课后限时集训31 数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入
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一、选择题
1．已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1
z 2
等于( )
A ．－8－6i
B ．－8＋6i
C ．8＋6i
D ．8－6i
C [∵z 1＝6－8i ，z 2＝－i ， ∴z 1z 2＝6－8i －i ＝(6－8i )i －i
2＝8＋6i.] 2．设(1－i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y i 在复平面内所对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
D [因为x ，y 是实数，所以(1－i)x ＝x －x i ＝1＋y i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，－x ＝y ，解得
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，
y ＝－1，所以x ＋y i 在复平面内所对应的点为(1，－1)，位于第四象限．故选D.]
3．(2019·福州模拟)若复数z ＝a
1＋i
＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
A [因为复数z ＝a
1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a ＋22－a 2i ，∵z 为纯虚数，
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋22＝0，
－a 2≠0，
∴a ＝－2.]
4．已知(1－i )2
z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i
D ．－1－i
D [由题意，得z ＝(1－i )2
1＋i ＝－2i
1＋i
＝－1－i ，故选D.]
5．(2019·石家庄模拟)若复数z 满足z
1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则共轭复
数z ＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1－i
D ．－1＋i
B [由题意，得z ＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i ，故选B.] 6．已知⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝( )
A ．－7
B ．7
C ．－4
D ．4
A [因为⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ，
所以－3－4i ＝a ＋b i ，则a ＝－3，b ＝－4， 所以a ＋b ＝－7，故选A.]
7．设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1
z 2
＝( )
A ．1＋i
B.35＋45i
C ．1＋4
5i D ．1＋4
3i
B [因为复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2
＝2－i ，所以z 1z 2＝2＋i 2－i
＝(2＋i )2
5＝35＋4
5i ，故选B.]
二、填空题
8．设复数z 满足z ＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝ . 2－i [复数z 满足z ＝|1－i|＋i ＝2＋i ，则复数z ＝2－i.] 9．设z ＝
1
1＋i
＋i(i 为虚数单位)，则|z |＝ . 22 [因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋1
2i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝22.]
10．已知复数z ＝4＋2i
(1＋i )2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m
＝0上，则m ＝ .
－5 [z ＝4＋2i
(1＋i )2
＝4＋2i 2i ＝(4＋2i )i
2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.]
1．若(1－m i)(m ＋i)＜0，其中i 为虚数单位，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3
D ．－4
A [因为(1－m i)(m ＋i)＝2m ＋(1－m 2
)i ＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
2m ＜0，1－m 2＝0，解得m ＝－
1，故选A.]
2．若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y
x 的最大值是( ) A.32 B.33 C.12
D. 3
D [因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，
又因为|(x －2)＋y i|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3.
因为y
x 是复数x ＋y i 对应点与原点连线的斜率， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫
y x ma x ＝tan ∠AOB ＝3，
所以y
x 的最大值为 3.]
3．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，且p ，q ∈R ，则p ＋q ＝ . 38 [由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0， 即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0， 即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.
所以p ＝12，q ＝26，所以p ＋q ＝38.]
4．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标
为 ．
(0,1) [因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504
＋2，
所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i
1＋i
＝
(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )
＝2i
2＝i ，对应的点为(0,1)．]
1．设有下列四个命题：
p 1：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ； p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i a 2＋b 2
∈R ，则b ＝0， 故z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；
对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；
对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；
对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0，
故z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.] 2．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5
z 是实数；
②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 则z ＝ ，|z |＝ . －1－2i 或－2－i 5 [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，
z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i
＝a ＋b i ＋5(a －b i )
a 2＋b
2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. 因为z ＋5z 是实数，所以b －5b a 2＋b 2
＝0. 又因为b ≠0，所以a 2＋b 2＝5.①
又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， 所以a ＋3＋b ＝0.② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＋3＝0，
a 2＋
b 2＝5，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝－1，
故存在虚数z ，z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.]。