北师大版八年级数学上册1.1 探索勾股定理 第1课时 勾股定理
8 5．
【解析】由勾股定理得 AC＝ 32＋42＝5，因为 S△ABC ＝12×2×4＝12AC·BD，所以 BD＝85.
17. 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF 为直角三角形，正方形 P 的面积
为 9 ， 正 方 形 Q 的 面 积 为 15 ， 则 正 方 形 M 的 面 积
A．4 B．5 C．16 D．34
7. 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：能. 根据勾股定理求出对角线 长为 2.5>2.2，所以薄木板能从门框内 通过．
8. (易错题)若一个直角三角形的三边长分别为 a，b，
c，已知 a2＝25，b2＝144，则 c2＝( D )
知识点 求直角三角形未知边的长
1. 在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为
(A)
A．5未知边的长度为 8 ．
3. 如图，已知△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C 的对边分别是 a，b，c.
(1)若 a＝5，b＝12，则 c＝ 13 ； (2)若 a＝6，c＝10，则 b＝ 8 ．
A．169
B．119
C．13 或 25
D．169 或 119
9. (中考·毕节)如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB＝1，EC＝2，那么正方形 ABCD 的面积为 (B)
A. 3 B．3 C. 5 D．5
10. 如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 3 和 4，则 b 的面积为( D )
解：在 Rt△EBC 中，因为 BE ＝13，BC＝5，所以由勾股定理可 得 EC2＝BE2－BC2＝132－52＝144， 所以 EC＝12，又因为 DE＝7，所以 DC＝5.在 Rt△ADC 中，AC2＝AD2 －DC2，因为 AD＝13，DC＝5，所以 AC＝12.
16. 如图，每个小正方形边长为 1， 则△ABC 边 AC 上的高 BD 的长为
4. 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，AC＝4， BC＝3，BD＝95，求：
(1)CD 的长；(2)AB 的长．
解：(1)在 Rt△BCD 中，CD2＝BC2－BD2＝32－(95)2
＝144，解得 25
CD＝152；
(2)在 Rt△ACD 中，AD2＝AC2－CD2＝42－(12)2＝ 5
第一章 勾股定理
1．1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
1. 勾、股、弦：在直角三角形中 较短的直角边 称 为勾， 较长的直角边 称为股， 斜边 称为弦．
2. 直角三角形的三边关系：直角三角形两条 直角 边 的平方和等于 斜边 的平方．(此结论称之为 勾股 定理)
3. 上述定理的符号表示：如果用 a，b，c 分别表示 直角三角形的两直角边和斜边，那么 a，b，c 的关系可 以表示为 a2＋b2＝c2 ．
为
；
(2)如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角
形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系是
(用图中字母表示)；
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为 3
和 4，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利
用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
解：(1)24； (2)S1＋S2＝S3； (3)设两个小半圆形的面积分别为 S1，S2，大半圆形 的面积为 S3，三角形的面积为 S△，则 S 阴影＝S1＋S2＋S△ －S3＝S△＝12×3×4＝6.
13. (中考·邵阳)公元 3 世纪初，中 国古代数学家赵爽注《周髀算经》时， 创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝ 6，弦 c＝10，则小正方形 ABCD 的面 积是 4 ．
【解析】因为勾 a＝6，弦 c＝10，所以股＝ 102－62 ＝8，所以小正方形的边长＝8－6＝2，所以小正方形的 面积＝22＝4.
A．3
B．4
C．5
D．7
11. 如图，在电线杆上离地面 4 米的 A 处拉两条固 定钢绳，若固定点 B 离电线杆底部 C 的距离为 3 米，则 拉绳 AB 至少需要 5 米长．
12. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所 有的四边形都是正方形，已知正方形 A、B、C、D 的边 长分别是 12，16，9，12，那么图中正方形 E 的面积为 49 ．
14. 如图所示是一段楼梯，高 BC 是 3 米，斜边长 AB 是 5 米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要多 少米？
解：在 Rt△ABC 中， AC2＝AB2－BC2＝52－32＝42， 所以 AC＝4， 所以 AC＋BC＝7. 答：地毯至少需要 7 米．
15. 如图所示，已知 AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝ 5，DE＝7.求 AC 的长．
256，所以 AD＝16.
25
5
所以 AB＝AD＋BD＝156＋95＝5.
