我们知道 ,
在一定的条件下 , (1) 可以用消元法将它化为某个分
量 ,例如 y1 ( x) 的 n 阶线性微分方程. 而对于高阶非 线性微分方程来说 ,当自由项为某类特殊函数时 ,就
Y( x) = TZ ( x) , 其中 T 为常数矩阵 , 且 det T ≠0. 于是方程组 (1) 或 (2) 可以化为
Z′( x) = T - 1ATZ( x) + T - 1 F ( x) . 如果矩阵 A 的特征值为λ1 ,λ2 , …,λr ,其重数分别为 s1 , s2 , …, sr ,而 s1 + s2 + …+ sr = n , 则可选取非奇 异矩阵 T ,使
的情形 ,即考虑方程组
y1′= a11 y1 + a12 y2 + …+ a1 nyn + f ( x)
y2′= a21 y1 + a22 y2 + …+ a2 nyn
…
(2)
yn′= an1 y1 + an2 y2 + …+ annyn , 其中 f ( x) = Pm ( x) eλx , Pm ( x) 为次数不超过 m 的代 数多项式. 现作线性变换
A1 - E1 A1 - E1 ω ω A1 - E1
U
W
U′
W′
⁝
=⁝
,
U ( n - 1)
W ( n - 1)
(11) 其中
a12 a13 … a1 n
a22 a23 … a2 n
A1 = … …
,
an2 an3 … ann n ×( n - 1)2 ω
,
J r
Ξ 收稿日期 :2001 - 04 - 16 作者简介 :吴顺唐 (1938 —) ,男 ,教授.
10
常熟高专学报 2001 年
λ1 1
其中
λ2 1 J i = ω
λi si ×si 为 Jordan 块. 注意 ,当 F ( x) = ( f ( x) , 0 , …, 0) T 时 ,
m
次多项式 ;当 λ等于矩阵 A
的某个特征值 ,例如 ,λ=λ1 时 , 方程组 (3) 有下面形
式的特解 :
xs1
Q
(1) m
(
x)
Q
(2) m+
s1
-
1
(
x)
⁝
Z 3 ( x) = Q (ms1+) 1 ( x)
eλx
Q (ms1 + 1) ( x)
⁝
Q
( n) m
(
x)
这样 ,原方程组便有如下形式的特解 :
z13 ( x) :
当 λ≠λ1 时 , z13
( x)
=
eλxQ
(1) m
( x)
;
当 λ=λ1 时 , z13
( x)
=
xs1
eλxQ
(1) m
(
x)
;
(8)
其中
Q
(1) m
( x) 为
m
次多项式.
用同样的方法 ,由 (4) 可得 :当 2 Φ j Φ s1 时 ,
zj ( x) = ( D - λ1) j - 1 z1 - [ b1 ( D - λ1) j - 2 + b2 ( D
- λ1) j - 3 + …+ bj - 1 ] f ( x) .
将 (8) 及 f ( x) = Pm ( x) eλx代入上式 ,就知
当 λ≠λ1 时 , zj ( x)
=
eλxQ
( j) m
( x)
;
当 λ=λ1 时 , zj ( x)
=
eλxQ
( j) m+
s1
-
j +1 ( x)
;
其中
Q
…, bn) Tf ( x) , 在 (3) 中的第一个独立方程组如写成算子的形
式 ,则为
( D - λ1) z1 = z2 + b1 f
( D - λ1) z2 = z3 + b2 f
…
(4)
( D - λ1) zs1 - 1 = zs1 + bs1 - 1 f
( D - λ1) zs1 = bs1 f
zn) T ,
F1 = ( b1 , b2 , …, bs1 ) Tf ( x ) , F2 = ( bs1 + 1 , bs1 + 2 , …, bs1 + s2) Tf ( x ) , … Fr = ( bs1 + s2 …sr - 1 + 1 , bs1 + s2 …+ sr - 1 + 2 ,
1 0 … 0
E1 = ω
,
0 0 … 1 n ×( n - 1)
U = ( y2 , y3 , …, yn) T ,
W = ( y1′- a11 y1 - f ( x ) , a21 y1 , - a31 y1 , …, - an1
y1) T.
当
A1 - E1
A1 - E1 det ω ω
( D - λ1) s1 - 1 z2 = ( D - λ1) s1 - 2 z3 + b2 ( D - λ1) s1 - 2 f ( x) , …
( D - λ1) 2 zs1 - 1 = ( D - λ) zs1 + bs1 - 1 ( D - λ1) f ( x) ,
( D - λ1) z1 = bs1 f ( x) .
11
性 , (3) 式中的部分多项式
Q
( j) m
(
x) 在某些情况下可
以预先确定为零. 例如 ,当 ϖ j ,矩阵 T 中第 s1 + s2 +
…+ sj + 1 行到第 s1 + s2 + …+ sj + sj + 1行的元素等
于零 时 , 便 是 如 此. 另 外 , 在 预 解 式 ( 10) 中 , 分 量
≠0
A1 - E1
时 ,可以从 (11) 中解出
y2( n - 1)
,
y3( n - 1)
,
…,
y
(n n
-
1)
.
再
对 (2) 中的第一个方程求导 n - 1 次就得
y1( n)
=
a11 y1( n - 1)
+
a12 y2( n - 1)
+
…+
a1 ny
(n n
-
1)
+ f ( n - 1)
第 15 卷第 4 期 2001 年 7 月
常熟高专学报 Journal of Changshu College
Vol . 15 No. 4 J uly. 2001
关于常系数线性微分方程组特解的求法Ξ
吴顺唐
(镇江师范高等专科学校 ,江苏 镇江 212000)
摘 要 : 证明了当非齐次常系数线性微分方程组 (1) 中的函数 F ( x) 为某个常系数齐次线性微分 方程组的解时 ,可以用待定系数法求出 (1) 的一个特解. 这个方法要比一般教材中所用的常数变易 法简单得多. 关键词 : 非齐次常系数线性微分方程组 ;待定系数法 中图分类号 : O175. 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1008 - 2794 (2001) 04 - 0009 - 04
1 考虑常系数线性非齐次方程组
dY dx
=
AY( x)
+
F( x)
,
(1)
其中 Y ( x ) = ( y1 ( x ) , y2 ( x ) , …, yn ( x ) ) T , A =
( ai , j) n ×n , F ( x) = ( f 1 ( x) , f 2 ( x) , …, f n ( x) ) T , f i ( x) ∈C[ a , b ]. 大家知道 ,如果已经求得了 (1) 对应齐次
将此 方 程 组 中 的 各 个 方 程 依 次 作 用 算 子 ( D -
λ1) s1 - 1 , ( D - λ1) s1 - 2 , …, D - λ1 ,和 I 后 ,可得
( D - λ1) s1 z1 = ( D - λ) s1 - 1 z2 + b1 ( D - λ1) s1 - 1 f ( x) ,
,
(12)
现将从 (11) 中解出的
y2( n -
1)
,
y3( n -
1)
,
…,
y
(n n
-
1)
代入
(12) 式 ,就得关于 y1 的 n 阶线性微分方程 :
y1( n)
=
c11 y1( n - 1)
+ c12 y1( n - 1)
+
…+
c1 ny
(n n
-
1)
+