运筹学习题解答

附录1 习题解答第一章 线性规划一、以下集合中，哪些是凸集，哪些不是凸集？（1） {(x 1,x 2)| x 1+x 2≤1} 是凸集 （2） {(x 1,x 2,x 3)| x 1+x 2≤1,x 1-x 3≤2} 是凸集 （3） {(x 1,x 2)| x 1-x 2=0} 是凸集 （4） {(x 1,x 2,x 3)| x 1≥x 2,x 1+x 2+x 3≤6} 是凸集 （5） {(x 1,x 2)| x 1=1,|x 2|≤4} 是凸集 （6） {(x 1,x 2,x 3)| x 3=|x 2|, x 1≤4} 不是凸集二、求出以下不等式组所定义的多面体的所有极点。

（1）x 1 +x 2 +x 3≤5 -x 1 +x 2 +2x 3≤6 x 1, x 2, x 3≥0 解：引进松弛变量x 4，x 5≥0x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =5 -x 1 +x 2 +2x 3 +x 5 =6 x 1,x 2,x 3x 4, x 5≥0令 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==102110111154321a a a a a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=65b 在A 矩阵中，一共有10个行列式不等于0的方阵，即10个基。

[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1111211a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-2112121212121211165x x b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==2111312a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-3113431313132311265x x b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0111413a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-116651110x x 4113b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1101514a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-115651101x x 5114b B[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2111325a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-14651112x x 3215b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0111426a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-15651110x x 4216b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1101527a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-15651101x x 5217b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0211438a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-236510x x 21214318b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1201539a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-45651201x x 5319b B []⎥⎦⎤⎢⎣⎡==10015410a a B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-65651001x x 54110b B 相应的基础解是X 1= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（-1/2，11/2，0，0，0） X 2= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（4/3，0，11/3，0，0） X 3= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（-6，0，0，11，0） X 4= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（5，0，0，0，11） X 5= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，4，1，0，0） X 6= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，5，0，-1，0） X 7= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，5，0，0，1） X 8= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，3，2，0） X 9= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，5，0，-4） X 10=（x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，0，5，6）其中B 2、B 4、B 5、B 7、B 8、B 10是可行基，相应的基础可行解为： X 2= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（4/3，0，11/3，0，0） X 4= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（5，0，0，0，11） X 5= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，4，1，0，0） X 7= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，5，0，0，1） X 8= （x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，3，2，0） X 10=（x 1，x 2，x 3，x 4，x 5）=（0，0，0，5，6） 原问题的极点是：X 2= （x 1，x 2，x 3）=（4/3，0，11/3） X 4= （x 1，x 2，x 3）=（5，0，0） X 5= （x 1，x 2，x 3）=（0，4，1） X 7= （x 1，x 2，x 3）=（0，5，0）X 8= （x 1，x 2，x 3）=（0，0，3） X 10=（x 1，x 2，x 3）=（0，0，0） （2）x 1 +x 2 +x 3≤1 -x 1 +2x 2≤4 x 1, x 2, x 3≥0 解：引进松弛变量x 4，x 5≥0x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =1 -x 1 +2x 2 +x 5 =4 x 1,x 2,x 3x 4, x 5≥0令 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==10210111154321a a a a a A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41b A 矩阵中共有9个基。

x 1、x 2为基变量，得到：x 1 +x 2 =1 -x 1 +2x 2 =4求解这个方程组，得到x 1=-2/3，x 2=5/3；（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）=（-2/3,5/3,0,0,0） x 1、x 3为基变量，得到：x 1 +x 3 =1 -x 1 =4求解这个方程组，得到x 1=-4，x 3=5；（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）=（-4,0,5,0,0） x 1、x 4为基变量，得到：x 1 +x 4 =1 -x 1 =4求解这个方程组，得到x 1=-4，x 4=5；（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）=（-4,0,0,5,0） x 1、x 5为基变量，得到：x 1 =1 -x 1 +x 5 =4求解这个方程组，得到x 1=1，x 2=5；（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）=（1,0,0,0,5） x 2、x 3为基变量，得到：x 2 +x 3 =1 2x 2 =4求解这个方程组，得到x 2=2，x 3=-1；（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）=（0,2,-1,0,0） x 1、x 4为基变量，得到：x 2 +x 4 =1 2x 2 =4求解这个方程组，得到x 2=2，x 4=-1；（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）=（0,2,0,-1,0）x2、x5为基变量，得到：x2=12x2+x5=4求解这个方程组，得到x1=1，x5=2；（x1,x2,x3,x4,x5）=（0,1,0,0,2）x3、x5为基变量，得到：x3=1x5=4求解这个方程组，得到x3=1，x5=4；（x1,x2,x3,x4,x5）=（0,0,1,0,4）x4、x5为基变量，得到：x4=1x5=4求解这个方程组，得到x4=1，x5=4；（x1,x2,x3,x4,x5）=（0,0,0,1,4）其中的基础可行解有：（x1,x2,x3,x4,x5）=（1,0,0,0,5）（x1,x2,x3,x4,x5）=（0,1,0,0,2）（x1,x2,x3,x4,x5）=（0,0,1,0,4）（x1,x2,x3,x4,x5）=（0,0,0,1,4）原问题的极点是：（x1,x2,x3）=（1,0,0）（x1,x2,x3）=（0,1,0）（x1,x2,x3）=（0,0,1）（x1,x2,x3）=（0,0,0）三、用图解法求解以下线性规划问题：（1）max z= x1+3x2s.t. x1+x2≤10-2x1+2x2≤12x1≤7x1, x2≥0最优解为（x1,x2）=（2,8），max z=26(2) min z= x1-3x2s.t. 2x1-x2≤4x1+x2≥3x2≥5x1≤4最优解为（x1，x2）=（0，5），min z=-15（3）max z= x1+2x2s.t. x1-x2≤1x1+2x2≤4x1≤3x1, x2≥0多个最优解，两个最优极点为（x 1，x 2）=（2，1），和(x 1，x 2)=(0，2)，max z=5（4）min z= x 1 +3x 2 s.t. x 1 +2x 2 ≥4 2x 1 +x 2 ≥4x 1,x 2≥0最优解为（x 1，x 2）=（4，0），min z=4 四、 max z= 2x 1 +x 2 -x 3 s.t. x 1 +x 2 +2x 3 ≤6x 1 +4x 2 -x 3 ≤4x 1,x 2,x 3≥0[]A a a a a a 12345==-⎡⎣⎢⎤⎦⎥112101411 （1）[]B a a B 121==⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥-11144313131311,//// XB b X BNx x x x x =⎡⎣⎢⎤⎦⎥==--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1211345431313136420323000//////,B 1不是可行基，X X B Nx x x x x =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1234520323000//,不是基础可行解。

（2）[]B a a B 12==-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-321121113231313,//// XB b X BNx x x x x =⎡⎣⎢⎤⎦⎥==-⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-1321245132313136414323000//////, B 2是可行基，X XBNx x x x x =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1324514323000//,是基础可行解，目标函数值为：[][]z c c x x B T==⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-C B b 2113132114323263///（3）[]B a a B 13==⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-43111100111, XB b X BNx x x x x =⎡⎣⎢⎤⎦⎥==-⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-143123501116442000, B 3是基础可行解，X X BNx x x x x =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1423542000,是基础可行解，目标函数值为：[][]z c c x x B T==⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-C B b 31141420428 （4）[]B a a B 4==⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-154110111011, XB b X BNx x x x x =⎡⎣⎢⎤⎦⎥==-⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥-154123410116462000,B 4不是可行基，X X B Nx x x x x =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥1523462000,不是基础可行解。