知识点 利用勾股定理求解简单的数学问题 5. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 网 格 中 ， 点 A ， B 都 是 格 点 ， 则 线 段 AB 的 长 度 是 (A) A．5 B．6 C．7 D．25
6. 如图，图中所有的四边形都是正方形，面积分别 记为 9，M，25，则字母 M 所代表的正方形的面积是 (C)
【解析】由勾股定理得 AC＝ 32＋42＝5，因为 S△ABC ＝12×2×4＝12AC·BD，所以 BD＝85.
17. 观察如图所示的图形，回答问题：
(1)如图①，△DEF 为直角三角形，正方形 P 的面积
为 9 ， 正 方 形 Q 的 面 积 为 15 ， 则 正 方 形 M 的 面 积
A．4 B．5 C．16 D．34
7. 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m 的薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：能. 根据勾股定理求出对角线 长为 2.5>2.2，所以薄木板能从门框内 通过．
8. (易错题)若一个直角三角形的三边长分别为 a，b，
c，已知 a2＝25，b2＝144，则 c2＝( D )
知识点 求直角三角形未知边的长
1. 在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为
(A)
A．5未知边的长度为 8 ．
3. 如图，已知△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C 的对边分别是 a，b，c.
(1)若 a＝5，b＝12，则 c＝ 13 ； (2)若 a＝6，c＝10，则 b＝ 8 ．
A．169
B．119
C．13 或 25
D．169 或 119
9. (中考·毕节)如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，若 EB＝1，EC＝2，那么正方形 ABCD 的面积为 (B)
A. 3 B．3 C. 5 D．5
10. 如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别为 3 和 4，则 b 的面积为( D )
解：在 Rt△EBC 中，因为 BE ＝13，BC＝5，所以由勾股定理可 得 EC2＝BE2－BC2＝132－52＝144， 所以 EC＝12，又因为 DE＝7，所以 DC＝5.在 Rt△ADC 中，AC2＝AD2 －DC2，因为 AD＝13，DC＝5，所以 AC＝12.
16. 如图，每个小正方形边长为 1， 则△ABC 边 AC 上的高 BD 的长为
4. 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，AC＝4， BC＝3，BD＝95，求：
(1)CD 的长；(2)AB 的长．
解：(1)在 Rt△BCD 中，CD2＝BC2－BD2＝32－(95)2
＝144，解得 25
CD＝152；
(2)在 Rt△ACD 中，AD2＝AC2－CD2＝42－(12)2＝ 5
第一章 勾股定理
1．1 探索勾股定理
第1课时 勾股定理
1. 勾、股、弦：在直角三角形中 较短的直角边 称 为勾， 较长的直角边 称为股， 斜边 称为弦．
2. 直角三角形的三边关系：直角三角形两条 直角 边 的平方和等于 斜边 的平方．(此结论称之为 勾股 定理)
3. 上述定理的符号表示：如果用 a，b，c 分别表示 直角三角形的两直角边和斜边，那么 a，b，c 的关系可 以表示为 a2＋b2＝c2 ．
为
；
(2)如图②，分别以直角三角形的三边为直径向三角
形外作三个半圆，则这三个半圆形的面积之间的关系是
(用图中字母表示)；
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为 3
和 4，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，请你利
用(2)中得出的结论求阴影部分的面积．
解：(1)24； (2)S1＋S2＝S3； (3)设两个小半圆形的面积分别为 S1，S2，大半圆形 的面积为 S3，三角形的面积为 S△，则 S 阴影＝S1＋S2＋S△ －S3＝S△＝12×3×4＝6.
13. (中考·邵阳)公元 3 世纪初，中 国古代数学家赵爽注《周髀算经》时， 创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 a＝ 6，弦 c＝10，则小正方形 ABCD 的面 积是 4 ．
【解析】因为勾 a＝6，弦 c＝10，所以股＝ 102－62 ＝8，所以小正方形的边长＝8－6＝2，所以小正方形的 面积＝22＝4.
