指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)
一、指数的性质 （一）整数指数幂1．整数指数幂概念：an na a a a 个⋅⋅⋅= )(*∈N n ()010a a =≠ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +⋅=∈ （2）()(),nm mn aa m n Z =∈（3）()()nnnab a bn Z =⋅∈其中m n m nm n a a a aa --÷=⋅=， ()1nn n n nn a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>Nn n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，即： 若a xn=，则x 叫做a 的n 次方根， ()*∈>N n n ,1例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-，32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0<n a ；②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±）③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④()*∈>=Nn n n,100 0=；⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴na =．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa a a a n n ．5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）()338- （2）()210- （3）()443π- （4）()()b a b a >-2解：略。
第四章 指数函数和对数函数(考点与题型解析)(解析版)
第四章 指数函数和对数函数一、本章知识体系二、考点与题型解读考点一 指数与对数的运算(1)指数与对数的运算应遵循的原则①指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算．另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的；②对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行． (2)底数相同的对数式化简的两种基本方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 【例1】（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知23a =，46b =，求2b a -的值. 【答案】（1）7；（2）1. 【解析】（1）31log 23327lg 50lg 223log1002327+++=++=++=.（2）由23a =，得2log 3a =，又由46b =，即226b =，得22log 6b =， 所以2222log 6log 3log 21b a -=-==.【变式1】求值：（1）12232132(9.6)3(1.5)48--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）5log 22541231log log 5log 3log 452⋅--+. 【答案】（1）12；（2）34. 【解析】（1）原式=1222223927333234411114822232992---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=；（2）原式52321113log 2log 5log 32log 221222244=-⨯+-+=-+-+=.考点二 指数函数、对数函数的图象问题1.指数函数的图象和性质一般地，指数函数y ＝ax(a>0且a≠1)的图象与性质如下表所示.注意 (1)对于a>1与0<a<1，函数值的变化是不同的，因而利用性质时，一定要注意底数的范围，通常要用分类讨论思想.(2)a>1时，a 值越大，图象向上越靠近y 轴，递增速度越快；0<a<1时，a 值越小，图象向上越靠近y 轴，递减速度越快.(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x ＝1时，y ＝a 去理解，如图.规律方法(1)识别函数的图象从以下几个方面入手： ①单调性：函数图象的变化趋势； ②奇偶性：函数图象的对称性； ③特殊点对应的函数值．(2)已知不能解出的方程或不等式的解求参数的范围常用数形结合的思想解决． 【例2】当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由于1a >，所以1xxa y a -=⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的递减函数，且过()0,1；log a y x =-为()0,∞+上的单调递减函数，且过()1,0，故只有D 选项符合. 故选：D.【变式2】函数()()log 101a f x x a =+<<的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意，函数()()log 101a f x x a =+<<是偶函数，图象关于y 轴对称， 当0x >时，()log 1a f x x =+为单调递减函数，0x <时，()(log )1a f x x -=+为单调递增函数， 再由函数()f x 的图象过点(1,1),(1,1)-，应选A 选项， 故选A ．考点三 指数函数、对数函数的性质基本初等函数单调性的判断与应用(1)对于指数函数和对数函数，注意底数a 对函数单调性的影响，对于幂函数y ＝x α，注意指数α对函数单调性的影响．(2)根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集． 【例3】设f (x )＝e x ，0＜a ＜b ，若p ＝f ab ，q ＝f (2a b+)，r ()()f a f b ，则下列关系式中正确的是（ ） A ．q ＝r ＜p B ．p ＝r ＜q C ．q ＝r ＞p D ．p ＝r ＞q【答案】C 【解析】 ∵0＜a ＜b ，∴2a b+ab f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (2a b +)＞f ab ，即q ＞p .又r2a b e+＝q ，故q ＝r ＞p . 故选：C .【变式3】设ln3a =，1log 3eb =，23c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】C 【解析】ln3ln 1a e =>=， 11log 310eeb log =<=，2139c -==， a c b ∴>>． 