实数集与函数解读
《数学分析》第一章 实数集与函数
❖实数的性质
1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是 封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0) 仍然是实数. 2.实数集是有序的.即任意两个实数a, b必满足下 述三个关系之一: a < b, a = b, a > b .
由二项展开式
(1+ h)n 1+ nh + n(n 1) h2 + n(n 1)(n 2) h3 + + hn ,
2!
3!
有 (1+ h)n >上式右端任何一项.
今日作业 P4,3, 4, 6, 7
§1.2 数集·确界原理
一、区间与邻域 二、上确界、下确界
一、区间与邻域
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
❖实数的性质
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c. 4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
绝对值定义：
a, a0 | a | a , a < 0
从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：
-a
a
0
绝对值的一些主要性质 1. | a | | a | 0 当且仅当 a 0 时 | a | 0 2 . -|a| a |a| 3. |a|< h -h < a < h ; | a | h h a h , h > 0 4. a b a b a + b 5. | ab || a | | b | 6. a | a | , b 0
数学分析1.1实数
第一章实数集与函数1 实数一、实数及其性质定义1：(两个实数的大小关系) 给定两个非负实数x=a0.a1a2…a n…，y=b0.b1b2…b n…，其中a0，b0为非负整数，a k，b k（k=1,2,…）为整数，0≤a k≤9，0≤b k≤9。
若有a k=b k，k=1,2,…，则称x与y相等，记为x=y；若a0>b0或存在非负整数j，使得a k=b k（k=1,2,…j）而a j+1>b j+1，则称x大于y或y小于x，分别记为x>y或y<x.定义2：设x=a0.a1a2…a n…为非负实数。
称有理数x n=a0.a1a2…a n为实数x的n位不足近似，而有理数= x n称为实数x的n位过剩近似，n=1,2,….对于负实数x= -a0.a1a2…a n…，其n位不足近似与过剩近似分别规定为x n= -a0.a1a2…a n与= -a0.a1a2…a n.命题：设x=a0.a1a2…，y=b0.b1b2…为两个实数，则x>y等价条件是：存在非负整数n，使得x n>.例1：设x、y为实数，x<y. 证明：存在有理数r满足x<r<y.证：由于x<y，故存在非负整数n，使得<y n. 令r=(+y n)，则r为有理数，且有：x≤<r<y n<y，即得x<r<y.实数的一些主要性质：1. 实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数；2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a<b，a=b，a>b.3. 实数的大小关系具有传递性，即a>b，b>c，则有a>c.4. 实数具有阿基米德性，即对任何a、b∈R，若b>a>0，则存在正整数n，使得na>b.5. 实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有其它实数，且既有有理数，也有无理数；6. 如果在一条直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右边的方向规定为正向)，并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结第一章实数集与函数§1实数授课章节：第一章实数集与函数——§1实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一、实数及其性质1、实数．[问题]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数其中，记；对于正整数则记；对于负有限小数（包括负整数），则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．0表示为0＝例：；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较1）定义1给定两个非负实数，. 其中为非负整数，为整数，．若有，则称与相等，记为；若或存在非负整数，使得，而，则称大于或小于，分别记为或．对于负实数、，若按上述规定分别有或，则分别称为与（或）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义2（不足近似与过剩近似）：为非负实数，称有理数为实数的位不足近似；称为实数的位过剩近似，.对于负实数，其位不足近似；位过剩近似.注：实数的不足近似当增大时不减，即有；过剩近似当n增大时不增，即有．命题：记，为两个实数，则的等价条件是：存在非负整数n，使（其中为的位不足近似，为的位过剩近似）．命题应用例1．设为实数，，证明存在有理数，满足．证明：由，知：存在非负整数n，使得．令，则r为有理数，且．即．3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．）．1）封闭性（实数集对）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：，关系，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：，．4）阿基米德性：使得．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．6）一一对应关系：实数集与数轴上的点有着一一对应关系．例2．设，证明：若对任何正数，有，则．（提示：反证法．利用“有序性”，取）二、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数的绝对值的定义为．2、几何意义从数轴看，数的绝对值就是点到原点的距离．表示就是数轴上点与之间的距离．3、性质1）（非负性）；2）；3），；4）对任何有（三角不等式）；5）；6）（）．三、几个重要不等式1、2、均值不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)有平均值不等式:即：等号当且仅当时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当且,且时,有严格不等式证：由且4、利用二项展开式得到的不等式:对由二项展开式有上式右端任何一项.［练习］P4．5［课堂小结］：实数：.[作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第一章实数集与函数——§2数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引言。
数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？
实数集与函数
1. 定义(反函数)(P13)
设函数 y f ( x), x D 满足 : 对值域 f ( D) 中的每一个值 y, D 中有且仅有一个值 x 使得 f ( x) y, 则按此对应法则得到一 个 定义在 f ( D) 上的函数 , 称这个函数为 f 的反函数 , 记作
f 1 : f ( D) D, yx
2) y x , s t 2 ;
x 3) f ( x) 1, g ( x) . x
9
§3.函数概念 一. 函数的定义 2.几点说明
(1)自变量 (independen t variable )与因变量 (dependentvariable )(P10); (2)函数的表示方法 ;
(3)函数的定义域(即存在域);
2. 定义(复合函数)(P12)
例1(P12) 设 y f (u),u g ( x) 1 x2 , 求复合函数 f g ( x).
