高等数学空间解析几何与向量代数.docx

第七章空间解析几何与向量代数

第一节空间直角坐标系

教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空

间解析几何的意义和目的。

教学重点： 1.空间直角坐标系的概念

2.空间两点间的距离公式

教学难点：空间思想的建立

教学内容：

一、空间直角坐标系

1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系

（三维）如图7－ 1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指

从正向x 轴以角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

2

间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、y 轴、轴，坐标面分别为xoy 面、yoz面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2 所示。图7－1 右手规则演示图 7－2 空间直角坐标系图图 7－3空间两点M1M 2的距离图3．空间点M ( x, y, z) 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组

一一对应起来。

注意：特殊点的表示

a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；

b) 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。若M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为空间任意两点，则 M 1M 2的距离（见图7－ 3），利用直角三角形勾股定理为：

d 2

222 M1M 2M1NNM 2

222

M 1 p pNNM 2

而

M 1 P x 2

x 1

PN

y 2

y 1

NM 2 z 2 z 1

所以

d M 1M 2

(x 2

x 1 ) 2 ( y 2 y 1 )2 (z 2 z 1 )2

特殊地：若两点分别为

M ( x, y, z) ， o(0,0,0)

d oM

x 2 y 2 z 2

例 1：求证以 M 1(4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个 等腰三角形。

2

( 4 7) 2 (3 1) 2 (1 2) 2 14

证明 :

M 1M 2

M 2M 3

2

7) 2

(2

1)2 (3 2)2

6

(5

2

4) 2 (2 3) 2

(3 1) 2 6

M 3M 1(5

由于

M 2M 3

M 3 M 1 ，原结论成立。

例 2：设 P 在 x 轴上，它到 P (0,

2 ,3)

的距离为到点

P 2 (0,1, 1) 的距离的两倍，

1

求点 P 的坐标。

解：因为 P 在 x 轴上，设 P 点坐标为 ( x,0,0)

PP 1 x 2 2

PP 2

x

2

1

2

x 2 11

32 2

x 2

2

12

PP 1 2 PP 2 x 2 11 2 x 2

2

x

1

所求点为：(1,0,0) ， ( 1,0,0)

小结：空间直角坐标系（轴、面、卦限）空间两点间距离公式

作业：

第二节向量及其运算

教学目的：使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。

教学重点： 1.向量的概念 2.向量的运算

教学难点：向量平行与垂直的关系

教学内容：

一、向量的概念

1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度

表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由

向量（以后简称向量）。

量的表示方法有: a 、i、F、 OM 等等。

向量相等 a b ：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完

全重合的向量）。

量的模：向量的大小，记为 a 、OM。

模为1 的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。量平行 a // b ：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量

都平行。

负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a

二、向量的运算

1．加减法a b c：加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交

换率和结合率见图7－ 4

2．a b c即a( b) c b c

a

3．向量与数的乘法 a ：设是一个数，向量 a 与的乘积 a 规定为(1)0 时，a 与a同向，| a || a |

(2)0 时，a0

(3)0 时，a 与a反向，| a | ||| a |

其满足的运算规律有：结合率、分配率。设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位

向量，那么 a 0a

a

定理 1：设向量 a≠0，那么，向量 b 平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ ，使b＝a

例 1：在平行四边形ABCD中，设

AB a ，AD b ，

试用 a 和b表示向量 MA 、 MB 、 MC 和 MD ，这里 M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－ 5）

图 7－4

解： a b AC 2 AM ，于是 MA 1

(a b)

1 (a 2

由于 MC MA ，于是 MC b)

2

1

又由于a b BD 2 MD ，于是 MD(b a)

2

1

由于MB MD ，于是 MB a)

(b

2

小结：本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算。

作业：