故选:C .考点四 大小比较问题数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查指数函数、对数函数的图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用.常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法.(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较.(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于或等于0且小于或等于1”，“大于1”三部分，再在各部分内利用函数的性质比较大小.【例4】已知12132111,log ,log 332a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >>【答案】D 【解析】121213=031a -⎛⎫<= ⎪⎝⎭<，1221log =log 313b =>，331log log 202c ==-<，∴b a c >>， 故选：D【变式4】若5log 3a =，lg 0.7b =，0.13c =，则（ ）. A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a << D ．a b c <<【答案】A 【解析】50log 31a <=<，lg0.70b =<，0.131c =>，∴b a c <<， 故选：A考点五 函数的应用利用已知函数模型解决实际问题的方法解决已给出函数模型的实际应用题，关键要分清函数类型，并要注意相应函数定义域以及实际生活中自变量取值的限制条件，然后结合所给模型，列出函数关系式；最后结合其实际意义作出解答．【例5】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a 亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年.（1）求森林面积的年增长率；（22 （3）为使森林面积至少达到6a 亩至少需要植树造林多少年？ （参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）【答案】（1）11021x =-；（2）5年；（3）至少还需要26年. 【解析】（1）设增长率为x ，依题意可得()1012a x a += 所以()1110101012x ⎡⎤+=⎣⎦即11012x +=，解得11021x =-（2）设已经植树造林n 年，则110121na ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即1110222n =解得5n =，故已经植树造林5年.（3）设至少还需要m 年，则1101216ma a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭即11026m ≥即2221log 6log 2log 310m ≥=+解得lg 3101025.8lg 2m ≥+≈ 故至少还需要26年考点六 函数的零点与方程的根函数的零点与方程的根的关系及应用(1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点.(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断.【例6】已知函数()[]22ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】设函数()22ln g x x =，()[]33h x x =-，则()()222ln()2ln g x x x g x -=-==，所以函数()g x 为定义域上的为偶函数，作出函数()22ln g x x =与()[]33h x x =-的图象，如图所示，当10x -<<时，()6h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点； 当01x <<时，()3h x =-，结合图象，两函数有1个交点，即1个零点；当1x =时，()()0g x h x ==，两函数有1个交点，即1个零点；当23x ≤<时，()3h x =，()4ln 24ln3g x ≤<，此时两函数有1个交点，即1个零点，综上可得函数()[]22ln 33f x x x =-+共4个零点.故选： D.【变式6】已知函数()221,0log 1,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数可能为（ ） A ．2 B ．6C ．5D ．4【答案】ACD 【解析】画出()f x 的图象如图所示：令()t f x =，则22210t t a -+-=，则24(2)a ∆=-，当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，即方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤ 故211212a <+-≤+212121a ≤--<，当1t =()1f x =(1,1)∈-，则x 有2解，当1t =t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,1∈+，则x 有2解，故方程()()22210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；故选：ACD考点七 函数模型的应用1.建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x ，y 分别表示. (2)建立函数模型，将变量y 表示为x 的函数，此时要注意函数的定义域. (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解. 2.建模的三个原则(1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型.(2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分析，又能计算和推理，且能推演出正确结果.(3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能，能回到具体研究对象中去解决问题.