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§3.函数概念 二. 函数的运算 II.函数的复合运算---复合函数
2. 定义(复合函数)(P12)
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§3.函数概念 二. 函数的运算 II.函数的复合运算---复合函数
(3)函数的定义域(即存在域);
(4)函数的基本要素;
(5)函数的象与原象(P11); (6)单值函数与多值函数(P11); (7) 函数的图形 [思考题] (1) 从函数的图形上看,单值函数与多值函数的区别何在?
(2) 试画出绝对函数,符号函数,取整函数,Dirichlet函数与Riemann 12 函数(P211)的草图.
(i) 分段函数:在定义域不同部分用不同数学式子表示的函数 (ii)用语言表示的函数
3) 定义在[0,1] 上的黎曼函数 (Riemann 函数) 1 p p p, q N , 为既约真分数 , 当x R( x) q q q 0, 当x 0,1和(0,1)内的无理数 .确
第一章实数集与函数
第一章 实数集与函数教学进度：使用六个学时 一 .实数1．实数集的元素构成：有理数与无理数。
有理数是可以用分数形式),(互素q p qp 表示的数，或者也可以说可用有限小数或无限的循环小数来表示；无限的不循环小数则称为无理数。
2．任何实数都可用一个确定的无限小数来表示。
举例： 917291792182&L L ...==L L 00000.= 978&.−=−3．如何定义两个实数的大小定义1 ，为两个非负的实数，若L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=1），则称x,y 相等，记为),,,,(,L L n k b a k k 10==y x =。
2）若或00b a >),,(..,l k b a t s l k k L 10==∃而，则称x 大于y ，记为11++>l l b a .y x > 下面会给出通过有限小数来比较实数大小的等价条件，先来介绍一个概念。
定义2 设是一个非负实数。
称有理数L L n a a a x 10.=n n a a a x L 10.=为x 的n 位不足近似，而有理数n n n a a a x 10110+=L . 位x 的n 位过剩近似， .,,L 10=n 举例 的0位，1位，2位，3位的不足近似是5，5.1, 5.17, 5.178 ; 0位，L 178965.1位，2位，3位的过剩近似是：6，5.2, 5.18, 5.179. 从这个例子可以看出：不足近似是递增的，过剩近似是递减的。
对于负实数又是如何定义不足与过剩近似？对于负实数L L n a a a x 10.−=，注 1.n n x x x ≤≤2.实数x 的n 位不足近似随着n 的增大不减；实数x 的n 位过剩近似n x n x 随着n 的增大不增。
命题 设，为两个实数，则L L n a a a x 10.=L L n b b b y 10.=y x >的等价条件是：存在非负整数n ，使得.n n y x >因此就不在此叙述。
《数学分析》第一章 实数集与函数 1
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x obxFra bibliotek区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的 常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.
Chapter01-实数集与函数
数学分析
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北方工业大学数学系
[a, ){ x|ax}, (, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x},
(, b){ x|x<b},
(, ){ x| |x|<}.
数学分析
S有上确界，则 h sup S S h max S . 例 3：
北方工业大学数学系
S有下确界，则 h inf S S h min S .
证：仅证下确界的情况。
必要性：
h inf S , 故x S , x h . 而h S , 故h min S .
则x>y的等价条件是：存在非负整数n，使得
x n yn ,
其中 x n 表示x的n位不足近似，y n 表示y的n位 过剩近似。
证明：见附录。
数学分析
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北方工业大学数学系
例1 设 x, y为实数，x<y. 证明：存在有理
数r 满足 x<r<y.
（此例说明任意两个不等的实数之间，都 有一个有理数）
例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y,使得x+y=1” 可表示为“xR, yR, 使得x+y=1”
数学分析
2
北方工业大学数学系
3. 我们用符号“”表示“充分条件”或“推出”；
比如“ p q ”表示“ 若 p 成立, 则 q 也成立”。 即p 是 q 成立的充分条件.
