椭圆第二定义应用及经典例题解析

高考数学-椭圆第二定义应用

一、随圆的第二定义（比值定义）： 若），e e d MF

为常数10(,<<=则M 的轨迹是以F 为焦点，L 为准线的椭圆。

注：①其中F 为定点，F （C ，0），d 为M 到定直线L ：c

a x 2=的距离 ②F 与L 是对应的，即：左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。

二、第二定义的应用

[例1]已知112

16,)3,2(2

2=+-y x F A 是的右焦点，点M 为椭圆的动点，求MF MA 2+的最小值，并求出此时点M 的坐标。 分析：此题主要在于MF 2的转化，由第二定义：2

1==e d MF ，可得出d MF =2，即为M 到L （右准线）的距离。再求最小值可较快的求出。

解：作图，过M 作l MN ⊥于N ，

L 为右准线：8=x ， 由第二定义，知：

2

1==e d MF ， MN d MF ==∴2

,2MN MA MF MA +=+ 要使MF MA 2+为最小值， 即：MF MA +为“最小”，

由图知：当A 、M 、N 共线，

即：l AM ⊥时，MF MA 2+为最小；

且最小值为A 到L 的距离=10， 此时，可设)3,(0x M ，代入椭圆方程中， 解得：320=x 故当)3,32(M 时， MF MA 2+为的最小值为10

[评注]：

（1）以上解法是椭圆第二定义的巧用，将问题转化为点到直线的距离去求，可使题目变得简单。

（2）一般地，遇到一个定点到定直线问题应想到椭圆的第二定义。

[例2]：设),(00y x P 为椭圆)0(,12222>>=+b a b

y a x 的一点，离心率为e ，P 到左焦点F 1和右焦点F 2的距离分别为r 1，r 2 求证：0201,ex a r ex a r -=+=

证明：作图， 由第二定义：e c a x PF =+

201

即：a ex c a x e c a x e PF r +=+=+⋅==02

02011)( 又a PF PF 221=+

0012)(22ex a ex a a r a r -=+-=-=∴

注：①上述结论01ex a r +=，02ex a r -=称为椭圆中的焦半径公式 ②a x a ex a r PF ≤≤-+==0011由 得出

c a a e a r c a ea a r -=-⋅+≥+=+≤)(11且 即c a PF c a +≤≤-1 当）a ，

（，P c a PF 01--=为时

当）（a，，P c a PF 01为时+=

[练习]

（1）过19

22

=+y x 的左焦点F 作倾斜角为300的直线交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长为 2

分析：是焦点弦AB ）x （x e a ）ex （a ）ex （a BF AF AB B A B A +⋅+=+++=+=∴2只需求?=+B A x x （用联立方程后，韦达定理的方法可解）

（2）148

64212

2=+y x 、F F 为的左、右焦点，P 为椭圆上的一点，若,321PF PF =则P 到左准线的距离为 24

分析：由焦半径公式，设）y x p 00,(得，x ）ex a ex a 8(3000=-=+即

又左准线为：16-=x 则P 到左准线距离为8-（-16）=24

[例3] 设椭圆的左焦点为F ，AB 过F 的弦，试分析以AB 为直径的圆与左准线L 的位置关系

解，设M 为弦AB 的中点，（即为“圆心”）

作，A L AA 11于⊥ ，B L BB 11于⊥

，M L MM 11于⊥

由椭圆的第二定义知：

)(11BB AA e BF AF AB +=+=

10<

又在直角梯形11A ABB 中，1MM 是中位线

1112MM BB AA =+∴ 即：12MM AB < 12MM AB <∴

（2AB

为圆M 的半径1MM r ，为圆心M 到左准线的距离d d r <⇒

故以AB 为直径的圆与左准线相离

椭圆第二定义的应用练习

1、椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则此椭圆的离心率e 等于（ ）

A ．21 B.31 C.41 D.4

2 2、椭圆的两个焦点是)3,0(1-F 和)3,0(2F ，一条准线方程是3

16-

=y ，则此椭圆方程是（ ） A ．191622=+y x B.17

162

2=+y x C. 116922=+y x D.11672

2=+y x 3、由椭圆116

92

2=+y x 的四个顶点组成的菱形的高等于： 。 4、不论k 为何实数值，直线y=kx+1和焦点在x 轴的椭圆1522=+β

y x 总有公共点，则β的取值范围是： 。

5、已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值．

6、已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，

P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

7、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为

35

4和

35

2，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

8、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过)2

,3

(-

A和)1,3

2

(-

B两点的椭圆方程．

分析：可设其方程为1

2

2=

+ny

mx(0

>

m，0

>

n)，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．