授课章节：第一章实数集与函数---.doc
(1.1.1)--1.1.1实数的表示和比较教学课件
第一章实数集与函数§1 实数§2 数集˖确界原理§3 函数概念§4 具有某些特性的函数一实数及其性质一实数及其性质二绝对值不等式实 数有理数：无理数：(,,0).为整数pp q q q有限十进制小数或无限十进制循环小数， 无限十进制不循环小数.(1). 任何一个实数都可以用十进制小数表示.若 +012R ,.;nx x a a a a ∈=则.,2,1},9,,2,1,0{,N 0 =∈∈n a a n 其中 71=2+=2.3333=2.33371=3+=3.522(1). 任何一个实数都可以用十进制小数表示.若 +012R ,.;nx x a a a a ∈=则.,2,1},9,,2,1,0{,N 0 =∈∈n a a n 其中 012R ,..nx x a a a a -∈=-则若99)1(.1210-=-k k a a a a a x . 9)1(.1210 -=-k k a a a a a 又可表示为 71=3+=3.522=3.4999=3.491=0.9999=0.999)1(.1210-=-k k a a a a a x . 9)1(.1210 -=-k k a a a a a 又可表示为10.142857.7=Q,∈∀x x 可用循环十进制小数表示.(3). Q {|,,Z,0}mx x m n n n==∈≠其中表示有理数集.=π 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971...e 2.7182818284 5904523536 028******* 6624977572 ...=x=.1010010001.0.1010010001.0 =x =π 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971...=e 2.7182818284 5904523536 028******* 6624977572 ...任何实数都可以用一个确定的无限小数表示. 若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 ,.210 n a a a a x =,.210 n b b b b y =.,2,1,0, ==⇔=n b a y x n n 则 用无限小数表示实数，称为正规表示.00+N ,或使x y a b n >⇔>∃∈.,..11210210++>=n n n n b a b b b b a a a a 而 定义1+,R ,x y ∀∈若 是正规的十进制小数表示, 规定012.ny b b b b =012.,n x a a a a =00+11N ,(0,1,,),.或使而i i n n a b n a b i n a b ++⇔>∃∈==>=e 2.7182818284 5904523536……. =x 2.7182818184 5904523536…….e x>00+N ,或使x y a b n >⇔>∃∈.,..11210210++>=n n n n b a b b b b a a a a 而 定义1+,R ,x y ∀∈若 是正规的十进制小数表示, 规定.y x y x -<-⇔>规定,R ,x y -∀∈012.ny b b b b =012.,n x a a a a =00+11N ,(0,1,,),.或使而i i n n a b n a b i n a b ++⇔>∃∈==>定义2 设 012.nx a a a a =为非负实数, 称有理数012.n nx a a a a =为的 位不足近似值. x n =π 3.1415926535 8979323846...=16π 3.1415926535 897932=1π 3.1=10π 3.1415926535=3π 3.141 =2π 3.14定义2 设 012.nx a a a a =为非负实数, 称有理数012.n nx a a a a =为的 位不足近似值. x n =π 3.1415926535 8979323846...=16π 3.1415926535 897932 有理数 0121.+10n n nx a a a a =为的 位过剩近似值. x n =16π 3.1415926535 897933=1π 3.1 =10π 3.1415926535 =3π 3.141 =2π 3.14 =1π 3.2=π 3.15 =π 3.142=10π 3.1415926536++1+1N .有n n n n n x x x x x ∀∈≤≤≤≤定义2 设 012.nx a a a a =为非负实数, 称有理数012.n nx a a a a =为的 位不足近似值. x n =π 3.1415926535 8979323846...=16π 3.1415926535 897932 有理数 0121.+10n n nx a a a a =为的 位过剩近似值. x n =16π 3.1415926535 897933012.,nx a a a a =-对于负实数 =1π 3.1 =10π 3.1415926535=3π 3.141 =2π 3.14 =π 3.2 =π 3.15 =π 3.142 =π 3.1415926536 π≤≤≤≤≤π≥≥≥≥≥++1+1N .有n n n n n x x x x x ∀∈≤≤≤≤定义2 设 012.nx a a a a =为非负实数, 称有理数012.n nx a a a a =为的 位不足近似值. x n 有理数 0121.