向量在解析几何中的应用
平面向量的解析几何应用
平面向量的解析几何应用平面向量是解析几何中一个重要的概念，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍平面向量的基本概念及其在解析几何中的应用。
一、平面向量的基本概念平面向量是指在平面内用有向线段表示的量。
它具有大小和方向两个重要的特征。
平面向量常用字母加上箭头进行表示，例如向量a用符号→a表示。
平面向量有一系列常用的运算，包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法可以通过平行四边形法则进行计算，数乘则是将向量与一个标量相乘，点乘则是两个向量相乘并求和的运算。
二、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标进行表示。
通常情况下，我们将平面上的一个点的坐标表示为(x, y)，那么该点对应的平面向量可以表示为(→a) = (x, y)。
在平面直角坐标系中，平面向量还可以用分量表示。
例如，向量→a可以表示为(→a) = a1i + a2j，其中a1和a2分别是向量在x轴和y 轴上的分量，i和j分别是x轴和y轴的单位向量。
三、1. 向量的位移平面向量的位移是指描述一个点从一个位置移动到另一个位置的向量。
我们可以利用平面向量的减法来计算两个点之间的位移向量。
2. 向量的共线与共面如果两个向量的方向相同或相反，则它们是共线的；如果三个向量在同一平面上，则它们是共面的。
通过判断向量的共线关系和共面关系，我们可以解决许多几何问题，例如判断三点是否共线等。
3. 向量的垂直关系两个向量垂直的条件是它们的点积等于零。
通过应用向量的点乘运算，我们可以判断两个向量是否垂直。
4. 向量的投影平面向量的投影指的是将一个向量投影到另一个向量上的过程。
通过计算向量的投影，我们可以解决直角三角形的问题，例如计算角度、长度等。
5. 三角形的面积三角形的面积可以通过平面向量的叉乘运算来计算。
通过计算三个顶点所对应的向量的叉乘，我们可以得到三角形的面积。
6. 直线和平面的关系平面向量可以用来描述直线和平面的关系。
例如，我们可以用平面向量表示直线的方向，利用向量运算来判断两个直线是否平行或垂直，以及直线和平面的交点等。
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中的应用近年来，向量知识在平面解析几何中的应用受到越来越多的关注。
解析几何是研究二维空间上的几何图形，其中向量知识通常是帮助理解和解决几何问题的重要工具。
举例来说，本文将重点介绍平面解析几何中向量知识的三个典型应用，包括表示几何对象、分析基本性质和构造几何图形。
首先，表示几何对象是平面解析几何中最基础、最重要的应用。
在几何学中，我们往往会用向量来表示一个几何对象，其中向量可以表示一个点、一条直线或一个平面。
例如，我们可以用向量P = (x, y)表示一个平面上的点P，而用向量A = (a, b, c)表示一条直线A，用向量N = (n1, n2, n3)表示一个平面N。
不仅如此，我们还可以用向量来表示几何对象之间的位置关系，其中向量和运算可以表示平面上点与点、点与直线、直线与直线的距离或垂直关系。
其次，分析基本性质是平面解析几何中常用的应用。
在平面解析几何中，我们可以利用向量知识来分析几何对象的基本性质，比如线段的长度、平行线间的距离或者大圆弧的弧长等等。
计算这些基本性质往往要求我们掌握向量的加减运算以及向量的点积与叉积。
同时，我们可以利用向量知识来确定点与点之间的距离、点在直线上的坐标、直线与直线的位置关系等等，这些知识的应用可以大大提高我们的解决能力。
最后，构造几何图形也是向量知识在平面解析几何中的重要应用。
一般来说，在解析几何中，我们往往要根据给定的构造要求绘制几何图形，这要求我们充分运用向量知识来确定各个图形的位置关系和几何性质。
例如，我们可以根据给定点P、Q和R，通过运用向量知识来构造三角形PQR，或者根据给定的直线ABC点，通过运用向量知识来构造向量AB和向量AC的夹角等等。
综上所述，向量知识在平面解析几何中有着重要的应用。
它不仅可以帮助我们更好地表示几何对象，分析基本性质，还可以用来构造几何图形，有效地指导我们解决几何问题。
因此，学习和掌握向量知识对于掌握平面解析几何是至关重要的。
向量思想在解析几何教学中的应用
Ａ Ｂ＝｛ ２ ， ０ ， 一 ５｝ ， Ａ Ｃ＝｛ １ ， ４， 一 ７ ｝ ， Ａ Ｄ＝｛ 一１ ， 一１ ， 一 ６｝ ，
根据 ３ 向 量 混 合 积 定 义 可 得 ３ 向 量 共 面 铸 它 们 的 混 合 积 为 ０ ．而 ３ 向 量 Ａ 百， Ａ ｅ， Ａ Ｄ的 混 合 积 ＝
示 出两 向量之 间线 性关 系 ， 就 可 以同时 得到 两线 段 长度 与 方 向 的关 系 ．同样 ， 利 用 向量 工 具 ， 可 以证 明梯 形
中位 线定 理等 类似 的初 等几何 中的经典 结论 ． 证明 设Ａ Ａ Ｂ Ｃ两 边 Ａ Ｂ， Ａ Ｃ中点分别 为 ， Ⅳ， 则
ＭＮ ＿ ＋ — ＿ ＋
在解 析几 何 中 的应 用 ， 通 过举 例说 明利 用 向量方 法解题 往往 可 以降低 难度 ， 起 到事半 功倍 之效 ．
１ 利用 向量 方法证 明初 等几 何 中某些 结论
