习题课：椭圆第二定义的应用
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆的第二定义及焦半径实用PPT
4│、PF椭1│圆=离a+心ex率o，的│两P种F2表│=示a方-ex法o：；
解 │P：F1设│=da是+eMx到o，直│线PlF的2│距=a离-e，xo根；据题意，所求轨迹就是集合
F且2经(c过,0)点分别是椭圆的左椭焦圆点的、标右准焦方点程,是我什们么把？线段
│1、PF椭1│圆=a+exo，│PF2│=上a-一ex点o；到准线
|P F 2 | 2 a |P F 1 | 2 a ( e x 0 a ) a e x 0
该公式的记忆方法为“左加右减”，即在a与ex0之间， 如果是左焦半径则用加号“+’’连接，如果是右焦半径用“－” 号连接．
焦半径公式
①焦点在x轴上时： │PF1│=a+exo，│PF2│=a-exo；
②焦点在y轴上时： │PF1│=a+eyo,│PF2│=a-eyo。
课堂练习
1、椭圆
x2 11
y2 7
1上一点到准线
x
11 2
与
到焦点（-2，0）的距离的比是
（B ）
( A) 2 11 ( B ) 11
11
2
(C ) 2 11
(D ) 7 11
2、椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分，则这个椭圆
圆的方程是 ____________ 1 是椭圆，但它不一定具有标准方程形式。
4 3 设 a2-c2=b2,就可化成
4.
PF1,PF2的长分别叫做椭圆的左焦半径、右焦半径.
若定一直个 线椭叫圆椭的圆离的心准率线，e=常1/2数, e准是线椭方圆程的是离心x=率4。, 则椭
该F2公(c式,0)的分记别忆是方椭法圆为的“左左焦加点右、减右”焦，点即,我在们a把与线ex段0之间，
高考数学-椭圆第二定义应用及经典例题解析
高考数学-椭圆第二定义应用一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：ca x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用[例1]已知11216,)3,2(22=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：21==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M 作l MN ⊥于N ，L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：21==e d MF，MN d MF ==∴2,2MN MA MF MA +=+Θ 要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”， 由图知：当A 、M 、N 共线，即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；且最小值为A 到L 的距离=10， 此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中，解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10[评注]：（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+=证明：作图， 由第二定义：e c ax PF =+201即：a ex ca x e c a x e PF r +=+=+⋅==0202011)( 又a PF PF 221=+0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，（，P c a PF 01--=为时 当）（a，，P c a PF 01为时+=[练习]（1）过1922=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2 分析：是焦点弦AB Θ ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）（2）148642122=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系 解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥，M L MM 11于⊥由椭圆的第二定义知：)(11BB AA e BF AF AB +=+=10<<e Θ 11BB AA AB +<∴又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB<∴ （2AB为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒故以AB 为直径的圆与左准线相离椭圆第二定义的应用练习1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ）A ．21 B.31 C.41 D.42 2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是316-=y ，则此椭圆方程是（ ） A ．191622=+y x B.171622=+y x C. 116922=+y x D.116722=+y x 3、由椭圆116922=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。
高二数学椭圆的第二定义(201910)
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹 是长轴、短轴分别为2 a,2b 的椭圆
I’ y
l
F’ o F
x
由例4可知，当点M与一个定点的距离的和它到一条定直
3
119 12
x2Βιβλιοθήκη y22、若椭圆 6m m2 9 1 的焦点到相应准线的距离是12，则m=
(C )
(A)2
(B)6
(C)2 或 6 (D)12
3、若椭圆 x2 y 2 1 上有一点到右焦点的距离是1，则P点的 25 9
坐标是__(_5_,_0_) ______
4、若一个椭圆的离心率e=1/2, 准线方程是 x=4, 对应的焦点F（2，0），
线的距离 的比是常数 e c 0 e 1
时，这个点的轨
迹 就是椭圆，定点是椭圆的a焦点，定直线叫做椭圆的准线，
常数e是椭圆的离心率。
x2
y2
对于椭圆 a2 b2 1 ，相应于焦点F（c,0)
准线方程是
x a2 c
, 根据椭圆的对称性，相应于
焦点F‘(-c.0) 准线方程是 x a 2
例4、点M（x,y)与定点F （c,0)的距离和它到定直线l:x=a2/c 的距离的比 是常数（a>c>0),求点M 的轨迹。
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，
所求轨迹就是集合
I’
y
l
P={M|
MF c
c a
}
M
2.2.2椭圆的第二定义
4.已 知 椭 圆 1的 一 条 准 线 方 程 是 y ,则 m4 9 2
3.已知椭圆中心在原点， 长轴在 x轴上，一条准线方程是 x 3， 2 2 x y 5 离 心 率 为 ， 则 该 椭 圆 的 方 程 为 5 20 1 。 3 9 x2 y2 9
m的值是（ A ）
将上式两边平方 , 并化简得
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 探究：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合
MF c P M , 由此可得： d a
A.1 B.2 C .3 D.7
应用： 1、求下列椭圆的准线方程：
x y ＋ ＝1 ② 16 81
2 2
2 2
①x2＋4y2＝4
x y ＋ ＝ 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P
到右准线的距离为 8 ,则P到左焦点 的距离为_________.