+10n n nx a a a a =为的 位过剩近似值. x n 012.,nx a a a a =-对于负实数 的位不足近似值为: x n 0121.10n n nx a a a a =--的位过剩近似值为: x n .x a a a a =-012n 012n N x y n +>⇔∃∈则 ，使得 . n nx y >命题的证明可参阅附录.012n 012n N x y n +>⇔∃∈则 ，使得 . n nx y >命题的证明可参阅附录.例1 ,R ,x y x y ∀∈>，证明:存在有理数r 满足 .x r y >>命题 设 与 为两个实数， 012.n x a a a a =012.n y b b b b =N x y n +>⇔∃∈则 ，使得 . n n x y >命题的证明可参阅附录. 例1 ,R ,x y x y ∀∈>，证明:存在有理数r 满足 .x r y >>, 因为x y >证明 根据命题存在非负整数n,使得 .n n x y >+,2n n x y r =令 则r 为有理数，且 .n n x x r y y ≥>>≥谢谢！。
第一章实数集与函数.doc
第一章 实数集与函数（10学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p ⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示. {}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：；对于正整数0,x a =1).9999；对于负有限小数（包括负整数），则先将y -表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝0.0000例：2.001 2.0009999→3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01n x a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01nx a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-. 注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤ 过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥．命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）． 命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩．２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a - 表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）． ［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。
数学分析讲义 - CH01(实数集与函数)
“集合”和“元素”是不定义的名词，“属于”也是不定义的关系。 2、集合的关系
解释下面记号： A B(B A) ， A B （定义是 A B, B A ）
3、映射
设V 和V 是任意两个非空集合，如果存在某个对应关系T ，使得对 V ，在V 中 有唯一的元素 与之对应，则称 T 是V 到V 的一个映射。记为
na b 。
（2）实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，
也有无理数。
2、绝对值
实数 a 的绝对值定义为
a
a, a 0 a, a 0
从数轴上看，数 a 的绝对值 a 就是点 a 到原点的距离．
实数的绝对值有如下一些性质：
1 o a a 0；当且仅当 a 0 时有 a 0
2
4
n i 1
xi2
n i 1
yi2
0
如果 xi kyi (i 1, 2,, n) ，则不等式显然以等号形式成立。 反之，如果等号成立，则 0 ，上面二次函数（抛物线）有零点（与 x 有交点），即
n
存在 t R 使 (xit yi )2 0 ，于是 yi txi kxi 。 i 1
sin(x) x 得 sin x x 。
综上，我们又得到不等式
sin x x , x R
其中等号仅当 x 0 时成立．
4、区间与邻域[一些记号]
a,b {x | a x b} ，a,b ， (a,b] ，[a,b)
(a, ) ，[a, ) ， (, a) ， (, a] ， (, ) R
4、可数集与不可数集 引例：古阿拉伯人，只会数 1，如何知道谁口袋里的贝壳（钱）多？ 问：对于两个无穷集，如何比较“多少”？
实数集与函数
1. 定义(反函数)(P13)
设函数 y f ( x), x D 满足 : 对值域 f ( D) 中的每一个值 y, D 中有且仅有一个值 x 使得 f ( x) y, 则按此对应法则得到一 个 定义在 f ( D) 上的函数 , 称这个函数为 f 的反函数 , 记作
f 1 : f ( D) D, yx
2) y x , s t 2 ;
x 3) f ( x) 1, g ( x) . x
9
§3.函数概念 一. 函数的定义 2.几点说明
(1)自变量 (independen t variable )与因变量 (dependentvariable )(P10); (2)函数的表示方法 ;
(3)函数的定义域(即存在域);
2. 定义(复合函数)(P12)
例1(P12) 设 y f (u),u g ( x) 1 x2 , 求复合函数 f g ( x).