A．3
B．4
C．5
D．7
11. 如图，在电线杆上离地面 4 米的 A 处拉两条固 定钢绳，若固定点 B 离电线杆底部 C 的距离为 3 米，则 拉绳 AB 至少需要 5 米长．
12. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所 有的四边形都是正方形，已知正方形 A、B、C、D 的边 长分别是 12，16，9，12，那么图中正方形 E 的面积为 49 ．
14. 如图所示是一段楼梯，高 BC 是 3 米，斜边长 AB 是 5 米，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯至少需要多 少米？
解：在 Rt△ABC 中， AC2＝AB2－BC2＝52－32＝42， 所以 AC＝4， 所以 AC＋BC＝7. 答：地毯至少需要 7 米．
15. 如图所示，已知 AC⊥CE，AD＝BE＝13，BC＝ 5，DE＝7.求 AC 的长．
256，所以 AD＝16.
25
5
所以 AB＝AD＋BD＝156＋95＝5.
知识点 利用勾股定理求解简单的数学问题 5. 如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的 网 格 中 ， 点 A ， B 都 是 格 点 ， 则 线 段 AB 的 长 度 是 (A) A．5 B．6 C．7 D．25
6. 如图，图中所有的四边形都是正方形，面积分别 记为 9，M，25，则字母 M 所代表的正方形的面积是 (C)
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探索勾股定理(第1课时) 课件2024-2025学年北师大版数学八年级上册
方法二：补
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积.
方法三：拼
将几个小块拼成若干 个小正方形，图中两 块红色（或绿色）可 拼成一个小正方形.
归总结
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b 和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2．
图形语言：
北师大·数学·八上册
第一章 勾股定理
1. 探索勾股定理(第1课时)
创设情境 引入新课
为加固新栽的电线杆，工人师傅打算从 电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索，若 这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m，那么需要多长的钢索？你能帮他解决 这个问题吗？
探究活动一
(1)观察图2-1，图2-2，完成下表：
课堂练习 3. 求下列图中未知数x、y的值：
解：由勾股定理可得： 81+ 144=x2 x2=225 x=15
解：由勾股定理可得： y2+ 144=169 y2=25 y=5
课堂练习
分类讨论
4. 已知一个直角三角形的两边分别是3和4，则第三边的平方是（ ）
A. 25
B. 14
C. 7
D. 7或25
谈谈你的收获
作业布置
习题1.1第1--2题
如图，以 Rt△ABC 的三边长 为直径分别向外作半圆. 三个 半圆面积分别为S1，S2，S3 。 求证：S1+S2=S3.
制作4个全等的直角三角形，为下节课证明 勾股定理做准备
感谢聆听！
a2＋b2＝c2
探究活动二
下图中的直角三角形三边是否还满足以上关系？
怎样计算正方形 C 的面积呢？
SA=
=
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理第1课探索勾股定理课件
2. 如图，正方形ABCD的面积为25 cm2，△ABP为直角三角形， ∠APB=90°，且PB=3 cm，那么AP的长为( C )
A. 5 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 不能确定
3. 在Rt△ABC中，斜边BC=4，则BC2＋AB2＋AC2= 32 ． 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角 形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形A，B，C，D的面积之和 为 49 cm2．
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理 第1课时
1. 直角三角形三边存在的关系：在直角三角形中，任意两条边确定了，另 外一条边也就随之 确定 ，三边之间存在着一种特定的 数量 关系.
2. 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 勾 ，较长的直角边称为 股 ， 斜边称为 弦 .
3. 勾股定理：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边的 平方 .如果用a， b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2+b2=c2 .
4. 如图，在△ABC中，∠C=90°. (1)若已知a，b，则c2= a2+b2 ； (2)若已知a，c，则b2= c2-a2 ； (3)若已知b，c，则a2=长分别为3和4,下列说法中正确的是（ C ）
A. 斜边长为25
B. 三角形的周长为25
C. 斜边长为5
D. 三角形的面积为20
2. 三个正方形的面积如图所示，则S的值为（ C ）
A. 3
B. 4
C. 9
D. 12
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=7，则△ABC的面积为84 ． 4. 如图，为了测得湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩， 使∠ABC＝90°，并测得AC＝20m，BC＝16m，则点A和点B之间的距离是 12 m.
北师大版八年级数学上册1.1《探索勾股定理》课件
c=
。
2.在△ABC中，∠C=90°,若c=13，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ=12，则
a=
。
3.若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
二、提高训练
4．一个长为10 m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距
地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2 m后，底端
滑动
m．
5．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若 a+b=14cm， c=10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
视察这三 个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间 存在什么关系吗？
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长 的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正 方形的面积.