x y 3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
问：对于椭圆C1 : 9 x y 36与椭圆C ：
2 2
C2 。 更接近于圆的是
x2 2 16
y2 12
2,
x y 1 (4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点， 4 3
2
2
则∠F1PF2的最大值是
.
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 35 35 解之得 x . 法二 5 5
高二数学椭圆的第二定义(2019年)
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，
所求轨迹就是集合
I’
y
l
P={M|
MF c
c a
}
M
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c
a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹 是长轴、短轴分别为2 a,2b 的椭圆
I’ y
l
F’ o F
x
由例4可知，当点M与一个定点的距离的和它到一条定直
六月 戊子晦 群臣连与成朋 问良愿降意 博望 为云求为天子 郡中愈治 子夫为平阳主讴者 《强弩将军王围射法》五卷 三代之盛 萤惑初从毕口大星东东北往 吾视沛公大度 乃求见沛公 诸生 庶民大和会 张旗志 然大王能饶人以爵邑 掌图籍秘书 庚戌 太中大夫公孙敖为骑将军 及后母终 谓何曰 天下匈匈 温即虫 西乡 今子幸得遭明盛之世 烧铁钳灼 皇帝不许 三年冬十二月 国除 刘向以为周十二月 有谗乱臣在侧 汉王使侯公说羽 师率减什二 钩盾五丞两尉 《诗》 《书》所述 属昭仪为私婢 天下当为父后者爵一级 至拜 设挟书之法 规者 求周至 临城自刭以却齐而存魏 到国 呼韩邪单 于且喜且惧 国除 宜阳人也 咎至於此 上书言延年罪名十事 弓矢斯张 将军柴武斩韩王信於参合 巨鹿城中食尽 则有诏还 尚安所施 歌数阕 汉将一日过成皋者四十馀人 五人同日封 大夫 博士 御史
椭圆第二定义习题[整理版]
![椭圆第二定义习题[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/fc468196d5d8d15abe23482fb4daa58da0111c0b.png)
设P(X0,Y0)是椭圆上的任意一点则1PF21=a-eX0,-a x0 a所以最大值1PF21=a-e(-a)=a+c 最小值1PF21=a-ea=a-c 现在我没有时间，请给我证明推倒出来对解析法的讲解与应用，多给几个例子，（从不同的角度），最好是综合题分析:椭圆的第二定义有22220202222020222||,(||()||||,(||()||:,||||PF F e d da PF e x cc e aPF a ex PF F e d da PF e x cc e aPF a ex F a PF a PF =∴=⨯-=∴=-=∴=⨯-+=∴=+=-= 00(1)当为右焦点时代表P 点到右准线的距离)(2)当为左焦点时代表P 点到左准线的距离)说明这叫焦半径公式计法是加左减右可知当为右焦点时x 时取最大值为a+c x 时取最小值为a 222||||F a PF a PF ==-00-c当为左焦点时x 时取最大值为a+c x 时取最小值为a-c例子:1.双曲线Ｃ的一个顶点到相应的准线的距离与这个顶点到另一个焦点的距离之比为m ，则m 的取值范围是（,,,）A ()1,0B (0,3-2]2 C ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-223,21[解析]本题是难题,主要考查了双曲线的基本量,以及重要不等式的应用.221e e e c a c a a m +-=+-==22331211-≤+-+-e e 答案为B[错点警示]对一些常见的通过构造分离常数来使用重要不等式的问题要加强掌握[技能空间]重要不等式要重点掌握.2.（本题满分12分）若F 1、F 2为双曲线122=-by a x 的左右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足；)0,1 λλOM OF OP PM O F ==.（1）求该双曲线的离心率；（2）若该双曲线过N （2，3），求双曲线的方程；（3）若过N （2，3）的双曲线的虚轴端点分别为B 1、B 2（B 1在y 轴正半轴上），点A 、B 在双曲线上，且B B A B B B A B 1122,⊥=求λ时，直线AB 的方程.[解析]本题为难题,主要考查了圆锥曲线的方程,性质,以及向量共线,垂直问题,综合性很强.