例１ 证 明三角形 中位线定 理 ： 连 接三 角形 两边 中点 的线 段平行 于第 三边 且 等于第 三边 的一 半． 分析 我 们通 常用 三角 形全 等或相 关知识 点 证 明三角 形 中位 线定 理 ， 步骤 比较 繁琐 ．引入 向量 工 具 ， 表
ｆ Ｉ ２ ０ — ５ Ｉ Ｉ １ ４ — ７ ｆ ： 一 ７ ７ ≠ ０ ， 可 得 向 量 ， ， 不 共 面 ． 从 而Ａ ， Ｂ ， Ｃ ， Ｄ ４ 点 不 共 面 ． １ —１ —６ Ｉ
用 海伦公 式 求 出三角形 面积 ．接触 向量概 念并 学 习 了 向量 的数 量 积 和矢 量 积 之后 ， 可用 矢 量 积 的几 何 意义 求 三角形 面 积．同样 ， 利用 三 向量混 合积 的几何 意 义 ， 还 可 以求空 间 四面体 的体积 ． 解
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法是解析几何中非常重要的工具。
向量本身是一个有方向和大小的量，可以用来表示空间中的点，直线，平面等等。
在解析几何中，向量一般用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通过向量的定义和性质，我们可以很方便地解决解析几何中的各种问题。
在解析几何中，向量常常被用来表示空间中的点，直线，平面等等。
例如，在平面直角坐标系中，我们可以用向量表示点A和点B的坐标，然后通过向量的减法，计算出AB的向量，从而求出AB的中点，AB的长度等等。
此外，在解析几
何中，向量还可以表示直线的方向向量和法向量，从而可以求出两条直线的夹角，直线的距离等等。
对于平面与平面之间的相交问题，向量方法也比较简单直观，只需要求出两个平面的法向量，然后计算它们的夹角，就可以得出它们的交线。
在解析几何中，使用向量方法解题，需要注意一些策略。
首先要熟练掌握向量的基本定义和运算规律，理解向量的几何意义。
其次，要注意在选择坐标系的时候，应选择一个合适的坐标系，便于计算。
例如，一些问题可以通过建立三角形的重
心坐标系、中线坐标系等等来简化计算。
还要注意，在使用向量方法解决问题时，要善于联立方程，理清思路，从而得到正确的答案。
总之，向量方法在解析几何中具有重要的应用价值，通过掌握向量的定义和运算规律，以及注意解题策略，可以很方便地解决各种解析几何中的问题。
解析几何中的向量和平面方程
解析几何中的向量和平面方程解析几何是现代数学中的一个重要分支，研究的是几何问题与代数问题之间的联系。
其中，向量和平面方程是解析几何中的两个重要概念，本文将对这两个概念进行解析并探讨它们的应用。
一、向量向量是解析几何中的一个基本概念，一般表示为有向线段，具有大小和方向两个属性。
在平面直角坐标系中，向量可以表示为一个有序数对，即 $(x,y)$。
其中，$x$ 表示向量在 $x$ 轴上的分量，$y$ 表示向量在 $y$ 轴上的分量。
例如，向量 $\vec{a} =(3,4)$ 表示一个有向线段，长度为 $\sqrt{3^2+4^2}=5$，沿 $x$ 轴正方向移动 3 个单位，沿 $y$ 轴正方向移动 4 个单位。
向量的运算包括向量的加减、数量积（点积）和向量积（叉积）等。
向量的加减法比较简单，即将相同方向的向量相加（减），如 $\vec{a}+\vec{b}=(3,4)+(1,2)=(4,6)$，表示将向量 $\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 按照相同方向相加得到新的向量。
向量的数量积是两个向量的点积，表示为$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别表示向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模长，$\theta$ 表示两个向量之间的夹角。
数量积的结果是一个标量（一个实数），表示两个向量的夹角的余弦值。
如果两个向量夹角为 $90^\circ$，则它们的数量积为 0。
例如，对于向量$\vec{a}=(3,4)$ 和 $\vec{b}=(1,2)$，它们的数量积为$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times1+4\times2=11$。
向量的向量积是两个向量的叉积，表示为$\vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\hat{n}$，其中$\hat{n}$ 表示两个向量所在平面的法向量，大小为两个向量所在平面的面积。
平面向量在解析几何中的应用
平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中有什么应用？向量法的概念是一个数学家发现的，发现过程很有趣。
向量法可以说是比较好地把向量与三角形、四边形、多边形结合起来的方法。
也就是说，在平面上进行立体几何中的平面图形的分析时，不能够再像做三角形或四边形那样，要用向量的知识来分析问题了。
我们还必须要在向量法的基础上再进行讨论。
在向量法中，分析立体几何中的一些特殊的向量时，它们的值是比较容易确定的，并且只需要写出向量的方向和大小，然后用向量法计算。
我们还经常利用向量法来判断一些曲线上点的坐标，如果知道了向量的方向，也就找到了点的坐标。
向量法在立体几何和解析几何中也广泛存在，如果我们没有掌握这种方法，那么对一些公式或结论的理解将会出错。
