高考数学解析几何和向量的结合专题

解析几何与向量的结合问题专题

1.教学目标

1.1熟练掌握平面向量的三角形与平行四边形法则、数量积的相关概念以及它与解析几何的结合应用

2.2通过对解析几何中，与向量的结合问题，渗透从特殊到一般的思想、数形结合思想、空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力以及运算求解能力；

3.3提高学生分析问题、自主探究和解决问题的能力，提升学生数学的核心素养。 2.教学重点、难点

2.1重点：利用数学基础知识与基本技能探究解析几何问题，并培养学生分析问题以及解决问题的能力；

2.2难点：如何找到解决解析几何问题的知识与能力的平衡点，并探寻合理的解决方法，进而培养学生的逻辑思维能力。

3.教学过程

喜欢学习解析几何问题的学生很多，喜欢动脑，非常好的事。但遇到解析几何问题，得分率又不高，细化汇总来看，在一些问题上还有待提高，其中错误率较高的问题都反映在什么地方呢？今天我们就一起来探讨一下。 试卷上刚做过得一题：

例1：已知双曲线C ：),0,0(12

2

>>=-n m n

y m x 21,F F 是双曲线C 的左、右焦点，直线l 与

双曲线C 交于A,B 两点，E 是A 关于y 轴的对称点。若1,1m n ==，(1,0)A -，直线l 与坐

标轴不垂直，点M 为直线BE 与y 轴的交点，且满足3ME EB =u u u r u u u r

，求直线l 的斜率；

3.1学生分析题目 站在学生角度分析：

（1）学生看到32

ME EB =u u u r u u u r

，两个动M B 和，

无法下手。

（2）学生看到32

ME EB =u u u r u u u r

，第一步表示出E 标，由(1,0)A -关于y 轴对称写出(1,0)E ，

B 第二步：再求出点坐标，如何求B 点坐标呢? 设AB: (1)y k x =+，(,)B B B x y

然后我把直线AB: (1)y k x =+和双曲线方程2

2

1x y -=联立，用韦达定理

222222

(1)(1)2101

y k x k x k x k x y =+⎧⇒----=⎨-=⎩，222211(1)11B B k k x x k k --+⋅-=⇒=-- 然后求出22212(,)11k k B k k +--，但下面学生不知如何求出k ，也不知怎么用32

ME EB =u u u r u u u r ，然

后做不下去。

（3）学生看到32

ME EB =u u u r u u u r

，想到用向量的坐标形式和向量的相等

设(0,),(,)M B B M y B x y 由32

ME EB =u u u r u u u r ，(1,),(1,)m B B ME y EB x y =-=-u u u r u u u r

可知：

31(1)122

(,)3332

B M M B x B y y y

⎧-=-⎪⎪⇒⎨

⎪=⎪⎩，但我下面不知如何做，做不下去。 3.2问题引入

问题1：从题目看，我们探究一下遇到解析几何和向量的结合题，我们要采用什么方法解决呢？

3.2.1探究、分析、解决问题

1．从代数的角度理解32

ME EB =u u u r u u u r

一要勇敢的假设M 点的坐标，二要把32

ME EB =u u u r u u u r

看作向量的相等问题用坐标形式解决问

题，或可以用定比分点坐标公式，想法求出B 点，就可以马上表示出来，B 点中还有一个未知数，再找一个条件，B 在双曲线上，代入就解决问题了。

2.从几何的的角度理解32ME EB =

u u u r

u u u r 可以看作..M E B 共线或//ME EB u u u r u u u r ，对于该题来说，从代数的角度理解32

ME EB =u u u r u u u r

更方便

一些。

小结：遇到解析几何和向量的结合题，可以从坐标形式和几何意义两方面解决，建议先想坐标形式。

变式：双曲线2

2

13

y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 与双曲线交于A 、B 两点.

设

b =若l 过2F 且斜率存在，11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r

，求l 的斜率；

思路分析：第一步：知道2

2

13

y x -=，1(2,0)F -，2(2,0)F ，看到11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r ，想到

勇敢的假设坐标，用向量的坐标形式，设

11221111222121(,),(,),(2,),(2,),(,)A x y B x y F A x y F B x y AB x x y y =+=+=--u u u r u u u r u u u r

，

22221121211221212121()(4)()()()440F A F B AB x x x x y y y y x x x x y y +⋅=++-++-=-+-+-=u u u r u u u r u u u r 222222112121212121()443(1)3(1)44440

F A F B AB x x x x x x x x x x +⋅=-+-+---=-+-=u u u r u u u r u u u r 22112121212121()44440()()()0F A F B AB x x x x x x x x x x +⋅=-+-=⇒-++-=u u u r u u u r u u u r 因为直线斜率存在，

所以121x x +=-

第二步：怎么就得到121x x +=-？ 直线AB 与双曲线方程联立。 由学生完成：设AB ：(2),y k x =-显然k 存在且不为0

2222

22

(2)(3)443033y k x k x k x k x y =-⎧⇒-+--=⎨-=⎩

22

12230Δ041

3k k k x x k ⎧

⎪-≠⎪⎪>⇒=⎨⎪-⎪+==-⎪-⎩

问题2：用向量的坐标形式解决11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r

有点繁，,我们探究一下遇到的是解

析几何和向量的结合题，我们还可以要采用什么方法解决呢？

第三步：进一步探究从向量的几何意义出发：由11()0F A F B AB +⋅=u u u r u u u r u u u r

的几何意义，1111()00F A F B AB F R AB F R +⋅=⇒⋅=⇒u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

的中点即AB 中点 然后，设AB 中点M （00,x y ）