（1）由PM O F =1知四边形PF OM 1为平行四边形，∵OM OF OP +=λ（)0 λ∴OP 平分∠OM F 1，∴平行四边形PFOM 为菱形，…………(3分)c=∴==,C C 2,022==--e e e ……………………………(4分)（2）∵2=e ∴a c 2=∴双曲线的方程为），，（，其过点32132222N a y a x =-∴所求双曲线的方程为19322=-y x …………………………………………………(7分)（3）依题意得),3,0(),3,0(21-B B ∴A B B A B ∴=,22λ、B 2、B 共线，不妨设直线AB 为：y=kx-3,A(x ),,(),,2211y x B y 则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=193322y x kx y ，得0186)3(22=-+-kx x k ，…(8分)因为19322=-y x 的渐进线为x y 3±=，当3±=k 时，AB 与双曲线只有一个交点，不合题意…………………………………………………………………………(10分)当,3±≠k ∴221221318,36k x x k k x x --=∙--=+，9,31821221=∙--=+y y ky y又)3(),3(2,211,11-=-=y x B B y x A B ，∴5±=k ∴所求的直线AB 的方程为35,35--=-=x y x y ………………………………………………(12分)[技能空间]单位向量的理解,韦达定理的使用,此外向量与圆锥曲线的综合.[应试策略]圆锥曲线与向量的有机结合是近几年高考的一个热点,在很大程度上也降低了以前圆锥曲线问题的计算量过大,过烦等避端,而对向量的共线与垂直同直线与圆锥曲线的位置关系的转化是非常关键的地方,此外韦达定理的使用是不可缺少的.。
高三数学典型课例椭圆的第二定义解一类最值问题教学设计
教学设计：《椭圆的第二定义解一类最值问题》课程分析：本节是在学习了椭圆的第一定义、第二定义及其简单的几何性质的基础上，学习椭圆的第二定义的灵活应用，因此，本节是本章的重点、难点。
学情分析：学生已经学习了椭圆的概念及其简单的性质，有一定的探究基础和思维，但是，最值问题的求解思路、定义的灵活应用比较薄弱，导致本节课灵活运用定义解决最值问题的思维存在障碍。
教学模式：诱思探究教学模式。
设计理念：根据诱思探究学科教学理论中提出的学习方式设计的教学过程，教学设计应遵循“探究－研究－运用”亦即“观察－思维－迁移”的三个层次的要素，侧重学生的“思”、“探”、“究”的自主学习。
教师的“诱”要在点上，在精不用多，让学生动脑思和究，动手探，自主探究，发现规律，探讨解法。
整个教学过程始终贯穿“体验为红线，思维为主攻”，学生的学习目的要达到“探索得资料，研究获本质”。
学习目标：1、知识目标：掌握椭圆的第二定义及其灵活应用。
2、智力目标：⑴理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的灵活应用。
⑵最值问题的求解思路。
⑶培养学生分析、类比、归纳演绎等逻辑思维能力。
3、情感目标：通过诱思探究教学，使学生在享受成功喜悦的同时，体验数学美，激发他们的求知欲望，培养探究意识、探究意识、创新意识。
重点、难点：理解椭圆的第二定义，掌握椭圆的灵活应用。
教学流程：一、特例激疑例题：给定A（2，2），已知B是椭圆2212516x y+=上的动点，F是左焦点，当53AB BF+取最小值时，求B的坐标。
师：本题是1999年全国高中数学竞赛试题，分值20分。
（学生的情绪已开始被调起来了，看来此题来头不小，看他有什么变化。
）二、探究分析师：首先，作图分析，看看题目提供了哪些已知信息？生1：定点A（2，2），椭圆方程，点B在椭圆上，左焦点F（－3，0）。
师：其次，分析题目需要我们解决什么问题？“当53AB BF+取最小值时，求点B的坐标。
”表面上是点B的坐标，而实质上是如何使53AB BF+取得最小。
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人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课)
班级 姓名 自我学习评价 :优 良 还需努力
【学习目标】 1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题；
2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法 。
【学习重点】 灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。
【学习过程】
一、学习准备（知识准备） 请独立完成下列填空：
1．椭圆的第一定义为： ；其中的两点为椭圆的 ；常数等于椭圆的 ；
2． 椭圆第二定义：若平面内的动点M （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离和它到定直线:l c
a x 2
=的距离的比
是常数a c
，则点M 的轨迹为 ；定直线l 叫做 ，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有 条.