在立体几何中，如果立体几何中的所有向量都已经知道了其方向和大小，并且知道其他所有向量之间的关系，那么这个立体几何中的所有结论就都可以推导出来了。
又如，在平面几何中，如果一个向量和另外两个向量在平面内不相交，那么它们的关系就只是垂直于平面的平行线，但当知道这个向量的方向和大小时，我们就可以进行讨论了。
第二种说法：因为向量是表示物体位置的重要工具。
它在立体几何中显得尤为重要。
因为这个几何中的向量可以用三维空间中的点的坐标来表示。
而在解析几何中也广泛存在，如果没有这种方法，就没有办法准确地解决一些与向量有关的问题。
在解析几何中，一般情况下，一条直线可以有无数条方向。
比如有，在解析几何中一条直线可以有无数条方向。
比如有x、 y两个方向，它们的夹角为0。
在解析几何中，我们还可以对向量法进行总结，如果是三维空间的立体几何，那么在这个立体几何中的所有向量都是共面的，并且一组向量的方向是唯一的。
如果是二维的平面几何，则一组向量的方向是唯一的，并且一组向量的方向是共面的。
我们还可以通过坐标和向量来求解一些问题，通过观察三个点a、 b、 c之间的关系，可以得到向量a、 b、c的长度，并且通过坐标来表示。
解析几何中的向量运算
解析几何中的向量运算向量是解析几何中重要的概念之一，它具有大小和方向两个属性。
在解析几何中，通过进行向量运算可以实现向量之间的加法、减法以及数量乘法等操作，从而在几何问题中得到简洁而准确的表达。
1. 向量的表示在解析几何中，向量一般用有向线段来表示。
设两点A和B，若从A指向B的有向线段记作AB，则AB表示的向量与它们有着相同的大小和方向。
通常用字母a、b、c等小写字母表示向量。
2. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设向量a和b分别表示线段AB和BC，将它们首尾相连，则得到一个新的向量AC，记作c=a+b，表示向量c的大小和方向与线段AC相同。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去得到一个新的向量。
设向量a和b分别表示线段AB和BC，将它们首尾相连，则得到一个新的向量AC，记作c=a-b，表示向量c的大小和方向与线段AC相同。
4. 数量乘法数量乘法是指将一个向量的大小与一个实数相乘，得到一个新的向量。
设向量a表示线段AB，若k为实数，则ka表示一个与向量a有着相同方向但大小为ka的新向量。
5. 向量的数量积向量的数量积（又称点积或内积）是指将两个向量按一定的方式进行运算，得到一个实数。
设向量a和b的夹角为θ，则a·b=|a||b|cosθ。
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小。
6. 向量的向量积向量的向量积（又称叉积或外积）是指将两个向量按一定的方式进行运算，得到一个新的向量。
设向量a和b的夹角为θ，则a×b=|a||b|sinθn。
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的大小，n表示一个垂直于平面的单位向量。
通过向量运算，我们可以在解析几何中进行更加灵活的推导和计算，从而解决各种几何问题。
向量运算还与三角函数、微积分等领域关联紧密，是数学学科中重要的基础内容之一。
总结：解析几何中的向量运算包括向量的加法、减法和数量乘法，以及向量的数量积和向量积。
向量知识在平面解析几何中的应用
向量知识在平面解析几何中的应用
平面解析几何是一门涉及抽象概念和实际绘图技巧的重要数学
学科。
它的研究主要集中在理解几何学形状的属性，以及它们之间的关系。
近年来，向量知识已被视为平面解析几何的重要资源，它通过一系列的实践来增强学生关于几何形状的理解和推理能力。
向量知识的应用主要用于研究几何形状的边、角和一些基本的概念。
首先，向量知识可以用来刻画平面上的几何形状，如多边形、圆和椭圆等。
向量代表了一条线段或者一个特定的方向，使得学生可以使用它们来描述和比较不同的形状，同时能够清楚地看到它们之间的相互关系。
其次，向量知识也可以用来定义和操作几何形状的角。
它可以用来测量两个向量之间的夹角，这是识别几何图形的一项重要技能。
此外，向量还可以用来找出平行线、垂直线、平分线等。
最后，向量知识也可以用来计算平面图形的面积和周长。
这类计算有助于学生更好地理解几何形状的特征，使其能更加熟练地掌握解析几何的概念和工具。
总而言之，向量知识在平面解析几何中有着重要的作用。
它能够帮助学生更好地理解几何形状，有助于掌握解析几何的概念和工具。
向量知识的应用涵盖了描述形状、测量角度和计算面积等重要内容，为学生学习解析几何提供了强大的支持。
因此，要想更好地掌握解析几何，学生应加强向量知识的学习，以便更好地理解和掌握解析几何中的概念和工具。
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向量在解析几何中的应用作者：嵩明县第一中学：吴学伟解析几何是历年数学高考舞台上必唱“主角”之一。
近年来命题人往往以解析几何的传统内容为载体，融合向量等其它相关知识，设计出与轨迹问题的交汇与整合、向量与二次曲线方程问题的交汇与整合、向量与有关证明或范围问题的交汇与整合。