【例7】某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为()G x （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入()R x （万元）满足20.4 4.2(05)()11(5)x x x R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（1）写出利润函数()y f x =的解析式（利润=销售收入-总成本）； （2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【答案】（1）()f x 20.4 3.2 2.8(05)8.2(5)x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．【解析】（1）由题意得() 2.8G x x =+．()()20.4 4.20511(5)x xx R x x ⎧-+≤≤=⎨>⎩，()()()f x R x G x ∴=- ()20.4 3.2 2.8058.2(5)x x x x x ⎧-+-≤≤=⎨->⎩（2）当5x >时， 函数()f x 递减，()()5 3.2f x f ∴<= （万元）．当05x ≤≤时，函数()()20.44 3.6f x x =--+， 当4x =时，()f x 有最大值为3.6（万元）．所以当工厂生产4百台时，可使赢利最大为3.6万元．【变式7】环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈。
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题
高考学生指数与对数函数知识点小结及典型例题高考中经常考到指数函数和对数函数的概念和性质，下面来介绍一些基础知识。
一、指数与指数幂的运算1.根式的概念：如果 $x^n=a$，那么 $x$ 叫做 $a$ 的$n$ 次方根，其中 $n>1$，且 $n\in N$。
2.分数指数幂：规定正数的分数指数幂的意义为$a^{m/n}=n\sqrt[n]{a^m}(a>0,m,n\in N^*,n>1)$，负分数指数幂没有意义。
3.实数指数幂的运算性质：$(a^r)^s=a^{rs}(a>0,r,s\in R)$，$a^r\cdot a^s=a^{r+s}(a>0,r,s\in R)$，$(ab)^r=a^r\cdotb^r(a>0,r\in R)$。
二、指数函数及其性质1.指数函数的概念：函数 $y=ax(a>0,a\neq1)$ 叫做指数函数，其中 $x$ 是自变量，定义域为 $R$。
注意：底数不能是负数、零和 $1$。
2.指数函数的图象和性质：当 $00$，非奇非偶函数，函数图象过定点 $(0,1)$；当 $a>1$ 时，函数图象在 $R$ 上单调递增，定义域为 $R$，值域为 $y>0$，非奇非偶函数，函数图象过定点 $(0,1)$。
利用函数的单调性，结合图象，可以得到一些性质，例如在 $[a,b]$ 上，$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$ 的值域是$[f(a),f(b)]$ 或 $[f(b),f(a)]$。
三、对数函数1.对数的概念：如果 $a^x=N(a>0,a\neq1)$，那么数 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x=\log_a N$。
注意底数的限制 $a>0$，且 $a\neq1$。
2.对数的运算性质：如果 $a>0$，且 $a\neq1$，$M>0$，$N>0$，那么：$\log_a MN=\log_a M+\log_a N$，$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$，$\log_a M^r=r\log_aM(a>0,M>0,r\in R)$。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结适用于高一应届学习及高三一轮复习指数函数和对数函数知识点总结及练习题一.指数函数（一）指数及指数幂的运算a am ar as ar s (ar)s ars (ab)r arbr（二）指数函数及其性质1.指数函数的概念：一般地，形如y a（a 0且a 1）叫做指数函数。
xmn二.对数函数（一）对数1.对数的概念：一般地，如果a N（a 0且a 1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x logaN，其中a叫做底数，N叫做真数，logaN叫做对数式。
2.指数式与对数式的互化幂值真数xax log指数对数适用于高一应届学习及高三一轮复习3.两个重要对数（1）常用对数：以10为底的对数lgN（2）自然对数：以无理数e 2.***** 为底的对数lnN（二）对数的运算性质（a 0且a 1，M 0,N 0）①logaM logaN logaMN ②logaM logaN loga③logaM nlogaM ④换底公式：logab 关于换底公式的重要结论：①logamb（三）对数函数1.对数函数的概念：形如y logax（a 0且a 1）叫做对数函数，其中x 是自变量。
M Nnlogcb（c 0且c 1）logcannlogab ②logab logba 1 m适用于高一应届学习及高三一轮复习基本初等函数练习题1.已知集合M { 1,1}，N {x|12x 1 4,x Z}，则M∩N＝（）2A.{－1,1}B.{0}C.{－1}D.{－1,0} 2.设11b1a() () 1，则（）333abaaabbaabaaA.a a bB.a b aC.a a bD.a b a 3.设y1 40.9，y2 80.48，y3 () 1.5，则（）12A.y3 y1 y2B.y2 y1 y3C.y1 y3 y2D.y3 y1 y2 4.若()122a 11()3 2a，则实数a的取值范围是（）211A.(1，＋∞)B.(，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，)221－5.方程3x1＝的解为（）9A.x＝2B.x＝－2C.x＝1D.x＝－1116.已知实数a，b满足等式(a＝()b，则下列五个关系式：①0ba；②ab0；③0ab；23④ba0；⑤a＝b。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数知识点总结全面整理单选题1、若函数f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，则a的值为（）A．1B．－1C．±1D．0答案：C分析：根据函数奇函数的概念可得ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0，进而结合对数的运算即可求出结果.因为f(x)=ln(ax+√x2+1)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0．即ln(−ax+√x2+1)+ln(ax+√x2+1)=0恒成立，所以ln[(1−a2)x2+1]=0，即(1−a2)x2=0恒成立，所以1−a2=0，即a=±1．