4. 我们用符号“”表示“当且仅当”或“充要条件”；
显然 ， 任何一个不大于 1的实数都是 N 的下界 . M 0, 取 n0 [ M ] 1, 则 n0 M , 即 N 无上界 .
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第一章 实数集与函数习题§1实数1、 设a 为有理数，x 为无理数。
证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。
2、 试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。
3、 设a 、b ∈R 。
证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。
4、 设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。
5、 证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。
6、 设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。
证明 |22b a +-22c a +|≤|b-c|。
你能说明此不等式的几何意义吗？7、 设x>0，b>0，a ≠b 。
证明x b x a ++介于1与ba 之间。
8、 设p 为正整数。
证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。
9、 设a 、b 为给定实数。
试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|<b 。
§2数集、确界原理1、 用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6； （3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<c ）；（4）sinx ≥22。
2、 设S 为非空数集。
试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。
3、 试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。
4、 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n21，n ∈+N }。
5、 设S 为非空有下界数集。
证明：infS=ξ∈S ⇔ξ=minS 。
6、 设S 为非空数集，定义-S ={x|-x ∈S}。
证明：（1）inf -S =-supS ；（2）sup -S =-infS 。
7、 设A 、B 皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y ，x ∈A ，y ∈B}。
证明：（1）sup （A+B ）=supA+supB ；（2）inf （A+B ）=infA+infB 。
8、 设a>0，a ≠1，x 为有理数。
证明 sup{r a |r 为有理数，r<x}，当a>1， x a = inf{r a |r 为有理数，r<x}，当a<1。
§3函数概念1、 试作下列函数的图象：（1）y=2x +1；（2）y=2)1(+x ；（3）y=1-2)1(+x ；（4）y=sgn （sinx ）；（5）y=⎪⎩⎪⎨⎧=<>.1||,3,1||,,1||,33x x x x x2、 试比较函数y=x a 与y=log x a 分别当a=2和a=21时的图象。
3、 根据图1-2写出定义在[0，1]上的分段函数1f （x ）和2f （x ）的解析表达式。
4、 确定下列初等函数的存在域：（1）y=sin （sinx ）；（2）y=lg （lgx ）；（3）y=arcsin （lg 10x ）；（4）y=lg （arcsin 10x ）。
5、 设函数f （x ）=⎩⎨⎧>≤+.0,2,0,2x x x x 求：（1）f （-3），f （0），f （1）；（2）f （Δx ）-f （0），f （-Δx ）-f （0）（Δx>0）。
6、 设函数f （x ）=x +11，求f （2+x ），f （2x ），f （2x ），f （f （x ）），f （)(1x f ）。
7、 试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：（1）y=20)1(x +；（2）y=22)(arcsin x ；（3）y=lg （1+21x +）；（4）y=x 2sin 2。
8、 在什么条件下，函数y=dcx b ax ++的反函数就是它本身？ 9、 试作函数y=arcsin （sinx ）的图象。
10、试问下列等式是否成立：(1)tan （arctanx ）=x ，x ∈R ；(2)arctan （tanx ）=x ，x ≠k π+2π，k=0，±1，±2，… 11、试问y=|x|是初等函数吗？12、证明关于函数y=[x]的如下不等式：（1）当x>0时，1-x<x[x 1]≤1；（2）当x<0时，1≤x[x1]<1-x 。
§4具有某些特性的函数1、 证明f （x ）=12+x x 是R 上的有界函数。
2、 （1）叙述无界函数的定义； （2）证明f （x ）=21x 为（0，1）上的无界函数； （3）举出函数f 的例子，使f 为闭区间[0，1]上的无界函数。
