椭圆第二定义应用及经典例题解析
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
巧用椭圆的第二定义解题
巧用椭圆的第二定义解题1 / 1巧用椭圆的第二定义解题《一般数学课程标准》 在圆锥曲线这一章较过去增添一种要求： 即学生要依据方程的形式和图形特点等进行类比猜想，培育直觉思想与合情推理能力。
增添这一要求是很科学的， 因为好多圆锥曲线问题用代数法运算特别繁琐， 而一旦抓住图形特点后，运用数形联合， 则可以简化运算，大幅度提升解题效率，下边以椭圆为例说明。
例：已知椭圆的中心在原点，其左焦点为F （－2 ， 0），左准线 l 的方程为 x=－ 32 ，2PQ 是过 F 且与 x 轴不垂直的弦， PQ 的中点 M 到左准线 l 的的距离为 d ，1：求椭圆的方程2：求证：PQ为定值Q /Qd3：在 l 上能否存在点 R ，使 PQR 为正三角形M /M若存在，求出点 R 的坐标，若不存在，说明原因x 2 y 2P /1：分析：易得椭圆的方程3112：证明：如图，作PP / l 与 P ， QQ / l 与 Q ，则由椭圆的第二定义，易得PF e ， QF e ；于是//2 6=定值PP /QQ /PQ=PF+QF=ePP ＋ eQQ =2ed= 33：分析：本题若从代数角度下手，设直线的方程，联立的方程再用韦达定理，则运算繁琐，好多同学会丧失期心； 若能抓住图形特点， 运用椭圆的第二定义和正三角形的性质， 则可化难为易。
假定存在点 R ，使 PQR 为正三角形，且椭圆固定，则 PQ 确立，于是 PQ 的垂直均分线 RM 也确立，因此 RM 的斜率确立，能够考虑先求 RM 的斜率，Q /MM / 的大小，R 即求倾斜角－Q /Q而 COS Q / MM /= MM/M /，由第 2 问的结论可得：MQ / MP /PMM /1COS Q /MM/ = = 2 e/ M3Q 2PQ = 1 2， Q /MM /PQ 3e2为 45○，依据对称性， RM 的斜率应为 1 ，从而可得 PQ 的方程及中点 M 的坐标，再由点斜式求得 RM 的方程，再联立左准线l 的方程 x=－32 ，得交点 R 的坐标（－32, 2）。
椭圆的第二定义(含解析)
课题：椭圆的第二定义【1】【学习目标】1、掌握椭圆的第二定义；2、能应用椭圆的第二定义解决相关问题；一、椭圆中的基本元素（1）.基本量: a 、b 、c 、e几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系： ac e b a c =-=,222 （2）.基本点：顶点、焦点、中心（3）.基本线: 对称轴二．椭圆的第二定义的推导 问题：点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2:a l x c =的距离的比是常数(0)c a c a>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭|c a =． 将上式两边平方，并化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-．设222a cb -=，就可化成22221(0)x y a b a b +=>>． 这是椭圆的标准方程，所以点M 的轨迹是长轴长为2a ，短轴长为2b 的椭圆．由此可知，当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(01)c e e a=<<时，这个点的轨迹是椭圆，一般称为椭圆的第二定义，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率． 对于椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2a x c=．根据椭圆的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2a x c=-，所以椭圆有两条准线． 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比，这就是离心率的几何意义．【注意】:椭圆的几何性质中,有些是依赖坐标系的性质(如:点的坐标\线的方程),有些是不依赖坐标系、图形本身固有的性质(如:距离\角),要注意区别。
中心到准线的距离：d=c a 2焦点到准线的距离：d=c a 2-c 两准线间的距离：d=2ca 2三．第二定义的应用1、求下列椭圆的焦点坐标和准线（1）13610022=+y x （2）8222=+y x2、椭圆13610022=+y x 上一点P 到右准线的距离为10,则:点P 到左焦点的距离为( ) A.14 B.12 C.10 D.83、若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,则:离心率e=______；4、离心率e=22,且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为________________________；5、若椭圆的短轴长为2,长轴是短轴的2倍,则:中心到准线的距离为____________；6、求中心在原点,一条准线方程是x=3，离心率为35 的椭圆标准方程.7、椭圆方程为16410022=+y x ,其上有一点P ,它到右焦点的距离为14,求P 点到左准线的距离.8、已知椭圆22143x y +=内有一点(11)P F -，，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点M ，使2MP MF +的值最小，求M 的坐标．（如图）分析：若设()M x y ，，求出2MP MF +，再计算最小值是很繁的．由于MF 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关，故有如下解法．解：设M 在右准线l 上的射影为1M ．由椭圆方程可知12312a b c e ====，，，．根据椭圆的第二定义，有112MFMM =，即112ME MM =．12MP MF MP MM +=+∴． 显然，当1P M M ，，三点共线时，1MP MM +有最小值．过P 作准线的垂线1y =-．由方程组2234121x y y ⎧+=⎨=-⎩，，解得1M ⎫-⎪⎪⎝⎭．即M的坐标为1⎫-⎪⎪⎝⎭．。
2.2.2椭圆的第二定义
4.已 知 椭 圆 1的 一 条 准 线 方 程 是 y ,则 m4 9 2
3.已知椭圆中心在原点， 长轴在 x轴上，一条准线方程是 x 3， 2 2 x y 5 离 心 率 为 ， 则 该 椭 圆 的 方 程 为 5 20 1 。 3 9 x2 y2 9
m的值是（ A ）
将上式两边平方 , 并化简得
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 探究：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合