当a=1时，f(x)=ln(x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；当a=−1时，f(x)=ln(−x+√x2+1)，定义域为R，且f(−x)+f(x)=0，故符合题意；故选：C.2、声强级L1（单位：dB）与声强I的函数关系式为：L1=10lg(I10−12).若普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，则普通列车的声强是高速列车声强的（）A．106倍B．105倍C．104倍D．103倍答案：B分析：设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，由声强级得95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，求出I1、I2相除可得答案.设普通列车的声强为I1，高速列车的声强为I2，因为普通列车的声强级是95dB，高速列车的声强级为45dB，所以95=10lg(I110−12)，45=10lg(I210−12)，95=10lg(I110−12)=10(lgI1+12)，解得−2.5=lgI1，所以I1=10−2.5，45=10lg(I210−12)=10(lgI2+12)，解得−7.5=lgI2，所以I2=10−7.5，两式相除得I 1I 2=10−2.510−7.5=105，则普通列车的声强是高速列车声强的105倍. 故选：B.3、设a =log 2π，b =log 6π，则（ ） A ．a −b <0<ab B ．ab <0<a −b C ．0<ab <a −b D ．0<a −b <ab 答案：D分析：根据对数函数的性质可得a −b >0，ab >0， 1b−1a <1，由此可判断得选项.解：因为a =log 2π>log 22=1，0=log 61<b =log 6π<log 66=1，所以a >1,0<b <1，所以a −b >0，ab >0，故排除A 、B 选项； 又1b −1a =a−b ab=log π6−log π2=log π3<log ππ<1，且ab >0，所以0<a −b <ab ，故选：D.4、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x−2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0.5、已知a=log20.6,b=log20.8,c=log21.2，则（）A．c>b>a B．c>a>bC．b>c>a D．a>b>c答案：A分析：由对数函数得单调性即可得出结果.∵y=log2x在定义域上单调递增，∴log20.6<log20.8<log21.2，即c>b>a.故选：A.6、若n<m<0，则√m2+2mn+n2−√m2−2mn+n2等于（）A．2m B．2n C．−2m D．−2n答案：C分析：根据根式的计算公式，结合参数范围，即可求得结果.原式=|m+n|−|m−n|，∵n<m<0，∴m+n<0，m−n>0，∴原式=−(m+n)−(m−n)=−2m．故选：C小提示：本题考查根式的化简求值，属简单题，注意参数范围即可.7、已知a=ln1，b=30.3，c=1og54，则a,b,c的大小关系是（）3A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b答案：C解析：分别将a,b,c与0,1比较大小，从而得到a,b,c的大小关系.<ln1=0，b=30.3>30=1，0=log51<c=1og54<log55=1，所以可知b>c>a 因为a=ln13故选：C8、方程log2x=log4(2x+3)的解为（）C．3D．−1或3答案：C分析：根据对数运算性质化为同底的对数方程，结合对数真数大于零可求得结果.∵log2x=log4(2x+3)=12log2(2x+3)=log2√2x+3，∴{x>02x+3>0x=√2x+3，解得：x=3.故选：C.多选题9、甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量y（个）与加工时间x（分）之间的函数关系，A点横坐标为12，B点坐标为(20,0),C点横坐标为128．则下面说法中正确的是（）A．甲每分钟加工的零件数量是5个B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件C．D点的横坐标是200D．y的最大值是216答案：ACD分析：甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B错误；设D的坐标为(t,0)，由题得△AOB∽△CBD，则有1220=128−20t−20，解可得t=200，所以选项C正确；当x=128时，y=216，所以y的最大值是216.所以选项D正确. 根据题意，甲一共加工的时间为(12−0)+(128−20)=120分钟，一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是600120=5，所以选项A 正确，设D 的坐标为(t,0)，在区间(128,t)和(12，20 )上，都是乙在加工，则直线AB 和CD 的斜率相等， 则有∠ABO =∠CDB ，在区间(20,128)和(0,12)上，甲乙同时加工，同理可得∠AOB =∠CBD ， 则△AOB ∽△CBD ， 则有1220=128−20t−20，解可得t =200；即点D 的坐标是(200,0)，所以选项C 正确； 由题得乙每分钟加工的零件数为600200=3个，所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20）×2=80个零件，所以选项B 错误； 当x =128时，y =(128−20)×2=216，所以y 的最大值是216.所以选项D 正确. 故选：ACD10、(多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是（ ） A ．(-1)13和(−1)26B ．343和13-43C ．212和414D ．4−32和(12)−3答案：BC分析：根据分数指数幂的定义以及运算法则逐个验证与化简，即可判断选择.A 不符合题意，(-1)13和(−1)26不符合分数指数幂的定义，但(-1)13=√-13=-1，(-1)26=√(-1)26=1; B 符合题意，13-43=343.C 符合题意，414=√224=212;D 不符合题意，4−32和(12)−3均符合分数指数幂的定义，但4-32=1432=18，(12)−3 =23=8.故选：BC小提示：本题考查分数指数幂的定义以及运算法则，考查基本分析判断与化简能力，属基础题.11、已知a+a−1=3，则下列选项中正确的有（）A．a2+a−2=7B．a3+a−3=16C．a12+a−12=±√5D．a32+a−32=2√5答案：AD分析：由a+1a =3(a>0)，可得：a2+a−2=(a+1a)2−2；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)；(a12+a−12)2=a+a−1+2；a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)，即可判断出正误．