19
§3.函数概念 二. 函数的运算 II.函数的复合运算---复合函数
2. 定义(复合函数)(P12)
20
§3.函数概念 二. 函数的运算 II.函数的复合运算---复合函数
(3)函数的定义域(即存在域);
(4)函数的基本要素;
(5)函数的象与原象(P11); (6)单值函数与多值函数(P11); (7) 函数的图形 [思考题] (1) 从函数的图形上看,单值函数与多值函数的区别何在?
(2) 试画出绝对函数,符号函数,取整函数,Dirichlet函数与Riemann 12 函数(P211)的草图.
(i) 分段函数:在定义域不同部分用不同数学式子表示的函数 (ii)用语言表示的函数
3) 定义在[0,1] 上的黎曼函数 (Riemann 函数) 1 p p p, q N , 为既约真分数 , 当x R( x) q q q 0, 当x 0,1和(0,1)内的无理数 .确
数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
《数学分析》第一章 实数集与函数 1
( ∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x obxFra bibliotek区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. 邻域
数集{ x x a < δ }称为点a的δ邻域 ,
o a x b 称为闭区间, { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间 记作 [a , b] o a
b
x
{ x a ≤ x < b} { x a < x ≤ b}
称为半开区间, 称为半开区间 记作 [a , b ) 称为半开区间, 称为半开区间 记作 (a , b] 有限区间
[a ,+∞ ) = { x a ≤ x }
a a≥0 a = a a < 0 运算性质: 运算性质 ab = a b ;
5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值
( a ≥ 0)
a a = ; b b
绝对值不等式: 绝对值不等式
a b ≤ a ± b ≤ a + b.
x ≤ a ( a > 0) x ≥ a ( a > 0)
a ≤ x ≤ a;
点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .
U δ (a ) = { x a δ < x < a + δ }.
δ
δ
x
a aδ a+δ 0 点a的去心的 δ邻域 , 记作 U δ (a ).
U δ (a ) = { x 0 < x a < δ }.
4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量 在某过程中数值保持不变的量称为常量 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量 而数值变化的量称为变量 变量. 而数值变化的量称为变量 注意 常量与变量是相对"过程"而言的. 常量与变量是相对"过程"而言的 常量与变量的表示方法: 常量与变量的表示方法: 通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母 b, c等表示常量 等表示常量 用字母x, 等表示 等表示变 用字母 y, t等表示变量.
Chapter01-实数集与函数
数学分析
17
北方工业大学数学系
[a, ){ x|ax}, (, b]{ x|xb}, (a, ){ x|a<x},
(, b){ x|x<b},
(, ){ x| |x|<}.
数学分析
S有上确界，则 h sup S S h max S . 例 3：
北方工业大学数学系
S有下确界，则 h inf S S h min S .
证：仅证下确界的情况。
必要性：
h inf S , 故x S , x h . 而h S , 故h min S .
则x>y的等价条件是：存在非负整数n，使得
x n yn ,
其中 x n 表示x的n位不足近似，y n 表示y的n位 过剩近似。
证明：见附录。
数学分析
9
北方工业大学数学系
例1 设 x, y为实数，x<y. 证明：存在有理
数r 满足 x<r<y.
（此例说明任意两个不等的实数之间，都 有一个有理数）
例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y,使得x+y=1” 可表示为“xR, yR, 使得x+y=1”
数学分析
2
北方工业大学数学系
3. 我们用符号“”表示“充分条件”或“推出”；
比如“ p q ”表示“ 若 p 成立, 则 q 也成立”。 即p 是 q 成立的充分条件.
4. 我们用符号“”表示“当且仅当”或“充要条件”；
显然 ， 任何一个不大于 1的实数都是 N 的下界 . M 0, 取 n0 [ M ] 1, 则 n0 M , 即 N 无上界 .
数学分析第一章
前页 后页 返回
设
k
是满足
k n
a
的最大的正整数，即
k +1 n
> a.