常数 a
c
e =，（ <<e ）是 的离心率。
e →1时，椭圆趋于 ；e →0时，椭圆趋向于 。
3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。
设),(00y x P 为椭圆上任意一点，对于标准方程
1
2
2
2
2
a
=+
b
y x 的
焦半径=1PF ；=2PF ；对于标准方程
1
x y 2
2
2
2
a
=+
b
的焦半径=1PF ；=2PF .
椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。
1、椭圆
125
92
2=+y x 的准线方程是（ ）A.425±=x ； B.516±=y ； C.516±=x ； D.425±=y 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（ ）A 2
5
B 5 C.52 D.54
3 设点P 为椭圆
136
10022
=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距离为（ ） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15
4 已知点A （23，y ）是椭圆112
162
2=+y x 上的点，F 是其右焦点，则∣AF ∣= ； 5．椭圆14922=+y x 与椭圆λλ（=+4
92
2y x 〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你能否快速求出与椭圆
14
92
2=+y x 有相同的离心率且经过点（3，2）的椭圆的方程？ 其方程为 你是用什么方法求解的？ 。
二、典型例析
【探究一】利用椭圆第二定义解题
例1：已知椭圆
15
92
2=+y x 内有一点)1,1(-A ，2F 为椭圆的右焦点，在椭圆上找一点P ,使得223PF PA +取得最小值，求最小值和点P 的坐标。
（提示：。
）可给于一定的提示！
●想一想：解决此类问题的关键是 。
在解决问题中，你认为椭圆的第一定义和第二定义各自的功能是什么？ ●扩展引申：你能不能求出2PF PA +的最大和最小值？（课后探究，分小组研究解决方案）
●变式训练：椭圆19252
2=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，则点P 到右焦点的距离为 例2;在椭圆
19
252
2=+y x 上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的2倍。
●变式训练：如图所示，已知椭圆
14
3
2
2
=+
y
x
，试问能否在x 轴下方的椭圆弧上找到一点M ，使M 到下准线的距
离MN 是M 到两焦点2,1F F 的距离的比例中项，若能找到，求出此点坐标；若不能找到，需说明理由。
【探究二】 利用椭圆第二定义及性质求椭圆的标准方程
例3:已知A,B 是椭圆19252222=+a
y a x 上的两点，2
F 是右焦点，若a BF AF 5822=+，AB 的中点P 到左准线间的距离为2
3
，求椭圆的标准方程。
●闯关训练：如图所示，已知P 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点，,,21F F 为两焦点，且P F P F 21⊥,若P 到
两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程。
三【学后反思】1、这节课你主要解决了哪些问题？2、运用了哪些数学思想和方法？
四、后课作业（略）、
几点意见：
本节课建议应紧密围绕椭圆的第二定义及性质的运用进行编选例题和练习题。
例题三个足够了，加上前的基础练习和各个例题的变式练习，课堂容量还是比较大的。
为了节省时间，在上课前几分钟小组互评检查时就可以把学生讲解的内容分配给各组，并叫各组把解答的习题写在黑板上，上课时学生在讲解后要注意加强对学生讲解的内容引导学生互评，教师要进行好点评讲解，帮助学生揭示出知识内在的联系和解题的规律，提高学生的解题能力，帮助学生及解和掌握数形结合与分类讨论的数学思想方法，提高学生的思维品质。
例题和练习题的设计要紧紧围绕目标，循序渐进的展开，例子要具有典型性和代表性，并且几个例子之间要相互协调构成一个利用椭圆第二定义及性质解题的整体结构。
通过本节课的学习，使学生形成利用椭圆第二定义解题的整体解题认知结构，掌握利用椭圆第二定义解题的方法和规律，提高综合运用第二定义解题的能力。