解：∵a+1a=3，∴a2+a−2=(a+1a)2−2=32−2=7，因此A正确；a3+a−3=(a+a−1)(a2+a−2−1)=3×(7−1)=18，因此B不正确；∵(a12+a−12)2=a+a−1+2=3+2=5，a>0，解得a12+a−12=√5，因此C不正确；∵a√aa√a=(a+a−1)(a12+a−12)−(a12+a−12)=3√5−√5=2√5，因此D正确．故选：AD．填空题12、已知函数f(x)=ln(√1+x2−x)−1，若f(2x−1)+f(4−x2)+2>0，则实数x的取值范围为______. 答案：x<−1或x>3分析：令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，分析出函数g(x)为R上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为g(x2−4)<g(2x−1)，可得出关于x的不等式，解之即可.令g(x)=f(x)+1=ln(√x2+1−x)，对任意的x∈R，√x2+1−x>|x|−x≥0，故函数g(x)的定义域为R，因为g(x)+g(−x)=ln(√x2+1−x)+ln(√x2+1+x)=ln(x2+1−x2)=0，则g(−x)=−g(x)，所以，函数g(x)为奇函数，当x≤0时，令u=√1+x2−x，由于函数u1=√1+x2和u2=−x在(−∞,0]上均为减函数，故函数u=√1+x2−x在(−∞,0]上也为减函数，因为函数y=lnu在(0,+∞)上为增函数，故函数g(x)在(−∞,0]上为减函数，所以，函数g(x)在[0,+∞)上也为减函数，因为函数g(x)在R上连续，则g(x)在R上为减函数，由f(2x−1)+f(4−x2)+2>0可得g(2x−1)+g(4−x2)>0，即g(x2−4)<g(2x−1)，所以，x2−4>2x−1，即x2−2x−3>0，解得x<−1或x>3.所以答案是：x<−1或x>3.13、若函数f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1在(−∞,a]上的最大值为4，则a的取值范围为________．答案：[1,17]分析：根据函数解析式画出函数图象，再根据指数函数、对数函数的性质判断函数的单调性，再求出f(x)= 4时x的值，即可得解.解：因为f(x)={2x+2,x≤1,log2(x−1),x>1，当x∈(−∞,1]时，易知f(x)=2x+2在(−∞,1]上单调递增，当x∈(1,+∞)时，f(x)=log2(x−1)在(1,+∞)上单调递增．作出f(x)的大致图象，如图所示．由图可知，f(1)=4，f(17)=log2(17−1)=4，因为f(x)在(−∞,a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1,17]．所以答案是：[1,17]14、函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)的图象恒过定点_________ 答案：(2,4)分析：令对数的真数为1，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；解：因为函数f(x)=4+log a(x−1)(a>0且a≠1)，令x−1=1，解得x=2，所以f(2)=4+log a1=4，即函数f(x)恒过点(2,4)；所以答案是：(2,4)解答题15、已知函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图象过点(1,0)，g(x)=x2−2e f(x).（1）求函数f(x)的解析式；（2）若函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，求整数k的值；（3）设m>0，若对于任意x∈[1m,m]，都有g(x)<−ln(m−1)，求m的取值范围.答案：（1）f(x)=lnx；（2）k的取值为2或3；（3）(1,2).解析：（1）根据题意，得到ln(1+a)=0，求得a的值，即可求解；（2）由（1）可得y=ln(2x2−kx)，得到2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，根据题意转化为函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，列出不等式组，即可求解；（3）求得g(x)的最大值g(m)，得出g(x)max<−ln(m−1)，得到m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，结合ℎ(m)单调性和最值，即可求解.（1）函数f(x)=ln(x+a)(a∈R)的图像过点(1,0)，所以ln(1+a)=0，解得a=0，所以函数f(x)的解析式为f(x)=lnx.（2）由（1）可知y=lnx+ln(2x−k)=ln(2x2−kx)，x∈(1,2)，令ln(2x2−kx)=0，得2x2−kx−1=0，设ℎ(x)=2x2−kx−1，则函数y=f(x)+ln(2x−k)在区间(1,2)上有零点，等价于函数y=ℎ(x)在(1,2)上有零点，所以{ℎ(1)=1−k<0ℎ(2)=7−2k>0，解得1<k<72，因为k∈Z，所以k的取值为2或3.（3）因为m>0且m>1m ，所以m>1且0<1m<1，因为g(x)=x2−2e f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，所以g(x)的最大值可能是g(m)或g(1m)，因为g(m)−g(1m )=m2−2m−(1m2−2m)=m2−1m2−(2m−2m)=(m−1m )(m+1m−2)=(m−1m)⋅(m−1)2m>0所以g(x)max=g(m)=m2−2m，只需g(x)max<−ln(m−1)，即m2−2m<−ln(m−1)，设ℎ(m)=m2−2m+ln(m−1)(m>1)，ℎ(m)在(1,+∞)上单调递增，又ℎ(2)=0，∴m2−2m+ln(m−1)<0，即ℎ(m)<ℎ(2)，所以1<m<2，所以m的取值范围是(1,2).小提示：已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：1 、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；2 、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
指数函数与对数函数知识总结及练习
指数函数与对数函数知识点：x比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图象：3. 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4. 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