于是, a < k + 1 < k + 2 < b, 则 k + 1, k + 2 是
nn
nn
a 与 b 之间的有理数, 而 k + 1 + π 是 a 与 b 之间 n 4n
的无理数.
例2 若a,b R,对 > 0，a < b + ，则 a b.
3.实数集的大小关系具有传递性.即若a > b, b > c,则有
a>c.
4.实数具有阿基米德性 , 即对任何 a, b R, 若 b > a > 0
则存在正整数 n, 使得na > b.
5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必 有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.
6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数 都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯 一的代表一个实数.
证 倘若a > b，设 a b > 0, 则 a b + ,
与 a < b + 矛盾.
前页 后页 返回
（6）实数与数轴上的点一一对应
实数集 R与数轴上的点可建立一一对应关系.
1. 这种对应关系，粗略地可这样描述： 设 P 是数轴上的一点 (不妨设在 0的右边), 若 P 在 整数 n与 n + 1之间，则 a0 n. 把(n, n + 1]十等分, 若点 P 在第 i 个区间，则 a1 i. 类似可得到 an, n 2, 3, L . 这时, 令点 p 对应于 a0 .a1a2 L an L .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章实数集与函数§1.1实数教学目标：使学生掌握实数的基本性质.教学重点：（1） 了解实数的有序性、稠密性和封闭性；（2）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式. 教学难点：实数集的概念及其应用.教学方法：讲授.（部分内容自学）教学过程：一、 实数及其性质:叹嘗纟（阳为整数且q 主0）或有限小数和无限小数. 负分数,p 无理数:用无限不循环小数表示. R = {x\兀为实数} --全体实数的集合・问题：有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的.为以下讨论的需要, 我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”.为此作如下规定：对 于正有 限 小 数x = a n .其中0 <a.t < 9 1 “（）为非负,记 兀=绳坷a n _}9999 ；对于正整数x = a^则记兀= （q ）-1）.9999 ；对于负有限小数（包括负整 数）y,则先将-），表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号.0=0.0000例：2.001^2.00099993 T 2.9999-2.001 T-2.009999-3 t -2.9999利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？（-）两实数大小的比较1、定义1：给定两个非负实数x = q ）q a n , y = h n .其屮d （）,%为非负整数， %乞伙=1,2,）为整数，05畋59,05如59・若有色"扌= 1,2,,则称兀与）,相等，记为x= y ；若a {） > b {}或存在非负整数/，使得cik=b k ,k = \,2, ，/,而%>$+】，则称尢大于y 或y 小 Tx,分别记为x 〉y 或）YX .对丁•负实数x 、y,若按上述规定分别有-x = -y 或-兀>-厂 则有理数（-）实数分另U称为y与兀< y （或y〉x ）・规定：任何非负实数大于任何负实数.3、实数常用性质1）封闭性：实数集R对一四则运算是封闭的.即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数.2）有序性：任意两个实数必满足下列关系之一：a<b,a>b,a = b・3）传递'性：a<b,b >c^>a>c ・4）P可基米德'性：\/a,b w R,b> a N 使得na > b ・5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数.6）实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.例2・设\fa,beR，证明：若对任何正数有a<b + s ,则a<b・提示：反证法.利用“有序性”，取e = a-b.二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）.（一）绝对值的定义实数Q的绝对值的定义为\a\=[^[-a a<0（-）几何意义从数轴看，数d的绝对值Idl就是点Q到原点的距离.认识到这一点非常有用，与此相应，lx-6/l表示就是数轴上点兀与Q之间的距离.