3、 证明下列函数在指定区间上的单调性：（1）y=3x-1在（-∞，+∞）上严格递增；（2）y=sinx 在[-2π，2π]上严格递增； （3）y=cosx 在[0，π]上严格递减。
4、 判别下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=214x +2x -1；（2）f （x ）=x+sinx ； （3）f （x ）=2x 2x e -；（4）f （x ）=lg （x+21x +）。
5、求下列函数的周期：（1）x 2cos ；（2）tan3x ；（3）cos 2x +2sin 3x 。
6、设函数f 定义在[-a ，a]上，证明：（1）F （x ）=f （x ）+f （-x ），x ∈[-a ，a]为偶函数；（2）G （x ）=f （x ）-f （-x ），x ∈[-a ，a]为奇函数；（3）f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和。
7、设f 、g 为定义在D 上的有界函数，满足f （x ）≤g （x ），x ∈D 。
证明：（1）D x ∈sup f （x ）≤D x ∈sup g （x ）；（2）D x ∈inf f （x ）≤Dx ∈inf g （x ）。
8、设f 为定义在D 上的有界函数，证明：（1）D x ∈sup {-f （x ）}=-D x ∈inf f （x ）；（2）D x ∈inf f （x ）=-Dx ∈sup f （x ）。
9、证明：tanx 在（-2π，2π）上无界，而在（-2π，2π）内任一闭区间[a ，b]上有界。
10、讨论狄利克雷函数 1，当x 为有理数，D （x ）=0，当x 为无理数的有界性、单调性与周期性。
11、证明：f （x ）=x+sinx 在R 上严格增。
12、设定义在[a ，+∞）上的函数f 在任何闭区间[a ，b]上有界。
定义[a ，+∞）上的函数：m （x ）=x y a ≤≤inf f （y ），M （x ）=xy a ≤≤sup f （y ）。
试讨论m （x ）与M （x ）的图象，其中（1）f （x ）=cosx ，x ∈[0，+∞）；（2）f （x ）=2x ，x ∈[-1，+∞）。
总练习题1、 设a 、b ∈R ，证明：（1）max{a ，b}=21（a+b+|a-b|）；（2）min{a ，b}=21（a+b-|a-b|）。
2、设f 和g 都是D 上的初等函数。
定义M （x ）=max{f （x ），g （x ）}，m （x ）=min{f （x ），g （x ）}，x ∈D试问M （x ）和m （x ）是否为初等函数？3、设函数f （x ）=xx +-11，求： f （-x ），f （x+1），f （x ）+1，f （x 1），)(1x f ，f （2x ），f （f （x ））。
4、已知f （x1）=x+21x +，求f （x ）。
5、利用函数y=[x]求解：（1）某系各班级推荐学生代表，每5人推荐1名代表，余额满3人可增选1名。
写出可推选代表数y 与班级学生数x 之间的函数关系（假设每班学生数为30—50人）；（2）正数x 经四舍五入后得整数y ，写出y 与x 之间的函数关系。
6、已知函数y=f （x ）的图象，试作下列各函数的图象：（1）y==-f （x ）；（2）y=f （-x ）；（3）y=-f （-x ）；（4）y=|f （x ）|；（5）y=sgnf （x ）；（6）y=21[|f （x ）|+f （x ）]；（7）y=21[|f （x ）|-f （x ）]。
7、已知函数f 和g 的图象，试作下列各函数的图象：（1）ϕ（x ）=max{f （x ），g （x ）}；（2）ψ（x ）= min{f （x ），g （x ）}。
8、设f 、g 和h 为增函数，满足f （x ）≤g （x ）≤h （x ），x ∈R 。
证明：f （f （x ））≤g （g （x ））≤h （h （x ））。
9、设f 和g 为区间（a ，b ）上的增函数，证明第7题中定义的函数ϕ（x ）和ψ（x ）也都是（a ，b ）上的增函数。
10、设f 为[-a ，a]上的奇（偶）函数。
证明：若f 在[0，a]上增，则f 在[-a ，0]上增（减）。
11、证明：（1）两个奇函数之和为奇函数，其积为偶函数；（2）两个偶函数之和与积都为偶函数；（3）奇函数与偶函数之积为奇函数。
12、设f ，g 为D 上的有界函数。
证明：（1）D x ∈inf {f （x ）+g （x ）}≤D x ∈inf f （x ）+Dx ∈sup g （x ）； （2）D x ∈sup f （x ）+D x ∈inf g （x ）≤Dx ∈sup {f （x ）+g （x ）}。
13、设f ，g 为D 上的非负有界函数。
证明：（1）D x ∈inf f （x ）·D x ∈inf g （x ）≤Dx ∈inf {f （x ）g （x ）}； （2）D x ∈sup {f （x ）g （x ）}≤D x ∈sup f （x ）·Dx ∈sup g （x ）。
14、将定义在[0，+∞）上的函数f 延拓到R 上，使延拓后的函数为（ⅰ）奇函数；（ⅱ）偶函数。
设（1）f （x ）=sinx+1；（2）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--.1,,10,1132x x x x 15、设f 为定义在R 上以h 为周期的函数，a 为实数。
证明：若f 在[a ，a+h]上有界，则f 在R 上有界。
16、设f 在区间I 上有界。
记M=I x ∈sup f （x ），m=Ix ∈inf f （x ）。
证明|)()(|sup ,x f x f Ix x ''-'∈'''=M-m 。