复合函数的单调性法则是：同增异减 步骤：（1）球定义域并分解复合函数（2）在定义与范围内分别讨论分解后的函数的单调性 （3）很据复合函数的单调性法则得出结论【典型例题】例1. （1）下图是指数函数（1）y ＝a x ，（2）y ＝b x ，（3）y ＝c x ，（4）y ＝d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）y x1O(4)(3)(2)(1)A. a ＜b ＜1＜c ＜dB. b ＜a ＜1＜d ＜cC. 1＜a ＜b ＜c ＜dD. a ＜b ＜1＜d ＜c剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小。
解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c 。
故选B 。
解法二：令x ＝1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1，∴b ＜a ＜1＜d ＜c 。
例2. 已知2x x +2≤（41）x －2，求函数y ＝2x －2－x 的值域。
解：∵2x x +2≤2－2（x －2），∴x 2＋x ≤4－2x ， 即x 2＋3x －4≤0，得－4≤x ≤1。
又∵y ＝2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1。
指数函数、对数函数及幂函数知识总结+典型考题
指数函数、对数函数及幂函数知识总结一、知识框图二、知识要点梳理指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图象定义域值域过定点图象过定点,即当时,.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐渐增大；在第二象限内,从逆时针方向看图象,逐渐减小.常见性质n次方根的性质：<1>当为奇数时,；当为偶数时,<2>分数指数幂的意义：；注意：0的正分数指数幂等与0,负分数指数幂没有意义.有理数指数幂的运算性质：<1><2> <3>对数函数函数名称对数函数定义函数且叫做对数函数图象定义域值域过定点图象过定点,即当时,.奇偶性非奇非偶单调性在上是增函数在上是减函数函数值的变化情况变化对图象的影响在第一象限内,从顺时针方向看图象,逐渐增大；在第四象限内,从顺时针方向看图象,逐渐减小.常见性质几个重要的对数恒等式,,.常用对数与自然对数常用对数：,即；自然对数：,即<其中…>.对数的运算性质如果,那么①加法：②减法：③数乘：④⑤⑥换底公式：幂函数 形如的函数,叫做幂函数,其中为常数.三、考题训练1.〔2012·新课标全国高考文科·Ｔ11〕当0<x ≤错误!时,4x<log a x,则a 的取值范围是〔 〕 〔A 〕<0,错误!> 〔B 〕<错误!,1> 〔C 〕<1,错误!> 〔D 〕<错误!,2>2.〔2012·安徽高考文科·Ｔ3〕〔2log 9〕·〔3log 4〕=〔 〕〔A 〕14 〔B 〕12〔C 〕2 〔D 〕4 3.〔2012·天津高考文科·Ｔ6〕下列函数中,既是偶函数,又在区间〔1,2〕内是增函数的为〔 〕4.〔2012·北京高考文科·Ｔ12〕已知函数f 〔x 〕=lgx,若f 〔ab 〕=1,则f 〔a 2〕+f 〔b 2〕=___________.5.〔2012·江苏高考·Ｔ5〕函数6()12log f x x=-.6.〔2012·山东高考文科·Ｔ15〕若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1,2］上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数,则a ＝.7.函数y=<31>x -2x 在区间[-1, 1]上的最大值为.8.记函数13x y -=+的反函数为()y g x =,则(10)g = A ． 2 B ． 2-C ． 3 D ． 1-9.若函数f 〔x 〕=log x a 在[2,4]上的最大值与最小值之差为2,则a=___10．函数12log (32)y x =-的定义域是____________10．f 〔x 〕=⎪⎩⎪⎨⎧〉〈-)1(log )1(281x x xx 则满足f 〔x 〕=41的x 的值是_______________3 11．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数,若8)](1)][(1[11=++--b fa f,则f <a +b >的值为A. 1B. 2C. 3D. 3log 2 12．函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,2[∈x 上是增函数,则a 的取值范围是〔 〕 A. 1>a B. 1,0≠>a a C. 10<<a D. φ∈a .13.方程lg()lg lg 4223x x +=+的解是___________________14.21-=a 是函数ax e x f x ++=)1ln()(为偶函数的c（A ） 充分不必要条件 〔B 〕必要不充分条件〔C 〕 充分必要条件 〔D 〕既不充分也不必要条件15.已知函数)(log )(221a ax x x f --=的值域为R,且f <x >在〔)31,-∞-上是增函数,则a的范围是 .16.函数y=log 2<1-x>的图象是〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕16.已知9x -10.3x +9≤0,求函数y=〔41〕x-1-4·〔21〕x +2的最大值和最小值 17.设函数,241)(+=xx f 〔1〕求证：对一切)1()(,x f x f R x -+∈为定值；〔2〕记*),()1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++= 求数列}{n a 的通项公式及前n 项和.。
指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解),强列推荐
n
16 的 4 次方根
③若 ④
n 是偶数，且 a
0 0n 1, n
a 没意义，即负数没有偶次方根；
∴
0
0；
⑤式子
n
a 叫根式， n 叫根指数， a 叫被开方数。
∴
n
n
a
a．
． 4． a 的 n 次方根的性质
一般地，若
n 是奇数，则
n
an a
n
a； a a a a a 0 0
若 n 是偶数，则 5 ．例题分析： 例 1 ． 求下列各式的值： （ 1）
3
5
3
125
4
5
2 4
（ 2）
3 1
a a
2 3
3
2
a 5
1 4
0 ． 5
3 2
解： （ 1）
5
5 12
125
5 4 12 5 2
5 = 53
4
52
54 = 5
5
1 4
=5 （ 2）
5 = a
2 2 3
5
1
5 5；
5 2 3
=
a
a6
6
a ．
5
a a
a2 a
（三） 综合应用
例 1．化简： 5 解： 5
3
( x 2 )]
(x
3
(x 2 )
