习题课：椭圆第二定义的应用

人教版高二数学上册§8.2 椭圆第二定义的应用(习题课)

班级 姓名 自我学习评价 :优 良 还需努力

【学习目标】 1. 进一步加深对椭圆第二定义及其性质的认识，会熟练运用椭圆的几何性质和第二定义解决有关问题；

2. 通过对椭圆的第二定义的应用，体会和感悟“方程思想”和“数形结合”，“分类讨论”的数学思想方法 。

【学习重点】 灵活运用椭圆的第二定义及性质解决有关问题。 【学习过程】

一、学习准备（知识准备） 请独立完成下列填空：

1．椭圆的第一定义为： ；其中的两点为椭圆的 ；常数等于椭圆的 ；

2． 椭圆第二定义：若平面内的动点M （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离和它到定直线:l c

a x 2

=的距离的比

是常数a c

，则点M 的轨迹为 ；定直线l 叫做 ，准线与长轴所在直线____，椭圆的准线有 条.

常数 a

c

e =，（ <

3．由椭圆第二定义我们得到了焦半径公式。 设),(00y x P 为椭圆上任意一点，对于标准方程

1

2

2

2

2

a

=+

b

y x 的

焦半径=1PF ；=2PF ；对于标准方程

1

x y 2

2

2

2

a

=+

b

的焦半径=1PF ；=2PF .

椭圆第二定义及其性质在解题中有何价值和作用？你知道吗？通过本节课的学习你就会知道了！ ●基础练习：试一试，你能根据已知很快独立完成下列问题吗？有困难的题可与小组同学讨论。

1、椭圆

125

92

2=+y x 的准线方程是（ ）A.425±=x ； B.516±=y ； C.516±=x ； D.425±=y 2 椭圆的一个焦点到相应准线的距离为45，离心率为32，则短轴长为（ ）A 2

5

B 5 C.52 D.54

3 设点P 为椭圆

136

10022

=+y x 上一点，P 到左准线的距离为10，则P 到右准线的距离为（ ） A . 6 ； B .8 ； C.10 ； D.15

4 已知点A （23，y ）是椭圆112

162

2=+y x 上的点，F 是其右焦点，则∣AF ∣= ； 5．椭圆14922=+y x 与椭圆λλ（=+4

92

2y x 〉0）的形状怎样？它们的离心率有何关系？你能否快速求出与椭圆

14

92

2=+y x 有相同的离心率且经过点（3，2）的椭圆的方程？ 其方程为 你是用什么方法求解的？ 。 二、典型例析

【探究一】利用椭圆第二定义解题

例1：已知椭圆

15

92

2=+y x 内有一点)1,1(-A ，2F 为椭圆的右焦点，在椭圆上找一点P ,使得223PF PA +取得最小值，求最小值和点P 的坐标。（提示：。。。。。。）可给于一定的提示！

●想一想：解决此类问题的关键是 。在解决问题中，你认为椭圆的第一定义和第二定义各自的功能是什么？ ●扩展引申：你能不能求出2PF PA +的最大和最小值？（课后探究，分小组研究解决方案）

●变式训练：椭圆19252

2=+y x 上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，则点P 到右焦点的距离为 例2;在椭圆

19

252

2=+y x 上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的2倍。

●变式训练：如图所示，已知椭圆

14

3

2

2

=+

y

x

，试问能否在x 轴下方的椭圆弧上找到一点M ，使M 到下准线的距

离MN 是M 到两焦点2,1F F 的距离的比例中项，若能找到，求出此点坐标；若不能找到，需说明理由。

【探究二】 利用椭圆第二定义及性质求椭圆的标准方程

例3:已知A,B 是椭圆19252222=+a

y a x 上的两点，2

F 是右焦点，若a BF AF 5822=+，AB 的中点P 到左准线间的距离为2

3

，求椭圆的标准方程。

●闯关训练：如图所示，已知P 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上一点，,,21F F 为两焦点，且P F P F 21⊥,若P 到

两准线的距离分别为6和12，求此椭圆方程。

三【学后反思】1、这节课你主要解决了哪些问题？2、运用了哪些数学思想和方法？

四、后课作业（略）、

几点意见：

本节课建议应紧密围绕椭圆的第二定义及性质的运用进行编选例题和练习题。例题三个足够了，加上前的基础练习和各个例题的变式练习，课堂容量还是比较大的。为了节省时间，在上课前几分钟小组互评检查时就可以把学生讲解的内容分配给各组，并叫各组把解答的习题写在黑板上，上课时学生在讲解后要注意加强对学生讲解的内容引导学生互评，教师要进行好点评讲解，帮助学生揭示出知识内在的联系和解题的规律，提高学生的解题能力，帮助学生及解和掌握数形结合与分类讨论的数学思想方法，提高学生的思维品质。

例题和练习题的设计要紧紧围绕目标，循序渐进的展开，例子要具有典型性和代表性，并且几个例子之间要相互协调构成一个利用椭圆第二定义及性质解题的整体结构。通过本节课的学习，使学生形成利用椭圆第二定义解题的整体解题认知结构，掌握利用椭圆第二定义解题的方法和规律，提高综合运用第二定义解题的能力。