一、向量基础知识（1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ= （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos ||||a ba b θ=（3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线⇔存在惟一的R λ∈，使b a λ=。
（4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行⇔12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ⇔=⇔12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥（7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b =1212x x y y + 二、向量的应用1、利用向量证明等式材料一：已知α、β是任意角，求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+。
证明：在单位圆上，以x 轴为始边作角α，终边交单位圆于A ，以x 轴为始边作角β，终边交单位圆于B ，有(cos ,sin ),(cos ,sin )OA OB ααββ==，所以有：cos cos sin sin OA OB αβαβ=+又||||cos cos()OA OB OA OB AOB αβ=∠=- 即cos()αβ-cos cos sin sin αβαβ=+点评：对于某些恒等式证明，形式中含有cos()αβ-或符合向量的坐标运算形式，可运用向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。
2、利用向量证明不等式材料二：,,,,,m n a b c d b d ncm n≤+ 证明：设(,),(,)b d h ma nc k m n== ∴||,||b d h ma nc k m n=+=+由数量积的坐标运算可得：h k ab =+又因为||||||h k h k ≤，b dm n≤+成立。
点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式：a b =1212x x y y +，||||||a b a b ≥，构造向量解之。
3、利用向量求值材料三：已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ。
解析：由条件得3(1cos )cos sin sin cos 2βααββ-+=- 设(1cos ,sin )m ββ=-，(cos ,sin )n αα=，则3cos 2m n β=-，||(1m =-=||1n =， 由||||m n m n ≤，得3cos 2β-≤，即21(cos )02β-≤，则1cos 2β=，即3πβ=，同理3πα=（因为α、β为锐角）点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。
变式：已知Ａ、Ｂ、Ｃ的坐标分别为(3,0)A 、(0,3)B ，(cos ,sin )C αα，3(,)22ππα∈。
（１）、若||||AC BC =，求角α的值；（２）、若1AC BC =-，求22sin sin 21tan ααα++的值。
解析：（１）(cos 3,sin )AC αα=-，(cos ,sin 3)BCαα=- ∴||(cos AC == ||cosBC α=+=由||||AC BC =得sin cos αα=，又3(,)22ππα∈，∴54πα=（２）、由1AC BC =-得(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-∴2sin cos 3αα+=……………………………………（１）又22sin sin 21tan ααα++=22sin 2sin cos 2sin cos sin 1cos ααααααα+=+由（１）式两边平方得412sin cos 9αα+=∴52sin cos 9αα=-，∴22sin sin 21tan ααα+=+59- 4、利用向量求函数值域 15y ++-=，求x y +的最小值。
解析：构造向量(m x =+，(1,1)n = 由||||m n m n ≤2)2≥，∴272x y +≥=时，x y +有最小值272变式：设x的最小值。
解析：2222(1)x x x -=-=故可设(1,1)a x =-，(5,3)b x =-∴||42a b +=，=||||42a b +≥ 当1153x x -=-，即2x =时等号成立。
所以当2x=时,点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。
5、利用向量解决析几何问题材料六：过点(2,0)M -，作直线l 交双曲线221x y -=于A 、B 不同两点，已知OP OA OB =+。
（1）、求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
（2）、是否存在这样的直线，使||||?OP AB =若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。