（三）性质1）|a|=|-«l>O;|a|=O«a = O （非负性）;2）-\a\<a<\a\；3）\ a\< h -h < a < h , \ a |< h <=>-h<a< h.（h > 0）；4）对任何a,bwR ^\a\-\b\^a±b\<\a\ + \b\（三角不等式）;5）\ab\=\a\-\b\；6）纟上（20）.b \b\三.几个重要不等式(1) a2 +b2 >2]^, sinx <1.⑵ 均值不等式：对\/°［卫2,…4丘RS记G(a i) = nla i a2--a n =口a：/=!)口丫、n 1H (aj =—---- ： ----- —=一—=—1 1 1 1 v-' 1 v—1—* ' ' ~,—一（算术平均值）（几何平均值）（调和平均值）有平均值不等式:H(^.)<G(a i等号当且仅当a} = a2 = = a n时成立.（3） Bernoulli不等式：（在中学已用数学归纳法证明过）Vx > -1,有不等式(1 + x)n > 1 + HA;n G N.当兀〉一1 JI 兀H O, A? G N H/2 > 20^,有严格不等式(1 + x)n > 1 + HX 证由1 + 兀>0且1+兀H O, => (1 + 兀)"+斤一1 =(1+兀)"+1 + 1 + — + 1 > > n彳(1 + 兀)"=z? (1 + x). n (1 + x)n > 1 + 斤尤(4)利用二项展开式得到的不等式：对V/z>0,由二项展开式Z1八“1 , n(n -1) , 2斤(斤一1)(〃一2) 7 3 "(1 + h) = 1 --------- + nh + --- h~ + - h+•••+ 〃，2! 3!§1.2数集和确界原理教学目标：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：（1）掌握邻域的概念；（2）理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学过程：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 § 1. 1实数的相关内容•下而，我们先来检验一下自学的效果如何！1、 证有：（l ）|x-I| + |x-2|>l ； （2）|X -1| + |X -2|4-|X -3|>2.2、 证明：||x|-|y||^x-y|.明:对任何xwR3、 设a,bwR ，证明：若对任何正数£有a + b<s ,则4、 设兀〉y,证明：存在有理数厂满足y<r<x.一、区间与邻域 （一）区间（用来表示变量的变化范围）设且a vb ・1、a 的6邻域：设。
丘尺5>0,满足不等式|x-的全体实数x 的集合称为点a 的/邻区间 有限区间无限区间有限区间 开区间:[xe R\a<x<b} = (a,b) 闭区间：{XG R\a < x < b] = [a,b].半开半闭区间 闭开区间 开闭区间 :[xe R\a<x<b] =[o,b) :[xeR\a<x<b} =(a,b]{兀 w | 兀 >a} = [a, +oo) e[xe R\x<a] = (-OO ,G ]・无限区间< (XG = (a, +oo).[xe R\x<a] = (-oo,a).（二）邻域联想：“邻居” •字面意思：“邻近的区域”・（看左图）•与a 邻近的“区域”很多，至U 底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢?域，记作U@;C ,或简记为U(a),即U(a;6) = {兀 |x-a\< 5}二(G_5,G +5).2、点a的空心(S邻域U°{a\8) = |x|0 <| x-a\<= (a - 5,d)kJ(a,G + 5) U°(a).3、a的/右邻域和点a的空心〃右邻域U+(Q;5) = [a,° + /) U+(a) = ^x a<x<a-\-8^\U°(a;/) = (a, a + 5) (7°(0)= {x a v x < a +》}.4、点a的5左邻域和点a的空心5左邻域U _(a;3) - {a-8,a] U_(a) = a-8 < x<=(Q-/,Q) t/°(6f) = a-8 <x<a^.5、00邻域，+oo邻域，Y0邻域U(°°) = {x||x|>M},(其中M为充分大的正数)；(/(+oo) = {x x>M}, U(-<») = |x|x < -M}二、有界集与无界集什么是“界” ？定义1 (上.下界人设S为/?中的一个数集•若存在数M{L),使得一切XG S都有x<M(x>L),则称S为有上(下)界的数集.数M(D称为S的上界(下界)；若数集S既有上界，又有下界，则称s为有界集.闭区间、(a,b)(a,b为有限数)、邻域等都是有界数集，集合E = b| y = sinx, XG(-OO,+ OO)}也是有界数集.若数集S不是有界集，则称S为无界集.(一00,+ 00), (-oo,0), (0,4-co)等都是无界数集，集合E = f y\y = ^“(0,1)}也是无界数集.