分小组动手操作实践
用四张全等的等腰直角三角形纸片，拼成一个 正方形。（不能重叠，不能有间隙）
∵c2= 4×12 a2 ∴c2=2a2
（1）如果三角形的三边长分别为a,b,c，则 a2+b2=c2
( ×)
（2）如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，则a2+b2=c2
( ×)
( 3) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 a+b=c
( ×)
(4) 如果直角三角形的三边长分别为a,b,c，且c为斜边，
则 b2=c2-a2
2002年国际数 学家大会会标 ——弦图.
四、课堂小结 定理内容
重要的 思想方 法及数 学思想
勾股 定理
从特殊 到一般、 数形结 合思想
定理运用
五、布置作业
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界.
1.1.1探索勾股定理 北师大版数学八年级上册
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错.
课堂小结
内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾
股
定
理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，
字母表示
那么 a2 b2 c2
第一章 勾股定理
课程结束
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
C A
B
C Aa c
b B
（3）如果直角 三角形的两直角边 分别为 1.6 个单位 长度和 2.4 个单位 长度，上面所猜想 的数量关系还成立 吗？说明你的理由.
（每个小正方形的面积为单位 1）
1.6 2.4
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
方，这就是著名的“勾股定理”.
如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理(1)
北师大版八年级（初中）数学上册 授课老师：孙老师
复习回顾 三角形
定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 相接组成的平面图形.
角 三角形的内角和是 180°.
边 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
直角 三角形
定义 有一个角是 90°的三角形是直角三角形.
角
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余 的三角形是直角三角形.
边？
新课导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形 的两边之和大于第三边.
对于一些特殊的三角形，是否还存在其他特殊的关 系？
新知探究
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量 它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的 关系. 与同伴进行交流.
B
左图
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
北师大版八年级上册1.1第1课时认识勾股定理说课稿
（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我采取以下策略和活动：
1.创设情境：通过引入实际问题，让学生感受到勾股定理在生活中的广泛应用，从而激发他们的学习兴趣。
2.探索活动：组织学生进行小组合作，引导他们通过观察、猜想、归纳等方法，探索勾股定理的发现过程，增强学生的参与感和成就感。
3.竞赛激励：开展勾股定理知识竞赛，鼓励学生积极参与，提高他们的学习热情。
2.提出问题：提出一个与勾股定理相关的问题：“一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，那么它的斜边是多少？”让学生尝试解答，引发学生对勾股定理的探究兴趣。
3.故事导入：讲述古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的传说故事，让学生在轻松愉快的氛围中进入新课学习。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
-及时给予学生反馈，针对性地解答学生的疑问。
-课后评估教学效果，通过作业、测试和学生的反馈来了解教学成效。
课后，我将进行以下反思和改进：
1.分析学生的作业和测试成绩，查找教学中的不足。
2.根据学生的接受程度，调整教学节奏和难度。
3.定期与学生交流，了解他们的学习需求，不断优化教学方法。
3.课堂展示：鼓励学生将小组探究的成果进行展示，其他学生进行评价和提问，以此提高学生的表达能力和批判性思维。
4.课后交流：利用网络平台，开展线上讨论和交流，让学生在课后继续探讨勾股定理相关知识，延伸学习空间。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一张古老的直角三角形图形，引发学生思考：“为什么在古老的建筑中，直角三角形如此常见？”从而激发学生对直角三角形相关性质的好奇心。
为了激发学生的学习兴趣和动机，我采取以下策略和活动：
1.创设情境：通过引入实际问题，让学生感受到勾股定理在生活中的广泛应用，从而激发他们的学习兴趣。
2.探索活动：组织学生进行小组合作，引导他们通过观察、猜想、归纳等方法，探索勾股定理的发现过程，增强学生的参与感和成就感。
3.竞赛激励：开展勾股定理知识竞赛，鼓励学生积极参与，提高他们的学习热情。
2.提出问题：提出一个与勾股定理相关的问题：“一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，那么它的斜边是多少？”让学生尝试解答，引发学生对勾股定理的探究兴趣。
3.故事导入：讲述古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的传说故事，让学生在轻松愉快的氛围中进入新课学习。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
-及时给予学生反馈，针对性地解答学生的疑问。
-课后评估教学效果，通过作业、测试和学生的反馈来了解教学成效。
课后，我将进行以下反思和改进：
1.分析学生的作业和测试成绩，查找教学中的不足。
2.根据学生的接受程度，调整教学节奏和难度。
3.定期与学生交流，了解他们的学习需求，不断优化教学方法。
3.课堂展示：鼓励学生将小组探究的成果进行展示，其他学生进行评价和提问，以此提高学生的表达能力和批判性思维。
4.课后交流：利用网络平台，开展线上讨论和交流，让学生在课后继续探讨勾股定理相关知识，延伸学习空间。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一张古老的直角三角形图形，引发学生思考：“为什么在古老的建筑中，直角三角形如此常见？”从而激发学生对直角三角形相关性质的好奇心。