解析：（1）、设直线l 的方程为(2)y k x =+，代入221x y -=得2222(1)4410k x k x k ----=，当1k ≠±时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212241k x x k +=-，2122411k x x k +=-212122244(2)(2)411k k ky y k x k x k k k+=+++=+=-- 设(,)P x y ，由OP OA OB =+，则212122244(,)(,)(,)11k kx y x x y y k k =++=--∴224141k x k ky k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，解之得x k y = (0)k ≠ 再将x k y =代入241k y k =-得22(2)4x y +-=……………………（1） 当0k =时，满足（1）式；当斜率不存在是，易知(4,0)P -满足（1）式，故所求轨迹方程为22(2)4x y +-=，其轨迹为双曲线；当1k =±时，l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。
（2）||||OP AB =，所以平行四边形OAPB 为矩形，OAPB 为矩形的充要条件是0OA OB =，即12120x x y y +=。
当k 不存在时，A 、B 坐标分别为(-，(2,-，不满足上式。
又212121212(2)()x x y y x x k x x +=+++2222222(1)(41)244011k k k k k k k ++=-+=-- 化简得：22101k k +=-，此方程无实数解，故不存直线l 使OAPB 为矩形。
点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。
变式：已知双曲线Ｃ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，Ｂ是右顶点，Ｆ是右焦点，点Ａ在x 轴正半轴上，且满足||OA 、||OB 、||OF 成等比数列，过Ｆ作双曲线Ｃ在第一象限的渐近线的垂线l ，垂足为Ｐ，如图所示。
（１） 求证：PA OP PA FP =；（２） 若l 与双曲线Ｃ的左、右两支分别交于点Ｄ、Ｅ，求双曲线Ｃ的离心率e 的范围。
解析：（１）直线l 的方程为：()a y x c c =--，由()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2(,)a ab Pc c||OA 、||OB 、||OF 成等比数列，∴2(,0)a A c，故PA x ⊥轴，如图所示。
从而0PA OP PA FP PA OF -== ∴PA OP PA FP =(2)、由222222()a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩∴得4222222()a b x x c a b b --=， 即4442222222()()0a a a b x cx x c b b b-+--=4222212422()0a c a b b x x a b b-+=<-，∴44b a >，即22b a >，222c a a ->⇒22e e >⇒> 点评：本题是平面向量的数量积、二次曲线、等比数列等知识的交汇与整合，近几年的高考解析几何题中，多次考到了证明题或范围问题，因而在复习中对这类题要给予一定的重视。
随着复习的继续与深入，我们还可以看到平面向量与概率、导数、复数等知识的交汇与整合，为命题者施展了优化创新试题的陈地，也为我们分析、解决问题的切入点开辟了新的视角。
注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=，要会求出直线的斜率； （2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点;（3）给出0=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.（6） 给出λλ++=1OBOA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=（7） 给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m MB MA ,等于已知AMB∠是锐角。
（8）给出MP =⎪⎫ ⎛+λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;（10） 在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形; （11）在ABC ∆中，给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在ABC ∆中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在ABC ∆中，给出+=OA OP()||||AB ACAB AC λ+)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ∆的内心；（15）在ABC ∆中，给出,0=⋅+⋅+⋅OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线。