三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S是R中的一个数集，若数〃满足：（1）对一切XG S,有（即0 是S的上界）；（2）对任何QV“，存在A Q WS,使得x Q> a（即"是S的上界中最小的一个）, 则称数〃为数集S的上确界，记作7 = supS.命题1 M=supE充要条件1）M是E上界，2）V6? >0,3 y G E x f>M-e ・证明必要性，用反证法•设2）不成立，则日勺>°，使得F xwE，均有与“ 是上确界矛盾.充分性，用反证法•设M不是E的上确界，即日必'是上界，但M>M f.令£ =刈-旳、（）, 由2）, 使得x f>M-s = M f9与AT是E的上界矛盾.定义3（下确界）设S是R中的一个数集，若数g满足：（1）对一切兀wS,有xhg （即g 是S的下界）；（2）对任何0 >g,存在X0G5,使得x0</?（即§是S的下界中最大的一个），则称数§为数集S的下确界，记作^ = infS.命题2 g = infS的充要条件：1）&是S下界；2）0£>0, x o eS9^x（）<^ + e.上确界与下确界统称为确界.例3 （1） S = |l + ^^|,贝UsupS = _____________ , infS = ________ 二（2）E={y y = sinx, xe（0,^）}. 则supE = __________ , inf E = ________ .注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.设数集人有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明设TJ = sup A , ?j r = sup A且T/H”'，则不妨设q < rf〃 =sup A 二> A 有兀S 〃r/f = sup A => 对〃<“'，3x0G >4 使77 <如，矛盾.命题3E = {-5,0,3,9,11}则有inf E = -5 ・开区间仏◎与闭区间S，列有相同的上确界"与下确界Q.1、集与确界的关系：确界不一定屈于原集合.2、确界与最值的关系：设E为数集.（1）E的最值必属于E,但确界未必，确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界（见下面的确界原理），但未必有最值.（3）若max E存在，必有maxE = supE.对下确界有类似的结论.3、确界原理：定理1（确界原理）一个非空的，有上（下）界的集合，必有上（下）确界.§1.3函数概念教学目标：使学牛深刻理解函数概念.教学要求：（1 ）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法;(2 )牢记基木初等函数的定义、性质及其图象•会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.一、函数的定义(-)定义定义1 设D,M uR,如果存在对应法则使对VxeD,存在唯一的一个数yeM与之对应，则称/是定义在数集D 上的函数，记作(兀|Ty).函数/在点兀的函数值，记为/(兀)，全体函数值的集合称为函数/的值域，记作/(D). 即/(£>) = {y\y = /(X),XG D}.(二)几点说明(1)函数定义的记号中“ f .DiM”表示按法则/建立D到M的函数关系，x|Ty表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作•习惯上称兀自变量，y为因变量.(2)函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：£.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1) /(X)=1,XG/?, g(x) = l,xw7?\{0}.(不相同，对应法则相同，定义域不同)2) (p{x) =|X|,XG/?, = V?,xeR.(相同，对应法则的表达形式不同).(3)函数用公式法(解析法)表示吋，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域(自然定义域).此时，函数的记号中的定义域D可省略不写，而只用对应法则/来表示一个函数•即“函数『= /(%)”或“函数/ ”・(4)“映射”的观点来看，函数/本质上是映射，对于awD, 畑称为映射f Va的象.G 称为/(Q)的原象.(5)函数定义中，VxeD,只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个兀值，可以对应多于一个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值 函数(简称函数). 二、函数的表示方法 (―)主要方法：解析法(分式法)、列表法和图象法. z(-)可用“特殊方法”来表示的函数1、 分段函数：在定义域的不同部分用不同的 _______________________公式来表示.----O1 乂〉例如 s g^n=%©=,,(符号函数)-1(借助于 Sgnx 可表示 f(x)=\x\,即 /(x)=|x|=xsgnx).2. 