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件
△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做
1.1探索勾股定理第1课时认识勾股定理(教案)2022秋八年级上册初二数学北师大版(安徽)
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和证明方法这两个重点。对于难点部分，我会通过构造图形和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量合作意识和表达交流素养，通过小组讨论和课堂分享，促进学生之间的交流与合作。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解勾股定理的概念及其表达形式：即直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这是本节课的核心内容，教师需通过直观的图形演示和实际操作，使学生深刻理解这一数学规律。
-掌握勾股定理的证明方法：通过不同的证明方法（如构造法、割补法、代数法等），让学生体会数学的严谨性和多样性，加强对定理的理解。
-灵活运用勾股定理解决问题：学生在解决问题时可能会出现对定理运用不灵活的情况，例如，无法将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题。
-掌握勾股定理的适用范围：学生需要明确勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不适用。
举例：针对证明过程的难点，可以设计以下教学活动：
a.通过割补法证明勾股定理时，教师可以引导学生通过剪纸、拼接等实际操作，直观地感受证明过程，降低理解难度。
-应用勾股定理解决实际问题：将勾股定理应用于解决直角三角形边长计算等问题，使学生掌握定理在实际生活中的运用。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表达式和证明方法这两个重点。对于难点部分，我会通过构造图形和实际操作来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际测量合作意识和表达交流素养，通过小组讨论和课堂分享，促进学生之间的交流与合作。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解勾股定理的概念及其表达形式：即直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这是本节课的核心内容，教师需通过直观的图形演示和实际操作，使学生深刻理解这一数学规律。
-掌握勾股定理的证明方法：通过不同的证明方法（如构造法、割补法、代数法等），让学生体会数学的严谨性和多样性，加强对定理的理解。
-灵活运用勾股定理解决问题：学生在解决问题时可能会出现对定理运用不灵活的情况，例如，无法将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题。
-掌握勾股定理的适用范围：学生需要明确勾股定理只适用于直角三角形，对于非直角三角形不适用。
举例：针对证明过程的难点，可以设计以下教学活动：
a.通过割补法证明勾股定理时，教师可以引导学生通过剪纸、拼接等实际操作，直观地感受证明过程，降低理解难度。
-应用勾股定理解决实际问题：将勾股定理应用于解决直角三角形边长计算等问题，使学生掌握定理在实际生活中的运用。
八年级数学上册第1章勾股定理1探索勾股定理第1课时探索勾股定理新版北师大版
图是一棵美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方
形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A ， B ，
C ， D 的边长分别是3，5，2，3，则最大
正方形 E 的面积是( D )
A. 13
B. 26
C. 34
D. 47
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9. 在Rt△ ABC 中，斜边长 BC ＝3，则 AB2＋ AC2＋ BC2的值
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(1)如图①，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，以Rt△ ABC 的
三边为边向外作正方形，面积分别为 S1， S2， S3，请直接
写出 S1， S2， S3之间存在的等量关系为 S1＋ S2＝ S3 .
1234 Nhomakorabea5
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(2)如图②，如果以Rt△ ABC 的三边长 a ， b ， c 为直径
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15. [新考法 数形结合法]数形结合是解决数学问题的一种重
要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得
直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些
代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进
行直观推导和解释.
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形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A ， B ，
C ， D 的边长分别是3，5，2，3，则最大
正方形 E 的面积是( D )
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(1)如图①，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，以Rt△ ABC 的
三边为边向外作正方形，面积分别为 S1， S2， S3，请直接
写出 S1， S2， S3之间存在的等量关系为 S1＋ S2＝ S3 .
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要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得
直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些
代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进
行直观推导和解释.
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