2
(x 2 )
x
2
2x 2 x
3)
x
3
x
3
2
x
3
3 1
x )( x x )
1 2
1)
2
(x
∴ (x 2 又由 x
3
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指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质 （一）整数指数幂1．整数指数幂概念：an na a a a 个⋅⋅⋅= )(*∈N n ()010a a =≠ ()10,nn aa n N a-*=≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +⋅=∈ （2）()(),nm mn aa m n Z =∈（3）()()nnnab a bn Z =⋅∈其中m n m nm na a a aa--÷=⋅=， ()1nn n n nn a a a b a b b b --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭．3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ()*∈>Nn n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，即： 若a x n=，则x 叫做a 的n 次方根， ()*∈>N n n ,1说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0<n a ；②若n 是偶数，且0>a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±）③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④()*∈>=Nn n n,100 0=；⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴na =．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa a a a n n ．5．例题分析：例1．求下列各式的值： （1）()338- （2）()210- （3）()443π- （4）例2．已知,0<<b a *∈>N n n ,1， 化简：()()n nn nb a b a ++-．（二）分数指数幂1．分数指数幂：()10250a aa ==>()12430a aa ==>即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）()nk kn aa =对分数指数幂也适用，例如：若0a >，则3223233a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，4554544a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭， 23a =45a =．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m na a m n N n *=>∈>；（2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1mnm naa m n N n a-*==>∈>．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 即()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用； （2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
3．例题分析：例1． 用分数指数幂的形式表示下列各式()a o >：2a 3a例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）83184m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭；例3．计算下列各式：（1）（2)20a >．（三）综合应用例1．化简：11555x x x -+++.例2．化简：)()(41412121y x y x -÷-.例3．已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+.二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数xy a =（0a >且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R ．2．指数函数xy a =在底数1a >及01a <<这两种情况下的图象和性质：1a > 01a <<图象性质（1）定义域：R （2）值域：(0,)+∞（3）过点(0,1)，即0x =时1y =（4）在R 上是增函数（4）在R 上是减函数例1．求下列函数的定义域、值域： （1）1218x y -= （2）11()2x y =-（3）3xy -=例2．当1a >时，证明函数11x x a y a +=- 是奇函数。
例3．设a 是实数，2()()21xf x a x R =-∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。
三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果a （10≠>a a 且）的b 次幂等于N , 就是N a b =，那么数 b 叫做a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
即ba N =， log Nb =说明：1． 在指数式中幂N > 0，∴在对数式中，真数N > 0．（负数与零没有对数）2． 对任意 0>a 且 1a ≠, 都有 01a = ∴log 10a =，同样：log 1a a =．3．如果把ba N =中的b 写成log a N ， 则有 log a NaN =（对数恒等式）．3．介绍两种特殊的对数：①常用对数：以10作底 10log N 写成 lg N②自然对数：以e 作底为无理数，e = 2.71828…… ，log e N 写成 ln e ．例2．（1）计算：9log 27，（2）求 x 的值：①33log 4x =-； ②()2221log 3211x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-=．（3）求底数：①3log 35x =-， ②7log 28x =．4．对数的运算性质：如果 a > 0 ， a ≠ 1， M > 0 ，N > 0， 那么 （1）log ()log log a a a MN M N =+； （2）log log -log aa a MM N N=； （3）log log ()na a M n M n R =∈．