用语言叙述的函数.(注意；以下函数不是分段函数)例(1) y = [X ](取整函数)比如：[3.5]二3,[3] =3, [-3. 5] =-4.常有[刎5兀＜ 比+ 1,及05兀一[力＜1与此有关一个的函数= 的图形是一条大锯，画出图看一看.这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最 小周期，事实上任一有理数都是它的周期.(3) 丽=+当"；叱孑为假分数人(Riemman 函数) 0,当兀=0,1和(0,1)内的无理数.三、函数的四则运算给定两个函数f,xwD\,g,xwD2,记D = D^D 2,并设定义/与g 在D 上的和、差、 积运算如下：F(x) = /(X ) + ^(X ),XG D ； G(x) = /(X )-^(X ),XG £＞； H (X ) = f(x)g(x),xeD.若在D 屮除去使g(x) = 0的值，即令D =D\{x|g (兀)工0,兀丘2}工0，可在D 上定义/与g的商运算如下；L(x) = ^,xeD . g(x)注：1)若D=D5m ，则/与g 不能进行四则运算.D(x) =1,当兀为有理数,(),当x 为无理数,(Dirichlet)2)为叙述方便，函数/与g的和、差、积、商常分别写为：/ + gj_g,/p,Z.8四、复合运算(―)引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为m的物体自由下落，速度为v,则功率E为E = —mv22抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数/(p) = |mv2,v = gz,把叩)代入/,即得f«t)) = ^ng2r ・这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数” •问题：任给两个函数都可以复合吗？考虑下例;y = f(u) = arcsin w, w G D = [-1,1], w = = 2 + x2, x e E = /?・就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数” 的定义域的交集不空(从而引出下面定义).(二)定义(复合函数)设有两个函数y = /X况),u w£),u = g(兀)，兀wE,记E ={x|/(x) G Z)|nE,若E工0，贝I」对每一个xeE ,通过g对应D内唯个值u,而弘又通过/对应唯-------------------- 个值y,这就确定了一个定义在E上的函数，它以x为自变量，丿因变量，记作y = f(g(x)\x^E或y = (f g)O),xuE.简记为/ g.称为函数/和g 的复合函数—并称/为外函数，g为内函数, u为中间变量.(三)例子例1 y = f(u) = 4u. u = g(x) = \-x2.求(/ogXX) = /[<?(%)•]并求定义域.例2(1)/(1-A：) = X2 + 无+ 1,fM =■⑵f< PX d =X + 0 ・则JC/«=()A. X2,B. x2 +1,C・ x2 - 2,D・x~ + 2.例讨论函数y = f(u) = e [0,-HX>)与函数况=g(x)==>/1-X2,XG 7?能否进行复合，求复合函数.(四)说明1、复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？例女口：y = sinw,w = 5/v,v = l-x2,复合成：y = sin J1 -,x w[-1,1].2、不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化.①〉'=log“(0,1) t y = log“ u.u = Jz,z = l-x\②y = arcsin A/F+i Ty = arcsin/u = jF+l.③y = 2sin v Ty = 2",u =『,y = sinx・五、反函数(―)引言在函数y = /(x)中把兀叫做自变量，y叫做因变量•但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：/(w) = V^,w = r2+l,那么况对于.f来讲是自变量，但对/来讲，“是因变量.习惯上说函数y = f(x)^x是自变量，y是因变量，是基于y随兀的变化现时变化.但有时我们不公要研究)，随兀的变化状况，也要研究兀随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.(_)反函数概念定义设/：X TR是一函数，如果V西，冷丘乂，由 (或由/Ul)= /(^2)^^1=^),则称/在x上是1-1的.若Y = f （X ）f 称/为满的. 若是满的-I 的，则称/为1-1对应./：XTR 是i-i 的意味着『 = /（%）对固定丿至多有一个解兀，f.X^Y 是1-1的意味着对护丫，少=/（兀）有且仅有 一个解X.定义 设/：x->Y 是1—1对应.。