MF c P M , 由此可得： d a
A.1 B.2 C .3 D.7
应用： 1、求下列椭圆的准线方程：
x y ＋ ＝1 ② 16 81
2 2
2 2
①x2＋4y2＝4
x y ＋ ＝ 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P
到右准线的距离为 8 ,则P到左焦点 的距离为_________.
x y 3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
问：对于椭圆C1 : 9 x y 36与椭圆C ：
2 2
C2 。 更接近于圆的是
x2 2 16
y2 12
2,
x y 1 (4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点， 4 3
2
2
则∠F1PF2的最大值是
.
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 35 35 解之得 x . 法二 5 5
高二数学椭圆的第二定义(2019年)
解：设 d是M到直线l 的距离，根据题意，
所求轨迹就是集合
I’
y
l
P={M|
MF c
c a
}
M
F’ o F
x
由此得
x c2 y 2 c
a2 x
a
c
将上式两边平方，并化简，得
a2 c2 x2 a2 y2 a2 a2 c2
设 a2-c2=b2,就可化成
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹 是长轴、短轴分别为2 a,2b 的椭圆
I’ y
l
F’ o F
x
由例4可知，当点M与一个定点的距离的和它到一条定直
六月 戊子晦 群臣连与成朋 问良愿降意 博望 为云求为天子 郡中愈治 子夫为平阳主讴者 《强弩将军王围射法》五卷 三代之盛 萤惑初从毕口大星东东北往 吾视沛公大度 乃求见沛公 诸生 庶民大和会 张旗志 然大王能饶人以爵邑 掌图籍秘书 庚戌 太中大夫公孙敖为骑将军 及后母终 谓何曰 天下匈匈 温即虫 西乡 今子幸得遭明盛之世 烧铁钳灼 皇帝不许 三年冬十二月 国除 刘向以为周十二月 有谗乱臣在侧 汉王使侯公说羽 师率减什二 钩盾五丞两尉 《诗》 《书》所述 属昭仪为私婢 天下当为父后者爵一级 至拜 设挟书之法 规者 求周至 临城自刭以却齐而存魏 到国 呼韩邪单 于且喜且惧 国除 宜阳人也 咎至於此 上书言延年罪名十事 弓矢斯张 将军柴武斩韩王信於参合 巨鹿城中食尽 则有诏还 尚安所施 歌数阕 汉将一日过成皋者四十馀人 五人同日封 大夫 博士 御史
127椭圆的第二定义应用
一、圆锥曲线第二定义的应用例1：椭圆192522=+y x 上有一点P ，如果它到左准线的距离为5/2，那么P 到右焦点的距离是 。
例2：F 2是椭圆x 2/a 2+y 2/b 2=1(a ＞b>0)的右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则|PF 2|的值为：A. ex 0-aB. a-ex 0C. ex 0-aD.e-ax 0例3：过抛物线y 2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，若线段的中点的横坐标为3，则|AB|= 。
例4 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为例6：已知双曲线x 2/25-y 2/144=1的左右焦点分别为F 1和F 2，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使|PF 1|是P 到左准线的距离d 与|PF 2|的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由。
[分析]这是一道存在性探索问题，解题思路一般是：先假设存在，然后在合理的计算、推理或求解过程中做出准确的判断。
圆锥曲线第二定义起到了条件联络转化的作用。
[解]根据题意：|PF 1|2=d |PF 2|,即|PF 2|/|PF 1|=|PF 1|/d= e ∴|PF 2|= e|PF 1|∵|PF 2|-|PF 1|=2a=10 c=13 e=13/5∴13|PF 1|/5-|PF 1|=10 |PF 1|=25/4 |PF 2|=65/4 ∴|PF 1|+|PF 2|=45/2 又|F 1F 2|=26 从而|PF 1|+|PF 2|<|F 1F 2|矛盾 ∴符合条件的点P 不存在。
例7 设椭圆2222by a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。
解：如图，AB 是过F 1垂直于x 轴的弦，|C F |1为F 1到准线l 1的距离，AD ⊥l 1于D ，则|AD|=|F 1C|，由题意知|AB |21|AF |1=。
椭圆的第二定义及有关最值
变2：P在椭圆上运动， P在何点时， F1 PF2的最大，求其余弦值。 变3：P在何点时， S PF1F 2最大，并为多少。
变1：当F1 PF2 600 时，S PF F 2
x2 y2 例3： 1上一点P, 当F1 PF 2为直角时，则 x, y的值 :9 4 变1：当F1 PF 2为钝角时，则 x, y的范围 变2：当F1 PF 2为锐角时，则 x, y的范围
2
2
4
O
A
又KOP=KAB b b ac a 因此b=c 即 a2 c2 c
c e a
2 2
作业
1、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准 方程。 2、已知椭圆在x轴和y轴正半轴上两顶点分别为A， B，原点到直线AB的距离等于 ，又该椭圆 的离心率为 ，求该椭圆的标准方程。
温故知新
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率 2 为 。
2
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角 形，则其离心率为 1/2 。 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其 1/3 离心率为 。 4、已知椭圆 m= 4或－5/4 . 的离心率为1/2，则
5：与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为 解：由已知得所求椭圆2c=2 5
椭圆的第二定义 及有关最值
PF1 e; 第二定义： d
思考：2 所求的轨迹方程的离心率，焦点各是什么？并 a 计算 c 等于多少？
其中：d为F1对应准线的方程；e 为离心率
当点M到定点距离与不过该定 点的定直线的距离比是 常数 这点M的轨迹是椭圆。 其中定点是椭圆一个焦 点，定直线称为准线常数e为离心率。 ,
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高考数学-椭圆第二定义应用