例3．计算： （1）lg14-21g 18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ；5．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠)证明：设log a N x =，则xa N =，两边取以m 为底的对数得：log log xm m a N =，∴log log m m x a N =，从而得：a N x m m log log =， ∴ aNN m m a log log log =．说明：两个较为常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； （2）log log m na a nb b m= （a 、0b >且均不为1）． 证明：（1） 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a ； （2） lg lg log log lg lg m n na m ab n b nb b a m a m===． 例4．计算：（1） 0.21log 35-； （2）492log 3log 2log ⋅+．例5．已知18log 9a =，185b=，求36log 45（用 a , b 表示）． ．例6．设1643>===t zyx，求证：yx z 2111=-．四、对数函数1．对数函数的定义：函数 x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数。
2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数x y a log =)10(≠>a a 且的定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞．（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。
同样：也分1>a 与10<<a 两种情况归纳，以x y 2log =（图1）与x y 21log =（图2）为例。
（3）对数函数性质列表：1 12xy = 2log y x = y x = （图1） 111()2x y =12log y x =y x =（图2）图 象1a >01a <<性 质（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）过点(1,0)，即当1=x 时，0=y（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在(0,)+∞上是减函数例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =；例2．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5； （3）log 5.1a ，log 5.9a .例3．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（2）3log π，2log 0.8； （3）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8；例4．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
解：∵log 4log 4m n <， ∴4411log log m n<，当1m >，1n >时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴1m n >>． 当01m <<，01n <<时，得44110log log m n<<，∴44log log n m <， ∴01n m <<<．当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <，∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<．综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<．(1,0)(1,0)1x =1x =log a y x =log a y x =例5．求下列函数的值域：（（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）．例6．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。
例7．求函数2132log (32)y x x =-+的单调区间。
指数函数和对数函数单元测试一 选择题 1. 如果log 5log 50ab >>，那么a 、b 间的关系是 【 】A 01a b <<<B 1a b <<C 01b a <<<D 1b a << 2. 已知01,1a b <<<-，则函数x y a b =+的图象必定不经过 【 】A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. 与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是 【 】A y =B log a xy a = (0a >，且0)a ≠C 2/y x x =D log xay a =(0a >，且0)a ≠（ ）5.已知函数log (2)a y ax =-在(1,1)-上是x 的减函数，则a 的取值范围是 【 】A (0,2)B (1,2)C (1,2]D [2,)+∞ 6. 已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(,0)-∞，则它的定义域是 【 】A {|2}x x <B {|02}x x <<C {|04}x x <<D {|24}x x << 7.已知函数20.5()log (3)f x x ax a =-+在区间[2,)+∞是减函数，则实数a 的取值范围是 【 】A (,4]-∞B [4,)+∞C (4,4]-D [4,4]-8. 设713=x，则 【 】 A ．－2<x<－1B ．－3<x<－2C ．－1<x<0D ．0<x<19. 函数2()lg(32)f x x x =-+的定义域为E ，函数()lg(1)lg(2)g x x x =-+-的定义域为F ，则【 】A E F φ⋂=B E F =C E F ⊆DEF ⊇ 11. 已知c a b 212121log log log <<，则 ( )A ．c a b222>>B ．c b a 222>> C ．a b c 222>> D ．b a c 222>>12.函数2()lg(31)f x x =++的定义域是 （ ） A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3-∞- 二 填空题13. 计算：210319)41()2(4)21(----+-⋅- ＝ ．14.y =______ 。