一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF
为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。
注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：c
a x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
二、第二定义的应用
[例1]已知112
16,)3,2(2
2=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。
分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：2
1==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。
再求最小值可较快的求出。
解：作图，过M 作l MN ⊥于N ，
L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：
2
1==e d MF ， MN d MF ==∴2
,2MN MA MF MA +=+ 要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”，
由图知：当A 、M 、N 共线，
即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；
且最小值为A 到L 的距离=10， 此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中， 解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10
[评注]：
（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。
（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。
[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a b
y a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+=
证明：作图， 由第二定义：e c a x PF =+
201
即：a ex c a x e c a x e PF r +=+=+⋅==02
02011)( 又a PF PF 221=+
0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴
注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出
c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，
（，P c a PF 01--=为时
当）（a，，P c a PF 01为时+=
[练习]
（1）过19
22
=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2
分析：是焦点弦AB ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）
（2）148
64212
2=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24
分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即
又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24
[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系
解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）
作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥
，M L MM 11于⊥
由椭圆的第二定义知：
)(11BB AA e BF AF AB +=+=
10<<e 11BB AA AB +<∴
又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线
1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB <∴
（2AB
为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒
故以AB 为直径的圆与左准线相离
椭圆第二定义的应用练习
1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ）
A ．21 B.31 C.41 D.4
2 2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是3
16-
=y ，则此椭圆方程是（ ） A ．191622=+y x B.17
162
2=+y x C. 116922=+y x D.11672
2=+y x 3、由椭圆116
92
2=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。
4、不论k 为何实数值，直线y=kx+1和焦点在x 轴的椭圆1522=+β
y x 总有公共点，则β的取值范围是： 。
5、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．
6、已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，
P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．
7、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为
35
4和
35
2，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
8、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2
,3
(-
A和)1,3
2
(-
B两点的椭圆方程．
分析：可设其方程为1
2
2=
+ny
mx(0
>
m，0
>
n)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．
椭圆第二定义的应用练习答案：
1、（ A ）
2、（ D ）
3、 524
4、51<≤β。
5、故5=m ．
6、19812
2=+x y ．
7、110352
2=+y x 或151032
2=+y x ．
8、15152
2=+y x ．。